Fuzzy Logic & Control - · PDF fileProf. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy...

Prof. Dr.-Ing. Doris DanzigerProf. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff

Fuzzy Logic & Control

The more, the fuzzier...

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Fuzzy Theorie

• Lofi Zadeh enwickelte 1967 die Fuzzy Theorie.

• Er erweiterte die klassische Mengenlehre um den Begriff der unscharfen „Fuzzy Menge“.

• Dies war notwendig, um Dinge unseres alltäglichen Lebens adäquat beschreiben zu können: – Die Menge „Groß“ der großen Menschen.

• Wann ist ein Mensch groß?

• Z.B. ab 1.80 m, was ist mit Menschen die 1.79 m groß sind? Gehören diese zur Menge „Groß“ oder sind sie „Normal“?

• Mit klassischen scharfen Menge lässt sich diese Frage nicht vernünftig beantworten.

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Scharf versus unscharf

1 1

Groß

1.80

Klein

1.50 1.801.50

Normal

• Scharfe Einteilung erlaubt nur die Zugehörigkeit zu genau einer Menge.

• Fuzzy Logik erlaubt die Mitgliedschaft in mehreren Mengen gleichzeitig.

• Scharfe Klassifizierung führt zu Sprüngen...

• Fuzzy Klassifizierung u. U. zu Mehrdeutigkeiten, erlaubt jedoch stetige Übergänge...

GroßKlein Normal

x = 1.75x = 1.75

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Fuzzy Menge

• Eine Fuzzy Menge A über einer Grundgesamtheit wird beschrieben durch ihre Zugehörigkeits-funktion

A: → [0,1], d.h. ein Element kann

teilweise zur Menge A gehören, da nicht nur die Werte 0 und 1 angenommen werden.

• Zadeh führte für diskrete Mengen die Schreibweise•

•

• und für kontinuierliche, unendliche Mengen•

•

• ein, wobei A/x nicht als Quotient zu lesen ist.

A={1/ x1 , ,m/ xm}≡∑j=1

m

j / x j

A=∫x∈A x/ x

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Einfache Fuzzy Mengen

• Gebräuchliche Fuzzy Mengen sind:

FuzzyTriangle (Dreieck)

FuzzyTrapezoid (Trapez)

FuzzyS, Z und P (Parabeln)

FuzzyBell (Gausskurve)

• Für diese lassen sich effiziente analytisch auswertbare Formeln angeben und codieren.

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FuzzySet Darstellung

• Fuzzy Mengen werden häufig graphisch dargestellt, durch ihre Zugehörigkeitsfunktion.

• Numerisch einfach sind Polygone: Triangle und Trapezoid, sowie Parabeln: FuzzyP, FuzzyZ, FuzzyS.

1.0

0.5

21 3 4 5 6 7

Die Menge „etwa 4.7“

Die Zahl 4gehört zu 0,75

dazu..0.75

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Fuzzy Mengen cont.• Meist wird die Erweiterung von der zweielementigen

Menge {0,1} auf das Einheitsinterval als Tupel ange-geben und die Menge analytisch definiert:

–

–

• Häufig wird A direkt mit der Zugehörigkeitsfunktion identifiziert.

•

• Ähnlich wie Łukasiewicz und Gödel, musste Zadeh für seine Fuzzy Mengen die wichtigsten algebraische Eigenschaften neu definieren, wobei er sich vom „Erweiterungsprinzip“ leiten ließ: Für die Belegungen 0 und 1 soll das klassische Ergebnis herauskommen.

A = { x ,A x ∣x∈ , 0≤Ax≤1 }

A x≡Ax

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Fuzzy Operationen

• Im Folgendem seinen A und B Fuzzy Mengen über derselben Grundgesamtheit .

• A heißt Teilmenge von B wenn•

•

• entsprechend ist die Gleichheit definiert:•

•

• Durchschnitt und Vereinigung zweier Mengen

A⊆B ⇔ A x≤B x ∀ x∈

A≡B ⇔ A x=B x ∀ x∈

A∩B x = min A x ,B x ∀ x∈

A∪B x = max A x ,B x ∀ x∈

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Bemerkung

• Diese Definitionen von Vereinigung und Durch-schnitt sind nicht die einzig möglichen, viele andere sind je nach Verwendungszweck im Gebrauch. Mathematisch werden die fuzzyfizierten Junktoren durch drei Abbildungen beschrieben:

• ∧ (AND) durch eine T-Norm: [0,1]×[0,1]→ [0,1].

• ∨ (OR) durch eine S-Norm: [0,1]×[0,1]→ [0,1].

• ¬ durch das C-Komplement: [0,1]→ [0,1].

• Fordert man, dass die De-Morganschen Gesetze gelten sollen, so sind hierbei nur zwei der drei Funktionen unabhängig T(x,y) = C(S(C(x),C(y))).

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T- und S-Normen

Wichtige algebraische Eigenschaften von Normen:

• Randbedingung: T(x,1) = x

• Kommutativität: T(x, y) = T(y, x)

• Monotonie: Für y1 ≤ y

2 gilt T(x, y

1) ≤ T(x, y

2)

• Assoziativität: T(x, T(y, z)) = T(T(x, y), z)

• Randbedingung: S(x, 0) = x

• Kommutativität: S(x, y) = S(y, x)

• Monotonie: Für y1 ≤ y

2 gilt S(x, y

1) ≤ S(x, y

2)

• Assoziativität: S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z)

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Eigenschaften von Normen

• Mehrwertige Normen lassen sich auf Grund der Assoziativität rekursiv definieren:

• Normen sind wahrheitserhaltend (truth-functional), d. h. W(A∧B) = T(W(A),W(B)) sowie

W(A∨B) = S(W(A),W(B))

T x1 , , xm:=T T x1 , , xm−1 , xm

S x1 , , xm:=S S x1 , , xm−1 , xm

T x1 , x2 , x3 :=T T x1 , x2 , x3

S x1 , x2 , x3 :=S S x1 , x2 , x3

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Wichtige Fuzzy Normen

• Zadeh MinMax Norm Tm

und Sm:

• Algebraisches Produkt / Summe Tp und S

p:

•

•

• Beschränkte Differenz / Summe TL und S

L:

•

•

•

• In all diesen Fällen gilt

A∧Bx = minA x , B x

A∨Bx = max A x , B x

A∧Bx = A x∗B xA∨Bx = A xB x−Ax∗B x

A∧Bx = max 0, A xB x−1

A∨Bx = min1, A xB x

¬A x = 1−A x

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• Zeigen Sie, dass wirklich C(A(x)) = 1 – A(x) gilt.

• Zeigen Sie TL ≤ T

P ≤

T

m ≤ S

m ≤ S

P ≤ S

L.

• Berechnen Sie Tm

und Sm für mehr als 2 Argumente.

• Berechnen Sie TP und S

P für mehr als 2 Argumente.

• Berechnen Sie TL und S

L für mehr als 2 Argumente.

Bemerkung:

• Im JEFIS Projekt sind verschiedene Normen bereits implementiert und alle Fuzzy Sets können damit parametrisiert werden. Schauen Sie sich die API an.

Übungen

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Fuzzy Basics

• Als „Träger (engl. Support)“ einer Fuzzy Menge A wird die Menge

•

•

• bezeichnet. Ein α-Schnitt ist die Niveau Menge •

•

• Das 1-Niveau heißt „Kern“ der Fuzzy Menge A.•

•

• Träger, Schnitt und Kern sind klassische, scharfe Mengen mit Zugehörigkeit 0 oder 1!

supp A = { x∈ ∣ A x0 }

A = { x∈ ∣ A x }

kernA = { x∈ ∣ A x=1 }≡A1

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Fuzzy Zahlen

• Durch Fuzzy Mengen lassen sich „unscharfe Fuzzy Zahlen“ definieren, wie z.B. „etwa drei“.

• Eine Fuzzy Zahl Φ hat eine konvexe Zugehörig-keitsfunktion, die genau in einem Punkt φ den Wert μ

Φ(φ)=1 besitzt, d.h. der Kern kern(Φ) hat eine

scharfe Singularität an der Stelle φ.

• Der Träger supp(Φ) beschreibt die Unschärfe um den Punkt φ.

• Fuzzy Zahlen sollen die selben arithmetischen Operationen erlauben, wie die reellen Zahlen, allerdings unter Berücksichtigung des Trägers.

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Fuzzy Arithmetik

• Gegeben zwei Fuzzy Zahlen A und B, stellt sich die Frage der Berechnung von

Addition: C = A ⊕ B

Subtraktion: C = A ⊖ B

Multiplikation: C = A ⊙ B

Division: C = A ⊘ B

• Eine effiziente Approximation lässt sich mittels Fehlerfortpflanzung finden (hier nur symmetrisch):

C±γ = (A±α) ⊕ (B±β) = (A+B) ± (α+β)

C±γ = (A±α) ⊙ (B±β) = (A*B) ± (B*α+A*β)

C±γ = (A±α) ⊘ (B±β) = (A/B) ± (B*α+A*β)/B2

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Beispiele für Fuzzy Arithmetik

• Visualisierung der Fuzzy Zahlen Arithmetik, deutlich ist die Verbreiterung des Trägers zu erkennen, während der Kern den „normalen Rechenregeln“ genügt. Die Fuzzy Arithmetik ist jedoch kein Körper, da i.A. A⊙A-1 ≈ 1 ≠1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

⊕3 5 ⊙3 53 5⊘3 5⊖3 5

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Fuzzy Vergleich

• Wie groß ist der Wahrheitsgehalt der Aussage A ist (ungefähr) gleich B, d.h. W(A≃B)?

• Nach dem Zadehschen Erweiterungsprinzip ist dies gleich dem Wert der maximalen Übereinstimmung von A und B.

• Für eine Singleton-Menge A(x) ≡ δ(x0 ) reduziert

sich dies für jede(!) T-Norm zu:

W A≃B = supx∈

A x∧B x

W x0≃B = supx∈

T x0 , B x=B x0

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Fuzzy Vergleich cont.

• Ist A kein Singleton so muss das Supremum der Norm explizit ausgewertet werden, z.B. für MinMax:

W A≃B = supx∈

A x∧B x

W A≃B = supx∈

min A x , B x= x0

x0

α(x0)

1

μ(x)

A B

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Übung

• Berechnen Sie für welche der drei Normen Tm, T

P

und TL der Satz vom Widerspruch und der tertium

non datur verletzt sind und für welche nicht.

• Wie lautet die Formel für den Vergleich wenn die Produkt Norm T

P verwendet wird?

• Wie groß ist der Wahrheitswert α(x0) für den Ver-

gleich zweier gegebener Dreiecks Fuzzy Mengen A und B unter Verwendung der T

m und T

P Norm?