Results in Mathematics Vol. 19 (1991)

0378-6218/91/020074-09$1.50+0.20/0 (c) 1991 Birkhauser Verlag, Basel

EIN APPROXIMATIONSSATZ FUR

HALBGRUPPEN MIT DIVISORENTHEORIE

Franz Halter-Koch

1. Unter einer Halbgruppe H verstehe ich im folgenden stets eine kommutative multiplikative Halbgruppe mit Eins 1 E H, in der die Kurzungsregel gilt. Ich bezeichne mit Q(H) eine Quotientengruppe von H und verwende die Begriffe der Teilbarkeitslehre wie in [3, §6]. Fur eine Menge P sei F(P) die freie abelsche Halbgruppe mit Basis P. Dann ist QF(P) ~ Z(P), und jedes z E QF(P) hat eine eindeutige Darstellung

mit vp(z) E Z, vp(z) = 0 fur fast alle pEP. 1st 0: H -+ F(P) ein Halbgruppenhomo­morphismus, so hat 0 eine eindeutige Fortsetzung zu einem Gruppenhomomorphismus a: Q(H) -+ QF(P), und fur pEP sei

op = vp 0 a : Q( H) -+ Z

der p-adische Exponent zu o.

Definition 1. H sei eine Halbgruppe, Peine Menge. a) Ein Halbgruppenhomomorphismus 0: H -+ F(P) heiBt Divisorhomomorphismus,

wenn fur alle a,(3 E H gilt: Aus o(a) 10((3) (in F(P)) folgt a I (3 (in H).

b) Unter einer Divisorentheorie (fur H) verstehe ich einen Divisorhomomorphismus o : H -+ F(P) derart, daB fur alle pEP gilt: es gibt endlich viele Elemente al, ... ,anEH mit p=ggT{o(al), ... ,o(an )} (dannistjedes aEF(P) in dieser Weise als g.g.T. darstellbar).

In dieser Form geht der Begriff der Divisorentheorie auf L. Skula [8] zuruck. Er erweist sich als der richtige Rahmen fur die von der algebraischen Zahlentheorie motivierten Un­tersuchungen, inwieweit die Struktur der Klassengruppe Phiinomene der nicht-eindeutigen Zerlegung in irreduzible Elemente kontrolliertj siehe [4] (in diesem Uberblicksartikel findet man unter anderem viele Beispiele und ein umfangreiches Literaturverzeichnis).

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Untersuchungen, unter welchen Bedingungen ein Halbgruppenring R[H] ein Krull­ring ist, fiihren auf den Begriff der Krullhalbgruppe ([2], [3]). Dieser ist eine direkte Verallgemeinerung des Begriffs des Krullringes und zum Begriff der Halbgruppe mit Divi­sorentheorie aquivalent. U. Krause [6] zeigte, da£ (ebenso wie bei Krullringen) das System der wesentlichen Bewertungen einer Krullhalbgruppe die entscheidende Invariante zu ihrer Beschreibung ist.

In der vorliegenden Arbeit kliire ich zunachst den Zusammenhang zwischen den p­

adischen Exponenten eines Divisorhomomorphismus und den wesentlichen Bewertungen einer Krullhalbgruppe. Dann beweise ich, daf3 der klassische Approximationssatz fiir Krullringe [1, ch.VII, §1.5] in einer Krullhalbgruppe genau dann gilt, wenn diese eine ((31 )-Divisorentheorie im Sinne von [8] besitzt; daraus ergibt sich ein neuer Beweis des Approximationssatzes fiir Krullringe. Abschlief3end verallgemeinere ich den Begriff der Strahlklasseneinteilung in algebraischen Zahlkorpern auf beliebige Dedekindringe. Ich be­weise eine Variante des Chinesischen Restsatzes unter Einbeziehung von Signaturen und zeige, daf3 die verallgemeinerten Strahlklassenhalbgruppen Krullhalbgruppen sind, in de­nen der Approximationssatz gilt.

2. Ich beginne mit der in [6] gegebenen Beschreibung von Krullhalbgruppen mittels der wesentlichen Bewertungen.

Definition 2. H sei eine Halbgruppe. a) Eine Bewertung von H ist ein Halbgruppenepimorphismus v: Q(H) --+ Z mit

v(H) C No.

b) Eine Bewertung v von H heif3t wesentlich (fiir H), wenn gilt: Zu jedem Z E Q(H) mit v(z) ~ 0 gibt es ein x E H mit vex) = 0 und xz E H.

c) Eine Menge n von Bewertungen von H heif3t eine H definierende Menge von Bewertungen, wenn H = n v-l(No), und wenn es zu jedem x E Q(H) nur

vEIt endlichviele vEn mit v(x) =1-0 gibt.

d) H heif3t Krullhalbgruppe, wenn es eine H definierende Menge von Bewertungen von H gibt.

Die hier gewiihlte Definition einer wesentlichen Bewertung ist formal einfacher als die in [6] gegebene, aber leicht als zu jener aquivalent zu erkennen. Der folgende Satz wird in [6] bewiesen (Theorem und Corollaries 1, 2).

Satz 1. H sei eine Krullbalbgruppe und n die Menge der fur H wesentlicben Bewer­tungen von H. Dann gilt:

i) n ist die kleinste H definierende Menge von Bewertungen von H.

ii) Definiert man 8: H --+ .r(n) durcb 8(er.) = IT vv(,,), so ist 8 eine Divisoren­vEIt

tbeorie fur H.

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Satz 2. H sei eine Haibgruppe, Peine Menge und 8: H -t F(P) ein Haibgruppen­homomorphismus. Fur pEP sei 8p Q( H) = epZ mit ep E No, und im Faile ep t- 0 sei

8p = e;18p : Q(H) -t Z;

ferner sei na = {8p I pEP, ep t- O}. Dann gilt: i) Genau dann ist 8 ein Divisorhomomorphismus, wenn na eine H dennierende

Menge von Bewertungen ist.

ii) Sei 8 ein Divisorhomomorphismus. Genau dann ist 8 eine Divisorentheorie, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfullt sind:

1) Fur aile p, q E P mit p t- q ist 8p t- 8q •

2) Fur aile pEP ist ep = 1 und 8p wesentlich fur H.

Fur den Beweis benotige ich den folgenden Hilfssatz, welcher sich implizit auch bereits in [6] findet.

Hilfssatz 1. Sei Heine Haibgruppe und v: Q(H) -t Z eine wesentliche Bewertung von H. Dann gilt:

i) v(H) = No.

ii) Ist w eine von v verschiedene Bewertung von H, so gibt es ein x E H mit vex) = 0 und w(x) > O.

Beweis von HilJssatz 1. i) Sei mE No und z E Q(H) mit v(z) = m. Da v wesentlich ist, gibt es ein x E H mit vex) = 0 ,xz E H und v(xz) = m .

ii) Angenommen, es sei w(x) = 0 fUr alle x E H mit vex) = O. Nach i) giht es ein Element 7r E H mit v(7r) = 1. Sei y E H beliebig; wegen v(7r- v(Yly) = 0 gibt es ein x E H mit vex) = 0 und x7r-v(Yl y E H. Damit folgt 0 = w(x7r-v(Yly) = -v(y)w(7r) + w(y), also w(y) E ZW(7r). Wegen Z = wQ(H) = w(H) - w(H) C ZW(7r) folgt w(7r) = 1, v(y)=w(y) unddaher v=w. 0

Beweis von Satz 2. i) Sei 8 ein Divisorhomomorphismus; dann gibt es zu jedem z E

Q(H) nur endlich viele pEP mit 8p(z) t- O. Sei z E Q(H) mit 8p(z) ~ 0 fur alle 8p E na, also 8p(z) ~ 0 fur alle pEP. Setzt man z = x-1y mit x, y E H, so folgt vp(8x) :::; vp(8y) fur alle pEP, also 8(x) 18(y) (in F(P)) , und daher x I y (in H), also z E H.

Sei umgekehrt na eine H definierende Menge von Bewertungen von H, und seien 0'.,(3 E H mit 8(0'.) 18((3) (in F(P)). Dann ist 8p(a- 1(3) = e;1 . vp(8(a)-18((3)) ~ 0

fur alle 8p E na, also 0'.-1(3 E H und a I (3.

ii) Sei 8 ein Divisorhomomorphismus und 8: Q(H) -t QF(P) die Fortsetzung von 8 zu einem Homomorphismus der Quotientengruppen. Dann ist F(P) n 8Q(H) = 8H, und fur z E Q(H) ist genau dann 8(z) E F(P), wenn z E H.

Sei nun zunachst 8 eine Divisorentheorie. Da jedes pEP ein g.g.T. von endlich vielen Elementen 8(0'.1)'"'' 8(an ) mit ai E H ist, folgt ep = 1 fur alle pEP und 8p t- 8q , falls p t- q. Ich zeige nun, daB 8p fur jedes pEP wesentlich fur H ist: Sei

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pEP und Z E Q(H) mit op(z);::: 0; dann ist 8(z) = a-lb mit a, bE F(P) und vp(a) = O. Da a ein g.g.T. von endlich vielen Elementen o(av) mit a v E H ist, gibt es ein xEH mit alox und op(x) =vp(ox) =0. Dannistaber 8(xz)=0(x)a-l bEoH und daher auch xz E H.

Sei nun op ¥- Oq, und seien aIle ep = 1 und alle op wesentlich fur H. Ich zeige, daB jedes pEP ein g.g.T. endlich vieler Elemente o(av) mit a v E H ist. Sei pEP; dann gibt es nach Hilfssatz 1 ein Element 7rp E H mit op(7rp) = 1. Die Menge M = {q E P 10q(7rp) > O} ist endlich und fur alle q E M\{p} ist op ¥- Oq. Daher gibt es (wieder nach Hilfssatz 1) zu jedem q E M\ {p} ein 7r q E H mit Oq (7r q) = 0 und op(7rq) > 0, und ich erhalte p = ggT{ o(7rq) I q EM}. 0

Korollar. Sei Heine Halbgruppe und 0: H -t F(P) eine Divisorentheorie. Dann gilt:

i) {op I pEP} ist die Menge der wesentlichen Bewertungen von H.

ii) lst 01 : H -t F(P I ) eine weitere Divisorentheorie fiir H, so gibt es genau einen Halbgruppenisomorphismus ¢>: F(P) -t F(P' ) mit 0' = ¢> 0 o.

Beweis. i) Nach Satz 2 ist {op I pEP} eine H definierende Menge wesentlicher Bewertungen von H; daraus folgt die Behauptung mit Hilfe von Satz 1.

ii) Sei n die Menge der wesentlichen Bewertungen von H. N ach i) und Satz 2 sind (p 1--+ op) und (pi 1--+ O~,) Bijektionen P -t n und pi -t n, woraus die Behauptung folgt. 0

Bemerkung. Die Eindeutigkeit einer Divisorentheorie bis auf Isomorphie ist wohlbekannt [4, S.32]; alle bisherigen Beweise machen jedoch wesentlich Gebrauch von der Theorie der divisoriellen Ideale.

3. Ich formuliere und beweise nun den Approximationssatz, welcher das Hauptresultat dieser Arbeit darsteIlt.

Satz 3 (Approximationssatz fur Krullhalbgruppen). Sei Heine Halbgruppe, P eine Menge und 0: H -t F(P) ein Divisorhomomorphismus. Dann sind die folgenden Aussagen iiquivalent:

a) Fiir alle a, bE F(P) gibt es ein c E F(P) mit ac E oH und ggT{b, c} = 1.

b) Sind p, ql, ... , qn E P verschieden, so gibt es ein a E H mit op( a) = 1 und oq.(a) =0 fiiralle liE {l, ... ,n}.

c) Sind Pl, ... , Pn E P verschieden und kl"'" kn E No, so gibt es ein a E H mit op.(a)=kv fiiralle liE {l, ... ,n}.

d) Sind PI, ... ,Pn E P verschieden und kl"'" kn E Z, so gibt es ein a E Q(H) mit op.(a)=kv fiiralle liE {l, ... ,n} und op(a);:::O fiiralle pEP\{Pl, ... ,Pn}.

Sind diese Bedingungen erfiillt, so ist a eine Divisorentheorie fiir H.

Beweis. a) '* b): Sei a = p und b = pql ..... qn; dann gibt es ein c E F(P) und ein a E H mit pc = o(a) und ggT{b,c} = 1; damit folgt op(a) = vp(pc) = 1 und Oq. (pc) = 0 fur aIle II E {I, ... , n} .

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b) ~ c): Nach b) gibt es Elemente al, ... ,an E H mit 0pi(aj) = Oij fur alle n

i, j E {I, ... , n}; a = n a~i leistet dann das Gewunschte. ;=1

c) ~ d): Sei kEN mit k + k" ;::: 0 fur alle 1/, und sei ,E H mit 0p. (-y) = k fur alle 1/ E {I, ... , n}. Dann ist die Menge M = {p E Plop (-y) > o} endlich, und daher gibtesein {3EH mit op.({3)=k+k" furalle I/E{l, ... ,n} und op({3)=op(-y) fur alle p E M\{pt, ... ,Pn}. Das Element a = ,-1{3 hat die gewunschten Eigenschaften.

d) ~ a): Seien a, bE F(P); dann gibt es ein a E Q(H) derart, daB op(a) = vp(a) fur alle pEP mit vp(ab) > 0, und op(a);::: 0 fur alle pEP. Dann folgt aber a E H und a I o(a); setzt man o(a) = ac mit c E F(P), so ist ggT{b,c} = 1.

1st 0 ein Divisorhomomorphismus mit a), so gibt es zu jedem pEP Elemente b,cEF(P) mit bpEoH, cpEoH und ggT{b,c} =1, also p=ggT{bp,cp}; daher ist 0 eine Divisorentheorie. D

Definition 3. Ich sage, eine Krullhalbgruppe H bzw. eine Divisorentheorie 0: H -F(P) hat die Approximationseigenschaft, wenn die Bedingungen von Satz 3 erfullt sind.

Die faktoriellen Halbgruppen sind die einfachsten Beispiele fur Krullhalbgruppen mit der Approximationseigenschaft; der Vollstandigkeit und des Mangels an geeigneten Zitaten halber formuliere ich die entsprechenden Resultate als Satz.

Satz 4. i) Eine Halbgruppe H ist genau dann faktoriell, wenn sie eine surjektive Divisoren­

theorie 0: H - F(P) besitzt.

ii) Jede faktorielle Halbgruppe ist eine Krullhalbgruppe und besitzt die Approxima­tionseigenschaft.

iii) Besitzt eine endlich erzeugte Krullhalbgruppe die Approximationseigenschaft, so ist sie faktoriell.

Beweis. i) Sei H X die Gruppe der invertiblen Elemente von H; dann ist H/H x eine reduzierte Halbgruppe, und jede Divisorentheorie 0: H - F( P) induziert eine injektive Divisorentheorie 8: H/H x - F(P) vermoge 8(0) = o(a). 1st 0 surjektiv, so ist 8 ein Isomorphismus, und mit H/Hx ist auch H faktoriell. 1st H faktoriell, so ist H/H x eine freie abelsche Halbgruppe, und der kanonische Epimorphismus H _ H/H x

ist eine surjektive Divisorentheorie.

ii) folgt aus i), da fur eine surjektive Divisorentheorie die Bedingung a) in Satz 3 trivialerweise erfullt ist (mit c = 1 ).

iii) 1st Heine endlich erzeugte Krullhalbgruppe, und 0: H _ F(P) eine Divisoren­theorie von H, so ist P endlich [4, Satz 1]. Setzt man b = n p, so kann Bedingung

pEP

a) in Satz 3 nur dann erfullt werden, wenn 0 surjektiv ist. Dann ist nach i) aber H faktoriell. 0

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Bemerkungen. 1) L. Skula [9] nennt eine Divisorentheorie, welche die Bedingung a) von Satz 3 erfullt,

eine (,81)-Divisorentheorie. Er beweist ein notwendiges und hinreichendes Kriterium fur das Vorliegen einer (,8I)-Divisorentheorie mit Hilfe der Divisorenklassengruppe und beweist ein zu Satz 4, iii) analoges Resultat.

2) Die Blockhalbgruppen endlicher Gruppen G [4, Beispiel 6] haben nach Satz 4 nicht die Approximationseigenschaft, falls #G 2: 3.

4. Fur einen Integritatsbereich R bezeichne Re = R\ {O} seine multiplikative Halbgruppe. 1st K ein Quotientenkorper von R, so ist K X = Q(Re).

Satz 5. Sei Rein Integritiitsbereich mit Quotientenkorper K.

i) Sei v: KX -t Z eine fur Re wesentliche Bewertung von Re . Dann ist v: K -t

Z U {oo}, denniert durch v( 0) = 00 und v I K x = v, eine Bewertung von K.

ii) Genau dann ist Rein Krullring, wenn Re eine Krullhalbgruppe ist.

iii) Ist Rein Krullring, so hat Re die Approximationseigenschaft.

Beweis. i) Es ist v(x +y) 2: min{v(x),v(y)} fur alle x,y E K zu zeigen, und ich kann dabei o.E. x,y,x +y E KX und v(x) 2: v(y) annehmen. Dann ist v(xy-l) 2: 0, und da v wesentlich fiir Re ist, gibt es ein z E Re mit v(z) = 0 und xy-lz ERe. Damit folgt v(l + xy-l) = v(z) + v(l + xy-l) = v(z + zxy-l) 2: 0, da z + zxy-l E R, und v(x + y) = v(y) + v(l + xy-l) 2: v(y).

ii) 1st Rein Krullring und (Wi)iEI eine R definierende Menge von Bewertungen von K, so ist {wilKXj i E I} eine Re definierende Familie von Bewertungen von Re, also Re eine Krullhalbgruppe. 1st Re eine Krullhalbgruppe und n die Re definierende Menge der wesentlichen Bewertungen von Re (Satz 1), so ist die Menge der Fortsetzungen n = {Vi v E f!} nach i) eine Menge R definierender Bewertungen von K. Daher ist Rein Krullring.

iii) Sei 0: Re -t F(P) eine Divisorentheorie von R e . Fiir pEP sei 8p :

K -t Z U {oo} definiert durch 8plKx = Op und 8p(0) = 00. Nach Satz 2 sind die op wesentliche Bewertungen von Re, und nach i) sind die 8p Bewertungen von K. Ich weise nun die Bedingung b) von Satz 3 durch Induktion iiber n nacho 1m Falle n = 0 folgt die Behauptung aus dem Hilfssatz. Sei also n 2: 1, seien p, ql, ... ,qn E P verschieden, und sei ao E R mit op (ao) = 1 und Oq. (ao) = 0 fiir 1:S v :S n - l. 1st Oqn (ao) = 0, so setze ich a = ao j andernfalls wahle ich ein Element ,8 E R mit op(,8) 2: 2, Oq. (,8) 2: 1 fur 1:S v :S n - 1 und Oqn (,8) = 0 (ein solches gibt es, da p2ql ..... qn-l g.g.T. endlich vieler Elemente o(,8j) ist). Dann leistet a = ao +,8 das Gewiinschte. D

Bemerkungen. 1) Satz 5, ii) war bereits Skula bekannt [9, p.249]' der erste vollstandige Beweis

wurde allerdings erst von U. Krause [6] gegeben. Der hier gegebene Beweis beruht im wesentlichen auf den 1deen von U. Krause.

80 Halter-Koch

2) Skula [8, 4.7] bewies, daB jede Divisorentheorie eines Ringes eine ({31 )-Divisorentheo­rie ist. Der hier gegebene Beweis von Satz 5, iii) ist einfacher und bildet gemeinsam mit Satz 3 einen neuen Beweis des Approximationssatzes fur Krullringe [1, ch.VII, §1.5].

5. Fur die Diskussion verallgemeinerter Strahlklassenhalbgruppen bzw. Hilbert'scher Halbgruppen im nachsten Abschnitt benotige ich eine Verallgemeinerung des Chinesischen Restsatzes durch Berucksichtigung von Signaturen.

Satz 6 (Chinesischer Restsatz mit Signaturen). Sei Rein kommutativer Ring mit Eins. Seien r, s ~ 0, II' ... ' Is Ideale von R mit Ii + Ij = R fur alle 1:=::: i < j :=::: s und WI, ... , Wr : R ~ R verschiedene Ringmonomorphismen. Seien a1, ... , as E R und (l1, ... ,(lr E{±1}i danngibteseinElement aER, so daB a=:=aj modIj fur l:=:::j:=::: s und sign wi(a) = (Ii fur 1:=::: is r.

Beweis. Fur r = 0 ist das gerade der gewohnliche Chinesische Restsatz [7, ch.II, §2]. 1m Fane r ~ 1 ist Rein Integritatsbereich; sei K ein Quotientenkorper von R. Dann haben die Wi Fortsetzungen zu Korpermonomorphismen wi: K ~ R, und nach dem Dedekind'schen Unabhiingigkeitssatz [7, ch.VIII, §4] sind WI, ... , Wr linear unabhiingig uber JR. Die Menge

ist ein IQ-Vektorraum, und fR = R r (andernfalls gabe es ein R-lineares Funktional o i= f : Rr ~ R mit f(f) = 0, im Widerspruch zur linearen Unabhangigkeit von WI, ... ,wr ). Daher gibt es ein e E K mit sign Wi( 0 = (Ii fur 1:S; i :s; r; ist e = ",,,-1 mit ,',," E R, so folgt ,= ,"2~ E R und sign Wi(r) = (Ii fur I:=::: i:=::: r.

Nach dem Chinesischen Restsatz gibt es Elemente {3, /j E R mit {3 =:= aj mod Ij und /j =:= 0 mod Ij fur alle 1:=::: j :=::: s. Fur genugend groBes N E N hat dann a = {3 + N,/j2 die gewunschte Eigenschaft. D

6. Ich komme nun zur angekundigten Verallgemeinerung von Strahlklassenhalbgruppen und Hilbert'schen Halbgruppen [4, Beispiele 2 und 4].

Definition 4. Sei Rein Dedekindring. Ein Zykel M von R ist ein formales Produkt

M =MOW1· ... ·Wr

aus einem Ideal Mo von R und r ~ 0 Ringmonomorphismen WI, ... , Wr : R ~ JR (genannt reelle Einbettungen von R). Zwei Elemente a, {3 E R heiBen kongruent modulo M, a =:= {3 mod M, wenn a =:= (3 mod Mo und sign wi(a) = sign Wi({3) fur alle 1:=::: i :=::: r. Fur a E R bezeichne [a]M die Kongruenzklasse von a modulo M und R/ M die Menge aller Kongruenzklassen modulo M. Offensichtlich ist R/ M ein multiplikatives Monoid, und ich bezeichne mit (R/ M)X die Gruppe der invertiblen Elemente von R/ M.

Halter-Koch 81

Hilfssatz 2. Sei Rein Dedekindring und M = MOWI ' .... Wr ein Zyke1 von R. Dann gilt:

(R/M)X = {[O]M 10 E R, oR + Mo = R} .

Beweis. Ist [O]M E (R/ M)X, so gibt es ein {3 E R mit o{3 == 1 mod M; daraus folgt o{3 == 1 mod Mo und daher oR + Mo = R.

Sei umgekehrt oR+Mo = R und {3o E R mit o{3o == 1 mod Mo. Nach Satz 6 gibt es ein {3 E R mit {3 == (3o mod Mo und sign Wi({3) = sign Wi(O) fur aHe 1 S; i S; r. Daraus folgt aber o{3 == 1 mod M und daher [O]M E (R/ M)x. 0

Definition 5. Sei Rein Dedekindring, M ein Zykel von R und r c (R/ M)X eme Untergruppe. Dann nenne ich

HJt',r) = {o E R I [O]M E r}

eine verallgemeinerte Hilbert'sche Halbgr.uppe. Die Gruppe der invertiblen Elemente von HJt',r) ist gegeben durch (HJt',r») x = HJt',r} n RX, und die assoziierte reduzierte Halbgruppe

iIJt',r} = HJt',r) /(HkM,r»)x

ist isomorph zur Halbgruppe aller Hauptideale oR mit [O]M E r. Ich nenne iIkM,r) eine verallgemeinerte Strahlklassenhalbgruppe.

B emerkungen. 1) Ist R der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkorpers, M ein Zykel von

R und r = {[I]M}, so ist iIkM,r) gerade der Strahl modulo :F im Sinne der Klassenkorpertheorie [5, §4].

2) 1st R = Z, 00 = (Z '---7 JR), fEN, f 2: 2 und r = {[l]fZ,oo }, so ist

HifZ.oo,r) = 1 + fNo die gewohnliche Hilbert'sche Halbgruppe modulo f in N, und HifZ.oo,r) ~ iIUZ,{l+fZ}) .

Satz 7. Sei Rein Dedekindring und M = MOWI . . . . . Wr ein Zykel von R mit einem Ideal Mo von R und reellen Einbettungen WI, . .. , Wr (r ~ 0) .

i) 7f: (R/ M)X -t (R/ Mo)X, denniert durch 7f([O]M) = 0 + Mo, gibt AnlaB zu einer exakten Sequenz

o -t (Z/27!.,r -t (R/Mr ~ (R/Mo)X -t 1.

ii) Ist r c (R/ M)X eine Untergruppe, so ist HJt',r) eine Krullhalbgruppe und hat die Approximationseigenscbaft.

Beweis. i) Offensichtlich ist 7f ein Gruppenepimorphismus mit

ker(7f) = {[O]M 10== 1 mod Mo},

82 Halter-Koch

und s : ker(1I") -t {±lY, deminiert durch S([alM) = (sign WI (a), ... ,sign wr(a)) , ist ein Gruppenmonomorphismus. Die Surjektivitiit von s folgt aus Satz 6.

ii) Sei I~) die Menge der zu Mo primen Ideale und p~) die Menge der zu

Mo primenPrimidealevon R. Dannist I~)=.r(P~»), und 8:H~,r)-tIkM), definiert durch aa = aR, ist ein Divisorhomomorphismus. Ich zeige, daB a die Bedingung b) von Satz 3 erfiillt. Seien p, qI, ... , qn E p~) verschiedene Primideale und 11" E p\p2q1 ..... qn. Nach Satz 6 gibt es ein a E R mit a == 11" mod p, a == 1 mod qll

fur 1 ~ v ~ n und a == 1 mod M; also ist a E HkM,r), ap(a) = 1 und aqv(a) = 0 fur 1 ~ v ~ n. 0

LITERATUR

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FRANZ HALTER-KoCH,

INSTITUT FUR MATHEMATIK,

KARL-FRANZENS-UNIVERSITAT,

HALBARTHGASSE 1/1, A-8010 GRAZ, OSTERREICH.

Eingegangen am 9. Oktober 1990