für die Betriebswirtschaftslehre (B.Sc.)balogh/uploads/Main/ko_Funktionen.pdf · In der Ökonomie werden für Erklärung und Beschreibung ökonomische Sachverhalte ... dass die Funktion

Hochschule DarmstadtFB Mathematik und Naturwissenschaften

Wirtschaftsmathematikfür die Betriebswirtschaftslehre (B.Sc.)

Adam Georg Balogh

Dr. rer. nat. habil.

Adam Georg Balogh

E-mail: [email protected]

Sommersemester 2017

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Ökonomische Funktionen

In der Ökonomie werden für Erklärung und Beschreibung ökonomische Sachverhalteallgemein mathematische Modelle verwendet.Allgemeine Bemerkungen:

-häufig ist bei vermuteten funktionalen Zusammenhänge zwischen unterschiedlichenökonomischen Variablen eine genau definierte Funktion nicht vorgegeben. Dannmuss man einen Funktionsaudruck mit statistischen Methoden schätzen oder aus

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muss man einen Funktionsaudruck mit statistischen Methoden schätzen oder ausvorgegebenen Mess- bzw. Beobachtungswerten mit Hilfe von Interpolation,Approximation oder Regression eine Funktionsgleichung konstruieren.

- zur qualitativen Erklärung ökonomischer Prozesse genügen häufig einfacheFunktionstypen, die nur in ihren wesentlichen Eigenschaften, wie z.B. Monotonie,Krümmungsverhalten (siehe: Kurvendiskussion), mit der Realität übereinstimmen.

- um mathematische Modelle anwenden zu können, ersetzt man häufig diskreteVariablen durch stetigen.


- funktionale Zusammenhänge zwischen ökonomischer Größen dürfen nichtunbedingt als kausale Ursachen/Wirkungs-Zusammenhänge interpretiert werden.Man kann zwischen ökonomischer Variablen auch dann eine Korrelationkonstruieren, wenn zwischen denen inhaltlich gar keinen Zusammenhang besteht.

- häufig hängt der Wert einer ökonomischen Größe gleichzeitig von mehrerenunabhängigen Variablen ab. Z.B.: die Höhe des Sozialprodukts eines Volkswirtschafthängt von Variablen, wie Arbeit, Kapital, Boden und technischer Fortschritt ab. Umsolche Sachverhalte trotzdem durch Funktionen (wie y = f(x)) abbilden und in 2D

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graphisch darstellen zu können, betrachtet man die Variationen des Funktionwertesnur in Abhängigkeit von einer Variablen und vermutet dabei, dass alle Anderekonstant bleiben.


Beispiele für ökonomische Funktionen:

- Preis-Absatz-Funktion

- Angebotsfunktion

- Umsatzfunktion

- Produktionsfunktion

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- Kostenfunktion

- Gewinnfunktion

- Konsunfunktion

- usw.


Die Preis-Absatz-Funktion (Nachfragefunktion):

Zusammenhang zwischen:- p – Preis eines Gutes in GE/ME (Geldeinheit/Mengeneinheit) und- x – nachgefragter/abgesetzter Menge eines Gutes in MEx = x(p) oder p = p(x) – UmkehrfunktionenMögliche Verläufe der Funktion:

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Allgemein wird angenommen, dass die Funktion streng monoton fällt (Ausnahme: Güter mit „Snob-Effekt“)


Die Umsatzfunktion (Erlösfunktion, Ausgabenfunktion):

Zusammenhang zwischen:- abgesetzter Gütermenge x in ME bzw. Güterpreis p in GE/ME und- Umsatz E in GE (Erlös aus der Sicht der Anbieter)

Erlös = Menge x Preis, d.h.

1.) wenn p = konstans, dann , lineare Erlösfunktiondie Steigung der Erlösgeraden ist der konstanten Marktpreis des Gutes

( ) ( ) ( ) ( )xpxxEoderppxpEpxE ⋅=⋅=⇒⋅=

pxE ⋅=

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2.) falls p = konstant, sondern z.B. linear, dann erhalten wir die qudratische Erlösfunktion:

Zum Beispiel:

bzw.

( ) ( ) ParabelxbxaxExbaxp 2−⋅−⋅=⇒⋅−=

( ) ( ) 21,25x10xxEx1,2510xp −=⇒⋅−= ( ) ( ) 20,8p8ppEp0,88px −=⇒⋅−=

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Die Kostenfunktion:

Zusammenhang zwischen:- x – Output (Produktionsmenge, Beschäftigung) in ME und- K – Gesamtkosten in GE

K = K(x) und K(x) = Kv(x) + Kf

Kv(x) – variable Kosten, hängen von Art und Höhe der Beschäftigung abKf – konstans, fixe Kosten, wie z.B. Miete, Abschreibungen, Zinsen, usw.

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- durchschnittliche Gesamtkosten (Stückkosten)

- durchschnittliche variable Kosten

- durchschnittliche fixe Kosten

( )( )

( )( )

( )x

Kxk

x

xKxk

x

xKxk

ff

vv

=

=

=


Beispiel:sei gegeben eine Gesamtkostenfunktion

Dann erhalten wir die Stückkosten als folgt:

( ) 7210x2xx3

1xK 23

++−=

( ) 721xK

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( )( )

( )( )

( )x

72

x

Kxk

102xx3

1

x

xKxk

x

72102xx

3

1

x

xKxk

ff

2vv

2

==

+−==

++−==


Die Gewinnfunktion:

Zusammenhang zwischen´:- Produktionsmenge x in ME und- Betriebserfolg G in GE (Gewinn)

G(x) = E(x) – K(x) bzw. G(x) = xp(x) – K(x)Beispiel:1.) gegeben sei die Gesamtkostenfunktion und der Marktpreis p = const.

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( )

( )

( ) ( ) ( ) 987,5x12xxxKxExG

x52,5xE

MEGE52,50p

und9860x12xxxK

23

23

−−+−=−=

⇒⋅=

⇒=

++−=


2.) x und p sind über die Preis-Absatz-Funktion verknüpft:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) 9860x2xxxG

9860x12xx10x120xxKxExG

10x120xxpxxE10x120xp

23

232

2

−++−=

++−−−=−=

−=⋅=⇒−=



Aufgabe 1:

sei gegeben eine Preis-Absatz-Funktion: p(x) = -0,1x+1600und eine Gesamtkostenfunktion: K(x) = 900.000+600x

a.) wie lautet die Gewinnfunktion? Welche Nullstellen hat sie?

b.) für welche Produktmenge und bei welchem Preis ist der Gewinn maximal?

c.) füllen Sie folgende Tabelle aus, stellen Sie G graphis dar und tragen Sie den


c.) füllen Sie folgende Tabelle aus, stellen Sie G graphis dar und tragen Sie den Punkt des maximalen Gewinns, die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze ein:

x 0 500 1.000 5.000 8.000

G(x)


Lösung:a.) G(x) = U(x) – K(x)

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )1.000x

4.0005.0001091055.000x

9.000.00010.000xx0,1xG

900.0001.000x0,1xxG

1.600x0,1xxpxxU

1

623

1,2

2

2

2

=

±=⋅−⋅±=

+−−=

−+−=

+−=⋅=


b.) Extrema suchen:

9.000x

1.000x

2

1

=

=

( )

( ) [ ]

( ) [ )

( )

MEGE1.100pund

GE1.600.000xG5.000,x:beiMaximum

5.000;infallendmonoton0xG'5.000xfür

0;5.000insteigendmonoton0xG'5.000xfür

5.000x

01.0000,2xxG'

M

MM

=

==

+∞⇒⟨⇒⟩

⇒⟩⇒⟨

=

⇒=+−=


c.) Graph:


x 0 500 1.000 5.000 8.000

G(x) -900.000 -425.000 0 1.600.000 700.050


Aufgabe 2:

Gegben sei die Kostenfunktion und die variablen Durchschnittkosten:

a.) in welchem Intervall sind die variablen Durchschnittkosten fallend, in welchem

wachsend? Hat die kv(x) Funktion Extrema und wenn ja, wo?

( )

( ) 30036x2xxk

400300x36x2xxK

2

v

23

+−=

++−=


v

b.) hat die Funktion K einen Wendepunkt, und wenn ja, wo?


Lösung:a.)

lim

( ) ( )

( ) [ ]

( ) [ )

( )

( ) ( )

( ) Maximumkeinxk

MonotonieMinimumglobales9;138beiMinimumlokales

9xbeiwechselVorzeichen09kund

9;inwachsendmonoton0xkgilt9xfür

0;9infallendmonoton0xkgilt9x0für

9x4364xxk

v

'v

'v

'v

'´v

⇒∞+=

=

⇒=⇒=

+∞⇒⟩⟩

⇒⟨⟨≤

−=−=


b.)

( ) Maximumkeinxkv

x

⇒∞+=

+∞→

( )

( )

( )1336;6:Stelle

d.hinreichen6xfürwechselVorzeichen

6x0K:WendepunktfürBedingungnotwendige

7212xxK

30072x6xxK

''

''

2'

⇒=

=⇒=

−=

+−=





























































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