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Hochschule DarmstadtFB Mathematik und Naturwissenschaften

Wirtschaftsmathematikfür die Betriebswirtschaftslehre (B.Sc.)

Adam Georg Balogh

Dr. rer. nat. habil.

Adam Georg Balogh

E-mail: adam-georg.balogh@h-da.de

Sommersemester 2017

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Ökonomische Funktionen

In der Ökonomie werden für Erklärung und Beschreibung ökonomische Sachverhalteallgemein mathematische Modelle verwendet.Allgemeine Bemerkungen:

-häufig ist bei vermuteten funktionalen Zusammenhänge zwischen unterschiedlichenökonomischen Variablen eine genau definierte Funktion nicht vorgegeben. Dannmuss man einen Funktionsaudruck mit statistischen Methoden schätzen oder aus

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muss man einen Funktionsaudruck mit statistischen Methoden schätzen oder ausvorgegebenen Mess- bzw. Beobachtungswerten mit Hilfe von Interpolation,Approximation oder Regression eine Funktionsgleichung konstruieren.

- zur qualitativen Erklärung ökonomischer Prozesse genügen häufig einfacheFunktionstypen, die nur in ihren wesentlichen Eigenschaften, wie z.B. Monotonie,Krümmungsverhalten (siehe: Kurvendiskussion), mit der Realität übereinstimmen.

- um mathematische Modelle anwenden zu können, ersetzt man häufig diskreteVariablen durch stetigen.

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- funktionale Zusammenhänge zwischen ökonomischer Größen dürfen nichtunbedingt als kausale Ursachen/Wirkungs-Zusammenhänge interpretiert werden.Man kann zwischen ökonomischer Variablen auch dann eine Korrelationkonstruieren, wenn zwischen denen inhaltlich gar keinen Zusammenhang besteht.

- häufig hängt der Wert einer ökonomischen Größe gleichzeitig von mehrerenunabhängigen Variablen ab. Z.B.: die Höhe des Sozialprodukts eines Volkswirtschafthängt von Variablen, wie Arbeit, Kapital, Boden und technischer Fortschritt ab. Umsolche Sachverhalte trotzdem durch Funktionen (wie y = f(x)) abbilden und in 2D

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graphisch darstellen zu können, betrachtet man die Variationen des Funktionwertesnur in Abhängigkeit von einer Variablen und vermutet dabei, dass alle Anderekonstant bleiben.

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Beispiele für ökonomische Funktionen:

- Preis-Absatz-Funktion

- Angebotsfunktion

- Umsatzfunktion

- Produktionsfunktion

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- Kostenfunktion

- Gewinnfunktion

- Konsunfunktion

- usw.

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Die Preis-Absatz-Funktion (Nachfragefunktion):

Zusammenhang zwischen:- p – Preis eines Gutes in GE/ME (Geldeinheit/Mengeneinheit) und- x – nachgefragter/abgesetzter Menge eines Gutes in MEx = x(p) oder p = p(x) – UmkehrfunktionenMögliche Verläufe der Funktion:

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Allgemein wird angenommen, dass die Funktion streng monoton fällt (Ausnahme: Güter mit „Snob-Effekt“)

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Die Umsatzfunktion (Erlösfunktion, Ausgabenfunktion):

Zusammenhang zwischen:- abgesetzter Gütermenge x in ME bzw. Güterpreis p in GE/ME und- Umsatz E in GE (Erlös aus der Sicht der Anbieter)

Erlös = Menge x Preis, d.h.

1.) wenn p = konstans, dann , lineare Erlösfunktiondie Steigung der Erlösgeraden ist der konstanten Marktpreis des Gutes

( ) ( ) ( ) ( )xpxxEoderppxpEpxE ⋅=⋅=⇒⋅=

pxE ⋅=

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2.) falls p = konstant, sondern z.B. linear, dann erhalten wir die qudratische Erlösfunktion:

Zum Beispiel:

bzw.

( ) ( ) ParabelxbxaxExbaxp 2−⋅−⋅=⇒⋅−=

( ) ( ) 21,25x10xxEx1,2510xp −=⇒⋅−= ( ) ( ) 20,8p8ppEp0,88px −=⇒⋅−=

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Die Kostenfunktion:

Zusammenhang zwischen:- x – Output (Produktionsmenge, Beschäftigung) in ME und- K – Gesamtkosten in GE

K = K(x) und K(x) = Kv(x) + Kf

Kv(x) – variable Kosten, hängen von Art und Höhe der Beschäftigung abKf – konstans, fixe Kosten, wie z.B. Miete, Abschreibungen, Zinsen, usw.

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- durchschnittliche Gesamtkosten (Stückkosten)

- durchschnittliche variable Kosten

- durchschnittliche fixe Kosten

( )( )

( )( )

( )x

Kxk

x

xKxk

x

xKxk

ff

vv

=

=

=

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Beispiel:sei gegeben eine Gesamtkostenfunktion

Dann erhalten wir die Stückkosten als folgt:

( ) 7210x2xx3

1xK 23

++−=

( ) 721xK

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( )( )

( )( )

( )x

72

x

Kxk

102xx3

1

x

xKxk

x

72102xx

3

1

x

xKxk

ff

2vv

2

==

+−==

++−==

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Die Gewinnfunktion:

Zusammenhang zwischen´:- Produktionsmenge x in ME und- Betriebserfolg G in GE (Gewinn)

G(x) = E(x) – K(x) bzw. G(x) = xp(x) – K(x)Beispiel:1.) gegeben sei die Gesamtkostenfunktion und der Marktpreis p = const.

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( )

( )

( ) ( ) ( ) 987,5x12xxxKxExG

x52,5xE

MEGE52,50p

und9860x12xxxK

23

23

−−+−=−=

⇒⋅=

⇒=

++−=

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2.) x und p sind über die Preis-Absatz-Funktion verknüpft:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) 9860x2xxxG

9860x12xx10x120xxKxExG

10x120xxpxxE10x120xp

23

232

2

−++−=

++−−−=−=

−=⋅=⇒−=

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Aufgabe 1:

sei gegeben eine Preis-Absatz-Funktion: p(x) = -0,1x+1600und eine Gesamtkostenfunktion: K(x) = 900.000+600x

a.) wie lautet die Gewinnfunktion? Welche Nullstellen hat sie?

b.) für welche Produktmenge und bei welchem Preis ist der Gewinn maximal?

c.) füllen Sie folgende Tabelle aus, stellen Sie G graphis dar und tragen Sie den

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c.) füllen Sie folgende Tabelle aus, stellen Sie G graphis dar und tragen Sie den Punkt des maximalen Gewinns, die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze ein:

x 0 500 1.000 5.000 8.000

G(x)

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Lösung:a.) G(x) = U(x) – K(x)

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )1.000x

4.0005.0001091055.000x

9.000.00010.000xx0,1xG

900.0001.000x0,1xxG

1.600x0,1xxpxxU

1

623

1,2

2

2

2

=

±=⋅−⋅±=

+−−=

−+−=

+−=⋅=

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b.) Extrema suchen:

9.000x

1.000x

2

1

=

=

( )

( ) [ ]

( ) [ )

( )

MEGE1.100pund

GE1.600.000xG5.000,x:beiMaximum

5.000;infallendmonoton0xG'5.000xfür

0;5.000insteigendmonoton0xG'5.000xfür

5.000x

01.0000,2xxG'

M

MM

=

==

+∞⇒⟨⇒⟩

⇒⟩⇒⟨

=

⇒=+−=

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c.) Graph:

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x 0 500 1.000 5.000 8.000

G(x) -900.000 -425.000 0 1.600.000 700.050

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Aufgabe 2:

Gegben sei die Kostenfunktion und die variablen Durchschnittkosten:

a.) in welchem Intervall sind die variablen Durchschnittkosten fallend, in welchem

wachsend? Hat die kv(x) Funktion Extrema und wenn ja, wo?

( )

( ) 30036x2xxk

400300x36x2xxK

2

v

23

+−=

++−=

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v

b.) hat die Funktion K einen Wendepunkt, und wenn ja, wo?

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Lösung:a.)

lim

( ) ( )

( ) [ ]

( ) [ )

( )

( ) ( )

( ) Maximumkeinxk

MonotonieMinimumglobales9;138beiMinimumlokales

9xbeiwechselVorzeichen09kund

9;inwachsendmonoton0xkgilt9xfür

0;9infallendmonoton0xkgilt9x0für

9x4364xxk

v

'v

'v

'v

'´v

⇒∞+=

=

⇒=⇒=

+∞⇒⟩⟩

⇒⟨⟨≤

−=−=

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b.)

( ) Maximumkeinxkv

x

⇒∞+=

+∞→

( )

( )

( )1336;6:Stelle

d.hinreichen6xfürwechselVorzeichen

6x0K:WendepunktfürBedingungnotwendige

7212xxK

30072x6xxK

''

''

2'

⇒=

=⇒=

−=

+−=

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