Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics · Hydrodynamics Johanna Thomsen, Johannes Gutekunst...

Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick

Grundlagen der Smoothed ParticleHydrodynamics

Johanna Thomsen, Johannes Gutekunst

Kooperation Waschepflege

28. Februar 2017

Johanna Thomsen, Johannes Gutekunst Kooperation Waschepflege

Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 1 / 52

Einleitung

Inhalt

1 Mathematische Grundlagen

2 Fehlerbetrachtung

3 Fluide

4 Zeitintegration

5 Randbedingungen

6 Ausblick

Inhalt

1 Mathematische GrundlagenDirac-DistributionDirac-FolgeDiskretisierungDirac-Folge - beschrankte TeilmengeDifferenzierbarkeitZusammenfassung

2 Fehlerbetrachtung

3 Fluide

4 Zeitintegration

5 Randbedingungen

6 Ausblick

Dirac-Distribution

Dirac-Distribution:

δ(r − ra) =

∞ fur r = ra0 fur r 6= ra

∫Ωδ(r − ra) dΩ = 1

Faltung:

f (ra) = (f ∗ δ)∣∣r=ra

∫Ωf (r) δ(r − ra) dΩ

Dirac-Distribution

Dirac-Folge

Approximation des Dirac-Impulses mit einer Dirac-Folge

Mittelung

δh(r − ra) ≥ 0 ∀ (r , ra, h)

Normierung∫Ωδh(r − ra)dΩ = 1 ∀ (r , ra, h)

Approximation

limh→0

δh(r − ra) = δ(r − ra)

f (ra) = [ f ]c (ra) +O(h2) =

f (r) δh(r − ra) dΩ +O(h2)

Dirac-Folge

Gaussfunktion: δh(r − ra) =1√πh

(−|r − ra|2

Diskretisierung

kontinuierliche Approximation

f (ra) = [ f ]c (ra) +O(h2) =

∫Ωf (r) δh(r − ra) dΩ +O(h2)

Diskretisierung

Volumenelement dΩ = Vb = mbρb

Anzahl an Partikeln im Rechengebiet N

f (ra) = [ f ]d (ra) + O(h2) + O(

( ∆rh )β

N∑b=1

ρbf (rb) δh(rb − ra) + O(h2) + O

(( ∆r

h )β)

Diskretisierung

Dirac-Folge - beschrankte Teilmenge

Menge der Partikel im Kernelsupport ist beschrankte Teilmengealler Partikel in Ω

Kernelfunktionen wh

B-Spline

Wendland (kein Pairing)

wh(r − ra) =

αnhn (1− r−ra

2h )4(1 + 2 r−rah ) fur |r − ra| ≤ 2h

0 fur |r − ra| > 2h

α1 =3

4, α2 =

4π, α3 =

Differenzierbarkeit

Ableitung der Funktion f kann analytisch berechnet werden:

[ ∇f ]c(ra) = −∫

Ωf (r)∇wh(r − ra)dΩ

Differenzierbarkeit

g(ra) ≈∫

Ωg(r)wh(r − ra)dΩ

∇r f (r) := g(r)

∇r f (r)

∣∣∣∣r=ra≈∫

Ω∇r f (r)wh(r − ra)dΩ

[− f (r)∇rwh(r − ra) +∇r (f (r)wh(r − ra))

= −∫

Ωf (r)∇rwh(r − ra)dΩ +

∫Ω∇r

(f (r)wh(r − ra)

= −∫

Ωf (r)∇rwh(r − ra)dΩ +

∮∂Ω

f (r) wh(r − ra) nr dS︸︷︷︸=0 fur vollen Kernel

Differenzierbarkeit

[ ∇f ]c(ra) = −∫

Ωf (r)∇wh(r − ra)dΩ

andere Formulierungen

symmetrisch: ∇f = ∇(ρk

)= ρk ∇

ρk∇(ρk)

antisymmetrisch: ∇(f ρk)

= ρk ∇f + f ∇ρk

⇒ ∇f =1

ρk∇(f ρk)− f

ρk∇(ρk)

Differenzierbarkeit

konstante Bezugsgroße ra

∇rwh(r − ra) = −∇rawh(r − ra)

Differenzierbarkeit

Rotationssymmetrie des Kernels

wh(rab) = wh(rab)

∇rawab = w′abeab

rab := |rab|rab := rb − ra

eab :=rabrab

wab := wh(rab)

Zusammenfassung

f (ra) ≈N∑

ρbf (rb) wab

∇f (ra) ≈N∑

ρbf (rb) w

′abeab

Inhalt

2 FehlerbetrachtungApproximations- und DiskretisierungsfehlerAbgeschnittene Kernelfunktion

3 Fluide

4 Zeitintegration

5 Randbedingungen

6 AusblickJohanna Thomsen, Johannes Gutekunst Kooperation Waschepflege

Approximations- und Diskretisierungsfehler

”Damit eine Methode konsistent ist, muss der Abbruchfehler

gegen null streben, wenn die Diskretisierung unendlich fein wird.“

[Ferziger, J. Peric,M. Numerische Stromungsmechanik, 2008, S.38]

Approximationsfehler

f (ra) = [ f ]c (ra) +O(h2)

Herleitung uberTaylorapproximation∫

Ωδh(r − ra)dΩ = 1

(r − ra) δh(r − ra)dΩ = 0

Diskretisierungsfehler

O(( ∆r

h )β)

Abb.: Wendlandkernel mit h = 1m, ∆r = 1m

Diskretisierungsfehler O(( ∆r

h )β)

Abb.: Wendlandkernel mit h = 1m, ∆r = 12m Abb.: Wendlandkernel mit h = 2m, ∆r = 1m

Approximationsfehler DiskretisierungsfehlerO(h2) O

(( ∆r

h )β)

”Damit eine Methode konsistent ist, muss der Abbruchfehler

gegen null streben, wenn die Diskretisierung unendlich fein wird.“[Ferziger, J. Peric,M. Numerische Stromungsmechanik, 2008, S.38]

Kopplung von ∆r und h

1 ≤ h

∆r≤ 2 Violeau

h = 1.2 ∆r Price (Pairing)

Abgeschnittene Kernelfunktion

Unterschatzung der SPH-Summation∫Ω wh(r − ra)dΩ 6= 1

Hullintegral ungleich null∮∂Ω wh(r − ra) nr dS 6= 0

Renormalisierung Konsistenzbedingung 0. Ordnung

wh(rab) =wh(rab)∑b Vbwh(rab)

hohere Konsistenzordnungen sind rechenlastig

Inhalt

2 Fehlerbetrachtung

3 FluideNavier-Stokes-GleichungenDiskretisierungWeakly Compressible SPH

4 Zeitintegration

5 Randbedingungen

Navier-Stokes-Gleichungen

Massenbilanz

∂t= −∇ · (ρ v) = 0

Impulsbilanz

∂v∂t

+ v · ∇v = −1

ρ∇p + ν∆v + g

Lagrange Ansatz

dt= −ρ∇ · v

= −1

ρ∇p + ν∆v + g

Navier-Stokes-Gleichungen

Lagrange Ansatz - physikalische Deutung

dt=∂Φ

∂t+ v · ∇Φ

konvektive Beschleunigung: v · ∇Φ

lokale Beschleunigung: ∂Φ∂t

Diskretisierung

Disekretisierung der Massenbilanz

dt= −ρ∇ · v

⇓symmetrischer Operator

D1aAb = − 1

mb(Aa − Ab) · w ′abeab ≈ (∇ · A)a

dρadt

mb(v a − vb) · w ′abeab

Diskretisierung

Diskretisierung der Impulsbilanz

= −1

ρ∇p + ν∆v + g

⇓anti-symmetrischer Operator

G 1aAb = ρa

(Aaρ2a

′abeab ≈ (∇A)a

dt= −

(paρ2a

+pbρ2b

′abeab + [ν∆v ]d + g

Diskretisierung

Kunstliche Viskositat

Term fur kunstliche Viskositat Πab nach Monaghan/Gingold

Πab =

−αcabφab+βφ2ab

ρabv ab · r ab < 0

0 v ab · r ab ≥ 0

φab =hv ab · r abr2ab + η2

Einbindung von Πab in diskretisierte Impulsgleichung

dt= −

(paρ2a

+pbρ2b

+ Πab

′abeab + g

Diskretisierung

Viskositat

Berechnung nach Lo und Shao

[ν∆v ]c(r a) ≈∑b

4mb(µa + µb)v ab

(ρa + ρb)2(r2ab + η2)

rabw′ab

Einsetzen in die diskretisierte Impulsgleichung

dt=−

(paρ2a

+pbρ2b

′abeab

4mb(µa + µb)v ab

(ρa + ρb)2(r2ab + η2)

rabw′ab

Weakly Compressible SPH

Druckberechung - Cole Gleichung

pa(ρa) =ρ0c

((ρaρ0

)γ− 1

kunstliche Schallgeschwindigkeit c0

|δρ|ρ≈ |v |

c2= Ma2

c0 = 10vmax

Inhalt

2 Fehlerbetrachtung

3 Fluide

4 ZeitintegrationZeitschrittkriterienVerlet-Algorithmus

5 Randbedingungen

Zeitschrittkriterien

CFL-Bedingung:

∆t ≤ 0.25h

Einfluss der Partikelbeschleunigung:

∆t ≤ 0.25

max(|dvadt |)

Einfluss der Viskositat:

∆t ≤ 0.125h2

max(νa)

min(∆t) wird als Zeitschritt verwendet

Verlet-Algorithmus

Position-Verlet

Berechnung der Positionen zum halben Zeitschritt:

)= r(t) +

Berechnung der Geschwindigkeiten zum nachsten Zeitschritt:

v(t + ∆t) = v(t) + a(t +

Berechnung der Positionen zum nachsten Zeitschritt:

r(t + ∆t) = r(t +

2v(t + ∆t)

Konsistenz 2. Ordnung

Verlet-Algorithmus

Velocity-Verlet

Berechnung der Geschwindigkeiten zum halben Zeitschritt:

)= v(t) +

Berechnung der Positionen zum nachsten Zeitschritt:

r(t + ∆t) = r(t) + v(t +

Berechnung der Geschwindigkeiten zum nachsten Zeitschritt:

v(t + ∆t) = v(t +

2a(t + ∆t)

Konsistenz 2. Ordnung

Inhalt

2 Fehlerbetrachtung

3 Fluide

4 Zeitintegration

5 Randbedingungenmethodische UnterteilungRandpartikel fur vollen Kernelabstoßende RandpartikelRandintegral

6 Ausblick

methodische Unterteilung

Randpartikel furvollen Kernel

abstoßendeRandpartikel

Randintegral

[Abb.: Violeau, D., Fluid mechanics and the SPH method, 2012, Oxford University Press, Seite 426]

Randpartikel fur vollen Kernel

gespiegelte Partikel - ghost particles

Spiegelung randnaher Partikel

Dichte und Druck identisch

normale Geschwindigkeitskomponenteentgegengesetzt

tangentiale Geschwindigkeitskomponenteabhangig von Wandhaftung

Berechnung neu fur jeden Zeitschritt

nicht fur komplexe Geometrien geeignet

[Abb.: Violeau, D., Fluidmechanics and the SPH method,

2012, Oxford University Press,Seite 426]

Randpartikel fur vollen Kernel

Dummy-Partikel nach Adami, Hu und Adams (2012)

mehrreihige feste Randpartikel

vw -Dummy bei Wandhaftung:

vw = 2vν −∑

f v f wwf∑f wwf

Dummy-Druck:

∑f pf wwf + g ·

∑f ρf rwf wwf∑

[Abb.: Adami, S.; Hu, X.Y.; Adams, N.A., Ageneralized wall boundary condition for

smoothed particle hydrodynamics, Journal ofComputational Physisc, Vol. 231, 2012, Seite

abstoßende Randpartikel

nach Monaghan und Kajtar (2009)

einreihige feste Randpartikel

sehr gut fur komplexe Geometrien

Kraft auf den Fluidpartikel nurabhangig von dessen Abstand zurWand

radiale besser als normale Krafte

[Abb.: Violeau, D., Fluid mechanics and theSPH method, 2012, Oxford University Press,

Seite 426]

Randintegral

nach Kulasegaram et al. (2004) und Ferrand et al. (2013)

Einteilung des Randes in Segmente

Volumen des Eckpartikels: Ve = θ2πVf

Genauigkeit der Massenbilanz wird erhoht

Renormalisierungsfaktor:

∫Ωwh(r a − r)dΩ

∇r f (r)

∣∣∣∣r=ra

∫Ωf (r)∇rwh(r a − r)dΩ

∮∂Ω

f (r) wh(r a − r) n dS

[Abb.: Ferrand et al., Unifiedsemi-analytical wall boundary

conditions for inviscid, laminar orturbulent flows in the meshless

SPH, Int. J. Num. Meth. Fluids,Vol. 71, 2013, Seite 451]

Inhalt

2 Fehlerbetrachtung

3 Fluide

4 Zeitintegration

5 Randbedingungen

6 Ausblick

Anhang

∇rwh(r − ra︸︷︷︸X

) = ∇rwh(X )

=∂wh(X )

∂X∂X∂r︸︷︷︸=1

=∂wh(X )

∂X= −∂wh(X )

∂X· (−1)

= −∂wh(X )

∂X∂X∂ra︸︷︷︸=−1

= −∇rawh(X )

= −∇rawh(r − ra)

Impulserhalt (1D, stationar, adiabat, reibungsfrei):

udu +1

∂ρdρ = 0

isentrop: c2 =∂p

udu +1

ρc2 dρ = 0

−M2 du

[ f ]c(ra) =

f (r) δh(r − ra)dΩ

[(f (ra) +

∂r(ra) · (r − ra) +

2(r − ra)T · ∂

∂r 2(ra) · (r − ra)

+O(|r − ra|3

))δh(r − ra)

= f (ra)

δh(r − ra)dΩ

∂r(ra) ·

(r − ra) δh(r − ra)dΩ

+∂2f

∂r 2(ra) ·

2(r − ra)T · (r − ra) δh(r − ra)dΩ

O(|r − ra|3

)δh(r − ra)dΩ

Verlet-Algorithmus

SPH-Velocity-Verlet

)= v(t) +

)= r(t) +

2v(t +

)ρ(t + ∆t) = ρ(t) + ∆t

)r(t + ∆t) = r

2v(t +

)v(t + ∆t) = v

(t + ∆t)

SPH-Position-Verlet

)= r(t) +

)= ρ(t) +

v(t + ∆t) = v(t) + ∆tdvdt

)r(t + ∆t) = r

2v(t + ∆t)

ρ(t + ∆t) = ρ

dt(t + ∆t)

Pradiktor-Korrektor-Methode

)= v(t) +

)= r(t) +

)= ρ(t) +

v(t + ∆t) = v(t) + ∆tdvdt

)r(t + ∆t) = r(t) + ∆tv

)ρ(t + ∆t) = ρ(t) + ∆t

)Johanna Thomsen, Johannes Gutekunst Kooperation Waschepflege

Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics · Hydrodynamics Johanna Thomsen, Johannes Gutekunst...

Documents

Studiengang HealthTech (B.Sc.)...• Hering / Bressler / Gutekunst: Elektronik für Ingenieure, Springer-Verlag 9 Version Datum Bearbeiter/in Freigabe Seite Seite 2 von 2 • Skripte

FACHTAGUNG NetzImpuls 2020 – Autarkie im Stromnetz ......Florian Gutekunst, Transnet BW GmbH Vorträge Digital 8 ÜNB-VNB2.0@de: Koordination, Datenaustausch und erste Erfahrungen

Volkshochschule Reutlingen Galerie Gutekunst Reutlingen · Akademie (dekart) der VHS Reutlingen statt. Ermöglicht und gefördert wird er durch die Fondazione Paolina Brugnatelli

Die weltweit einzigartige Auswahl von Coriolis ...thomsen-messtechnik.com/index_htm_files/Rheonik...2 Die Coriolis-Kraft wurde von Gustav Gaspard Coriolis, um 1830, entdeckt und ist

Mitschrift des Vortrags von Lars Thomsen, future matters AG · future matters AG Future Research & Corporate Foresight Bahnhofstrasse 40 CH-8703 Erlenbach-Zürich Mitschrift des Vortrags

„hamburger jazzgottesdienst“ kommt wieder! T · Janna Plönjes, Thoja Marie Post, Alexander Rieckmann, Finn Thomsen, Maike Winkler, Franziska Wolf, Moritz Wolff Lukaskirche Samstag,

Modulhandbuch für den Bachelor Applied Physics / Medical ... · E. Hering, K. Bressler, J. Gutekunst, „Elektronik für Ingenieure“, VDI-Verlag Weitere Hinweise Dieses Modul wird

FÜÜRWEHR—SNACK · 2013. 5. 21. · FÜÜRWEHR—SNACK Seite 3 (KFV OH) Kreisbrandmeister Ralf Thomsen überreichte Friedrich v. Schönfels, hier mit seinen Mitarbeitern Philip

Elektronik für Ingenieure und NaturwissenschaftlerEkbert Hering • Klaus Bressler • Jürgen Gutekunst Elektronik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Unter Mitarbeit von Horst-Herbert

Die Einzelmeister der VG Westküste - DSkV · Firma Liqui Moly, Schlachterei Thomsen aus Wrohm, Die Skatstube GmbH, Schmidt Spiele, Verbandsgruppe 22, Landesverband Schleswig-Holstein

Universität Flensburg Referentinnen: Sozialisation im Kindes- und Jugendalter K. Thomsen, L. Ehmsen und St. Nissen 22. Januar 2009

HT Hanseatische Industrie Consult Holger Haun & Tom Thomsen …

PRAXISANLEITUNG- KONZEPTE AM KLINIKUM DER … · Susana Gutekunst und Julia Hölzel 23.11.208. KLINIKUM DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN ® AGENDA Projekt „ Koordination und Ausgestaltung

Interview: Zukunfts- karriere Thomsen forscher Lars · 04 Im Fokus Berufsaussichten bleiben gut Die Berufsaussichten für Inge-nieure bleiben auf absehbare Zeit gut. Doch Experten

Das ist FUTURE.WOW! - Frank Thomsen · FUTURE.WOW ist eine Thomsen Entertainment Produktion (München) und wird präsentiert von der future matters AG (Zürich). future matters AG

Demographischer Wandel als Querschnittsaufgabe · PDF fileKatrin John | Stephan L. Thomsen Qualifikation und Fähigkeiten Ein empirischer Vergleich von Sachsen-Anhalt mit

Kapitel1 MathematischeBuddelkiste - application.wiley-vch.de · TrimSize:176mmx240mm Thomsen c01.tex V1-2.˜November2018 3:05P.M. Page26 26 TEILI Mechanik ZumBeispielbezeichnet𝐹einenVektor,dieKraft

Cultural Leadership - · PDF file14 Cultural Leadership als Zukunftsaufgabe – Martin Zierold 19 Agilität für die Zukunft der Kultur – Kai Thomsen 25 Die lernfähige

Evangelisches Bildungswerk im Kirchenbezirk Mühlacker...sind ehrenamtliche Vorsitzende, Diakon Michael Gutekunst ist Bildungsreferent und Geschäftsführer. üroseite ub unst Bettina

Nachrichten - DHV-Niedersachsen04. Okt. Celler Akkordeon Club, „Piazzolla à la carte“, in Kunst&Bühne, 19.3o Uhr Nordwall, in Celle. Ensemble „non tacet“ feat. Kai Thomsen