Ein neuer Beweis für die Hauptsätze der allgemeinen Idealtheorie

Ein neuer Beweis fiir die Hauptsiitze der allgemeinen Idealtheorie.

Von

Wolfgang KrulI in Freiburg i. Br.

Wohl als der wesentliehste Satz der von E. Noether in dar Arbeit ,,Idealtheorie in Ringbareichen" 1) entwickelten allgemeinen Idealtheorie kann das folgende Theorem angesehen warden: ,,Jedes Ideal ldfit sich als kleinstes gemeinschafltiches Viel]ache~ yon endlich vielen zu verschiedenen Primidealen gehSrigen Primiiridealen darstellen. Bei zwei verschiedenen derartigen Zerlegungen stimrat die Anzahl der Komponenten iiberein, und bei geeigneter Numerierung geh6ren entsprechende Primdrideale zum selben Primideal." In der vorliegenden Note soll gezeigt warden, wie man diesen Fundamentalsatz, sowie die aus ibm folgenden Eindeutigkeitss~itze auf ver- h~Itnism~ig sehr elementare Weise durch Einfiihrung und weitgehende Beniitzung des Idealquotientenbegriffs ableiten kann. Ferner sotlen, eben- falls mi~ Hilfe des Idealquotienten, einige fundamentale Begriffe der Ideal- theorie in neuartiger Weise definiert werden. Dabei ist es nicht nStig, wie in dar Noetherschen Arbeit, attf die Zerlegung eines Ideals in irredu- zible Komponenten zuriickzugehen, und es miissen daher auch keine modul- theoretischen Uberleg~angen herangezogen werden. Dafiir tritt der Begriff ,,relativ prim", den E. Noethar arst an ziemlich sparer Stelle einfiihrt, von vornharein stark in den Vordergrund.

Die ttauptpunkte des folgenden Beweisganges sind so formuliert, dal] sie auch ohne Kenntnis der Noetherschen hxbeit varst~indlich shad. Hin- gegen wird im einzelnen verschiedentlich auf Noetharsche Resul~ate Bezug genommen. Dadurch wird es mSglich, unter blotter Skizzierung des Neben- s~ichlichen das Wesentliche um so sch~irfar hervorzuheben.

i) Math. AnnaIen 83 (192I), S. 23--66. Diese Arbeit wird im folgenden kurz mit ,N." zitiert. - - Der zugrunde gelegt~ Bereich geniigt der Endlichkeitsbedingung, da~ jades Ideal eine Ideatbasis besitzt, oder was damit identisch ist, dab der Satz yon der endlichen Kette gilt (N. w I, Satz I).

56 W. KraU.

w

Zerlegung eines Ideals in gr~llte Prim~rideale.

Will man den in der Einleitung formulierten Fundamentalsatz auf m6glichst kurzem Wege beweisen, so wird man yon vornherein den Begriff des Primdrideals und seines zugehSrigen Primideal8 o.) einfiihren. Diese Einfiihrung kann genau in derselben Art erfolgen wie in w 4 tier Noether- schen Arbeit. Ebenfalls mit HilfsmitteIn der Noetherschen Abhandlung beweis~ man alsdann:

Sa~z i. Jedes Ideal a ldfit sich als kteinstes gemeinscha/tliches Viel- /aches von endlich vielen zu verschiedenen Primidealen geh6rigen PrimSr- idealen darstellen.

Der Beweis yon Satz 1 vollzieht sich in drei Schritten:

a) Jedes nicht prim(ire Ideal ist reduzibel, d.h. als kleinstes gemein- schaftliches Vielfaches yon echten Teilern darstellbar. (Vgl. N. w 4, Satz VI).

b) Jedes Ideal ldfit sich als kleinstes gemeinscha/tliches Viel]aches vo~ endlich vielen Primdridealen darstellen.

Der Beweis yon b)wird auf Grund yon a) genau so gefiihrt, wie der Beweis yon Satz II (w 2 S. 33) der Noethersehen Arbeit, wo gezeigt wlrd, dab sich jedes Ideal als kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches yon irredu- ziblen 2dealen darstellen liii~t. Man braueh~ nur die WorSe ,,reduzibel" und ,irreduzibel" dutch , ,nichtprim~" und ,,primer" zu ersetzen. Der in der Noetherschen Arbeit verwandte Hilfssatz I l~i~t sich, wie leicht zu sehen, fiir unsere Zweeke (und ebenso fiir !~. Satz 22) etwas vereinfachen. Es geniigt n/~m]ich der Nachweis, dab man in einer Darstellung a o - - [151, all stets a I so w~hlen kann, da$ die Darstellung hinsichtlich a 1 reduziert ist (d. h., daI3 man al durch keinen echten Teller ersetzen kann), und dab ferner a o ~ [bl, b~, . . . , b~, a~] eine hinsichtlich a~ reduzierte Darstellung von a o ist, falls allgemein ai=[151+~, ai+1] eine hinsichtlich ai+ ~ redu- zierte Darstellung von a~ bedeutet (i ~ 0, 1, . . . , 1 ~ 1).

Die Primiirideale, die bei einer Darstellung des Ideals a im Sinne yon b) auftreten, brauchen nicht notwendig alle z~ verschiedenen Prim- idealen zu gehSren. Wir zeigen daher weiter:

2) FAn Ideal wird Primideal genannt, wenn ein Produkt yon Idealen nur dann durch das Ideal toilbar ist, wenn da~cselbe yon mindestens einem Faktor g//t; es he//]t Primiixideal, wenn aus der Teilbarkeit eines Produktes yon Idealen dutch das Ideal die Teflbarkeit eines Faktors oder einer endliehen Potenz jedes Faktors folgt (N. Def. ]:Ha). Zu jedem Primi~rideal q gehSrt ein eindeutig bestimmtes Primideal p, das aus der Gesamthei~ aUer~er Elemente besteht, yon denen eine endliche Potenz durch q ted/bar ist. - - Als den Exponenten yon q bezeiehnet man die kleinste natiirliche Zahl ~, fiir die ~e dutch q teilbar wird (N. Satz V).

Haupts~ze der allgemeinen Idealtheorie. 57

e) S ind q~, q ~ , . . . , qz Primdrideate, so ist [ql, q~., . .- , qz] dann und nur dann primdr, wenn alle q~ zum selben Primideal p gehSren, und zwar geh6rt in diesem ~alle auch [q~, q~, . . . , qz] zu O.

Der Beweis dieses Satzes ist im wesentlichen mit dem Beweis yon Satz VIII (N. w 5, S. 42) identisch. (l~'ur der letzte Tell jenes Beweises, bei dem yon reduzierter Darstellung die Rede ist, hat bier wegzubleiben.)

Aus a), b), e) ergibt sich die Riehtigkeit yon Satz 1. hus e) folgt noch, dab eine Darstellung yon a i m Sinne yon Sntz 1 als eine ,,Dar- stellung von a dutch grSl~te Prim~rideale" bezeichnet werden kann, d.h. als eine solche, bei der das kleinste gemeinschaftliche Vielfache irgend- welcher verschiedener Komponenten nicht mehr prim~ix ist.

w

S~itze fiber den Idealquotienten.

Sind a und b zwei beliebige Ideale, so soll unter dem Quotienten a" b die Gesamtheit aller derjenigen Ringelemente c verstanden werden, ffir die c-b ~ 0(a) ist. a ' b ist ein Ideal, und zwar ein (echter oder un- echter) Teiler yon a. Es ist mit dem aus allen Ringelementen bestehen- den Einheitsideal o identisch, wenn b ein Viel/aches yon a ist. ( a ' b ) - b ist ein (i. a. echtes) Viel/aches yon a. Ist a ' b = a, so heifit 5 zu a relativ prim.

Satz 2. Fi~r das Rechnen mit Idealquotienten gdten /olgende, aus der Quotientende/inition leicht ableitbare Regeln"

a) Ist 5 ~ 0 ( b l ) , so ist a - 5 1 ~ 0 ( a ' b ~ ) . b) Es ist ( a : b l ) - b ~ = a : ( b l - b ~ ) = ( a - b ~ ) - b j. r [ a l , . . . , a ]:5 = o '5, . . . ,

d) I} 1- 1~ und [51, 1~] sind dann und nu t dann zu a relativ prim, wenn das gleiche sowohl von b 1 als auch b~ gilt a).

e) Ist b~ zu a relativ prim, so ist a . [ b 1, b2] :-= a'b~.

a) uad b) sind selbstverst~indlich. Der Beweis der fiir das Folgende sehr wichtigen Formel c) ergibt sich so" Ist c ~ 0 ([a~, . . . , a~]" b), so ist c - b - - ~ 0 ( [ a , , . . . , a z ] ) , also c . B ~ _ O ( a , ) ( i = l , 2 , . . . , 1 ) , es ist also [ax, . . . , az]- b ~ 0 ([a 1 - ~ , . . . , az: b]). Ist umgekehrt c. 5 ~ 0(ai) ( i = 1, 2 , . . . , l), so ist c-5 ---- 0([a 1, . . . , al] ), und daraus folgt [a 1- 5 , . . . , az: 5] ~ 0 ( [ a ~ , . . . , a z ] - b ). Um d ) z u beweisen, nehmen wir zun~iehst an, es sei a - 5 l = a : b ~ - a . Dann ist nach b)" a , : ( b ~ . b ~ ) = a and wegen b~.b~ ~ 0([51, b~]) naeh a) auch a'[]51, 5~]---- a . . Ist andererseits etwa a:b~ ~-a~, wobei a~ ein echter Teiler yon a ist, so stellen nach a) auch

a) Vgl. N. w 6, Satz X 2, S. 45.

58 W. Krull.

a : ( b l . l ~ ) und a:[51, t~] echte Teiler von a dar. Die Riehtigkeit yon e) scb]iei~lich sieht man folgendermal3en ein: Nach a ) i s t a :b l ein Vielfaches von a : [I~ 1, be]. Andererseits ist, ebenfalls nach a), a: (bl- l~e) ein Teiler yon a: [51, l~]. In unserem Falle ist a : ( b l . ~ ) ~- a:I~ ~. Es ist daher gleich- zeitig a : 5 ~ 0 ( a : [ b ~ , b . ~ ] ) , ~: [bl,l~] ~ 0 ( a : ~ ) , also a:[Ih, b~] = a : 5 ~.

Sa tz 3. /st q ein zum Primideal p gehdriges Primiirideal mit dem Exponenten ~o, und bedeutet a ein beliebiges, nicht dutch q teilbares Ideal, so ist q : a prim6r und gehSrt zu ~. q : a ist dann und nu t dann yon q verschieden, d .h . a ist dann und nut dann nicht zu q relativ prim, wenn a dutch p teilbar ist. In diesem letzteren FaUe besitzt q : a hdchstens den Exponenten ~ -- 1. ~)

Zum Beweise yon Satz 3 beaehte man, dab aus der Definition des Prim~ideals und des zugehSrigen Primideals sich unm_ittelbar folgende Tatsaehe ergibt: Ist a @ 0 (p), so ist q : a ---- q. ~) Ferner ergibt sich, dab fiir beliebiges a @ 0 (q) stets q : a ~ 0 (p) sein muB. Ist weiterhin b - c . a ~ 0 ( q ) , so ist entweder eines der Ideale 5 und c, etwa c, nieht dutch p teilbar. Dann ist sieher b ~ 0 (q :a) . Oder es ist sowohl c als auch ~ dutch p, also sowohl eine endliche Potenz yon c, als auch eine solehe von b dutch q und mithin durch q : a teflbar, q : a besitzt daher die charakteristisehen Eigenschaften eines prim~ren Ideals. Da ferner V e t O ( q ) , also auch p e ~ ( q : a ) , und, wie oben bemerkt, q : a ~ O ( p ) ist, so mu~ q zu p gehSren. Ist schlieBlich a ~ .0(p) , so ist p e - ~ - a ~ 0(pe), also p e - ~ . a ~ 0 ( q ) , also p e - l _ ~ 0 ( q : a ) . Der Exponent yon q : a ist daher in diesem Falle hSchstens gleich ~ ) - 1. Die Behauptungen yon Satz 3 sind nunmehr vollst/indig bewiesen.

Aus Satz 3 oder auch direkt aus der Definition des Prim~a'ideals ergibt sieh die wichtige Folgerung, dab das zum Primideal Pl gehSrige Prim~irideal q~ zu dam zum Primideal po. gehSrigen Primgrideal q~ relativ prim ist, falls V~_~_0(po.) ist. Denn aus c q ~ 0 ( q ~ ) folgt, da naeh der Voraussetzung keine Potenz von ql dutch qe teilbar wird, stets c ~ 0 (q.2)-

w Der Fund~mentalsatz und seine Folgerungen.

Die in w 2 abgehiteten S/~tze ermSglichen uns in Verbindung mit den Ergebnissen yon w 1 den grundlegenden Eindeutigkeitsbeweis:

4) Satz 3 finder in der vorliegenden Note waiter keine Verwendung mehr, e r

dfiffte abet an und ffir sich yon Interesse seim Die Bemerkung, dab die Benutzamg yon Satz 3 bei verschieden6n Beweisen der vorliegenden Note (Fundamentalsatz, Satz 4) iiberfliissig ist, verdaaake ich E. Noether. Die Verwaudullg yon Satz 3 beim Beweise des Fundamentalsatzes macht diesen Beweis atlerd~ings iibersichtlicher (vgl. Anm. ~)).

5) VgL die Definition des Prim~rideals in Anm. ~) !

Haupts;4tze der allgemeinen Idealtheorie. 59

. . . , q'l zwei F u n d a m e n t a l s a t z . S{nd a-~- [ql ' %' qz] = [q;" q~, " " , z J kiirzeste 6) Darstellungen yon a dutch gr6fite Primdirideale, und bedeutet

! p~(p') das zu q~(q~) geh6rige Primideal, 8o ist l ' = l, und bez" geeigneter Numerierung sind pi und p" (i-= 1, 2 , . . . , l) identisch:).

A_us der beim Beweise yon Satz 1 gemachten Bemerkung c) ergibt sich, angesiehts der Tatsache, dab es sich um grS[3te Prims handelt, die Richtigkeit des Fundamentalsatzes fiix l ~ -1 . Es ist also nur noch seine Giiltigkeit flit 1 :> 1 zu zeigen unter der Voraussetzung, dal~ sie fiix 1 - 1 bewiesen ist. Zuns nehmen wir an, fiir l ~ l' lasse sich p~ so w~ihlen, daI~ unter den Primidealen Pi und p~ kein echter Teiler von Pz a~aftritt. Welter dad dann unbedenklich vorausgesetzt werden, dab keines der Primideale p~, p~ , . . ' ' ' "' P~-i mit p~ identisch ist. Wit bilden dann:

!

, , . " ' " % - 1 '

Da der Fundamentalsatz nach Vor. fiir l -~ 1 gelten soll, da ferner [ql, qo.,-.-, ql-1] offenbar eine kiirzeste Darstellung von a 'qz , und da

P ! schliel~lich l':> l, also l ' :> 1 - 1 ist, so muB eines der Ideale q~, % , . . . , ! P qz ' - l , qz" qz im kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen der iibrigen nul-

l- , , gehen. Weft abet Lql , - . . , qz'] eine kfirzeste Darstellung von a ist, so �9 t fotgt aus dem eben Festgestellten, dab qz' "q~ ein echter Teiler von ql',

und da~ a ' q ~ : [ q ~ , . . . , q~'-l~ sein muff g). Unter unseren Vor. ist

daher p ~ : 0(p; ,) , und da p~, kein echter Teller von Pz sein kann, so p mu~ p ; , : p~ sein, und es ist [q~, , . . , ql'-~] ebenso wie [q~, . . . , ql-~] eine

kiirzeste Darstellung von a" qt. Daraus folgt l ' -- 1 ~ 1 -- 1, also l ' ~ l, und weiter ergibt sich, dab bei geeigneter Numerierung p~-~ p" 1 , 2 , . . . , 1 - 1) sein muB. Da die Gleichheit yon p~ und p~ bereits bewiesen war, so sind wit damit am Ziel.

Es ist nut noch zu zeigen, dab Pz so g e w ~ l t werden kann, da~ unter den Idealen p~, p ~ , . . . , p~, kein echter Teiter von Pz auftritt. Sollte eine solche Wahl nicht mSglich sein, so miiBte sich p~, so bestimmen tassen,

~) D. h. kann keine der Komponenten q~ bzw. q~ einfach weggelassen werden. 7) Vgl. N. Satz IX, S. 44. 8) Man beachte die Bemerkung am Sehlusse yon w 2! s) Diese Tatsache folgt unmittelbar aus Satz 3; sie kann aber auch ohne Be-

niitzung dieses Satzes durch Auft6sung von qf'l :q~ in grSflte Prim[iridea]e (was ja nach Satz 1 stets mSglich ist) erkannt werden, wobei zu beachten ist, dal~ die auf- tretenden Primideale yon p~, . . . , pS~ -1 verschieden ausfallen mfissen.

60 W. Krull.

# #

ds~ keines der Ideale P l , " ' , Pz'-l, P l " " ", Pz ein (echter oder uneehter) Teiter yon p~, w~e. Dann abet hitte man:

[q �9 ] ' l-q' ' ]

= {q q , ] - a , 1 �9 "..,

es wire mithin [q'1' "" "' q',lz J gegen Vor. keine ldirzeste Oa~stellung yon a .

Die Wahl yon Pz ist daher stets in der angegebenen Weise mSgtich, der Fundamentalsatz ist also richtig. Die eindeutig bestimmten Primideale Pl, P~, -- . , Pz sollen als ,,die zu a geh6rigen Primideale" bezeichnet werden.

Satz 4. a ist zu dem yon D verschiedenen ideal b dann und nu t dann relativ prim, wenn keines der zu a geh6rigen Primideale dutch eines der zu 5 gehSrigen teilbar ist 1o).

Es seien Pl, Po., . . . , Pz die zu a, p~, p~, . . . , p;, die zu 5 geh5rigen Prim- ideale. Es existieren d~nn zwei kiirzeste Darstellungen a ~ [ql, %, ---, qz];

# 5~-[q~,q'o., -- . , q~-',], wobei q,(q,) zu p~(p~) gehSrt. Ist nun kein p~ dutch ein p~ teilbar, so ist nach einer am Schlusse yon w 2 gemachten Bemerkung jedes q/ zu jedem q' relativ prim, und daraus folgt mit Hilfe k der Formeln b) und c) yon Satz 2, daJ] auch a zu 5 relativ prim sein muB. Ist umgekehrt etwa Pl dutch p~' teilbar, so ist p~, also a fortiori a zu b nicht relativ prim. Bedeutet n/imlich ~ den Exponenten des

# , F Primirideals ql' so ist p~e also auch p~ dutch ql teilbar. Man hat da- t # l

daraus [q~,. q;,] ~ 0(5" e , # "" "Pl )" [q,, . . . , q~.] is~ aber sicher ein echoer Teiler yon ~, weil [ql, " " , q"]zJ nach Vor. eine kiirzeste Darstellung von

bedeutet. Daher mui~ b" p~ und wegen der Gleichung 5 " p ~ : (5 "pl) 'p~ -1 auch b ' p l ein echter Teiler yon b sein.

Im folgenden wollen wit unter einem , ,Komponentenideal yon a'" das kleinste gemeinsehaftliche Vielfache yon irgendwelchen k Prim~idealen verstehen, die bei irgendeiner Darstellung yon a im Sinne des" Fundamental- satzes auftreten. Ein Komponentenicteal wird i. a. dutch seine zugehSrigen Primideale nieht eindeutig bestimmt sein. Es gilt ~ber:

Satz 5. Ein Komponentenideal a 1 yon a ist dutch seine zugehSrigen Primideale eindeutig bestimmt, wenn es ]olgender Bedingung geni~gt:

Ist P1 ein beliebiges zu al , P ein zu a gehSriges Primideal, und ist p ~ 0 (Pl),

~0) Vgl. N. Satz XI, S. 46 f. Der wesent]Jche Unterschied yon tier Noethorschen BeweisfRhrung liegt darin, da~ im Text keinertei Vor. fiber Reduzierthei~ der Darstellung gemacht wird; es gelingt dies dutch Hereinziehung des Idealquotienten.

Unter o is~ nachw 2, wie fiblich, ~las aus ~Z~ ~ingelementen bestehende Ideal z u verstehen.

HauptsKtze der allgeaneinen Idealtheorie. 61

so geh6rt auch p zu a 1. a 1 soll in diesem Falle als ,,isolierles Kompo- nentenideal yon a" bezeichnet werden11).

! Es seien n~mlieh a = [a 1, %] = [a 1, a~] zwei kiirzeste Darstellungen yon a im Sinne des Fundamentalsatzes und insbesondere sei a~ das dem isolierten Komponentenideal a 1 bei der zweiten Darstellung entspreehende Ideal, man habe also etwa: a l ~ [ql , q2, '" ", ql, ]; as---~ [qtl+l, qz,+~, -" ", q~];

' ; ' , [ , , a l - - [ q , clo, . . . , q[~]', a ~ = qtl+x, qz,+~, "- ' , q;], wobei die Prim~rideale

qiund q~ jeweils zum selben Primideale p, gehSren, und die Ideale Px, po., � 9 Pz s~imtlieh versehieden sind. Dann ist % naeh Satz 4 sowohl zu a 1 als aueh zu a~ relativ prim, und es gilt mithin:

�9 ' " ' " ' " ~ ] = a l " a ~ = a l ,

a~' ist also ein Teiler yon al. Ganz genau so fmdet man dutch Bildung : ' s e i n mul~, d. h. es ist, entspreehend von a a~, dal3 a~ ein Teiler von a 1

P der Behauptung unsres Satzes, a~ = ax. Zu jedem zu a gehSrigen Primideal p gibt es ein ausgezeiehnetes Kom-

ponentenideal a(~ ) , das den grSl~ten gemeinschaftlichen Teiler aller derjenigen isolierten Komponentenideale darstellt, zu denen das Primideal p gehSrt. a(~ ) soll als ,,das dutch p bestlmmte isolier~e Komponentenideal" be- zeiehnet werden. O]]enbar gehSren zu a(~ ) alle und nut die]enigen Prim- ideale, die zu a gehSren und dutch das Primideal p teilbar sind.

Sa tz 6. Sind a = [ql, q~, '" ", q~] und a = [q; , q~ , . . . , q;] zwei ki2rzeste

DarsteUungen yon a dutch grSflte Prim(irideale, und gehSren qr und q~ jeweils zum selben Primideal Pi, so ist

! ] a = [ql, . . . . , q,-1, q', q,+~, . - . , q~] = [ q ; , - - . , q,-1, q,, q , + ~ , - . - , q ; ] - " )

Der Einiaehheit halber fiihren wit den Be~reis flit qa ~ cir. Es sei �9 I [ctl, cl~,. "',~qz,] = [q;, qs, " " , qz,], das dutch Pl bestimmte isolierte Kom-

ponentenideal von a. Dann werden, wie ]eieht zu sehen, aueh [%, . . . , qt,] P ! und [ qs, " " , qz, ] isolierte Komponentenideale von a und folglieh identisch.

Daraus Iolgt abet:

[~ ] = [ q ; ] [q' , , ] = [ q , , ] l ' q ~ , ' " , q l ~ , % ' " " q z , = 1 ' % ' " " q ~ l ' % " ' " q z ~ '

a~o au~h [q: , %,. . . , q~] = [ql , ~ ' " '" q;] = a. Mit HiIfe von Satz 4 und Satz 5 gelangt man leicht zur Zerlegung

eines Ideals in kleinste is) gegenseitig relativ prime Ideale. Die Existenz

n) Vgl. N. w 7. Def. Via und Satz X_HI, S. 49f. x~) Vgl. N. w 4, S. 41. Man beaohte, dal~ Satz 6 bier an ganz anderer Stelte

auftritt als in der Noetherschen Arbeit! ~s) D. h. solche gegenseitig relativ prime tdeale, die sich nicht ilarerseits wieder

als kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches von gegenseitig relativ primen echten Teilern darstellen lassen.

62 W. K~At.

der Zerlegung beweist man genau wie bei N. w 6, S. 47 f. dutch Einteilung der zu a gehSrigen Primideale in Klassen, die die Eigenschaft besitzen, dai~ kein Primideal der einen Klasse durch eines einer anderen teilbar ist, und dab au~erdem keine Klasse sich in zwei echte Unterklassen der gleichen Art spalten l~[~t. DaB die dieser Einteilung entsprechenden Kom- ponentenideale gegenseitig relativ prim und isoliert und daher eindeutig bestimmt sind, erhellt sofort aus Satz 4 und 5 und aus der Eindeutigkeit der oben gekennzeichneten Klasseneinteilung. Ebenso ist klar, dal3 die er- haltene Darstellung von a eine solche dutch ,,kleinste" gegenseitig relativ prime Komponenten ist.

Es sei nun a - : [a 1, a~ , . . . , aM], wobei die a~ gegenseitig relativ prim sind, und kein a i sich als kleinstes gemeinsehaitliches Vielfaches von gegenseitig relativ primen echten Teilern darstellen l~il~t. Dann mfissen die a i mit den oben eingefiihrten isolierten .Komponentenidealen iiberein- stimmen. Zun~chst ist n~iznlich die Darstellung a = [a 1, a s , . . . , aM] hin- sichtlieh jedes a~ reduziert, es l~il~t sich kein a i dutch einen echten Teiler

P ersetzen. Hat man n~mlich: a ~ [a~, a~, . . . , a ~ , wobei a I einen Teller von a~ bed.eutet und mithin zu [a~.,..., a ~ relativ prim ist, so folgt aus Satz 2 c) die Gleichung:

�9 P . ~ !

Es sei nun ~ - : [q~,, q~, . . . , q~z,] eine kfirzeste Darstellung yon a~durch ~51]te Prim~rideale, Pik sel das zu q~k gehSrige Primideat. Dann kann man aus der Reduziertheit der Darstellung [a~, G. , - . - , a m] unmittelbar schliel~en, dal~ Pik ( i ~ 1, 2 , . . . , m ; / ~ - 1, 2 , . . . , L) die Gesamtheit der zu a gehSrigen Primideale darstelIt. Aus Satz 4 und den fiber die a i ge- machten Vor. ergibt sich welter, dal] die Ideale Pi~ (i lest;/r ~ 1, 2, . . . , l~) gerade die Primideale einer der oben eingefiihrten Klassen sin& Die a i sincI daher mit den oben eingefiihrten gegenseitig relativ primen isolierten Kom- ponentenidealen identiseh, und wir kSnnen somit zusammenfassend sagen:

Satz 7. Jedes Ideal ldfit sich in eindeutiger Weise als kleinstes ge- meinscha/tliches Viel/aches yon kleinsten gegenseitig relativ primen Idealen darstellen l*).

ttiermit w~ren die wesentlichen S~tze der allgemeinen Idealtheorie, bei denen das Zurfickgehen auf die Primi~rideale erforderlich ist, bewiesen. Im iolgenden Paragraphen sollen noeh einige Bemertmngen fiber die iso- lierten Komponentenideale gemaeht werden.

~) Vgl. N. w 6 Satz XII, S. 49.

Hauptsgtze der allgemeinen Idea!theorie. 63

w

B e m e r k u n g e n fiber die isol ierten Komponenten idea le .

S a t z 8. S i n d a und b zwei beliebige Ideale, so ist a" b dann und

nu t dann gleich a" b ~, wenn a" b =: a 1 isoliertes Komponentenidea! yon a oder (z. B . i m Falle der Teilbarkeit yon 5 durch a) mit o identisch ist.

Ist a 1 ein beliebiges isoliertes Komponentenideal yon a, ohne mi t a identisch

zu sein, so existiert stets ein Ideal b, das der Gleichung a" b -~ a 1 geniigt:

Es sei a~ - [q~ , q~, . . . , q~] eine kiirzeste Darstellung yon a durch grSBte Prim~ideale. Sind alsdann ql ' q ~ ' ' ' " qt~ diejenigen PrimgrideaIr unter den q~, zu denen b relativ prim ist (0 ~ / 1 ~ 1), so stellt, wie aus der Definition der isolierten Komponentenideale folgt, [ql, %' " " , q~] ~- a~ ein isoliertes Komponentenideal yon a oder (ira Falle l~ -~ 0) das Einheits- ideal dar, und es gibt einen endlichen Exponenten 0, so da~ a - b e ~ a~ wird. (Zu der letzten Tatsache vgl. den Satz 4.) Ist ~ der niederste Ex- ponent dieser Art, so ist a" b e:---- a" b e + I ~ a :b e+~ . . . . , wghrend die Quo- tien a" b, a- b ~ . . . , a" b e-~, a" b e alle verschieden ausfallen. Es wird also a ' b e ~ - a - ( b e ) ~ gleieh einem isolierten Komponentenideal yon a oder gleich o, und aus a ' b = a ' b ~ folgt ~ = 1 , also a ' b - ~ a ~ oder o.

Ist andrerseits a" b ~ a~ ein isoliertes Komponentenideal yon a, sa mul~ a ' b ~ a - b ~ - a ' b 3 ~ - . . . sein. Es sei n~imlich a ~ [ a l , a~]----- [[qi, % , ' - - , qz~], [qz~+i, qz,+~,'" ", q~]] eine kiirzeste Dar~tellung yon a im

Sinne des Fundamentalsatzes. Dann ist a~-a~ ~ al und nach Vor. habea wit a : 5-----a~. Nun ist abet a~ : ( a~ 'b ) ein Vielfaches yon a l : a ~ und wegen der Gleiehung a l : a ~ = a~ iolgt daraus a l ' ( % ' b ) = a l , d .h . a~-b ist zu a 1 relativ prim. Aus dieser Tatsaehe ergibt sich abet angesichts der Gleichung [ax 'b , a~ "hi = a 1 und der daraus folgenden Kongruenz (a~ : ~)- ( ~ - b) ~- 0 (a~), d~.B a 1 �9 b ~ 0 (a i ), also a 1 : b = a 1 sein mu~. Wir

haben daher a" 5 -~ a i ~ a~- b, also a : ]5 ~ == a~" b ~ ~- a~; a" bs _~ al" ba ~ al USW.

Es existiert schlie~lich zu einem beliebigen isolierten Komponentem ideal a~ =~ a ~) yon a stets ein Ideal b, so dab a" b ~-a~ wird. Es sei n~im!ieh a -~ [q~, % , . . . , q ~ ] ; a~ ----- [q~, % , . . . , q ~ ] (/~ <: l), wobei allgemeim

~) Dal3 die Vor. al ~ a nStig ist, wenigstens fiir Ringe ohne Einheitselement, zeigt das folgende Beispiel: Der betrachtete Ring besteho aus der Variabeln x und ihren rationalen Vielfachen (natiirlich einschliel~Iieh der 0). Die Multiplikation sei dureh m ~ = 0 charakterisiert, so dab also das Produk~ zweier Ringelemente stets verschwindek In diesem Fal]e ist das BIullideal primgr, und zwar stellt es das Quadrat des Ein- heitsideales o = ( x ) d a r . Man hat daher: (0): o = o =~ (0), es existiert in unserm Ringe k e i n Ideal a, das der Gleichung ( 0 ) : a = (0) Genfige leistete. Fiir Ringe mit FAnheitselement ist die Vor. al =~ a selbstverstgndlich iiberfliissig.

64 W. Krull. Haupts~tze der allgemeinen Idealtheorie.

das Primideal pi zum Prim~irideal qi gehSren mSge. Dana ist Pzl + 1" Pzl+ ~ " " "" Pz ein Ideal, das zu den Prim~iridealen qz~ + 1, qzl + ~, " " , qz

nicht relativ prim ist, wohl aber zu den PrimRrideaIen ql, q-.,---, qz~- Naeh einer oben gemachten Bemerkung gibt es dann stets einen endliehen Ex- ponenten e, so da~ flit b ~ (Ptl+l "Pz~+e " " " "Pz) e die Gleichung a" 6 ~ - a 1 besteht.

Aus den Bier abgeleiteten Eigensehaften der isolierten Komponenten- ideale ergibt sich nun sofort der Beweis von Satz 8.

S a t z 9. Ist a ein beliebiges Ideal, p ein Primideal , und ist a" pe ~_. a : pe + ~ __ aa + a~6) (ist also a~ nach Satz 8 das Einheitsideal, oder ein isoliertes Komponentenideal yon a), so gehSrt p dann und nu t dann zu a, wenn es keinen echten Teiler p' yon p gibt, der einer Gleichung a : p'e" = a~ geniigt.

Es sei ngmlich a ~ [q~, q~ , . . . , q,], a~ = [ql, q~, . . . , q,, ] (0 s l~ < 1), und es gehSre dabei das Prim~irideaI q~ zum PrimideaI p~. Dana ist er- siehtlieh [Pz~ + 1, Pt~ + e " " , Pt] der grSBte gemeinsehaftliehe Teiler aller

derjenigen Ideale p ' , die einer Gleiehung a . p , e ' = a~ geniigen. Soll nun [Pz~ + l , P~, + 2 , " ' , P~] -~ P ein Primideal sein, so ist das nut dann mSglich, wenn p mit einem der Ideale Ply+l, PJ ,+~ , ' " ,Pz identiseh ist, da sich ja p nieht als kleinstes gemeinsehaftliches Vielfaehes von echten Teilern dar- stellen lassen kann.

Ist umgekehrt p ~-pz ein zu a gehSriges Primideal, und hat man a = [[ql, %, "- ", ql,], [ qz~ + 1, qz~ + ~,-" ", qt]] = [al, a~], wobei a 2 alle diejenigen

Prim~,rideale umfal3t, deren zugeh5rige Primideale Teiler von p~ sind, so . e pe+l ., p~] ~- p~ der hat man a.p~ ~ - a " t ~-a~, und es ist [p~+~,p t ,+~, . .

gr5Bte gemeinschaftliehe Teller aller derjenigen Idea]e p', fiir die a : p ' e ' ~ a - p ' e ' + x ~ o a ist. Hieraus Iolgt zusammen mit dem ~riiher Be- wiesenen die Richtigkeit von Satz 9.

Die-Bedeutung der S~,tze 8 und 9 liegt darin, dal~ sie eine Definition der isolierten Komponentenideale, sowie der zu einem Ideal geh5rigen Primideale ermSglichen, die von der Darstellung von a durch Primgr- ideale unabh~ingig ist. (Allerdings warde beim Beweis von Satz 8 und Satz 9 yon jener Darstellung Gebrauch gemacht.)

F r e i b u r g i .B. , 8 .1 . 1923.

in) Die Vor. a~ + a ist nStig, weil sons~ jedem Ideal das Einheitsideal als zu- gehSriges Primideal zugeordnet werden miilSte. Ferner bedeutet die Annahme a1 ~- ~ a keine Beschr~nkung, well naeh Satz 4 fiir jedes zu a gehSrige Primideal p stets die Ungloiehung a: p 4 a erfiillt ist.

( Eingeg~ngen am 29. 1. 1923.)