Fourier-Reihen, Fourier-und Laplace-Transformation und ...€¦ · Fourier-Summenfunktion ist für...

11.06.2008S.1

Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack

FourierFourier--Reihen, Reihen, FourierFourier-- und Laplaceund Laplace--TransformationTransformation

undundMaschinendynamikMaschinendynamik

SchaublinSchaublin

11.06.2008S.2

FourierFourier--ReiheReihe

11.06.2008S.3

( ) ( ) ,K

k k kk

g x a g x a=

= ∈∑ �

Fourier Reihe I

f x g x x x x D x xx

1 2 2 1

− ∈ >z ( ) ( ) , , ,b g d

Minimierungsproblem:

f x a g x xk kk

−FHG

∑z ( ) ( ) d

{ }2Minka F

Allgemeine FourierAllgemeine Fourier--ReiheReihe

11.06.2008S.4

∀ ∈ ∂∂

−FHG

==∑zi K

af x a g x x

{ , , , } ( ) ( )1 2 01

Fourier Reihe II

{1,2, , } 2 ( ) ( ) ( ) ( ) d 0x K K

k k k kk kix

i K f x a g x f x a g x xa= =

∂ ⇒ ∀ ∈ − − = ∂

∑ ∑∫…

∀ ∂∂

f x( ) 0 ∀ ∂∂FHG

iaa g x g x( ) ( )

{1,2, , } ( ) ( ) ( ) d 0x K

k k ikx

i K f x a g x g x x=

⇒ ∀ ∈ − =

∑∫…

Notwendige Bedingung:Notwendige Bedingung:

11.06.2008S.5

∀ ∈ =z z∑=

i K f x g x x a g x g x xi

{ , , , } ( ) ( ) ( ) ( )1 21

… d d

Fourier Reihe III

2 11 1 1

( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d

( ) ( ) d ( ) d ( ) ( ) d

K K KKx x x

ag x x g x g x x f x g x x

g x g x x g x x f x g x xa

∫ ∫ ∫

� � � � �

In MatrixnotationIn Matrixnotation

11.06.2008S.6

∀ ∈ ==

zzp q K g x g x x

g x x p qp q

, { , , , } ( ) ( )( )

… dd für

∀ ∈ =z

zk K a

f x g x x

g x xk

x{ , , , }

( ) ( )

Orthogonales erzeugendes System

Höhere FourierHöhere Fourier--Terme können unabhängig von niederenTerme können unabhängig von niederenberechnet werden!berechnet werden!

11.06.2008S.7

{ } ( )S ( ) k

g xx k k

′ ≡ ∈ ∈ ≡ ∈ ∈

� � � �

, {1, 2, , } ( ) ( ) dx

p q pq

p q K x x xφ φ δ∀ ∈ =∫…

Normierung des orthogonalen erzeugendes System

11.06.2008S.8

cos sin2

n k kk

as a k x b k x

= + +∑

1( )cos dka f x k x x

ππ −

1( )sin dkb f x k x x

ππ −

Reelle trigonometrische FunktionenReelle trigonometrische Funktionen

Vollständige erzeugende Systeme I

11.06.2008S.9

g x e kkj k x( ) , { , , , , , , }= ∈ − −1

22 1 0 1 2

π… …

Komplexe trigonometrische FunktionenKomplexe trigonometrische Funktionen

Laguerresche PolynomeLaguerresche Polynome

D X X Xf ≡ + ≡ ∩[ , ]0 0 02π

g x ek

( ) ( )!

, { , , , }= − ∈−

1 0 1 2 …

Df ≡ ∞[ , ]0

Vollständige erzeugende Systeme II

11.06.2008S.10

g xT T

x k T kk ( ) , { , , , }= −FHG

∈10 1 2

0 00si

πb g …

SpaltfunktionenSpaltfunktionen

πTx k T

Tx k T

Tx k T0

−FHG

−b g

Vollständige erzeugende Systeme III

11.06.2008S.11

F F f x a g x xk kk

≡ = −FHG

∑zC d( ) ( )

= − +FHG

IKJ= =

∑ ∑z f x f x a g x a g x xk kk

( ) ( ) ( ) ( ) d

= − +z ∑z ∑∑z= ==

f x x f x a g x x a a g x g x xx

p q p qq

2( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d d

( ) d 2 ( ) ( ) d ( ) ( ) dx x xK K K

k k p q p qk p qx x x

f x x f x a g x x a a g x g x x= = =

= − +∑ ∑∑∫ ∫ ∫

Vollständigkeit I

11.06.2008S.12

b f x g x xk k

= zdef

d( ) ( )1

F f x x a b ax

C d= − +z ∑ ∑= =

a a b b b a b bk k k k k k k k2 2 2 2 22− + − = − −b g

F f x x a b bx

C d= + − −z ∑ ∑= =

( ) b g

Vollständigkeit II

11.06.2008S.13

F f x x a b bx

C d= + − −z ∑ ∑= =

( ) b g

∀ = ⇒ − ==∑k a b a bk k k kk

Dieser mittlere quadratische Fehler ist minimal, wenn die Koeffizienten ak gleich den Fourier-Koeffizienten bk sind.

Vollständigkeit III

Terme der Summepositiv

11.06.2008S.14

F x x f x x bx

C d2 12 2

− = −z ∑=

b g ( )

Da der Fehler FC größer gleich null ist, gilt auch die Besselsche Ungleichung (Norm, Positiv Definit)

∀ ≥ > ≤=∑ zK x x b f x xkk

1 2 12

, ( ) d

Vollständigkeit IV

11.06.2008S.15

Def.: Vollständigkeit

Das orthonormale Funktionensystem der Erzeugenden ist vollständig, wenn für jede quadratisch integrable Funktion

das Fehlermaß der verallgemeinerte Fourier-Reihe null ist.

∀ > < ∞zx x f x xx

b f x xkk x

∑ z= ( ) d

Hinreichend und notwendig hierfür ist dieParsevalsche GleichungParsevalsche Gleichung:

Vollständigkeit V

Beweis, siehe Script

11.06.2008S.16

Jordanscher Satz:

Die Fourier-Reihe einer in 2πperiodischen Funktion von beschränkter Variation konvergiert in jedem abgeschlossenen Intervall gleichmäßig gegen die Summe:

( ) ( )

f x f x+ −+

Verhalten an Unstetigkeitsstellen

11.06.2008S.17

Bijektivität der Fourier-Reihen vollständiger orthonormaler Systeme:

Die Zuordnung von verallgemeinerten Fourier-Koeffizienten vollständiger, orthonormaler erzeugender Systeme S‘ und Fourier-Summenfunktion ist für quadratisch integrable Funktionen bijektiv.

Eineindeutigkeitssatz

11.06.2008S.18

Periodisches ZeitsignalPeriodisches Zeitsignal Diskretes SpektrumDiskretes Spektrum

T0/2-T0/2 0 0 1 2 3 4

f f/ 0

f t( )| a |k

Betrags- und Phasenspektrum periodischer Signale

11.06.2008S.19

1 für 02

0 für 0( )

1 für 02

0 für2

− − < <

== < < =

( )sin4, {1,3,5, }k

k xa k

kπ= ∈ …

1.200351

S x( )

2 π.2 π. x6 4 2 0 2 4 6

Fourier-Summen der Rechteckfunktion I

11.06.2008S.20

1.18829

S x( )

2 π.2 π. x6 4 2 0 2 4 6

1.184159

S x( )

2 π.2 π. x6 4 2 0 2 4 6

Fourier-Summen der Rechteckfunktion II

11.06.2008S.21

1.17862

S x( )

2 π.2 π. x6 4 2 0 2 4 6

1.14142

S x( )

2 π.2 π. x6 4 2 0 2 4 6

Fourier-Summen der Rechteckfunktion III

11.06.2008S.22

Die Variable x kann die Zeit, den Ort oder eine beliebigeunabhängige Variable repräsentieren.

Die Funktion f(x) kann eine beliebige Funktion sein, die physikalische Werte repräsentiert(Position, Pose, Kräfte, Momente, Spannung, Strom usw.).

Diese Ansätze können auf Vektor- und Matrixfunktionen mitmehrdimensionalen unabhängigen Variablen erweitert werden(Mechanik, Optik, Quantenphysik usw.).

Verallgemeinerung

11.06.2008S.23

0.40.2

Ortsfrequenzen

H H e f fj

Hx y( ) ( ) , ( , )

arctanIm ( )

Re ( )f f fff= =

2k pk p t

PhasePhase

BetragBetrag

11.06.2008S.24

FourierFourier--TransformationTransformation

11.06.2008S.25

T0/2-T0/2 0

f t( )

Mit einer gegen unendlich strebende Periode T0 ließen sich die Periodizitätsanforderung eliminieren, so dass aperiodischeSignale erfasst werden können.

Idee des Fourier-Integrals I

0T →∞

11.06.2008S.26

0( ) jk tk

f t C e ω∞

=−∞

= ∑ 0

1( ) djk t

C f t e tT

= ∫ 00

πω =

In diesem Fall würde ω0 gegen null streben. Die einzelnen Harmonischen liegen also beliebig nahe beieinander, so dass sich ein Kontinuum von Schwingungen ergibt.

Führt man formal die Größen ein,so erhält man:

π ∆ω∆ωπ

= ⇒ =

Idee des Fourier-Integrals II

11.06.2008S.27

1( ) lim ( ) d

Tj t j t

f t f t e t e∆ω ∆ω

∆ωπ

∞−

→∞ =−∞ −→

∑ ∫

1( ) ( ) d

2j t j tf t f t e t e dω ω ω

∞ ∞−

−∞ −∞

∫ ∫

Bei der Ausführung des Grenzüberganges geht die Summation in das bestimmte Riemannsche Integral über.

Mit der von Leibniz eingeführten Schreibweise ergibt sich:

Idee des Fourier-Integrals III

11.06.2008S.28

Der in der Klammer stehende Ausdruck wird Bild-, Spektral-funktion oder Fourier-Transformierte genannt.

Die Spektralfunktion kann nur eine Funktion von jω sein, da über t integriert wird und die Integrale uneigentliche Integrale sind.

{ }( ) ( ) ( ) ( ) dj tF j f t j f t e tωω ω∞

−∞

≡ ℑ = ∫

{ }1 1( ) ( ) ( ) ( ) d

2j tf t F j t F e ωω ω ω

∞−

−∞

≡ ℑ = ∫

Fourier-Integral

11.06.2008S.29

1( ) lim ( ) ( )

2f t f t f t

εε ε

→= + + −

( ) ( ) dj tF j f t e tωω∞

−∞

Hintransformation1

( ) ( )2

j tf t F e dωω ωπ

−∞

Rücktransformation

( )F jωSpektrum

Fourier-Transformation

OriginalOriginal--bereichbereich

SpektralSpektral--bereichbereich(kontinuierliches Spektrum)

f t( )

| F j( ) |ω

φ( )ω

11.06.2008S.30

102 hertz.1 hertz. si

0 deg.

180 deg.

Φ f si

102 hertz.100 hertz. si

Betrag und Phase der Fourier-Transformierten

= 0,05T0 = 0,1 Hz

2 20 0

2 1G s

T s T sϑ=

s jω→

11.06.2008S.31

j j Im{F( )}ω

Re{F( )}jω

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

6001200

3300f / Hz

Ortskurve der Fourier-Transformierten

11.06.2008S.32

r t 1.0,( )

22 t2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2

R ω 1.0,( )

6 2. π.6 2. π. ω30 20 10 0 10 20 30

1 für( , ) 2

0 sonst

r T t <=

( , ) 2

Rechteck- und Spaltfunktion

11.06.2008S.33

Distribution,Distribution,FaltungssatzFaltungssatz

undundFourierFourier--IntegralIntegral

11.06.2008S.34

0 tt0 t t0+ ∆

δ( - )t t0

1/∆tf t( ) f t( )0

1 für 0( ) ,

0 sonst

kk kδ

== ∈

( ) ( ) ( )k

f k k n f nδ − =∑

Deltafunktion

Ausblendeigenschaft

DiskretDiskret

1für 0

lim ( ) ,

0 sonstt

t t ttt t∆∆

∆∆δ

≤ < += ∈

KontinuierlichKontinuierlich

Idee der Distribution I

stetig an t0

Distribution (Verteilung; Auflösung)

11.06.2008S.35

0 00 0

lim ( ) ( ) d lim ( ) ( ) d

lim ( ) ( ) d

t tt t

f t t t t f t t t t

f t t t t

∆ ∆∆ ∆

∆∆

∆∆∆

→ →−∞ −∞

− = −

∫ ∫

0 00 0lim ( ) ( ) d lim ( ) ( ) d

t tt t

f t t t t f t t t t∆

∆ ∆∆ ∆δ δ

→ →−∞

− = −∫ ∫

Idee der Distribution II

11.06.2008S.36

0 0 00 0

lim ( ) ( ) d lim ( ) ( ) d

( ) lim ( ) d

t tt t

f t t t t f t t t t

f t t t t

∆ ∆∆ ∆

∆∆

→ →−∞

− = −

∫ ∫

∫0 0

0 0 00 0

1( ) lim ( ) d ( ) lim d

t t t t

f t t t t f t tt

∆ ∆

∆∆ ∆δ

→ →= − =∫ ∫

0 0 0 00 0

1 1( ) lim ( ) lim

f t t f t t t tt t

∆ ∆∆

∆ ∆

→ →= = + −

0 00( ) lim ( )

tf t f t

∆∆→

Idee der Distribution III

11.06.2008S.37

0 0( ) ( ) d ( )f t t t t f tδ∞

−∞

− =∫

Ausblendeigenschaft

Distributions-Theorie I

Die Kommutativität der Grenzprozesse der Riemann-Summe bzw.des Riemann-Integrals und der Deltafunktion ist hier nicht mehrgegeben. Die Distribution hat nur Sinn im Zusammenhang mit einemIntegral (Grenzprozess der Distribution nach Integration). Diese Funktionen-klasse stellt eine Erweiterung der Differential- und Integralrechnung dar (Analog der Erweiterung der reellen zu den komplexen Zahlen).

11.06.2008S.38

Distributions-Theorie II

Distributionen:Distributionen:

221( , )

y x e ααα π

− ≡

0( ) lim ( , )x y x

αδ α

1für 0

( , )0

αα α

≤ <≡

11.06.2008S.39

Idee der Distribution V

Ihre Eigenschaften bzw. Axiome müssen widerspruchsfrei mit der Analysis festgelegt werden. Eine Haupteigenschaft stellt die Aus-blendeigenschaft dar.

Durch diese Erweiterung werden analog zur komplexen Zahl (Euleridentität) Zusammenhänge zwischen kontinuierlichen und diskreten Beschreibungsformen sichtbar, das Differential nicht stetig differenzierbarer Funktionen (Sprünge) wird erschlossen und weiteres mehr. Dies ist für die Technik und Naturwissenschaft von zentraler Bedeutung, da ein derartiges Signal- und Systemverhalten in der Praxis nicht wegzudenken wäre (Stick-Slip, Schalter umlegen usw.).

Nicht zuletzt lässt sich hierüber der Faltungssatz linearer, zeit/shift-invarianter Systeme herleiten.

11.06.2008S.40

Die Praxis benötigt eine geeignete durchaus anspruchsvolle Die Praxis benötigt eine geeignete durchaus anspruchsvolle Theorie. Häufig wird intuitiv genau umgekehrt argumentiert.Theorie. Häufig wird intuitiv genau umgekehrt argumentiert.

Wenn wir nur genau hinsehen, dann wird deutlich, dass diese Wenn wir nur genau hinsehen, dann wird deutlich, dass diese Intuition trügen kann.Intuition trügen kann.

Praxis und Theorie

11.06.2008S.41

( ) lim ( ) ( ) d ( ) ( ) dk

k k kk

e t e t e tτ

τ δ τ τ τ δ τ τ+∞

→∞−∞→

= − = −∑ ∫

Faltungssatz I

Ausblendeigenschaft der Distribution

( ) lim ( ) ( ) dk

k k kk

y t L e tτ

τ δ τ τ→∞

⇒ = −

Konvergenz

( ) lim ( ) ( ) d

( ) ( ) d

k k kk

y t L e t

τ δ τ τ

→∞→

−∞

L sei ein linearer, homogener und zeitinvarianter Operator

e(t)L{}

L e t{ ( )}( )τ

11.06.2008S.42

{ }d 0

( ) lim ( ) ( ) ( ) dk

k k kk

y t e L t tτ

τ δ τ τ→∞

⇒ = −∑

{ } { }( ) ( ) ( ) ( ) d , mit ( ) ( ) ( )y t e L t t g t L tτ δ τ τ δ τ+∞

−∞

= − =∫

Faltungssatz II

Linearität und Homogenität

( ) ( )0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t L e t L e tτ τ τ τ= − = −

{ }d 0

( ) lim ( ) ( ) ( ) dk

k k kk

y t e L t tτ

τ δ τ τ→∞

⇒ = −∑

Zeit- bzw. Verschiebungsinvarianz

11.06.2008S.43

( ) ( ) ( )Y j G j E jω ω ω=

Linearität, Homogenität und Zeitinvarianz ist eine hinreichende und notwendige Bedingung für die

Existenz des Faltungssatzes(Analog multidimensional).

Die Fourier-Transformation überführt die Faltung in ein Produkt der Fourier-Transformierten

(Analog multidimensional).

( ) ( ) ( ) dy t g t eτ τ τ+∞

−∞

= −∫

Faltungssatz und Fourier-Transformation

11.06.2008S.44

LaplaceLaplace--TransformationTransformation

11.06.2008S.45

Viele Vorgänge existieren erst von einem bestimmten Zeitpunkt an, den wir willkürlich zu t = 0 setzen. Jede technische Apparatur muss erst konstruiert werden. Sie existiert und nimmt ihre Funktion erst von einem bestimmten Zeitpunkt an auf.

Beschränkt man sich auf Vorgänge, die man kausal nennt, also auf Ursache und Wirkung beruhend, so lässt sich ein Dämpfungsfaktor einführen. Dieser Faktor kann für eine erweiterte Klasse von Funktionen die Konvergenz des Fourier-Integrals erwirken (z.B. sin(.) und cos(.)-Funktionen, die nur in

Erweiterung durch die Distributionen-Theorie Fourier-Transformierte besitzen).

Motivation I

, 0te δ δ− >

11.06.2008S.46

Multipliziert man eine beliebige Funktion mit der Sprungfunktion

so erhält man eine kausale Funktion.

0 für 0

( ) 1/ 2 für 0

1 sonst

Motivation II

11.06.2008S.47

{ }( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) d ( ) ( ) d

j t j t

F j f t s t e j

f t s t e t f t s t e t

δ ω δ ω

ω ω−

∞− + − +

−∞

= +∫ ∫

Von Fourier- zur Laplace-Transformation I

Fourier-Transformation

{ }1sδ sδ

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d

2t j tF j t f t s t e F j eδ ωω ω ω

∞− −

−∞

ℑ = = ∫

( )sδ

1( ) ( ) ( ) d

2j tf t s t F j e δ ωω ω

−∞

⇒ = ∫

Inverse Fourier-Transformation

11.06.2008S.48

⇒ =1

= − ∞= + ∞

{ }1sδ

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ds

jt s t

f t s t e F j t F s ej

+ ∞−

− ∞

⇒ = ℑ = ∫

Im{ }s

Re{ }s

Integrations-weg

δ ω j+

δ ω j- Konvergenz-ebene

Differential Integrations-grenzen

Von Fourier- zur Laplace-Transformation II

11.06.2008S.49

( ) L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d ,

( ) ( ) ( ) ( )

F p f t s t p f t s t e t p j

F j f t s t e jδ

ω ω−

∞−

= = = +

Laplace- und Fourier-Transformation

{ }s s0 0lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )tF p f t s t e j F jδ

δ δω ω−

→ →= ℑ =

f(t) quadratisch integrabel

Fourier- aus Laplace-Transformierte I

11.06.2008S.50

( ) dt

f u u−∞∫ 1

( ) (0) ( )F j Fj

ω π δ ωω

.. .. ( ) (d )t n

f u u∫ ∫ 11

(0 )1( )

n n vv

−−

− +=

⋅ +∑

( ) (0 )n

n n v v

s F s s f− −−

⋅ − ⋅∑

( ) ( )nj F fω ⋅

Fourier- aus Laplace-Transformierte II

11.06.2008S.51

Korrespondenztabellen

( ) /=R

für >

für =

für <1

ππδ π+ ( )

1 für 1/ 2

rect( ) 1/ 2 für 1/ 2

0 für 1/ 2

( ) sin( ) /si f f fπ π π=

a t a te e

− −−− ( )( )1 2

s a s a+ +

11.06.2008S.52

( /2 si( /4))T Tω 2

T si( /2)ωT

T/2 4π/T

-T/2 T/2

Signale I

1 für / 2

rect( , ) 1/ 2 für 0

0 sonst

1 für 0 / 22triang( , )

1 für / 2 02

Tt t T

− + ≤ ≤= + − ≤ <

RechteckRechteck--PulsPuls

TriangleTriangle--PulsPuls

11.06.2008S.53

Signale II

s t( )

1 für 0

s( ) 1/ 2 für 0

0 sonst

ππδ π+ ( )

SprungSprung-- oder oder StepStep--FunktionFunktion

11.06.2008S.54

1 für / 2

rect( , ) 1/ 2 für 0

0 sonst

ω ωω ω ω

( )A Asif f tπ

- /2ωA ωA/2t

Signale III

Idealer TiefpassIdealer Tiefpass

B A / 2f f=

11.06.2008S.55

ÄhnlichkeitsÄhnlichkeits--undund

VertauschungssätzeVertauschungssätze

11.06.2008S.56

Zur Entwicklung der Ähnlichkeitssätze sei die I-Transformierte von betrachtet:

Ähnlichkeitssätze I

( ) ,f k x k ∈ �

{ }I ( ) ( ) ( ) db

f k x y e f k x x= ∫

Substitution:d

d d dv

v k x v k x xk

= ⇒ = ⇒ =

{ } 1I ( ) ( ) ( ) d

k b yv y vwvk k

f k x y e f v v e ek

⇒ = =∫

{ } 1I ( ) ( ) ( ) d

f k x y e f v vk

⇒ = ∫

11.06.2008S.57

Ähnlichkeitssätze II

1( ) d für 0

I ( ) ( )1

( ) d für 0

e f v v kk

f k x y

e f v v kk

= − <

Strukturvergleich

Mit der Fallunterscheidung erhält man in beiden Fällen das gleiche Transformationsintegral. Der Faktor 1/k hat die Eigenschaft der Betragsfunktion, so dass man kurz die Gleichung

erhält.

{ } { } { }1I ( ) ( ) I ( ) , mit I ( ) ( ) ( ) d

yf k x y f x f x w e f v v

k k = =

11.06.2008S.58

Ähnlichkeitssätze III

{ } { }1L ( ) ( ) L ( ) , 0

sf k t s f t k

k k = >

{ } { }1( ) ( ) ( )

jf k t j f t

ωω ℑ = ℑ

ÄhnlichkeitssätzeÄhnlichkeitssätze

11.06.2008S.59

f t( )

f kt( )

| ( ) |F jω

| ( ) / |F j k ω k/

Ähnlichkeitssätze IV

11.06.2008S.60

Schnelle Bewegungsvorgänge erfordern breitbandigeRegler und mechanische Übertragungsglieder:

( ) 02

P P 0( ) ( ) j k tk

a t s t jk C et

ωω∂= =∂ ∑

{ }( ) ( ) { }( )2( ) ( )a t j j s t jω ω ωℑ = ℑ

{ } ( ) { } ( )2( ) ( )m a t j m s t jω ω ωℑ = − ℑ

Massive Systeme sind Träge bzw. nur zu niederfrequentenBewegungen in der Lage (Hochfrequenter Flügelschlag des Kolibri und

langsame Bewegungen von Elefanten).

Interpretationen

11.06.2008S.61

Für die Herleitung des Vertauschungssatzes geht man von den Fourier-Integralen aus und überführt ω in t und t in ω (Sym-bolisch: ω → t und t → ω). Durch Substitution ω → -v ⇒ dω → -dv ergibt sich für die Fourier-Transformierte:

( ) ( ) d ( ) d ( ) dj t jvt jvtF t f e t f v e v f v e vωω∞ −∞ ∞

−∞ ∞ −∞

= = − − = −∫ ∫ ∫

Der strukturelle Vergleich mit dem Fourier-Integral zeigt, dass die Gleichung

{ }1( ) 2 ( ) ( )F t f j tπ ω−= ℑ −

gilt, so dass man unter Berücksichtigung des Ähnlichkeitssatzes

{ }1( ) 2 ( ) ( )F t f j tπ ω−− = ℑerhält.

Vertauschungssatz I

11.06.2008S.62

Geht man somit von einer bekannten Korrespondenz aus, überführt ω in -t und t in ω (Symbolisch: ω→ -t und t → ω) und multipliziert f(jω) mit 2π , so erhält man eine neue Zuordnung. Wegen der vorgenommen Vertauschung der Symbole wird der Satz als Vertauschungssatz bezeichnet:

{ }1( ) 2 ( ) ( )F t f j tπ ω−− = ℑ

Vertauschungssatz II

11.06.2008S.63

FourierFourier--Integral,Integral,FourierFourier--Reihe,Reihe,

FaltungFaltungundund

AbtastungAbtastung

11.06.2008S.64

SchaublinSchaublin

DigitalesSystem

Regel-strecke

w t( )

A/D D/Ay t( )e t( )

e kT( )0 u kT( )0

u t( )

Analoge- und digitale Systeme

DigitaleDigitaleLageregler Lageregler von Maschinenvon Maschinen

11.06.2008S.65

Halte-glied

x t( ) x tδ( )

Ab-taster

x t( )

x tδ( )

x tΠ( )

Abtast- und Halteglied

11.06.2008S.66

Faltungssatz I

Man kennt somit zwei Zeitfunktionen f1(t) und f2(t) und deren Laplace-Transformierte F1(s) und F2(s). Es stellt sich nun die Frage, welcher Operator im Zeitbereich ϕ der Multiplikation der Transformierten entspricht?

Damit erhalten wir formal

{ }{ } { } { }L ( ), ( ) ( ) ( ) L ( ) ( ) L ( ) ( ) ( ) ( )g u f u t s g t s f t s G s F sϕ = ⋅ = ⋅

In der Notation des speziellen Fredholmschen Integrals (Fourier-und Laplace-Integrals):

{ }{ } { } { }I ( ), ( ) ( ) ( ) I ( ) ( ) I ( ) ( )g u f u x y g x y f x yϕ = ⋅

11.06.2008S.67

Ausgehend von ,

Faltungssatz II

{ }I ( ) ( ) ( ) db

f x y e f x x= ∫

erhält man das Produkt zweier Transformierter

{ } { }I ( ) ( ) I ( ) ( ) ( ) d ( ) db b

x y x y

f x y g x y e f x x e g x x⋅ = ⋅∫ ∫

Was identisch mit

{ } { }I ( ) ( ) I ( ) ( ) ( ) ( ) d db b

x y v y

f x y g x y e e f x g v x v⋅ = ∫ ∫

( ) ( ) ( ) d db b

e f x g v x v+= ∫ ∫

11.06.2008S.68

Faltungssatz III

Koordinatentransformation

bzw.x v v u x v x v u v uτ τ τ τ= + ∧ = = + ⇒ = − = − ∧ =τ u

obere Grenze: b + b buntere Grenze: a + a a

Funktionaldeterminante

( )( )

1 1 0 ( 1) 1

x vx v x v x v

x vu u u

τ ττ τ τ

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂= = ⋅ − ⋅

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

= ⋅ − ⋅ − =

11.06.2008S.69

Faltungssatz IV

{ } { } ( )( )

,I ( ) ( ) I ( ) ( ) ( ) ( ) d d

x vf x y g x y e f u g u u

uτ τ τ

⇒ ⋅ = −∂∫ ∫

( ) ( ) d db b

e f u g u uτ τ τ= −∫ ∫

Der Kern der Integralgleichung kann vor das innere Integral gezogen werden, da er keine Funktion von u ist, so dass man weiter

erhält.

{ } { }2

I ( ) ( ) I ( ) ( ) ( ) ( ) d db b

f x y g x y e f u g u uτ τ τ

⋅ = −

∫ ∫

11.06.2008S.70

Da für die Integrationsgrenzen odergilt, ist das äußere Integral identisch mit der

I-Transformation, sofern die Funktionen Quadratisch Integrabel sind. Sind die Funktionen f und g kausal, so ist das Produkt der Funktionen nur für und ungleich null. Insofern muss in diesem Fall das innere Integral nur im Intervall

ausgewertet werden.

Daher ergibt sich:

Faltungssatz V

0 ,a b−= →∞,a b→ −∞ → ∞

0u uτ τ− ≥ ⇒ ≥ 0u ≥

[0 , ]τ−

{ } { }S S

( ) ( ) d d

I ( ) ( ) I ( ) ( ) mit

( ) ( ) d d

e f u g u u

f x y g x y

e f u g u u

τ τ−

∫ ∫

0 , ,a b a b−= → ∞ ∨ → −∞ → ∞

11.06.2008S.71

Faltungssatz VI

{ } { }{ }1

( ) ( ) d

( ) I I ( ) ( ) I ( ) ( ) ( ) , mit

( ) ( ) d

f x u g u u

x f x y g x y x

f x u g u u

= = ⋅ −

Durch den strukturellen Vergleich mit der I-Transformation erhält man den gesuchten Operator zu:

0 , ,a b a b−= → ∞ ∨ → −∞ → ∞

FaltungssatzFaltungssatz

11.06.2008S.72

{ } 1L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d

f t g t s F s u G u uj

− ∞

⋅ = −∫

{ } { }0

L ( ) ( ) d ( ) L ( ) ( ) L ( ) ( )t

f t u g u u s f t s g t s−

− = ⋅ ∫

{ } 1( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) d

2f t g t j F j u G ju uω ω

−∞

ℑ ⋅ = −∫

{ } { }( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t u g u u j f t j g t jω ω ω∞

−∞

ℑ − = ℑ ⋅ ℑ ∫

Faltungssätze

11.06.2008S.73

g t( )

G s( )

e t( ) y t( ) =

E s( ) Y s G s E s( ) = ( ) ( )

E j( )ω Y G E( ) = ( ) ( )j j jω ω ω

lineares, homogenesshiftinvariantes

System( ) ( ) dg t xτ τ τ

−∞

−∫

Systemmodell

11.06.2008S.74

g t( )

G s( )

s t( ) h t( ) =

1/s Y s G s s( ) = ( ) /

1/( ) + (j jω δ ωπ ) Y G( ) = ( ) ( )j jω ω 1/( ) + (j jω δ ωπ )

kausales,lineares, homogenes

shiftinvariantesSystem

( ) dt

g τ τ∫

Sprungantwort

( ) ( )g t h tt

∂=∂

11.06.2008S.75

SchaublinSchaublinKuka

y t( )

Wende-punkt

tMax tε

ωωB-ωB

Sprungantwort des idealen Tiefpasses

Idealer Tiefpass h(t)

B 2ˆv

≥A 4

≥⇒ ⇒

Nur für Kenngrößen verwendbar.

11.06.2008S.76

AMϕ�� ∼

A Au i�∼

1d ( ) ( )u t s U s

sϕ φ⇒ ⇒∫ ∫ ∫∼ ∼

Gleich-strom-motor

MAML ω

SchaublinSchaublinKuka

Tiefpassverhalten von Maschinen

Nur für Kenngrößen verwendbar.

11.06.2008S.77

Konsequenzen

•• Elektromechanische Maschinen weisen ein TiefpassElektromechanische Maschinen weisen ein Tiefpass--verhalten auf verhalten auf (Analog für mechanische Systeme)

•• Die Bewegungen müssen bis zur dritten Ordnung stetigDie Bewegungen müssen bis zur dritten Ordnung stetigdifferenzierbar sein differenzierbar sein (Ruckverhalten; Ansonsten unphysikalische Bewegungen, die nicht verwirklichbar sind)

•• Massive Systeme sind träge und haben eine geringeMassive Systeme sind träge und haben eine geringeÜbertragungsbandbreite Übertragungsbandbreite (Kolibri und Elefant)

•• Übertragungsbandbreiten wachsen proportional mit derÜbertragungsbandbreiten wachsen proportional mit derGeschwindigkeit und umgekehrt proportional mit der Geschwindigkeit und umgekehrt proportional mit der Sprungweite Sprungweite (siehe auch Ähnlichkeitssätze)

11.06.2008S.78

DistributionDistributiontrigonometrische Funktionentrigonometrische Funktionen

undundAbtastungAbtastung

11.06.2008S.79

{ }1 1( ) ( ) ( )

2j tF t F e dωω ω ω

∞−

−∞

ℑ = ∫ 0( ) 2 ( )F ω π δ ω ω= −

{ } 010 02 ( ) ( ) ( ) j tj tt e d e ωωπ δ ω ω δ ω ω ω

∞−

−∞

ℑ − = − =∫

( ){ }

( )0 0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

j t j t

π δ ω ω δ ω ω

δ ω ω δ ω ω ω

−∞

ℑ − + +

= − + +

Distribution, e- und trigonometrische Funktionen I

11.06.2008S.80

( ){ }

( )0 0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1sin sin

j t j t

j e e j j t t

π δ ω ω δ ω ω

δ ω ω δ ω ω ω

−∞

ℑ + − −

= + − −

= − = − =

Distribution, e- und trigonometrische Funktionen II

11.06.2008S.81

( )0 0( ) ( )jπ δ ω ω δ ω ω+ − −0sin tω

( )0 0( ) ( )π δ ω ω δ ω ω+ + −0cos tω

02 ( )π δ ω ω−0j te ω

0j k tk

C e ω∞

=−∞∑ 02 ( )k

C kπ δ ω ω∞

=−∞

−∑

FourierFourier--Reihe als FourierReihe als Fourier--TransformierteTransformierte

Distribution, e- und trigonometrische Funktionen III

11.06.2008S.82

| ( ) |F jω

ωω0-ω0

f t( )

( )002 ( )j k t

k kk k

C e j C kω ω π δ ω ω∞ ∞

=−∞ =−∞

ℑ = − ∑ ∑

( )0 0( ) ( )π δ ω ω δ ω ω+ + −0cos tω

Distribution, e- und trigonometrische Funktionen IV

0( )π δ ω ω+ 0( )π δ ω ω−

11.06.2008S.83

Periodische Abtastung Periodische Abtastung (Multiplikation)

0A 0( , ) j k t

f t T C e ω∞

=−∞

= ∑ A 0 0( , ) 2 ( )kk

F j T C kω π δ ω ω∞

=−∞

= −∑

A 0( ) ( , )f t f t T 0

12 ( ( )) ( ) d

C F j u u k uπ ω δ ωπ

∞ ∞

=−∞−∞

− −∑∫

12 ( ( )) ( ) d

C F j u u k uπ ω δ ωπ

∞∞

=−∞ −∞

= − −∑ ∫

0( ( ))kk

C F j kω ω∞

=−∞

= −∑

Periodische Abtastung I

Periodisches Signal als FourierPeriodisches Signal als Fourier--ReiheReihe

11.06.2008S.84

Periodische Abtastung II

{ }( )A 0 0( ) ( , ) ( ( ( ))kk

f t f t T j C F j kω ω ω∞

=−∞

ℑ = −∑

f t( ) f t TA 0( , ) | ( ) |F jA ω,T0

FrequenzüberlappungAliasing

ω0 2 0ω

11.06.2008S.85

Periodische Abtastung III

| ( ) |F jA ω,T0

ωω0ω0/2

{ }( ) B BB

( ) für( )

0 sonst

F jf t j

ω ω ωω

<ℑ =

Bandbegrenzte SignaleBandbegrenzte Signale

0 B2ω ω≥

11.06.2008S.86

Aufgrund des Eineindeutigkeitssatzes der Fourier-Transformationlassen sich bandbegrenzte Signale eindeutig aus ihren diskreten Werten rekonstruieren (Shannonsches Abtasttheorem).

Die diskreten Werte repräsentieren das bandbegrenzte Signal vollständig (kein Informationsverlust).

Die Rekonstruktion erfolgt über den idealen Tiefpass:

( ) 0IT

1 für

0 sonstG j

ω ωω

Periodische Abtastung IV

11.06.2008S.87

ZweiZwei-- und Mehrdimensionaleund MehrdimensionaleSignaleSignale

(Fräsen von Flächen,Bildverarbeitung usw.)

11.06.2008S.88

1 for / 2

rect( , ) 1/ 2 for / 2

0 for / 2

q t t q

rect-Function

y Y/ 0x X/ 0

si( )sin( )

q fq f

q fπ π

si-Funktion

f q/ y π

f q/ x π

Integration und Abtastung I

rect - Funktion si - Funktion

11.06.2008S.89

X a a a a f a f a f Xz

=Π ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f f1 2 3 1 1 2 2 3 3si si siπ π π

f ai iB =1 /Bandbreite Bandbreite (erste Nullstelle)

X X f n f f n f f n fnnn

z z=−∞

=−∞

= − − −∑∑∑Πδ Π( ) ( , , )f 1 1 01 2 2 02 3 3 03

f T ii i0 01 1 3= ∈/ , { ,2, } a f a T ii i i i0 0 1 3= ∈/ , { ,2, }AperturApertur

IntegrationIntegration

ScanningScanning

Integration und Abtastung II

11.06.2008S.90

0255075

Apertur 10%f dx x

f dy y

|MÜF| / |MÜF| / %Max

66,6100

Apertur 40%

020406080

Apertur 80%

1007550250

Apertur 99%

Dreiecksspektrum Integration und Abtastung

11.06.2008S.91

Multidimensionales bandbegrenztes Signal

1 B 0B

( ) für / 2( )

0 sonst

ni i i iX f f f

X = ∧ < ==

∀ ∈ ≥i n f fi i{ ,2,..., }1 20 B

Shannon AbtastbedingungShannon Abtastbedingung

Signalspektrum

f fx x/ 0

f fy y/ 0

Signal Spektrum

11.06.2008S.92

abgetastetes Signal

f fy y/ 0

f fx x/ 0

rect-Function

f fy y / 0f fx / x0

Idealer Tiefpass

Signalspektrum

f fx x/ 0

f fy y/ 0

Räumlich diskretes Signal rect-Funktion

Signalspektrum

11.06.2008S.93

X Y, Z,

abgetastetes Signal

X Y, Z,

abgetastetes Signal

X Y, Z,

abgetastetes Signal

X Y, Z,

abgetastetes Signal

Aliasing

Räumlich diskretes Signal

11.06.2008S.94

MaschinendynamikMaschinendynamikundund

numerische Berechnungennumerische Berechnungen

SchaublinSchaublin

11.06.2008S.95

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2

3 3 2 2 3 2 2 3 3

0 0 0 0

m z d d z c c z F

m z d d d d z c c c c z F

m z d d z c c z F

− − + − + − + − + − = − −

��

Gekoppelte Massen mit drei Freiheitsgraden

Maschinen-fundament

Maschinen-gestell

Werkzeug-Werkstück

11.06.2008S.96

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2

3 3 2 2 3 2 2 3 3

0 0 0 0

m z d d z c c z F

m z d d d d z c c c c z F

m z d d z c c z F

− − + − + − + − + − = − −

��

1Existenz von −+ + =M y D y K y f M��

1 1 1− − −⇒ + + =y M D y M K y M f��

Zustandsmodell I

Systeme werden in CAD vom Menschen interaktiv definiert und dieMatrizen werden von der Software vollautomatisch generiert.

11.06.2008S.97

1 1 1− − −= − − +y M D y M K y M f��

Neue Zustände Neue Zustände y� ⇒ = + zz A z f�

1 1 1− − −

= + − −

y 0 E y 0

y M K M D y M f

��

Die Dimension der Systemmatrix A ist von der Ordnung 2f x 2f. Hierbei definiert f die Freiheitsgrade des Systems. Die Matrix ist im Allgemeinen weder symmetrisch noch hat sie eine Bandstruktur.

Zustandsmodell II

11.06.2008S.98

Integration des Zustandsmodells I

d t= + z

zA z f

d d dt t⇒ = + zz A z f

d d dt t t

t t= +∫ ∫ ∫z

z A z f

0( ) d dt t

t t t= + +∫ ∫ zz A z f z

Ansatz:Ansatz:

Totales Totales DifferentialDifferential::

11.06.2008S.99

Numerische Integration des Zustandsmodells I

TaylorTaylor--Reihenentwicklung:Reihenentwicklung:

( )1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )i i i i i i i i it t t t t t t t t− − − − − −= + + − +zz z A z f R

Anfangsbedingung:Anfangsbedingung: 0 0( )t ≡z z

( )1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i it t t t t t t− − − − −= + + −zz z A z f

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( , )i i i i i i it t t t t t t− − − −= + − +z z z R�

11.06.2008S.100

Dabei sind die Zeitdifferenzen so zu wählen, dass die Restglieder hinreichend klein ausfallen. Eine Verbesserung dieser numerischen Integration lässt sich mit den Runge-Kutta-Verfahren verwirklichen. Hierbei wird das Zeitintervall in mehrere Intervalle zerlegt, um eine verbessertePrädiktion des Folgezustands zu erwirken. Für weitere Einzelheiten zu den Runge-Kutta-Verfahren und der Schrittweitensteuerung der numerischen Integration sei auf einschlägige Literatur verwiesen.

1i it t −−1( , )i it t −R

Numerische Integration des Zustandsmodells II

11.06.2008S.101

=x A x�

( )m mi it t

i ie et

λ λ∂⇒ =

∂x A x

m mi it t

i i ie eλ λλ⇒ =x A x

m mi i iλ⇒ =x A x

( )m m m mi i i i i iλ λ⇒ − = − = ≠x A x E A x 0 x 0

i i eλ=x xAnsatz:Ansatz:

Eigenwerte und Eigenvektoren I

( )iλ − =E A 0 ( ) mi iλ − =E A x 0

Eigenwerte Eigenvektoren

Schwingungsmodi

11.06.2008S.102

( )λ − =E A 0 ( ){ }det 0λ⇒ − =E A

( )λ − =E A 0

( ) mλ − =E A x 0

Eigenwerte

Eigenvektoren

Charakteristische Gleichung ( ){ }det 0λ − =E A

Eigenwerte und Eigenvektoren II

11.06.2008S.103

Zeitinvariante Systeme/Matrizen

und verschwindende Anfangsbedingungen

+ + =M y D y K y f��

2 ( ) ( ) ( ) ( )s s s s s s⇒ + + =M Y D Y K Y F

( )( )

s s⇒ =

YM D K

Laplace-Transformierte des Zustandsmodells

Eigenwerte bzw.Pole charakterisierendas dynamischeVerhalten des Systems

Fourier-Reihen, Fourier-und Laplace-Transformation und ...€¦ · Fourier-Summenfunktion ist für...

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