Free Vibration-MDOF 160eng.sut.ac.th/me/box/1_54/425304/MDOF.pdf · Free Vibration-MDOF 164...

Free Vibration-MDOF 160

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 160

ในบทนจะน าเสนอการวเคราะหการสนทางกลเบองตนส าหรบระบบทมล าดบขนความอสระหลาย

ล าดบ(Multiple degree of freedom systems) จ านวนล าดบขนความอสระของระบบเปนตวก าหนดจ านวน

การเคลอนทของวตถและจ านวนทศทางการเคลอนทของแตละวตถ การทระบบมล าดบข นความอสระ

มากกวาหนงนนจะท าใหระบบมความถธรรมชาตมากกวาหนงเชนกน ดงนนความถทจะท าใหเกดการสนพอง

กจะมเพมขนสมพนธกบจ านวนความถธรรมชาตทมของระบบ บทนจะน าเสนอแนวคดของรปรางการสน

(Mode shape) และวธการวเคราะหโมดอล (Modal analysis) ส าหรบการศกษาการตอบสนองของระบบทม

ล าดบขนความอสระหลายล าดบ เชน หนยนตทมล าดบขนความอสระเทากบหก ดงแสดงในรปท 4-1

มอเตอร-ปมเปนระบบทมล าดบขนอสระเทากบสอง โดยมการเคลอนทเปนเชงเสนกบเชงมมเกดขน ดงแสดง

ในรปท 4-2 เปนตน

ในเบองตน เราจะวเคราะหการตอบสนองของระบบทมล าดบขนความอสระเทากบสอง(Two degree

of freedom) ซงจะเปนวธเดยวกนทสามารถประยกตใชในการวเคราะหการตอบสนองของระบบทมล าดบขน

ความอสระหลายล าดบได

รปท 4-2. ระบบทมล าดบขนความอสระเทากบสอง

รปท 4-1. ระบบทมล าดบขนความอสระเทากบหก

Free Vibration-MDOF 161

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 161

4.1 การสนอสระของระบบทมล าดบขนความอสระหลายล าดบและไมมความหนวง

จากรปท 4-3(a) แสดงแบบจ าลองทางกายภาพการสนอสระของระบบทมล าดบขนความอสระเทากบสอง

และไมมความหนวง ทเคลอนทเปนเชงเสน สวนรปท 4-3(b)แสดงแผนภาพวตถอสระ ซงเราสามารถ

ประยกตใชกฎขอทสองของนวตน พจารณาผลรวมของแรงทกระท าตอมวล m1

1 1F m x

เราจะได 1 1 2 2 1 1 1k x k x x m x

หรอ 1 1 1 2 1 2 2 0m x k k x k x (4.1)

พจารณาผลรวมของแรงทกระท าตอมวลm2

2 2F m x

เราจะได 3 2 2 2 1 2 2k x k x x m x

หรอ 2 2 2 3 2 2 1 0m x k k x k x (4.2)

เราสามารถจดรปสมการท 4.1 และ4.2 อยในรปเมตรกซ คอ

0Mx Kx (4.3)

โดยท 1

2

0

0

mM

m

; 1 2 2

2 2 3

k k kK

k k k

เปนเมตรกซสมมาตร

รปท 4-3. ระบบทมล าดบขนความอสระเทากบสอง

Free Vibration-MDOF 162

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 162

ดงนน 1 2 21 1 1

2 2 32 2 2

00

0

k k km x x

k k km x x

สมมตให ผลเฉลยทสถานะคงตวของสมการท 4.1 และ 4.2

1 1( ) cosx t X t และ 2 2( ) cosx t X t

ส าหรบความเรง

2

1 1 cosx X t และ 2

2 2 cosx X t

แทนสมการดงกลาวลงในสมการท 4.1 เราจะได

2

1 1 1 2 1 2 2cos cos cos 0m X t k k X t k X t (4.4)

และสมการท 4.2

2

2 2 2 1 2 3 2cos cos cos 0m X t k X t k k X t (4.5)

สมการท 4.4 และ 4.5 ท าใหสมการเปนจรง ส าหรบคา t ทกคา ดงนน

2

1 1 1 2 1 2 2 0m X k k X k X (4.6)

และ 2

2 2 2 1 2 3 2 0m X k X k k X (4.7)

สมการท 4.6 และ 4.7 จดอยในรปเมตรกซ

2

11 1 2 2

2

22 2 2 3

0Xm k k k

Xk m k k

(4.8)

จากสมการท 4.8 0X และสมการเปนจรงกตอเมอ det 0A ดงนน เราจะได

2 2

1 1 2 2 2 3 2 2 0m k k m k k k k

หรอ 4 2 2

1 2 1 2 2 2 3 1 1 2 2 3 2 0m m k k m k k m k k k k k (4.9)

สมการท 4.9 เราเรยกวา สมการเฉพาะ ซงจะไดรากสมการ

2 2 1 2 2 2 3 1

1 2

1 2

1,

2

k k m k k m

m m

Free Vibration-MDOF 163

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 163

1

2 22

1 2 2 2 3 1 1 2 2 3 2

1 2 1 2

14

2

k k m k k m k k k k k

m m m m

(4.10)

โดยท1 2, คอความถธรรมชาตของระบบ

คา1X และ

2X นนขนอยกบคา1 และ

2 โดยก าหนดใหคา (1)

1X และคา (1)

2X สมพนธกบ1 สวนคา (2)

1X และ

คา (2)

2X สมพนธกบ2 เมอแทน 2 2

1 และ 2 2

2 ลงในสมการท 4.6 และ 4.7 เราจะได

2(1)1 1 1 22 2

1 (1) 2

1 2 2 1 2 3

m k kX kr

X k m k k

(4.11a)

2(2)1 2 1 22 2

2 (2) 2

1 2 2 2 2 3

m k kX kr

X k m k k

(4.11b)

การสนรปรางโหมดบรรทดฐาน(Normal modes) ของการสนทสมพนธกบคา 2

1 และ 2

2 ทมคาอตราสวนโหมด

(mode ratio)คอ 1r และ

2r

(1) (1)

(1) 1 1

(1) (1)

2 1 1

X XX

X r X

(4.12a)

และ (2) (2)

(2) 1 1

(2) (2)

2 2 1

X XX

X r X

(4.12b)

ดงนน ผลเฉลยของการสนแบบอสระ จากสมการท 5 และ 6 จะไดวา

(1)(1)

1 1 1(1) 1

(1)(1)

1 1 1 12

cos( )( )

cos( )

X tX tx t

r X tX t

=First mode

(2)(2)

1 2 2(2) 1

(2)(2)

2 1 2 22

cos( )( )

cos( )

X tX tx t

r X tX t

=Second mode

ซงคา (1) (2)

1 1 1, ,X X และ2 สามารถหาไดจากเงอนไขเรมตนของระบบ

เงอนไขเรมตน ส าหรบระบบทมล าดบขนความอสระเทากบสองนน จ าเปนตองการเงอนไขเรมตน การกระจดตน

และความเรวตนแตละพกด ซงระบบนสามารถท าใหเกดการสนรปรางโหมดบรรทดฐานไดสองโหมด 1,2i

โดยการแทนคาเงอนไขเรมตน

( )

1 1( 0) ix t X ; 1( 0) 0x t

Free Vibration-MDOF 164

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 164

( )

2 1( 0) i

ix t r X ; 2( 0) 0x t

ผลเฉลยของสมการท 4.1 และ 4.2 สามารถประยกตใช linear superposition ส าหรบสองโหมดบรรทดฐาน

เราจะได 1 1 2 2( ) ( ) ( )x t c x t c x t

โดย c1 และ c2 เปนคาคงท ; ถาเราเลอกคา 1 2 1c c ดงนน

(1) (1) (1) (2)

1 1 2 1 1 1 1 2 2( ) ( ) ( ) cos cosx t x t x t X t X t (4.13a)

(2) (2) (1) (2)

2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2( ) ( ) ( ) cos cosx t x t x t r X t r X t (4.13b)

ซงคา (1) (2)

1 1 1, ,X X และ2 สามารถหาไดจากเงอนไขเรมตน

1 1( 0) (0)x t x ; 1 1( 0) (0)x t x (4.14a)

2 2( 0) (0)x t x ; 2 2( 0) (0)x t x (4.14b)

แทนสมการ4.14a ลงในสมการท4.13a และสมการ4.14b ลงในสมการท4.13 เราจะได

(1) (2)

1 1 1 1 2

(1) (2)

1 1 1 1 2 1 2

(1) (2)

2 1 1 1 2 1 2

(1) (2)

2 1 1 1 1 2 2 1 2

(0) cos cos

(0) sin sin

(0) cos cos

(0) sin sin

x X X

x X X

x r X r X

x r X r X

(4.15)

จากสมการท 4.15 ม 4 สมการยอย ทมตวแปรไมรคา (1) (2) (1) (2)

1 1 1 2 1 1 1 2cos , cos , sin , sinX X X X

ดงนน เราหาผลเฉลยของสมการท 4.15 ได

(1) 2 1 21 1

2 1

(0) (0)cos

r x xX

r r

, (2) 1 1 21 2

2 1

(0) (0)cos

r x xX

r r

(1) 2 1 21 1

1 2 1

(0) (0)sin

r x xX

r r

,

(2) 1 1 21 2

2 2 1

(0) (0)sin

r x xX

r r

ซงผลเฉลยทได

1

2 2 2(1) (1) (1)

1 1 1 1 1cos sinX X X

Free Vibration-MDOF 165

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 165

12 2

2(1) 2 1 21 2 1 2

2 1 1

1 (0) (0)(0) (0)

r x xX r x x

r r

1

2 2 2(2) (2) (2)

1 1 2 1 2cos sinX X X

12 2

2(2) 1 1 21 1 1 2

2 1 2

1 (0) (0)(0) (0)

r x xX r x x

r r

(1)1 11 1 2 1 2

1 (1)

1 1 2 2 1 2

sin (0) (0)tan tan

cos (0) (0)

X r x x

X r x x

(2)1 11 2 1 1 2

2 (2)

1 2 2 1 1 2

sin (0) (0)tan tan

cos (0) (0)

X r x x

X r x x

ตวอยางท e4-1 จากรปท e4-1 แสดงแบบจ าลองกายภาพการสนอสระของระบบทมล าดบขนความอสระเทากบสอง

เมอระบบมมวล 1m 20 kg,

2m 10 kg, คาความแขงของสปรง 1k 5000 N/m , 2k 1000 N/m, และมเงอนไข

เรมตน 1 1( 0) 0, ( 0) 1 mm/secx t x t ,

2 2( 0) 0, ( 0) 0x t x t . จงหาความถธรรมชาต รปรางการสน

และผลการตอบสนองของระบบ

พจารณามวลท 1 โดยใชกฎขอทสองของนวตน 1 1F m x

เราจะได 1 1 2 1 2 1 1k x k x x m x

รปท e4-1. แบบจ าลองกายภาพของระบบทมล าดบขนความอสระเทากบสอง

Free Vibration-MDOF 166

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 166

หรอ 1 1 1 2 1 2 2 0m x k k x k x

พจารณามวลท 2 2 2F m x

เราจะได 2 1 2 2 2k x x m x

หรอ 2 2 2 2 2 1 0m x k x k x

น าสมการทงสองทได จดรปเมตรกซ 0Mx Kx

เราจะได 1 1 1 2 2 1

2 2 2 2 2

00

0

m x k k k x

m x k k x

แทนคาทไดตามโจทย 1 1

2 2

20 0 6000 10000

0 10 1000 1000

x x

x x

เราสามารถหาความถธรรมชาตของระบบได จาก 2det - det - 0M K M K 0

โดยท 2 ดงนน 20 0 6000 1000det 0

0 10 1000 1000

20 6000 1000det 0

1000 10 1000

20 6000 10 1000 1000 1000 0

เราจะได 2200 80000 5000000 0

2

1 1 77.5255 rad/sec, 2

2 2 322.4745 rad/sec

ความถธรรมชาตของระบบคอ 1 8.8049 rad/sec, 2 17.9576 rad/sec

ในขนตอนตอไป เราจะหารปรางโหมดการสน โดยแทนคา 2 2

1 และ 2 2

2

2 (1)

1- M K X 0 และ 2 (2)

2- M K X 0

ดงนน 2 (1)

1- M K X 0(1)

1

(1)

2

20 0 6000 100077.5255 0

0 10 1000 1000

X

X

(1)

1

(1)

2

4449.49 10000

1000 224.745

X

X

Free Vibration-MDOF 167

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 167

เราจะได (1) (1) (1) (1)

1 2 2 14449.49 1000 0 4.44949X X X X

หรอ (1) (1) (1) (1)

1 2 2 11000 224.745 0 4.44949X X X X

อตราสวน (1)

21 (1)

1

4.44949X

rX

การสนรปรางโหมดท 1 จะได (1)

(1) (1)1

1(1)

2

1

4.44949

XX X

X

ถาเราก าหนดใหเงอนไขเรมตน 1 1( 0) 1 mm, ( 0) 0x t x t และ

2 2( 0) 4.44949 mm, ( 0) 0x t x t

การสนทเกดขน ดงแสดงในรปท e4-2 ซงจะเคลอนทดวยความถธรรมชาตในโหมดทหนงเทากบ 8.8049 rad/sec

ส าหรบการสนรปรางโหมดท 2 เราจะได

2 (2)

2- M K X 0(2)

1

(2)

2

20 0 6000 1000322.4745 0

0 10 1000 1000

X

X

(2)

1

(2)

2

449.49 10000

1000 2224.745

X

X

(2) (2) (2) (2)

1 2 2 1449.49 1000 0 0.44949X X X X

อตราสวน (2)

22 (2)

1

0.44949X

rX

0 1 2 3 4 5 6 7-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Time, (sec)

Dis

pla

cem

ent,

(m

m)

x1(1)

x2(t)

รปท e4-2. การสนโหมดท 1

Free Vibration-MDOF 168

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 168

การสนรปรางโหมดท 2 จะได (2)

(2) (2)1

1(2)

2

1

0.44949

XX X

X

ถาเราก าหนดใหเงอนไขเรมตน 1 1( 0) 1 mm, ( 0) 0x t x t และ

2 2( 0) 0.44949 mm, ( 0) 0x t x t

การสนทเกดขน ดงแสดงในรปท e4-3 ซงจะเคลอนทดวยความถธรรมชาตในโหมดทสองเทากบ 17.9576 rad/sec

ผลเฉลยของระบบภายใตเงอนไขของโจทยน ซงเราจะไดดงสมการ 4.13a และ4.13b ซงคา (1) (2)

1 1 1, ,X X และ2

สามารถหาไดจากเงอนไขเรมตน

(1)

1 1cos 0X , (2)

1 2cos 0X

(1) 21 1

1 2 1

sin 0.01r

Xr r

,

(2) 11 2

2 2 1

sin 0.05r

Xr r

1

2 2 2(1) (1) (1)

1 1 1 1 1cos sin 0.01X X X

1

2 2 2(2) (2) (2)

1 1 2 1 2cos sin 0.05X X X

(1)1 1 1

1 (1)

1 1

sintan

cos 2

X

X

, (2)

1 1 22 (2)

1 2

sintan

cos 2

X

X

ผลเฉลยการสนในโหมดท 1 จะได

(1)

(1) 1

(1)

2

0.01cos 8.8049 2( )( )

0.04449cos 8.8049 2( )

tX tx t

tX t

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time, (sec)

Dis

pla

cem

ent,

(m

m)

x1(t)

x2(t)

รปท e4-3. การสนโหมดท 2

Free Vibration-MDOF 169

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 169

ผลเฉลยการสนในโหมดท 2 จะได

(2)

(2) 1

(2)

2

0.05cos 17.9576 2( )( )

0.022cos 17.9576 2( )

tX tx t

tX t

ดงนน ผลเฉลยของระบบ คอ

(1) (1)

1 1 2( ) ( ) ( ) 0.01cos 8.8049 2 0.05cos 17.9576 2x t x t x t t t

(2) (2)

2 1 2( ) ( ) ( ) 0.04449cos 8.8049 2 0.02247cos 17.9576 2x t x t x t t t

เราสามารถประยกตใชแผนภาพ Simulink ดงแสดงในรปท e4-4 ในการหาผลการตอบสนองของระบบได

ตวอยางท e4-2 รปท e4-5 แสดงแบบจ าลองกายภาพการสนอสระของระบบทมล าดบขนความอสระเทากบสอง

และไมมความหนวง เมอความเฉอย1J เทากบ 500 2m kg ,ความเฉอย

2J เทากบ 800 2m kg , 1tk = 1000 N/m,

2tk = 2000 N/m และ3tk = 3000 N/m จงหาความถธรรมชาต และรปรางโหมดการสนของระบบ

รปท e4-5. แบบจ าลองกายภาพทมลกษณะการเคลอนทเชงมม

รปท e4-4. แผนภาพการจ าลองสถานการณ โดย Simulink

Free Vibration-MDOF 170

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 170

พจารณาท 1J โดยใชกฎขอทสองของนวตน

1 1M J

เราจะได 1 1 2 2 1 1 1t tk k J

หรอ 1 1 1 2 1 2 2 0t t tJ k k k

พจารณาท 2J

2 2M J

เราจะได 3 2 2 2 1 2 2t tk k J

หรอ 2 2 2 3 2 2 1 0t t tJ k k k

น าสมการทงสองทได จดรปเมตรกซ 0tJ K

เราจะได 1 2 21 11

2 2 32 22

00

0

t t t

t t t

k k kJ

k k kJ

หรอ 11

22

500 0 3000 20000

0 800 2000 5000

เราสามารถหาความถธรรมชาตของระบบได จาก 2det - det - 0M K M K 0

โดยท 2 ดงนน 500 0 3000 2000det 0

0 800 2000 5000

500 3000 2000det 0

2000 800 5000

500 3000 800 5000 2000 2000 0

เราจะได 2400,000 4,900,000 11,000,000 0

2

1 1 2.9603 rad/sec, 2

2 2 9.2897 rad/sec

ความถธรรมชาตของระบบคอ 1 1.7205 rad/sec, 2 3.0479 rad/sec

เราจะหารปรางโหมดการสนบรรทดฐาน โดยแทนคา 2 2

1 และ 2 2

2

2 (1)

1- M K X 0 และ 2 (2)

2- M K X 0

Free Vibration-MDOF 171

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 171

ดงนน 2 (1)

1- M K X 0(1)

1

(1)

2

500 0 3000 20002.9603 0

0 800 2000 5000

X

X

(1)

1

(1)

2

1519.85 20000

2000 2631.76

X

X

เราจะได (1) (1) (1) (1)

1 2 2 11519.85 2000 0 0.7599X X X X

หรอ (1) (1) (1) (1)

1 2 2 12000 2631.76 0 0.7599X X X X

อตราสวน (1)

21 (1)

1

0.7599X

rX

การสนรปรางโหมดท 1 จะได (1)

(1) (1)1

1(1)

2

1

0.7599

XX X

X

รปท e4-6 แสดงรปรางโหมดการสนท 1

ส าหรบการสนรปรางโหมดท 2 เราจะได

2 (2)

2- M K X 0(2)

1

(2)

2

500 0 3000 20009.2897 0

0 800 2000 5000

X

X

(2)

1

(2)

2

1644.85 20000

2000 2431.76

X

X

(2) (2) (2) (2)

1 2 2 11644.85 2000 0 0.8224X X X X

อตราสวน (2)

22 (2)

1

0.8224X

rX

รปท e4-6. รปรางโหมดการสนท 1

Free Vibration-MDOF 172

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 172

การสนรปรางโหมดท 2 จะได (2)

(2) (2)1

1(2)

2

1

0.8224

XX X

X

รปท e4-7 แสดงรปรางโหมดการสนท 2 จะมโหนด(node) เกดขนระหวางพกด1 กบ

2 และต าแหนงโหนดจะไมม

การสนเกดขน ถาระบบถกรบกวนดวยมเงอนไขเรมตน ตามรปรางโหมดการสนท 2 และจะเคลอนทดวยความถ

ธรรมชาตท 2 (3.0479 rad/sec) ซงทต าแหนงโหนดจะเหมาะสมเปนจดจบยดของเครองจกร เพราะจะไมเกดการสน

หรอแรงทกระท าตอเครองจกร

รปท e4-7. รปรางโหมดการสนท 2

Free Vibration-MDOF 173

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 173

4.2 ปญหาคาเฉพาะ (Eigenvalue problem)

วธในการหาผลเฉลยของสมการทจดรปแบบเมทรกซ และเมทรกซมวลกบเมทรกซคาความแขงของสปรงมคณสมบต

ของเมทรกซสมมาตร(Symmetric matrix) ซงเราสามารถประยกตใชปญหาคาเฉพาะ(Eigenvalue problems)ในการ

แกปญหาการสนทางกลได อนเปนแนวความคดทส าคญในการหาความถธรรมชาต และรปรางการสน คณสมบต

พเศษของเมทรกซสมมาตร

TM LL

โดยท M เปนเมทรกซสมมาตร และเมทรกซบวกแนนอน(Positive definite matrix), L เมทรกซแบบสามเหลยม

ลาง (Lower triangular matrix) ซงM มคาเปนบวกแนนอนถาสเกลารคณเขาไป เราจะได

0Tx Mx

ส าหรบทกๆคาทไมเทากบศนยของเวคเตอร x การแยกตวประกอบ L จะเรยกวา Cholesky decomposition ดงนนเมท

รกซ L จะเปนเมทรกซรากทสอง(Matrix square root) และเปนคาบวกแนนอน ในการแกปญหาการสนทางกลของ

ระบบทมล าดบขนความอสระมากกวาหนงนน เราใชการแปลงพกดทเทยบเทากบการหารสมการการเคลอนทดวยมวล

เชนเดยวกนกบการแกปญหาการสนทางกลของระบบทมล าดบขนความอสระเทากบหนง ดงนน

1 2 1 2M M M

ในการอธบายใหงายขน น าเมทรกซ M ทเปนเมทรกซทแยงมม ของสมการท4.3 เราจะได

11 2

2

0

0

mL M

m

(4.16)

การผกผนของเมทรกซทแยงมม 1 2M คอ

1

2

1

1 1/ 2

1

0=

0

m

m

L M

(4.17)

การเปลยนพกด โดยแทนเวคเตอรx ดวยเวคเตอรq

1/ 2M x q (4.18)

แทนคาxลงในสมการ 4.3 และคณดวย 1 2M เราจะได

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2( ) ( )M MM t M KM t q q 0 (4.19)

Free Vibration-MDOF 174

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 174

ขณะท 1/2 1/2 I M MM และ 1/ 2 1/ 2K M KM เราเรยกวาคาความแขงของสปรงบรรทดฐานมวล (Mass

normalized stiffness) และเปนเมทรกซสมมาตร เราจะได

( ) ( )I t K t q q 0 (4.20)

สมมตผลเฉลยของสมการ 4.20 คอ ( ) j tt e q v (4.21)

โดยท v เวคเตอรของคาคงท แทนสมการ4.21 ลงในสมการ 4.20 เราจะได

2 j t j te K e v v 0

หรอ 2 0K v v (4.22)

เมอระบบเกดการเคลอนท เราจะได v 0 , สมการท 4.22 จะเปนปญหาคาเฉพาะ(Eigenvalue problem) และ v เรา

เรยกวาเวคเตอรคาเฉพาะ (eigenvector) ประโยชนของการประยกตใชวธปญหาคาเฉพาะสมมาตร (Symmetric

eigenvalue problem) ผลเฉลยของสมการ 4.22 คอคาจ านวนจรง

( ) 0K I v (4.23)

โดยท 2 , ส าหรบค าตอบทมความหมายของสมการ 4.23 หาไดจากหลกพชคณต ถา v 0 เราจะไดคา

det( ) 0K I (4.24)

สมการ 4.24 เราเรยกวาสมการคาเฉพาะ (Characteristic equation)

รปรางของโหมดแตละความถนน จะมคณสมบตทส าคญคอการตงฉากกน (Orthogonal) เมอรปรางของโหมดทตาง

ความถกน จะได

1 2 0T v v (4.24)

เวคเตอรคาเฉพาะสามารถท าใหเปนบรรทดฐานทมความยาวหนงหนวย โดยเราจะไดนอรมของเวคเตอร (Norm of a

vector)

1 2

2

1

nT

i

i

x

x x x (4.24)

และ 1x เราเรยกวาเชงตงฉากปรกต (Orthonormal)

Free Vibration-MDOF 175

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 175

ตวอยางท e4-3 แกปญหาคาเฉพาะส าหรบระบบทมล าดบขนความอสระเทากบสองของตวอยางท e4-1 และท า

เวคเตอรคาเฉพาะใหเปนบรรทดฐาน พรอมทงตรวจสอบการตงฉากกน และเปรยบเทยบกบรปรางการสนในตวอยางท

e4-1

เราสามารถหาคา 12

20 0

0 10M

; 12

0.2236 0

0 0.3162M

;

และ 1 12 2

300 70.7107

70.7107 100K M KM

การค านวณหาคาเฉพาะของ ของสมการ 4.23 คอ

300 70.7107 1 0det 0

70.7107 100 0 1

300 100 70.7107 70.7107 0

2 400 25000 0

เราจะได 2

1 1 77.5255 rad/sec, 2

2 2 322.4745 rad/sec

ความถธรรมชาตของระบบคอ 1 8.8049 rad/sec,

2 17.9576 rad/sec

เวคเตอรคาเฉพาะ v ทสมพนธกนกบ 2

1 1 เราจะได

(1)

1( )v 0K I

(1)

1

(1)

2

300 70.7107 1 077.5255 0

70.7107 100 0 1

v

v

(1)

1

(1)

2

222.4745 70.71070

70.7107 22.4745

v

v

เราจะได (1) (1) (1) (1)

1 2 2 1222.4745 70.7107 0 3.1463v v v v

(1)

(1) (1)1

1(1)

2

1v

3.1463

vv

v

เราท า (1)v เปนบรรทดฐาน โดยก าหนดให (1)v 1

Free Vibration-MDOF 176

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 176

(1) (1) (1)v v v 1T (1) (1)

1 1

11 3.1463 1 0.3029

3.1463v v

ดงนนเราจะได (1)1 0.3029

v 0.30293.1463 0.953

เวคเตอรคาเฉพาะ v ทสมพนธกนกบ 2

2 2 เราจะได

(2)

2( )v 0K I

(2)

1

(2)

2

300 70.7107 1 0322.4745 0

70.7107 100 0 1

v

v

(2)

1

(2)

2

22.4745 70.71070

70.7107 222.4745

v

v

(2) (2) (2) (2)

1 2 2 122.4745 70.7107 0 0.3178v v v v

(2)

(2) (2)1

1(2)

2

1v

0.3178

vv

v

เราท า (2)v เปนบรรทดฐาน โดยก าหนดให (2)v 1

(2) (2) (2)v v v 1T (2) (2)

1 1

11 0.3178 1 0.953

0.3178v v

ดงนนเราจะได (2)1 0.953

v 0.9530.3178 0.3029

พจารณาคณสมบตการตงฉากกนของรปรางทแตกตางโหมดกน (1) (2)v v 0T

0.3029 0.9530

0.953 0.3029

T

จะพบวา (1)v และ (2)v มคณสมบตการตงฉากกน และเชงตงฉากปรกต ดวยเหตผลนเราใชการไมเชอมโยง

(Decouple)ของสมการการเคลอนทส าหรบระบบทไมมความหนวง เราก าหนดให

(1) (2) ( )v v v nP

โดยท ( )v n เวคเตอรคาเฉพาะบรรทดฐาน ทม n ล าดบขนความอสระ และเมทรกซ P ดงนนส าหรบตวอยางน

Free Vibration-MDOF 177

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 177

เราจะได 0.3029 0.953

0.953 0.3029P

และมคณสมบตเปนเมทรกซตงฉากกน (Orthogonal matrices) คอ TP P I ผลของการคณเมทรกซ TP KP เราจะ

ไดเมทรกซทแยงมมทมคาเฉพาะ

( ) T

idiag P KP (4.25)

หรอเรยกวาเมทรกซสเปคตม (Spectral matrix) ของK ซงเราจะได

0.3029 0.953 300 70.7107 0.3029 0.953 77.5255 0

0.953 0.3029 70.7107 100 0.953 0.3029 0 322.4745

TP KP

เราจะพจารณารปรางการสนทไดจากตวอยางท 4-1 เมอก าหนดให (1)

1 1X และ (2)

1 1X เราจะได

(1)1

4.44949X

, (2)1

0.44949X

(1) (2)1

1 4.44949 1 00.44949

TX X

เมอพจาณาพบวา (1)

1X และ (2)

1X ไมมคณสมบตการตงฉากกน และเชงตงฉากปรกต เราสามารถแปลงรปรางโหมดได

ดงน

(1) 1 2 (1)vX M หรอ (1) 1 2 (1)v M X

1 2 (1)20 0 1 0.302920

14.7634.44949 0.95314.070 10

M X

4.3 การวเคราะหโมดอล (Modal analysis)

เมทรกซคาเฉพาะของ P สามารถใชส าหรบสมการทไมเชอมโยงกนของระบบการสนทางกล ซงจะไดสมการยอยๆ

จ านวน n สมการ เทากบจ านวนล าดบขนความอสระของระบบ เราสามารถหาผลเฉลยของแตละสมการไดเชนเดยวกบ

ระบบทมล าดบขนความอสระเทากบหนงทกลาวมาแลวในบทท 2 เมทรกซ P และ 1 2M สามารถใชแปลงผลเฉลย

กลบไปสพกด ( )x t และขนตอนดงกลาวเราเรยกวาการวเคราะหโมดอล เพราะการแปลง 1 2S M P เรยกวาเมทรกซ

โมดอล(Modal matrix) ซงสมพนธกบรปรางการสนของการสนทางกลทศกษา

พจารณาสมการการเคลอนทของระบบทไมมความหนวง M K x x 0

Free Vibration-MDOF 178

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 178

โดยมเงอนไขเรมตนคอ 1 2(0) (0) (0) (0) ,T

nx x xx 1 2(0) (0) (0) (0) ,T

nx x xx

เมอ 1/ 2( ) ( )t M tx q สามารถจดรปสมการการเคลอนทได ( ) ( ) I t K t q q 0 (4.26)

โดยท 1 2 1 2 1/ 2 1/ 2,M MM I K M KM และ 1/ 2( ) ( )t M x tq

ก าหนดพกดทสอง ( )= ( )t P tq r (4.27)

โดยท 1 2 3 nP v v v v และ vคอเวคเตอรคาเฉพาะบรรทดฐาน (Normalized eigenvector)

แทนสมการ 4.26 ลงในสมการ 4.27 และคณดวย TP เราจะได

T TP P P K P I r r r r 0 (4.28)

จากสมการ 4.28 ส าหรบระบบทมล าดบขนความอสระเทากบสอง

21 11

22 22

( ) ( )1 0 00

( ) ( )0 1 00

r t r t

r t r t

(4.29)

เราสามารถเขยนสมการไดในรป

2

1 1 1

2

2 2 2

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

r t r t

r t r t

(4.30)

สมการ 4.30 เราเรยกวาสมการโมดอล (Modal equation) ส าหรบระบบทมล าดบขนความอสระเทากบสอง ซงเราจะ

ไดสมการการสนอสระจ านวน 2สมการ ทมล าดบขนความอสระเทากบหนงแบบไมมความหนวง และไมมความ

เชอมโยงกนเพราะแตละสมการนนขนอยกบพกดเดยวเทานน ถาระบบมเงอนไขเรมตน จะสามารถหาผลเฉลยของ

สมการได

ส าหรบการกระจดเรมตนของพกด ( )tr จะได 101 1/ 2

0 0

202

(0)

(0)

T Trr

P (0)= P Mrr

r q x (4.31)

ส าหรบความเรวตนของพกด ( )tr จะได 101 1/ 2

0 0

202

(0)

(0)

T Trr

P (0)= P Mrr

r q x (4.32)

จากสมการโมดอลและเงอนไขเรมตน เราจะไดผลเฉลยของสมการ 4.30 คอ

Free Vibration-MDOF 179

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 179

2 2 2

11 10 10 1 101 1

1 10

2 2 2

12 20 20 2 202 2

2 20

( ) sin( tan )

( ) sin( tan )

r r rr t t

r

r r rr t t

r

(4.33)

ผลเฉลยของพกด ( )tr ทได ตองแปลงกลบไปทพกดเดม ( )x t

1/ 2 1/ 2( ) ( ) ( )t M t M P t x q r (4.34)

โดยท 1/ 2S M P เรยกวาเมทรกซของรปรางโหมด(Matrix of mode shape)

รปท 4-4 แสดงเมทรกซของรปรางโหมด S ทใชเปลยนปญหาการสนทางกลของระบบทมความเชอมโยงกน (Coupled

system) เปนปญหาของระบบทมล าดบขนความอสระเทากบหนง หรอระบบทไมมความเชอมโยง (Decoupled system)

แนวความคดของการวเคราะหโมดอลเปนหนงในพนฐานของการวเคราะหการสน(ความถธรรมชาตและการสนพอง)

ตวอยางท e4-4 ระบบทมล าดบขนความอสระเทากบสองของตวอยางท e4-1 ทมเงอนไขเรมตน (0) 0 0T

x mm

และ (0) 1 0T

x mm/sec จงหาผลการตอบสนองของระบบน

ส าหรบการกระจดเรมตนของพกด ( )tr จะได 101 1/ 2

0 0

202

(0)

(0)

Trr

P Mrr

r x

0.3029 0.953 20 0 0 0

0.953 0.3029 0 00 10

ส าหรบความเรวตนของพกด ( )tr จะได 101 1/ 2

0 0

202

(0)

(0)

Trr

P Mrr

r x

รปท 4-4. Coupled และ Decouple system

Free Vibration-MDOF 180

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 180

0.3029 0.953 20 0 1 1.3546

0.953 0.3029 0 4.26190 10

เราจะไดผลเฉลยของสมการโมดอล คอ

1

2

1.3546( ) sin(8.8049 ) 0.1756sin(8.8049 )

8.8049

4.2619( ) sin(17.9576 ) 0.2373sin(17.9576 )

17.9576

r t t t

r t t t

หรอ 0.1756sin(8.8049 )r( )

0.2373sin(17.9576 )

tt

t

เราจะไดผลการตอบสนองของ ( )x t

1/ 2( ) ( )t M P tx r0.2236 0 0.3029 0.953 0.1756sin(8.8049 )

0 0.3162 0.953 0.3029 0.2373sin(17.9576 )

t

t

หรอ 0.0119sin(8.8049 ) 0.0506sin(17.9576 )( )

0.0529sin(8.8049 ) 0.0227sin(17.9576 )

t tx t

t t

ผลการตอบสนองของระบบ ดงแสดงในรปท e4-8 และแผนภาพการจ าลองสถานการณ แสดงในรป e4-9

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Time, (sec)

Dis

pla

cem

ent,

(m

m)

x1(t)

x2(t)

รปท e4-8. ผลการตอบสนองการสนอสระของระบบทไมมความหนวง

Free Vibration-MDOF 181

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 181

ตวอยางท e4-5 แบบจ าลอง Engine-propeller ทมล าดบขนความอสระเทากบสอง เมอความเฉอย1J เทากบ 100

2m kg ,ความเฉอย2J เทากบ 200 2m kg , คาความแขงของเพลาอนทหนงเทากบ 2000 N/m และคาความแขงของ

เพลาอนทสองเทากบ 6000 N/m ดงแสดงในรปทe4-10 โดยมเงอนไขเรมตน (0) 1 0T

x mm และ

(0) 0 0T

x mm/sec จงหาความถธรรมชาต รปรางโหมด และผลการตอบสนองของระบบน

รปท e4-10 (b) แสดงแบบจ าลองเครองจกรตนก าลง สมการการเคลอนทของระบบน เมอพจารณา1J คอ

1 1M J

1 1 2 2 1 1 1t tk k J

เราจะได 1 1 1 2 1 2 2 0t t tJ k k k (4.35)

1/m2

1/m1

k1+k2

k2

k2

k2

0.1

1000

1000

0.05

6000

1000

Scope1

Scope

1

s

1

s

1

s

1

s

รปท e4-9. แผนภาพการจ าลองสถานการณ โดยSimulink

รปท e4-10. แบบจ าลอง Engine-Propeller

Free Vibration-MDOF 182

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 182

พจารณา2J

2 2M J

เราจะได 2 2 2 2 2 1 0t tJ k k (4.36)

เราสามารถจดรปสมการดงกลาวในรปเมตรกซ คอ

0J K

โดยท 1

2

0 100 0

0 0 200

JJ

J

; 1 2 2

2 2

8000 2000

2000 2000

t t t

t t

k k kK

k k

ดงนน 1 2 21 11

2 22 22

00

0

t t t

t t

k k kJ

k kJ

(4.37)

เราประยกตใชวธวเคราะหโมดอลในการหาผลการตอบสนองของระบบน

สามารถหาคา 12

10 0

0 14.1421M

; 12

0.1 0

0 0.0707M

;

และ 1 12 2

80 14.1421

14.1421 10K M KM

การค านวณหาคาเฉพาะของ ของสมการ 4.23 คอ

80 14.1421 1 0det 0

14.1421 10 0 1

80 10 14.1421 14.1421 0

2 90 600 0

เราจะได 2

1 1 7.2508, 2

2 2 82.7492

ความถธรรมชาตของระบบคอ 1 2.6927 rad/sec,

2 9.0967 rad/sec

เวคเตอรคาเฉพาะ v ทสมพนธกนกบ 2

1 1 เราจะได

(1)

1( )v 0K I

(1)

1

(1)

2

80 14.1421 1 07.2508 0

14.1421 10 0 1

v

v

Free Vibration-MDOF 183

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 183

(1)

1

(1)

2

72.7492 14.14210

14.1421 2.7492

v

v

เราจะได (1) (1) (1) (1)

1 2 2 172.7492 14.1421 0 5.1441v v v v

(1)

(1) (1)1

1(1)

2

1v

5.1441

vv

v

เราท า (1)v เปนบรรทดฐาน โดยก าหนดให (1)v 1

(1) (1) (1)v v v 1T (1) (1)

1 1

11 5.1441 1 0.1908

5.1441v v

ดงนนเราจะได (1)1 0.1908

v 0.19085.1441 0.9816

เวคเตอรคาเฉพาะ v ทสมพนธกนกบ 2

2 2 เราจะได

(2)

2( )v 0K I

(2)

1

(2)

2

80 14.1421 1 082.7492 0

14.1421 10 0 1

v

v

(2)

1

(2)

2

2.7492 14.14210

14.1421 72.7492

v

v

(2) (2) (2) (2)

1 2 2 12.7492 14.1421 0 0.1944v v v v

(2)

(2) (2)1

1(2)

2

1v

0.1944

vv

v

เราท า (2)v เปนบรรทดฐาน โดยก าหนดให (2)v 1

(2) (2) (2)v v v 1T (2) (2)

1 1

11 0.1944 1 0.9816

0.1944v v

ดงนนเราจะได (2)1 0.9816

v 0.98160.1944 0.1908

Free Vibration-MDOF 184

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 184

เราจะได 0.1908 0.9816

0.9816 0.1908P

เมทรกซสเปคตม (Spectral matrix) ของK ซงเราจะได

7.2508 0

0 82.7492

TP KP

เราจะไดสมการโมดอล 1 1

2 2

7.2508 0

82.7492 0

r r

r r

การกระจดเรมตนของพกด ( )tr จะได 101 1/2

0 0

202

(0)

(0)

Trr

P Mrr

r x

0.1908 0.9816 10 0 1 1.908

0.9816 0.1908 0 14.1421 0 9.816

ส าหรบความเรวตนของพกด ( )tr จะได 101 1/ 2

0

202

(0) 0x(0)

(0) 0

Trr

P Mrr

r

เราจะไดผลเฉลยของสมการโมดอล คอ

1

2

( ) 1.908cos 2.6927

( ) 9.816cos 9.0967

r t t

r t t

หรอ

1.908cos 2.6927r( )

9.816cos 9.0967

tt

t

เราจะไดผลการตอบสนองของ ( )x t

1/ 2( ) ( )t M P tx r

1.908cos 2.69270.1 0 0.1908 0.9816

9.816cos 9.09670 0.0707 0.9816 0.1908

t

t

หรอ

1

2

0.0364cos 2.6927 0.9635cos 9.0967( )( )

0.1324cos 2.6927 0.1324cos 9.0967( )

t tx tx t

t tx t

(4.38)

เราสามารถหารปรางโหมดทหนง คอ (1) 1 2 (1)0.1 0 0.1908 0.01908

v0 0.0707 0.9816 0.06939

X M

รปรางโหมดทสอง คอ (2) 1 2 (2)0.1 0 0.9816 0.09816

v0 0.0707 0.1908 0.01348

X M

Free Vibration-MDOF 185

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 185

สมการ4.38 คอผลการตอบสนองการสนอสระของเครองจกรตนก าลง และแสดงดงรปท e4-11

ตวอยางท e4-6 พจารณาเครองจกรตนก าลง ทประกอบดวยเทอรไบร(Turbine)และเครองเปาอากาศ(Air blower) ดง

แสดงในรปท e4-12(a) ซงประมาณแบบจ าลองกายภาพเปนระบบทมล าดบความอสระเทากบสอง แบบไมม

ความหนวงและมการเคลอนทแบบเชงมม ดวยพกด1 ส าหรบเทอรไบร และพกด

2 ส าหรบเครองเปาอากาศ

รปท e4-12(b) แสดงแผนภาพวตถอสระของระบบเครองจกรตนก าลง สมการการเคลอนทของระบบน เมอ

พจารณา1J คอ

1 1M J

2 1 1 1tk J

เราจะได 1 1 1 2 0t tJ k k (e4.1a)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time, (sec)

Dis

pla

cem

ent,

(m

m)

x1(t)

x2(t)

รปท e4-11.ผลการตอบสนองการสนอสระของเครองจกรตนก าลง

รปท e4-12. เครองจกรตนก าลง

Free Vibration-MDOF 186

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 186

พจารณา2J

2 2M J

เราจะได 2 2 2 1 0t tJ k k (e4.1b)

เราสามารถจดรปสมการดงกลาวในรปเมตรกซ คอ

0J K

โดยท 1

2

0

0

JJ

J

; t t

t t

k kK

k k

ดงนน 1 11

2 22

00

0

t t

t t

k kJ

k kJ

(e4.2)

หาคาความถธรรมชาตของระบบ det - 0M K

2

1 2 1 2 0tJ J k J J (e4.3)

ซงเราจะได 2

1 1 0 และ 2 1 2

2 2

1 2

tk J J

J J

เราพบวาระบบจะมความถธรรมชาตเทากบศนยจ านวนหนงความถ หมายความวาระบบไมมการเคลอนทเกดขน

ระบบจะเคลอนทปราศจากความสมพนธของ1J และ

2J เราเรยกระบบลกษณะนวาระบบกงบวกแนนอน

(Semidefinite system) และเมอแทนคา2 ลงในสมการ e4.1 เราจะได (2)

1X และ (2)

2X มมมเฟสตรงกนขามกน ดงนน

จะม node อยตรงกลางของเพลา

Free Vibration- MDOF 187

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 187

4.4 การสนอสระของระบบทมล าดบขนความอสระหลายล าดบและมความหนวง

การวเคราะหการสนอสระของระบบทมล าดบขนความอสระหลายล าดบและมความหนวง เราสามารถประยกตใช

วธการวเคราะหโมดอลในการหาผลการตอบสนองการสนอสระของระบบไดนน จ าเปนตองพจารณาความเชอมโยงกน

ของเมตรกซความหนวง ถาเมตรกซความหนวงไมมความเชอมโยงกน เราสามารถพจารณาการรวมกนแบบเชงเสน

(linear combination) ของเมตรกซมวลและเมตรกซคาความแขงของสปรงแทนเมตรกซความหนวงได ซงเราจะหา

สมการโมดอลและผลเฉลยของแตละสมการได โดยการจ าแนกความหนวงของระบบ เหมอนกบการสนอสระของ

ระบบทมล าดบขนความอสระเทากบหนงและมความหนวง

จากรปท 4-5 แสดงแบบจ าลองทางกายภาพการสนอสระของระบบทมล าดบขนความอสระเทากบสอง และม

ความหนวง ทเคลอนทเปนเชงเสน ซงเราสามารถประยกตใชกฎขอทสองของนวตน พจารณาผลรวมของแรงทกระท า

ตอมวล m1

1 1F m x

เราจะได 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1k x k x x c x c x x m x

หรอ 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 0m x k k x k x c c x c x (4.39)

พจารณาผลรวมของแรงทกระท าตอมวลm2 2 2F m x

เราจะได 2 2 1 2 2 1 2 2k x x c x x m x

หรอ 2 2 2 2 2 2 0m x c x k x (4.40)

เราสามารถจดรปสมการท 4.40 และ4.41 อยในรปเมตรกซ คอ

0Mx Cx Kx (4.41)

รปท 4-5. ระบบทมล าดบขนความอสระเทากบสองและมความหนวง

Free Vibration- MDOF 188

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 188

โดยท 1

2

0

0

mM

m

; 1 2 2

2 2

c c cC

c c

และ 1 2 2

2 2

k k kK

k k

เปนเมตรกซสมมาตร

ดงนน 1 2 21 1 1 2 2 1 1

2 2 32 2 2 2 2 2

00

0

k k km x c c c x x

k k km x c c x x

การแกปญหาระบบทมเมตรกซความหนวง C ดงสมการ 4.41ได กตอเมอ 1 1CM K KM C เพราะระบบจะไมม

ความเชอมโยงกนของเมตรกซความหนวงโดยการแปลงโมดอล S ดงนนการวเคราะหโมดอลสามารถประยกตใช

แกปญหาดงกลาวไดโดยตรง และถาเมตรกซความหนวง C สามารถเขยนอยในรปการรวมแบบเชงเสนของเมตรกซ

มวลและเมตรกซคาความแขงของสปรง คอ

C M K (4.42)

โดยท และ เปนคาคงท, รปแบบเมตรกซความหนวงใหมเราเรยกวา ความหนวงสดสวน(Proportional damping)

แทนสมการ 4.42 ในสมการ 4.41 เราจะได

0Mx M K x Kx (4.43)

แทนสมการ 4.18 และคณดวย 1 2M เราจะไดพกดใหมคอ 0q I K q Kq

แทนสมการ 4.27 และและคณดวย TP เราจะได

( )I I r r r 0 (4.44)

ดงนนเราจะได n สมการโมดอลของระบบทไมมความเชอมโยงกน คอ

22 0i i i i i ir r r (4.45)

โดยท 22 i i i หรอ

2 2

ii

i

, 1,2, ,i n (4.46)

คา และ สามารถหาไดจากการก าหนดคาอตราสวนความหนวงของแตละโหมดได หรอในทางตรงกนขาม ถาเรา

ทราบคา และ กจะหาคาอตราสวนความหนวงไดเชนกน จากสมการโมดอล 4.45

ผลเฉลยส าหรบระบบความหนวงต า 0 1 คอ

( ) sini it

i i di ir t A e t

(4.47)

Free Vibration- MDOF 189

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 189

โดยทคา iA และ

i สามารถหาไดจากเงอนไขเรมตนของระบบ

21di i i ,1/ 2

2 2

0 0 0

2

( ) ( )i i i i i dii

di

r r rA

และ 1 0

0 0

tan i dii

i i i i

r

r r

ผลเฉลยส าหรบระบบความหนวงสง 1 คอ

2 21 1

1 2i i i ii it tt

i i ir(t) e a e a e

(4.48)

เมอ 2

0 0

1 2

1

2 1

i i i i i

i

i i

r ra

, 2

0 0

2 2

1

2 1

i i i i i

i

i i

r ra

ผลเฉลยส าหรบระบบความหนวงวกฤต 1 คอ

1 2( ) i it t

i i ir t a e a te

(4.49)

โดย 1 0i ia r ,

2 0 0i i i ia r r

และแปลงกลบไปพกด x(t) ได คอ 1 1

2 2( ) ( ) ( ) ( )t M t M P t S t

x q r r

ตวอยางท e4-7 รปท e4-13 แสดงแบบจ าลองกายภาพของระบบทมล าดบขนความอสระเทากบสองและม

ความหนวง เมอระบบมมวล1 2 10m m kg,

1 2 100c c N-s/m, 1 5000k N/m และ

2 10000k N/m โดยม

เงอนไขเรมตนเทากบ (0) 1 0T

x mm, (0) 0 0T

x mm/sec

ประยกตใชกฏขอทสองของนวตน พจารณาแรงทกระท าตอมวลท 1 และ 2 เราจะไดสมการการเคลอนท คอ

1 1 1 1 2 1 2 1 1

2 2 2 1 2 2 2

k x c x k x x m x

c x k x x m x

รปท e4-13. ระบบทมล าดบขนความอสระเทากบสองและมความหนวง

Free Vibration- MDOF 190

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 190

สามารถจดรปเมตรกซ ได

10 0 100 0 15000 10000

00 10 0 100 10000 10000

x x x

พจารณาความไมเชอมโยงกนของเมตรกซความหนวง C

1100 0 0.1 0 15000 10000 10 0 15000 10000

0 100 0 0.1 10000 10000 0 10 10000 10000

150000 100000

100000 100000

CM K

เราพบวาเมตรกซความหนวงเปนเมตรกซสมมาตร ดงนนจงเปนระบบทไมมความเชอมโยงกน ซงเราสามารถ

ประยกตใชวธวเคราะหโมดอลได

ขนตอนท 1 เราหาคา

12

10 0

0 10M

; 12

10 10 0 1 10 0

0 10 10 0 1 10M

1 12 2

1 10 0 15000 10000 1 10 0

10000 100000 1 10 0 1 10

1500 1000

1000 1000

K M KM

ขนตอนท 2 หาคาความถธรรมชาตของระบบ det( ) 0K I

ซงเราไดคา 1 2 1 2219.2; 2280.8 14.8062 rad sec, 47.7575 rad sec

ขนตอนท 3 หาคารปรางโหมดบรรทดฐาน และเมตรกซ P

1 2

0.6154 0.7882v ;v

0.7882 0.6154

1 2

0.6154 0.7882P= v v

0.7882 0.6154

ขนตอนท 4 หาคา S และ S-1

12

1 10 0 0.6154 0.7882 0.1946 0.2493

0.7882 0.6154 0.2493 0.19460 1 10S M P

11 2

0.6154 0.7882 10 0 1.9461 2.4925

0.7882 0.6154 2.4925 1.94610 10

TS P M

ขนตอนท 5 หาคาเงอนไขเรมตนส าหรบสมการโมดอล

11.9461 2.4925 1 1.946

(0) (0)2.4925 1.9461 0 2.4925

r S x

11.9461 2.4925 0 0

(0) (0)2.4925 1.9461 0 0

r S x

ขนตอนท 6 หาคา และ

Free Vibration- MDOF 191

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 191

10 0 15000 10000

0 10 10000 10000

100 0 10 15000 10000

0 100 10000 10 10000

C M K

เราจะได 0; 10 ;

ขนตอนท 7 หาคาอตราสวนความหนวงของแตละโหมด 2 2

ii

i

โหมดท 1 1

100.3377

2(14.8062) ,

2 2

1 1 11 14.8062 1 0.3377 13.9363 rad secd

โหมดท 2 2

100.1047

2(47.7575) ,

2 2

2 2 21 47.7575 1 0.1047 47.495 rad secd

จะพบวาระบบมความหนวงต าทงสองโหมด

ขนตอนท 8 หาผลเฉลยส าหรบสมการโมดอล 2

1 1 1 1 12 0 2(0.3377)(14.8062) 219.2 0r r r r r r 2

2 2 2 2 22 0 2(0.1047)(47.7575) 2280.8 0r r r r r r

หรอ

1 10 219.2 0r r r

2 10 2280.8 0r r r

ผลเฉลยของการสนอสระส าหรบระบบความหนวงต า ดงสมการ 4.47

5

1( ) 2.0674 sin 13.9363 1.2263tr t e t 1/ 2 1/ 2

2 2 2 2

10 1 1 10 10 11 2 2

1

1 110 11

10 1 1 10

( ) ( ) ((0.3377)14.8062( 1.946)) ( 1.946(13.9363))2.0674

(13.9363)

1.946(13.9363)tan tan 1.2263

((0.3377)14.8062( 1.946))

d

d

d

r r rA

r

r r

และ 5

2( ) 2.5062 sin 47.495 1.4659tr t e t

1/ 2 1/ 22 2 2 2

20 2 2 20 20 22 2 2

1

1 120 22

20 2 2 20

( ) ( ) ((0.1047)47.7575( 2.4925)) ( 2.4925(47.495))2.5062

(47.495)

2.4925(47.495)tan tan 1.4659

((0.1047)47.7575( 2.4925))

d

d

d

r r rA

r

r r

หรอ เราจะได

5

1

5

2

( ) 2.0674 sin 13.9363 1.2263( )

( ) 2.5062 sin 47.4975 1.4659

t

t

r t e tr t

r t e t

ขนตอนท 9 แปลงพกด ( )r t ใหอยในพกด ( )x t ดงนนผลเฉลยทไดคอ

Free Vibration- MDOF 192

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 192

5

5

5 5

5

0.1946 0.2493 2.0674 sin 13.9363 1.2263( ) ( )

0.2493 0.1946 2.5062 sin 47.495 1.4659

0.4023 sin 13.9363 1.2263 0.6247 sin 47.495 1.4659

0.5154 sin 13.9363 1.2263 0.4877

t

t

t t

t

e tx t Sr t

e t

e t e t

e t e

5 sin 47.495 1.4659t t

จากรปท e4-14 แสดงผลการสนอสระของระบบทมความหนวงต า ซงระบบจะเกดการแกวงในชวงเรมตน เมอเวลา

ผานไประบบจะเขาสคาศนยหรอสมดลของระบบเชนเดยวกบการสนอสระของระบบทมล าดบขนความอสระเทากบ

หนงและมความหนวงต า

ตวอยางท e4-7 รปท e4-15 แสดงการสนอสระของรถยนตทสามารถสนในแนวแกนตง(Bounce motion, ( )x t )และ

การเคลอนทในแนวแกนนอน(Pitch motion, ( )t ) ดงนนการวเคราะหการสนของเคลอนทของรถยนตสามารถ

พจารณาเปนระบบทมล าดบขนความอสระเทากบสองและมความหนวง พจารณาระบบทไมมความเชอมโยงกนของ

เมตรกซความหนวง เมอมมวล 1000m kg, 1 2 15000k k N/m, ระยะ

1 0.5L m, ระยะ2 0.95L m, r =

0.8 m และมคาอตราสวนความหนวงโมดอล 1 2 0.3 โดยมเงอนไขเรมตนเทากบ (0) 0 1

Tx mm,

(0) 0 0T

x mm/sec

จากรปท e4-16 พจารณาผลรวมของแรงในทศทางการเคลอนท ( )x t เราจะได

1 1 2 2 1 1 2 2c x L c x L k x L k x L mx

พจารณาโมเมนตรอบจด C.G. เราจะได

0 0.5 1 1.5

-0.5

0

0.5

1

Time, (sec)

Dis

pla

cem

ent,

(m

m)

x1(t)

x2(t)

รปท e4-14. ผลการสนอสระของระบบทมล าดบขนความอสระเทากบสองและมความหนวง

Free Vibration- MDOF 193

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 193

1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2c L x L c L x L k L x L k L x L J

โดยท 2J mr , r- รศมของ gyration สมการทงสองสามารถจดรปเมตรกซได

1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1

00

0

c c c L c L k k k L k Lm x x x

c L c L c L c L k L k L k L k LJ

เมอเราแทนคาเราจะได 1000 0

0 6400M

และ 30000 6750

6750 17288K

1 20.0316 0

0 0.0125M

30 2.6682

2.6682 2.7013K

เราจะได 2

1 1 2.4429 rad/sec, 2

2 2 30.2583 rad/sec

ความถธรรมชาตของระบบคอ 1 1.563 rad/sec,

2 5.5008 rad/sec

เวคเตอรคาเฉพาะ v (1)0.0964

v0.9953

, (2)0.9953

v0.0964

และ 0.0964 0.9953

0.9953 0.0964P

คา S และ S-1

1 20.0316 0 0.0964 0.9953 0.003 0.0315

0 0.0125 0.9953 0.0964 0.0124 0.0012S M P

รปท e4-15. การสนอสระของรถยนต

รปท e4-16. แบบจ าลองกายภาพการสนอสระของ

รถยนต

Free Vibration- MDOF 194

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 194

1 1 20.0964 0.9953 31.6228 0 3.0484 79.624

0.9953 0.0964 0 80 31.4742 7.712

TS P M

คาเงอนไขเรมตนส าหรบสมการโมดอล

10

0

20

3.0484 79.624 0 79.624r

31.4742 7.712 1 7.712

r

r

10

0

20

0

0

r

r

r

เราจะไดสมการโมดอล 2

1 1 1 1 1 1 1 1 12 0.9738 2.4429 0r r r r r r

2

2 2 2 2 2 2 2 2 22 3.3005 30.2583 0r r r r r r

สมการโมดอลเปนสมการของระบบความหนวงต า ดงนนผลเฉลยของสมการโมดอลคอ

1 1 0.4689

1 1 1 1( ) sin 83.4692 sin 1.4909 1.5708t t

dr t A e t e t

โดยท 2

1 1.563 1 (0.3) 1.4909d rad/sec,1/ 2

2 2

1 1 10 10 11 2

1

( ) ( )83.4692d

d

r rA

และ

1 10 11

1 1 10

tan 1.5708dr

r

2 2 1.6502

2 2 2 2( ) sin 8.0844 sin 5.2474 1.2661t t

dr t A e t e t

โดยท 2

2 5.5008 1 (0.3) 5.2474d rad/sec,1/ 2

2 2

2 2 20 20 22 2

2

( ) ( )8.0844d

d

r rA

และ

1 20 22

2 2 20

tan 1.2661dr

r

ดงนน เราจะไดผลเฉลยของสมการโมดอลคอ

0.4689

1.6502

83.4692 sin 1.4909 1.5708( )

8.0844 sin 5.2474 1.2661

t

t

e tt

e t

r

เปลยนพกด r( )t ใหอยในพกดx( )t ดงนนผลเฉลยทไดคอ

0.4689

1.6502

0.003 0.0315 83.4692 sin 1.4909 1.5708( ) ( )

0.0124 0.0012 8.0844 sin 5.2474 1.2661

t

t

e tt S t

e t

x r

หรอ

0.4689 1.6502

0.4689 1.6502

0.2504 sin 1.4909 1.5708 0.2547 sin 5.2474 1.2661( )

1.035 sin 1.4909 1.5708 0.0097 sin 5.2474 1.2661

t t

t t

e t e tt

e t e t

x mm

Free Vibration-MDOF 195

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 195

ตวอยางทายบท

ตวอยางท P4-1 วเคราะหการสนอสระของปกเครองบนสามารถจ าลองทางกายภาพไดเปนระบบทมล าดบขนความ

อสระเทากบสามและไมมความหนวง ดงแสดงในรปท P4-1 เมอมวล1 3m m 1000 kg,

2m 4000 kg, 95 10E N/m2 , 65 10I m4 และ L 2.5 m เงอนไขเรมตนของระบบ (0) 0 0 0

Tx mm และ

(0) 0 0 1T

x mm/sec จงหาความถธรรมชาต รปรางโหมด และผลการตอบสนองของระบบน

เราประมาณแบบจ าลองของปกเครองบนเหมอนกบคาน ซงเราสามารถหาคาได

3

3EIk

L 4800 N/m

พจารณารปท P4-2 เราสามารถสมการการเคลอนทได คอ

2 1 1 1

2 1 2 3 2 2

2 3 3 3

k x x m x

k x x k x x m x

k x x m x

จดรปสมการดงกลาวในรปเมตรกซ คอ

รปท P4-1. การสนอสระของปกเครองบน

รปท P4-2. แบบจ าลองกายภาพการสนอสระของปกเครองบน

Free Vibration-MDOF 196

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 196

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0 0 0

0 0 2 0

0 0 0

m x k k x

m x k k k x

m x k k x

โดยท 1000 0 0

0 4000 0

0 0 1000

M

และ 4800 4800 0

4800 9600 4800

0 4800 4800

K

1 2

0.0316 0 0

0 0.0158 0

0 0 0.0316

M

4.8 2.4 0

2.4 2.4 2.4

0 2.4 4.8

K

หาคาความถธรรมชาตของระบบ det( ) 0K I

เราจะได 2

1 1 0, 2

2 2 4.8 และ 2

3 3 7.2

ความถธรรมชาตของระบบคอ 1 0 rad/sec,

2 2.1909 rad/sec และ3 2.6833 rad/sec

เราจะเหนวาระบบมความถพนฐานเทากบศนย หมายถงวาระบบนเปนระบบกงบวกแนนอน

เวคเตอรคาเฉพาะ v ทสมพนธกนกบ 2

1 1 เราจะได (1)

1( )v 0K I

(1)

1

(1)

2

(1)

3

4.8 2.4 0 1 0 0

2.4 2.4 2.4 0 0 1 0 0

0 2.4 4.8 0 0 1

v

v

v

(1)

1

(1)

2

(1)

3

4.8 2.4 0

2.4 2.4 2.4 0

0 2.4 2.4

v

v

v

เราจะได (1) (1) (1) (1)

1 2 2 14.8 2.4 0 2v v v v

และ (1) (1) (1) (1)

2 3 2 32.4 4.8 0 2v v v v

(1) (1) (1) (1)

1 2 2 1222.4745 70.7107 0 3.1463v v v v

(1)

1

(1) (1) (1)

2 1

(1)

3

1

v 2

1

v

v v

v

เราท า (1)v เปนบรรทดฐาน โดยก าหนดให (1)v 1

Free Vibration-MDOF 197

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 197

(1) (1) (1)v v v 1T (1) (1)

1 1

1

1 2 1 2 1 0.4082

1

v v

ดงนนเราจะได (1)

0.4082

v 0.8164

0.4082

เราสามารถหารปรางโหมดการสนท1 ไดคอ

(1) 1 2 (1)

0.0316 0 0 0.4082 0.0128

v 0 0.0158 0 0.8164 0.0128

0 0 0.0316 0.4082 0.0128

X M

เวคเตอรคาเฉพาะ v ทสมพนธกนกบ 2

2 2 เราจะได (2)

2( )v 0K I

(2)

1

(2)

2

(2)

3

4.8 2.4 0 1 0 0

2.4 2.4 2.4 4.8 0 1 0 0

0 2.4 4.8 0 0 1

v

v

v

(2)

1

(2)

2

(2)

3

0 2.4 0

2.4 2.4 2.4 0

0 2.4 0

v

v

v

เราจะได (2) (2)

2 22.4 0 0v v และ (2) (2) (2) (2) (2)

1 2 3 1 32.4 2.4 2.4 0v v v v v

(2)

1

(2) (2) (2)

2 1

(2)

3

1

v 0

1

v

v v

v

เราท า (2)v เปนบรรทดฐาน โดยก าหนดให (2)v 1

รปท P4-3. รปรางโหมดการสนท 1

Free Vibration-MDOF 198

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 198

(2) (2) (2)v v v 1T (2) (2)

1 1

1

1 0 1 0 1 0.7071

1

v v

ดงนนเราจะได (2)

0.7071

v 0

0.7071

เราสามารถหารปรางโหมดการสนท2 ไดคอ

(2) 1 2 (2)

0.0316 0 0 0.7071 0.0223

v 0 0.0158 0 0 0

0 0 0.0316 0.7071 0.0223

X M

เวคเตอรคาเฉพาะ v ทสมพนธกนกบ 2

3 3 เราจะได (3)

3( )v 0K I

(3)

1

(3)

2

(3)

3

4.8 2.4 0 1 0 0

2.4 2.4 2.4 7.2 0 1 0 0

0 2.4 4.8 0 0 1

v

v

v

(3)

1

(3)

2

(3)

3

2.4 2.4 0

2.4 4.8 2.4 0

0 2.4 2.4

v

v

v

เราจะได (3) (3) (3) (3)

1 2 2 12.4 2.4 0v v v v และ

(3) (3) (3) (3) (3) (3)

1 2 3 2 1 32.4 4.8 2.4 0 0.5 0.5v v v v v v

รปท P4-4.รปรางโหมดการสนท 2

Free Vibration-MDOF 199

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 199

(3)

1

(3) (3) (3)

2 1

(3)

3

1

v 1

1

v

v v

v

เราท า (3)v เปนบรรทดฐาน โดยก าหนดให (3)v 1

(3) (3) (3)v v v 1T (3) (3)

1 1

1

1 1 1 1 1 0.5773

1

v v

ดงนนเราจะได (3)

0.5773

v 0.5773

0.5773

เราสามารถหารปรางโหมดการสนท2 ไดคอ

(3) 1 2 (3)

0.0316 0 0 0.5773 0.0182

v 0 0.0158 0 0.5773 0.0091

0 0 0.0316 0.5773 0.0182

X M

รปท P4-3 แสดงรปรางโหมดการสนท 1 ของความถธรรมชาตเทากบศนย รปท P4-4 แสดงรปรางโหมดการสนท 2

ของความถธรรมชาตเทากบ 2.1909 rad/sec เราจะพบโหนดอยตรงมวลท 2 ซงเปนล าตวเครองบน เปนขอดในการ

ออกแบบเพราะล าตวเครองบนจะไมเกดการสนขน รปท P4-5 แสดงรปรางโหมดการสนท 3 ของความถธรรมชาต

เทากบ 2.6833 rad/sec บรเวณมวลท2 จะเกดการสนทมขนาดการสนทนอยมาก

เราจะได 0.4082 0.7071 0.5773

0.8164 0 0.5773

0.4082 0.7071 0.5773

P

รปท P4-5. รปรางโหมดการสนท 3

Free Vibration-MDOF 200

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 200

เมทรกซสเปคตม (Spectral matrix) ของK ซงเราจะได

0 0 0

0 4.8 0

0 0 7.2

TP KP

เราจะไดสมการโมดอล1 1

2 2

3 3

( ) 0 ( ) 0

( ) 4.8 ( ) 0

( ) 7.2 ( ) 0

r t r t

r t r t

r t r t

การกระจดเรมตนของพกด ( )tr จะได 10

1/2

0 20 0

30

0

(0) 0

0

T

r

r P M

r

r x

ส าหรบความเรวตนของพกด ( )tr จะได 10

1/2

0 20 0

30

(0)T

r

r P M

r

r x

0

0.4082 0.8164 0.4082 31.6228 0 0 0 12.9084

0.7071 0 0.7071 0 63.2456 0 0 22.3605

0.5773 0.5773 0.5773 0 0 31.6228 1 18.2558

r

ผลเฉลยของสมการโมดอล

1

2

3

( ) 0

22.3605( ) sin(2.1909 ) 18.7761sin(2.1909 )

2.1909

18.2558( ) sin(2.6833 ) 6.8034sin(2.6833 )

2.6833

r t

r t t t

r t t t

เราจะไดผลการตอบสนองของ ( )x t

1/ 2( ) ( )t M P tx r

0.0316 0 0 0.4082 0.7071 0.5773 0

0 0.0158 0 0.8164 0 0.5773 18.7761sin(2.1909 )

0 0 0.0316 0.4082 0.7071 0.5773 6.8034sin(2.6833 )

t

t

0.4205sin(2.1909 ) 0.1245sin(2.6833 )

( ) 0.0619sin(2.6833 )

0.4205sin(2.1909 ) 0.1245sin(2.6833 )

t t

t t

t t

x

Free Vibration-MDOF 201

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 201

ตวอยางท P4-2 รปP4-1 แสดงแบบจ าลองกายภาพของระบบทมความหนวง เมอมมวล1 2 1m m kg,

1 2 1c c N-s/m และ 1 2 1k k N/m จงหาสมการโมดอลและคาอตราสวนความหนวงโมดอล

พจารณามวลท 1 และ 2 เราจะไดสมการการเคลอนท คอ

1 1 1 1 2 1 2 1 1

2 2 2 1 2 2 2

k x c x k x x m x

c x k x x m x

เราสามารถจดรปสมการดงกลาวในรปเมตรกซ คอ

1 1 1 1 1 2 2 1

2 2 2 2 2 2 2

0 00

0 0

m x c x k k k x

m x c x k k x

โดยท 1 0

0 1M

; 1 0

0 1C

และ 2 1

1 1K

พจารณาความเชอมโยงกนของเมตรกซความหนวง คอ

11 0 1 0 2 1 2 1

0 1 0 1 1 1 1 1CM K

เปนเมตรกซสมมาตร ดงนนระบบทไมมความเชอมโยงกน

หาคาความถธรรมชาตของระบบ det( ) 0K I

เราจะได 2

1 1 0.382, 2

2 2 2.618

ความถธรรมชาตของระบบคอ 1 0.6181 rad/sec,

2 1.618 rad/sec

หาคา และ

1 0 2 1

0 1 1 1

1 0 2

0 1

C M K

รปท P4-2. แบบจ าลองกายภาพของระบบทมความหนวง

Free Vibration-MDOF 202

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 202

เราจะได 0; 1 ;

หาคาอตราสวนความหนวงของแตละโหมด 2 2

ii

i

1

10.8089

2 0.382

2

10.309

2 2.618

ดงนน เราจะไดสมการโมดอล คอ 2

1 1 1 1 1 1 1 1 12 0.9998 0.382 0r r r r r r

2

2 2 2 2 2 2 2 2 22 0.9999 2.618 0r r r r r r

Force Vibration-MDOF 204

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 204

การสนพองเกดขนเมอความถของแรงทกระท าแบบฮารโมนกสนนเทากบความถธรรมชาตของระบบ ซงจะ

เทากบจ านวนล าดบขนความอสระทมของระบบนนเอง การตอบสนองการสนแบบบงคบของระบบทมล าดบขนความ

อสระหลายล าดบสามารถประยกตใชวธวเคราะหโมดอลและฟงกชนถายโอนได ในบทนเราจะศกษาการสนแบบบงคบ

ของระบบทมล าดบขนความอสระหลายล าดบส าหรบระบบไมมความหนวงและระบบความหนวง โดยพจารณาแรง

แบบฮารโมนกส แรงแบบขนบนได แรงสนทฐาน เปนตน

5.1 การสนแบบบงคบของระบบทมล าดบขนความอสระหลายล าดบและไมมความหนวง

พจารณาสมการการเคลอนทของการสนแบบบงคบระบบทไมมความหนวงคอ

( ) ( ) F( ) M t K t B t x x (5.1)

โดยท F( )t เวคเตอรแรง และB เมตรกซ

เมอ 1/ 2( ) ( )t M tx q สามารถจดรปสมการการเคลอนทได

1 2 ( ) ( ) F( ) I t K t M B t q q (5.2)

โดยท 1 2 1 2 1/ 2 1/ 2,M MM I K M KM และ 1/ 2( ) x( )t M tq

ก าหนดพกดทสอง ( )= ( )t P tq r (5.3)

โดยท 1 2 3 nP v v v v และ vคอเวคเตอรคาเฉพาะบรรทดฐาน (Normalized eigenvector)

แทนสมการ 5.3 ลงในสมการ 5.2 และคณดวย TP เราจะได

1 2 F( )T T TP P P K P P M B t r r

หรอ 1 2 F( )TI P M B t r r (5.4)

เวคเตอร 1 2 F( )TP M B t จะม ( )if t เปนสวนประกอบของแรงทกระท าแตละมวล ดวยเหตนสมการโมดอลทไมม

ความเชอมโยงสามารถเขยนอยในรป

2( ) ( ) ( )i i i ir t r t f t (5.5)

เมอเงอนไขเรมตนเทากบ 10 20 0r(0) (0) (0) (0) ,T

ir r r 10 20 0r(0) (0) (0) (0)T

ir r r และ

การกระจดเรมตนของพกด ( )tr คอ 1/2

0 0

T TP (0)= P Mr q x

ความเรวตนของพกด ( )tr คอ 1/2

0 0

T TP (0)= P Mr q x

Force Vibration-MDOF 205

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 205

ถาแรงทกระท าเปนแบบฮารโมนกส คอ 0( ) cosi i if t f t ผลเฉลยของสมการท 5.5

0 0 00 2 2 2 2

( ) sin cos cosi i ii ni i ni i

ni ni i ni i

r f fr t t r t t

(5.6)

เมอเงอนไขเรมตนเทากบศนย ผลเฉลยของสมการท 5.5 คอ

0 0

2 2 2 2( ) cos cosi i

i i ni

ni i ni i

f fr t t t

(5.7a)

หรอ 0

2 2

2( ) sin sin

2 2

i i ni i nii

ni i

fr t t t

(5.7b)

ถาแรงทกระท าเปนแบบฮารโมนกส คอ 0( ) sini i if t f t ผลเฉลยของสมการท 5.5

0 0 00 2 2 2 2

( ) cos sin sini i ii i ni ni i

ni ni i ni i

r f fr t r t t t

(5.8)

เมอเงอนไขเรมตนเทากบศนย ผลเฉลยของสมการท 5.5 คอ

0 0

2 2 2 2( ) sin sini i

i i ni

ni i ni i

f fr t t t

(5.9a)

หรอ 0

2 2

2( ) cos cos

2 2

i i ni i nii

ni i

fr t t t

(5.9b)

ผลเฉลยของพกด ( )tr ทได แปลงกลบไปพกด x( )t

1/2 1/2( ) ( ) ( )t M t M P t x q r

ตวอยางท e5-1. พจารณาการสนแบบบงคบของแบบจ าลองกายภาพของระบทมล าดบขนความอสระเทากบสองและ

ไมมความหนวง ดงแสดงในรปท e5-1 เมอ มวล m1 = 10 kg, m2= 20 kg คาความแขงสปรง k1= 6000 N/m, k2=

2000 N/m และแรงทกระท า F(t)=10cos5t N จงหาผลการตอบสนองของระบบ

รปท e5-1.แบบจ าลองกายภาพการสนแบบบงคบ

Force Vibration-MDOF 206

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 206

ก). เมอระบบมเงอนไขเรมตน (0) 0 0T

x mm และ (0) 1 0T

x mm/sec

พจารณาระบบทมแรง F(t) ทกระท าตอมวลท 2 เราจะไดสมการการเคลอนท ส าหรบมวลท 1

1 1 2 2 1 1 1k x k x x m x

หรอ 1 1 1 2 1 2 2 0m x k k x k x

พจารณาผลรวมของแรงทกระท าตอมวลm2 เราจะได 2 2 1 2 2( )F t k x x m x

หรอ 2 2 2 2 2 1 ( )m x k x k x F t

สมการการเคลอนทของการสนแบบบงคบระบบทไมมความหนวงคอ

( ) ( ) F( ) M t K t B t x x

โดยท 10 0

0 20M

, 8000 2000

2000 2000K

, 0 0

0 1B

และ 0( )

10cos5F t

t

เราสามารถหาคา 1 210 0

0 20M

, 1 20.3162 0

0 0.2236M

,

1 2 1 2800 141.4214

141.4214 100K M KM

,

เราจะได 2

1 1 72.5083 rad/sec, 2

2 2 827.4917 rad/sec

ความถธรรมชาตของระบบคอ 1 8.5152 rad/sec,

2 28.7662 rad/sec

เราจะได (1)0.1908

v0.9816

, (2)0.9816

v0.1908

และ 0.1908 0.9816

0.9816 0.1908P

ดงนน 1 20 0.2195 0 2.195cos5

F( )0 0.0427 10cos5 0.427cos5

Tt

P M B tt t

ดงนนเราจะไดสมการโมดอล คอ

2

1 1 1 1 1 1

2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) 72.5083 ( ) 2.195cos5

( ) ( ) ( ) ( ) 827.4917 ( ) 0.427cos5

r t r t f t r t r t t

r t r t f t r t r t t

(e5.1)

ส าหรบการกระจดเรมตนของพกด ( )tr จะได 10 1/2

0 0

20

0

0

Tr

P Mr

r x

Force Vibration-MDOF 207

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 207

ส าหรบความเรวตนของพกด ( )tr จะได 10 1/2

0 0

20

Tr

P Mr

r x

0.1908 0.9816 10 0 1 0.6034

0.9816 0.1908 0 3.10420 20

ผลเฉลยของสมการโมดอล คอ

1

2

( ) 0.0708sin8.5152 0.0462cos8.5152 0.0462cos5

( ) 0.1079sin 28.7662 0.0005cos28.7662 0.0005cos5

r t t t t

r t t t t

ผลการตอบสนองของระบบคอ

1/20.3162 0 0.1908 0.9816

( ) ( ) ( )0 0.2236 0.9816 0.1908

t M P t t

x r r

0.0603 0.3104 0.0708sin8.5152 0.0462cos8.5152 0.0462cos5

0.2195 0.0427 0.1079sin 28.7662 0.0005cos28.7662 0.0005cos5

t t t

t t t

mm

ส าหรบกรณน ผลการตอบสนองของการสนแบบบงคบส าหรบระบบทมล าดบขนความอสระเทากบสองและไมม

ความหนวง ระบบจะสนดวยความถของแรงทกระท ากบความถธรรมชาตทงสองความถ และขนาดการสนสงสดเกดขน

ท m1 ประมาณ 0.04 mm ดงแสดงในรปท e5-2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Time, (sec)

Dis

pla

cem

ent,

(m

m)

X1(t)

X2(t)

รปท e5-2. ผลการตอบสนองของระบบ กรณ ก.

Force Vibration-MDOF 208

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 208

ข). เมอระบบมเงอนไขเรมตนเทากบศนย

ผลเฉลยของสมการโมดอล e5.1 คอ

1

2

( ) 0.0462cos8.5152 0.0462cos5

( ) 0.0005cos28.7662 0.0005cos5

r t t t

r t t t

ผลการตอบสนองของระบบคอ

0.0603 0.3104 0.0462cos8.5152 0.0462cos5( )

0.2195 0.0427 0.0005cos28.7662 0.0005cos5

t tt

t t

x mm

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Time, (sec)

Dis

pla

cem

ent,

(m

m)

X1(t)

X2(t)

รปท e5-3. ผลการตอบสนองของระบบ กรณ ข

k2

k2

k2

-2000

2000

-8000

k1+k2

2000

X2(t)

X1(t)

1

s

1

s

1

s

1

s

F(t)

0.05

1/m2

0.1

1/m1

รปท e5-4. แผนภาพการจ าลองสถานการณ ดวยSimulink

Force Vibration-MDOF 209

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 209

ตวอยางท e5-2. การสนแบบบงคบของระบบทมล าดบขนความอสระเทากบสองและมความหนวง มเงอนไขเรมตน

เทากบศนย จงพจารณาการสนพอง

ก. พจารณาสมการการเคลอนทของการสนแบบบงคบระบบทไมมความหนวงคอ

1 1

2 2

10 0 8000 2000 0 0 0

0 20 2000 2000 0 1 10cos28.7662

x x

x x t

เราจะไดความถธรรมชาตของระบบคอ1 8.5152 rad/sec,

2 28.7662 rad/sec

เมอสมการโมดอล คอ 1 2 F( )TI P M B t r r

โดยท 1 20 0.2195 0 2.195cos28.7662

F( )0 0.0427 10cos28.7662 0.427cos28.7662

Tt

P M B tt t

ดงนนเราจะไดสมการโมดอล คอ

2

1 1 1 1 1 1

2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) 72.5083 ( ) 2.195cos28.7662

( ) ( ) ( ) ( ) 827.4917 ( ) 0.427cos28.7662

r t r t f t r t r t t

r t r t f t r t r t t

ผลเฉลยของสมการโมดอล คอ

1

2

( ) 0.0462cos8.5152 0.0462cos28.7662

( ) 0.0074 cos28.7662

r t t t

r t t t

ผลการตอบสนองของระบบคอ

0.0603 0.3104 0.0462cos8.5152 0.0462cos28.7662( )

0.2195 0.0427 0.0074cos28.7662

t tt

t

x mm

ซงจะได 1( ) 0.0027cos8.5152 0.0027cos28.7662 0.0023 cos28.7662x t t t t t mm

2( ) 0.0101cos8.5152 0.0101cos28.7662 0.0003 cos28.7662x t t t t t mm

แนวความคดของการสนพองส าหรบระบบทมล าดบขนความอสระหลายล าดบเหมอนกนกบระบบทมล าดบขนความ

อสระเทากบหนง ถาความถของแรงฮารโมนกสเทากบความถธรรมชาตของระบบกจะเกดการสนพอง ดงตวอยางจะ

พบวาความถของแรงเทากบ 28.7662 rad/sec ซงเทากบความถธรรมชาตในโหมดทสองจงท าใหขนาดการสนเพมขน

เมอเวลาเพมขน หรอการสนพองกบโหมดทสอง ดงแสดงในรปท e5-5

Force Vibration-MDOF 210

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 210

ข. พจารณาสมการการเคลอนทของการสนแบบบงคบระบบทไมมความหนวงคอ

1 1

2 2

10 0 8000 2000 1 0 1.3756cos28.7662

0 20 2000 2000 0 1 10cos28.7662

x x t

x x t

เราจะไดความถธรรมชาตของระบบคอ1 8.5152 rad/sec,

2 28.7662 rad/sec

เมอสมการโมดอล คอ 1 2 F( )TI P M B t r r

1 2

0.1908 0.9816 0.3162 0 1 0 1.3756cos28.7662F( )

0.9816 0.1908 0 0.2236 0 1 10cos28.7662

2.2778cos28.7662

0

Tt

P M B tt

t

ดงนนเราจะไดสมการโมดอล คอ

2

1 1 1 1 1 1

2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) 72.5083 ( ) 2.2778cos28.7662

( ) ( ) ( ) ( ) 827.4917 ( ) 0

r t r t f t r t r t t

r t r t f t r t r t

ผลเฉลยของสมการโมดอล คอ

1

2

( ) 0.003cos8.5152 0.003cos28.7662

( ) 0

r t t t

r t

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Time, (sec)

Dis

pla

cem

ent,

(m

m)

X1(t)

X2(t)

รปท e5-5. ผลการตอบสนองของระบบ กรณ ก.

Force Vibration-MDOF 211

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 211

ผลการตอบสนองของระบบคอ

0.0603 0.3104 0.003cos8.5152 0.003cos28.7662( )

0.2195 0.0427 0

t tt

x mm

ซงจะได 1( ) 0.000018cos8.5152 0.00018cos28.7662x t t t mm

2( ) 0.00065cos8.5152 0.00065cos28.7662x t t t mm

การสนแบบบงคบทเกดขนส าหรบกรณน เราพบวาแรงฮารโมนกสทกระท ามความถเทากบ 28.7662 rad/sec ซง

เทากบความถธรรมชาตในโหมดทสอง แตไมเกดการสนพองเพราะวาไมมแรงทกระท าทโหมดทสองของสมการโมดอล

ดงนนระบบทมล าดบขนความอสระหลายล าดบนน แมวาแรงฮารโมนกสมความถเทากบความถธรรมชาตกอาจจะไม

เกดการสนพองขนกได ถาสมการโมดอลของโหมดนนๆมความถของแรงทกระท าไมเทากบความถธรรมชาตของโหมด

นนหรอไมมแรงกระท าตอโหมดนน

Force Vibration-MDOF 212

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 212

5.2 การสนแบบบงคบของระบบทมล าดบขนความอสระหลายล าดบและมความหนวง

พจารณาสมการการเคลอนทของการสนแบบบงคบระบบทไมมความหนวงคอ

( ) ( ) ( ) F( ) M t C t K t B t x x x (5.10)

โดยท F( )t เวคเตอรแรง, B เมตรกซ และสมมตเมตรกซ C มคณสมบตการรวมกนเชงเสน ซงสามารถประยกตใช

วธวเคราะหโมดอลได เมอ 1/ 2( ) ( )t M tx q สามารถจดรปสมการการเคลอนทได

1 2 ( ) ( ) ( ) F( ) I t C t K t M B t q q q (5.11)

โดยท 1 2 1 2 1/ 2 1/ 2,M MM I K M KM , 1/ 2( ) ( )t M x tq และ 1/ 2 1/ 2C M CM

ก าหนดพกดทสอง ( )= ( )t P tq r (5.12)

โดยท 1 2 3 nP v v v v และ vคอเวคเตอรคาเฉพาะบรรทดฐาน (Normalized eigenvector)

แทนสมการ 5.12 ลงในสมการ 5.11 และคณดวย TP เราจะได

1 2( ) ( ) ( ) F( )T T T TP P t P C P t P K P t P M B t r r r

หรอ 1 2

idiag 2 F( )T

niI P M B t r r r (5.13)

เวคเตอร 1 2 F( )TP M B t จะม ( )if t เปนสวนประกอบของแรงทกระท าแตละมวล ดวยเหตนสมการโมดอลทไมม

ความเชอมโยงสามารถเขยนอยในรป

2( ) 2 ( ) ( ) ( )i i ni ni i ir t r t r t f t (5.14)

ผลเฉลยของสมการโมดอลท 5.14 นนประกอบดวย ผลเฉลยเอกพนธกบผลเฉลยเฉพาะ

ผลเฉลยเอกพนธของสมการท 5.14 คอผลเฉลยการสนอสระของระบบทมความหนวงส าหรบกรณเงอนไขเรมตน

เทากบ 0 10 20 0(0) (0) (0) ,T

ir r rr 0 10 20 0(0) (0) (0)T

ir r rr

โดยท 1/ 2

0 0

TP Mr x และ 1/ 2

0 0

TP Mr x ดงนนเราสามารถจ าแนกผลเฉลยเอกพนธตามชนดของระบบได คอ

ส าหรบระบบความหนวงสง 1 จะได

2 21 1

1 2ni i ni ii ni

t tt

i i ir(t) e a e a e

(5.15)

Force Vibration-MDOF 213

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 213

โดยท 2

0 0

1 2

r 1 r

2 1

i i i ni i

i

ni i

a

, 2

0 0

2 2

r 1 r

2 1

i i i ni i

i

ni i

a

ส าหรบระบบความหนวงวกฤต 1 จะได

1 2( ) ni nit t

i i ir t a e a te

(5.16)

โดยท 1 0ri ia ,

2 0 0r ri i ni ia

ส าหรบระบบความหนวงต า 0 1 จะได

sini ni

i

t

i i d ir(t) Ae t

(5.17)

โดยท 2 2 1 00 0 0

0 0

1 rr r r , tan

r r

i dii i i ni i i di i

di i ni i

A ( ) ( )

ผลเฉลยเฉพาะของสมการโมดอลท 5.14 เมอแรงทกระท า คอ 0( ) cosi i if t f t เราจะได

( ) cos( )i i i ir t R t (5.18)

โดยท 0

2 2 2 2( ) (2 )

ii

ni i i ni i

fR

และ 1

2 2

2tan i ni i

i

ni i

ผลเฉลยเฉพาะของสมการโมดอลท 5.14 ส าหรบแรงทก าหนดได (Deterministic force) เชน แรงดล แรงแบบขนบนได

แรงแรม เปนตน เราจะไดผลเฉลยเฉพาะคอ

0

1( ) ( ) sin( ( )i ni i ni

t

t

i i di

di

r t e f e t d

(5.18)

โดยท 21di ni i

ผลเฉลยของพกด ( )tr ทได แปลงกลบไปพกด x( )t

1/2 1/2( ) ( ) ( )t M t M P t x q r

Force Vibration-MDOF 214

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 214

ตวอยางท e5-3. พจารณาระบบกนสนสะเทอนของรถยนตทมแบบจ าลองกายภาพของระบทมล าดบขนความอสระ

เทากบสองและมความหนวง ดงแสดงในรปทe5-6 เมอ มวล m1 = 400 kg, m2= 20 kg คาความแขงสปรง k1= 10000

N/m, k2= 25000 N/m, แรงทกระท า y(t)=50cos5t mm และสมมตใหเมตรกซความหนวงไมมความเชอมโยงกน โดยม

ความหนวงแปรผนตรงกบคา 0 และ 0.2 จงหาผลการตอบสนองของระบบ

ก). เมอระบบมเงอนไขเรมตน (0) 0 0T

x mm และ (0) 1 0T

x mm/sec

พจารณาระบบทมแรง y(t) ทกระท าตอมวลท 2 เราจะไดสมการการเคลอนท ส าหรบมวลท 1

1 2 1 2 1 1 1k x x c x x m x

หรอ 1 1 1 1 1 2 1 2 0m x cx k x cx k x

พจารณาผลรวมของแรงทกระท าตอมวลm2 เราจะได 1 2 1 2 1 2 2 2 2( )k x x c x x k y t x m x

หรอ 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 ( )m x cx k k x cx k x k y t

สมการการเคลอนทของการสนแบบบงคบระบบทมความหนวงคอ

( ) ( ) ( ) ( ) M t C t K t By t x x x

โดยท 400 0

0 20M

, 10000 10000

10000 35000K

, 0 0

0 25000B

และ 0( )

50cos5y t

t

เราสามารถหาคา 1 220 0

0 4.4721M

, 1 20.05 0

0 0.2236M

,

1 2 1 225 111.8

111.8 1750K M KM

,

รปท e5-6. แบบจ าลองกายภาพของระบบกนสนสะเทอนของรถยนต

Force Vibration-MDOF 215

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 215

เราจะได 2

1 1 17.8, 2

2 2 1757.2

ความถธรรมชาตของระบบคอ 1 4.2171 rad/sec,

2 41.9192 rad/sec

เราจะได (1)0.9979

v0.0644

, (2)0.0644

v0.9979

และ 0.9979 0.0644

0.0644 0.9979P

ดงนน 1 20 360.1 0 18005cos5

( )0 5578.6 50cos5 278930cos5

Tt

P M By tt t

หาคาอตราสวนความหนวงของแตละโหมด 2 2

ii

i

โหมดท 1 1

0.2 4.21710.4217

2 เปนระบบความหนวงต า

2

1 4.2171 1 0.4217 3.8237d rad/sec

โหมดท 2 2

0.2 41.91924.1992

2 เปนระบบความหนวงสง

ดงนนเราจะไดสมการโมดอล คอ

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3.5567 ( ) 1757.2 ( ) 18005cos5r t r t r t f t r t r t r t t (e5.1a)

2

2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 352.0542 ( ) 827.4917 ( ) 278930cos5r t r t f t r t r t r t t (e5.1b)

ส าหรบการกระจดเรมตนของพกด ( )tr จะได 10 1/2

0 0

20

0

0

Tr

P Mr

r x

ส าหรบความเรวตนของพกด ( )tr จะได 10 1/2

0 0

20

Tr

P Mr

r x

0.9979 0.0644 20 0 1 19.9585

0.0644 0.9979 0 4.4721 0 1.2882

ผลเฉลยเอกพนธของสมการโมดอล e5.1a ส าหรบระบบความหนวงต า คอ

1 1 1.7783

1 1 1 1sin 5.2196 sin3.8237n t t

dr (t) Ae t e t

โดยท 2 2

1 10 1 1 10 10 1

1

1 19.9585r r r 5.2196

3.8237n d

d

A ( ) ( )

, 1 0

0 0

rtan 0

r r

i dii

i ni i

ผลเฉลยเอกพนธของสมการโมดอล e5.1b ส าหรบระบบความหนวงสง คอ

2 2

2 2 2 22 2 1 1 176.027 170.96 170.96

2 12 22 0.0037 0.0037n nn t tt t t tr (t) e a e a e e e e

Force Vibration-MDOF 216

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 216

โดยท 2

20 2 2 2 20

12 2

2 2

r 1 r 1.28820.0037

341.92582 1

n

n

a

,

2

20 2 2 2 20

22 2

2 2

r 1 r0.0037

2 1

n

n

a

ผลเฉลยเฉพาะของสมการโมดอล e5.1a คอ

1 1 1 1( ) cos( ) 938.16cos 5 1.1853r t R t t

โดยท 101 2 2 2 2

1 1 1 1 1

18005938.16

52.0716 316.2532( ) (2 )n n

fR

,

1 1 1 11 2 2

1 1

2tan 1.1853 radn

n

ผลเฉลยเฉพาะของสมการโมดอล e5.1b คอ

2 2 2 2( ) cos( ) 112.943cos 5 0.7934r t R t t

โดยท 202 2 2 2 2

2 2 2 2 2

278930112.943

2469.643( ) (2 )n n

fR

,

1 1 1 11 2 2

1 1

2tan 0.7934 radn

n

ดงนน ผลเฉลยของสมการโมดอล e5.1 คอ

1.7783

1( ) 5.2196 sin3.8237 938.16cos 5 1.1853tr t e t t

176.027 170.96 170.96

2( ) 0.0037 0.0037 112.943cos 5 0.7934t t tr t e e e t

ผลการตอบสนองของระบบคอ

1/ 20.05 0 0.9979 0.0644

( ) ( ) ( )0 0.2236 0.0644 0.9979

t M P t t

x r r

1.7783

176.027 170.96 170.96

5.2196 sin3.8237 938.16cos 5 1.18530.0498 0.0032

0.0143 0.2231 0.0037 0.0037 112.943cos 5 0.7934

t

t t t

e t t

e e e t

mm

Force Vibration-MDOF 217

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 217

ตวอยางท e5-4. พจารณาชด belt-driven machine ซงมแบบจ าลองกายภาพของระบทมล าดบขนความอสระเทากบ

สามและมความหนวง ดงแสดงในรปทe5-7 เมอ J1 =J2= J3= 20 kg-m2/rad คาความแขงสปรง k1= k2= 10000 N/m,

และคาคงทความหนวง c1=c2= 5 N-m/rad จงหาผลการตอบสนองของระบบ โดยมเงอนไขเรมตนเทากบศนย

ก. โมเมนต M(t) เปนฟงกชนดลหนงหนวย(unit impluse)

พจารณาแผนภาพอสระ Belt-driven machine ดงแสดงในรปท e5-8 เราสามารถหาสมการการเคลอนทได คอ

1 1 1 2 1 1 2 1

2 2 2 3 2 2 3 2 1 2 1 1 2 1

3 3 2 3 2 2 3 2 ( )

J k c

J k c k c

J k c M t

แทนคาและจดรปเมตรกซ เราจะได

รปท e5-7. Belt-driven machine

รปท e5-8. แผนภาพวตถอสระ Belt-driven machine

Force Vibration-MDOF 218

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 218

1 1 1

2 2 2

3 3 3

20 0 0 5 5 0 10000 10000 0 0 0 0 0

0 20 0 5 10 5 10000 20000 10000 0 0 0 0

0 0 20 0 5 5 0 10000 10000 0 0 1 ( )M t

พจารณาความไมเชอมโยงกนของเมตรกซความหนวง C

1

5 5 0 0.05 0 0 10000 10000 0 5000 7500 2500

5 10 5 0 0.05 0 10000 20000 10000 7500 15000 7500

0 5 5 0 0 0.05 0 10000 10000 2500 7500 5000

CM K

เราพบวาเมตรกซความหนวงเปนเมตรกซสมมาตร ดงนนจงเปนระบบทไมมความเชอมโยงกน ซงเราสามารถประยกต

ใชวธวเคราะหโมดอลได

เราจะได 2

1 1 0, 2

2 2 500 และ 2

3 3 1500

ความถธรรมชาตของระบบคอ 1 0 rad/sec,

2 22.3607 rad/sec และ3 38.7298 rad/sec

รปรางโหมดบรรทดฐาน (1)

0.5774

v 0.5774

0.5774

, (2)

0.7071

v 0

0.7071

, (3)

0.4082

v 0.8165

0.4082

และ

0.5774 0.7071 0.4082

0.5774 0 0.8165

0.5774 0.7071 0.4082

P

ดงนน 1 2

0 0 0.1291 0 0.1291 ( )

F( ) 0 0 0.1581 0 0.1581 ( )

0 0 0.0913 ( ) 0.0913 ( )

T

t

P M B t t

t t

หาคา และ

5 5 0 20 0 0 10000 10000 0

5 10 5 0 20 0 10000 20000 10000

0 5 5 0 0 20 0 10000 10000

C M K

เราจะได 0.0005, 0 ;

หาคาอตราสวนความหนวงของแตละโหมด 2 2

ii

i

โหมดท 1 1 0

Force Vibration-MDOF 219

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 219

โหมดท 2 2

0.0005 22.36070.0055

2 เปนระบบความหนวงต า

2

2 22.3607 1 0.0055 22.3603d rad/sec

โหมดท 2 3

0.0005 38.72980.0096

2 เปนระบบความหนวงต า

2

2 38.7298 1 0.0096 38.7261d rad/sec

เราจะไดสมการโมดอล คอ

1( ) 0.1291 ( )r t t

2 2 2( ) 0.2459 ( ) 500 ( ) 0.1581 ( )r t r t r t t

3 3 3( ) 0.7436 ( ) 1500 ( ) 0.0913 ( )r t r t r t t

ผลเฉลยของสมการโมดอลของระบบความหนวงต า ส าหรบแรงดลคอ 2

( ) sin1

i nitnii i di

i

r t f e t

ดงนน ผลเฉลยของสมการโมดอล

1

0.1229

2

0.3718

3

( ) 0

( ) 7.0705 sin 22.3603

( ) 0.0023 sin38.7261

t

t

r t

r t e t

r t e t

ผลการตอบสนองของระบบคอ

1/2

0.2236 0 0 0.5774 0.7071 0.4082

( ) ( ) 0 0.2236 0 0.5774 0 0.8165 ( )

0 0 0.2236 0.5774 0.7071 0.4082

t M P t t

x r r

0.1229

0.3718

00.1291 0.1581 0.0913

( ) 0.1291 0 0.1826 7.0705 sin 22.3603

0.1291 0.1584 0.0913 0.0023 sin38.7261

t

t

t e t

e t

x

หรอ 0.1229 0.3718

1

0.3718

2

0.1229 0.3718

3

( ) 1.1178 sin 22.3603 0.0002 sin38.7261

( ) ( ) 0.0004 sin38.7261

( ) 1.1178 sin 22.3603 0.0002 sin38.7261

t t

t

t t

x t e t e t

t x t e t

x t e t e t

x

Force Vibration-MDOF 220

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 220

ข. โมเมนต M(t) เปนฟงกชนแบบขนบนได(Step function) โดยท M(t)=100 N

ดงนน 1 2

0 0 0.1291 0 12.91

F( ) 0 0 0.1581 0 15.81

0 0 0.0913 100 9.13

TP M B t

เราจะไดสมการโมดอล คอ

1( ) 12.91r t

2 2 2( ) 0.2459 ( ) 500 ( ) 15.81r t r t r t

3 3 3( ) 0.7436 ( ) 1500 ( ) 9.13r t r t r t

ผลเฉลยของสมการโมดอล ส าหรบโมเมนตแบบขนบนไดคอ

10 0

2 2( ) cos tan

1 1

nt

d

F Fx t e t

k k

หรอ 1

2 2

1( ) 1 cos tan

1 1

i ni

i

t ii i d

i i

r t f e t

ดงนน ผลเฉลยของสมการโมดอล

1

0.1229

2

0.3718

3

( ) 0

( ) 15.81 1 0.999 cos 22.3603 0.0055

( ) 9.13 1 0.999 cos 38.7261 0.0096

t

t

r t

r t e t

r t e t

ผลการตอบสนองของระบบคอ

0.1229

0.3718

00.1291 0.1581 0.0913

( ) 0.1291 0 0.1826 15.81 1 0.999 cos 22.3603 0.0055

0.1291 0.1584 0.0913 9.13 1 0.999 cos 38.7261 0.0096

t

t

t e t

e t

x

หรอ

0.1229 0.3718

0.3718

0.1229 0.371

2.499 1 0.999 cos 22.3603 0.0055 0.833 1 0.999 cos 38.7261 0.0096

( ) 1.6671 1 0.999 cos 38.7261 0.0096

2.499 1 0.999 cos 22.3603 0.0055 0.833 1 0.999

t t

t

t

e t e t

t e t

e t e

x

8 cos 38.7261 0.0096t t

Force Vibration-MDOF 221

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 221

ตวอยางทายบท

ตวอยางท P5-1 พจารณาการเคลอนทของรถยนตจะมการเคลอนสองลกษณะใหญๆ การเคลอนทแนวตง(Bounce

motion) จะเกดขนโดยพนถนนทมความยาวคลนถนนสน และการเคลอนทในแนวนอน(Pitch motion) จะเกดขนโดยพน

ถนนทมความยาวคลนถนนทยาวกวา และจะปรากฎทความเรวตาของรถยนต ดงแสดงในรปท P5-1

จากรปท P5.2(a) แสดงแบบจาลองกายภาพการเคลอนทของรถยนต ซงแทนการเคลอนทแบบ bounce ดวยพกด

( )x t และแทนการเคลอนทแบบ pitch ดวยพกด ( )t สมมตวาการกระจดเกดขนเพยงเลกนอยหรอ1 2y y 0 และ

ตงฉากกบแนวเสนกลางของมวล โดยท m 800 kg, CGJ 1400 kg*m2,

1 2c c 0, 1k 15000 N/m,

2k 21500 N/m, 1L 1.45 m และ

2L 1.1 m

สมการแรงทกระทาในแนวตง

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2mx c y x L k y x L c y x L k y x L

เราจะไดสมการโมเมนตรอบจด G

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2CGJ c y x L L k y x L L c y x L L k y x L L

รปท P5-1.การเคลอนทของรถยนต

รปท P5-2. แบบจ าลองกายภาพของรถยนต

Force Vibration-MDOF 222

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 222

ตามเงอนดงกลาวขางตน เราจะไดสมการการสนอสระ คอ

2 1 1 1 2 2 0mx k k x k L k L

2 2

2 2 1 1 1 1 2 2 0CGJ k L k L k L k L x

ถาเราสมมตใหผลเฉลย1( ) stx t Ae และ

2( ) stt A e เราจะได

2

2 1 1 1 1 2 2 2 0ms k k A k L k L A (p5.1)

2 2 2

1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 0CGk L k L A J s k L k L A (p5.2)

จากสมการ p5.1 และ p5.2 เราสามารถหาอตราสวนโหมด คอ

1 1 1 2 2

2

2 2 1

A k L k L

A ms k k

(p5.3)

และจากรป P5-3 เราจะได tanx

D และสาหรบมม ทมคานอย

1

2

x AD

A (p5.4)

ระยะ D คอตาแหนงของโหนดหรอศนยกลางเคลอนท ทไมมการเคลอนทเกดขน ดงนนระบบจะมสองโหนด

สมการ p5.3 เมอ 1 1 2 2 0k L k L เราจะได

1 0A และจะทาใหสมการ p5.4 มคา 0D ดงนนจะไมมความ

เชอมโยงกนระหวาง ( )x t กบ ( )t และโหนดของแตละโหมดจะอยทศนยกลางมวล รถยนตภายใตเงอนไขนจะม

คณภาพการขบขทไมด

รปทP5-3 ต าแหนงโหนดส าหรบการสนอสระของระบบ

Force Vibration-MDOF 223

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 223

สมการการเคลอนทของการสนอสระของระบบทไมมความหนวงในรปเมตรกซ คอ

800 0 36500 19000

0 1400 1900 57552.5

x x

เราสามารถหาคา 1 228.2843 0

0 37.4166M

, 1 20.0354 0

0 0.0267M

,

1 2 1 245.625 1.7953

1.7953 41.1089K M KM

,

เราจะได 2

1 1 40.4822, 2

2 2 46.2517

ความถธรรมชาตของระบบคอ 1 6.3626 rad/sec,

2 6.8009 rad/sec

เราจะได (1)0.3296

v0.9441

, (2)0.9441

v0.3296

และ 0.3296 0.9441

0.9441 0.3296P

รปรางโหมดท 1 คอ (1) 1 2 (1)0.0354 0 0.3296 0.0117

v0 0.0267 0.9441 0.0252

X M

อตราสวนโหมดท 1 (1)

1

(1)

2

0.4642 mX x

X

โหนดนจะมตาแหนงอยไปดานหนาจาก CG เปนระยะ 0.4642 m เพราะวา 0x

ดงแสดงในรปท P5-4(a) ซงใกลกบ

ตาแหนง CG การสนทเกดขนในโหมดท 1 จะเปนการเคลอนทแบบ pitch และตาแหนงโหนดเราเรยกวา Pitch center ท

เปนศนยกลางของการเคลอนทในโหมดน

รปท P5-4. โหนดของแตละโหมดรปรางการสน

Force Vibration-MDOF 224

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 224

รปรางโหมดท 2 คอ (2) 1 2 (2)0.0354 0 0.9441 0.0334

v0 0.0267 0.3296 0.0088

X M

อตราสวนโหมดท 2 (2)

1

(2)

2

3.795 mX x

X

โหนดนจะมตาแหนงอยไปดานหลง CG เปนระยะ 3.795 m เพราะวา 0x

ดงแสดงในรปท P5-4(a) ซงจะอยไกล

จากตาแหนงCG การสนทเกดขนในโหมดท 2 จะเปนการเคลอนทแบบbounce และตาแหนงโหนดนเราเรยกวา Bounce

center ทเปนศนยกลางของการเคลอนทในโหมดน