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Copyright Hartmut Warm, hw@keplerstern.de, www.keplerstern.de
Harmonik in der Geometrie
Vortrag Hartmut Warmauf dem Harmonik-Symposion 2014 „Harmonikin Natur und Kultur“, Nürnberg, 17. - 18. Mai
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Diese Präsentation ist urheberrechtlich geschützt.
In privatem Rahmen darf die Präsentation gerne unterNennung der Quelle und der Internetadressewww.keplerstern.de gezeigt oder weiter gegeben werden.Die Verbreitung der hier vorgestellten Phänomene liegtselbstverständlich auch im Interesse des Verfasser.
Sämtliche kommerzielle Nutzungen, auch von Auszügen,sind jedoch nur mit vorheriger schriftlicher Genehmigungdes Verfassers gestattet.
© Hartmut Warm, hw@keplerstern.de, www.keplerstern.de
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Frage vorweg:
Gehört die Geometrie ins Reich der Natur oder der Kultur?
(bitte selbst einmal darüber nachdenken)
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linear zyklisch
Grundelemente der Geometrie
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Heraklit
Das Gegensätzliche strebt zur Vereinigung,aus dem Unterschiedlichen entsteht dieschönste Harmonie, und der Streit (derKampf) läßt alles so entstehen.
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Der Durchmesser
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Der Radius
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Der Radius läßt sich exakt sechsmal aufdem Kreis abtragen, ein kleinesgeometrisches Wunder (falls man nochstaunen kann).
Auch der Kosmos zeigt uns das Sechseck:
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A bizarre six-sided feature encircling the north pole of Saturn near78 degrees north latitude has been spied by the visual and infraredmapping spectrometer on NASA's Cassini spacecraft.
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Der Goldene Schnitt
1 (Major)0,6180.. (Minor)
0,3819..
1,6180..(Minor zu 0,618)
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Polygon gedrungener Stern(Eckstern)
schlanker Stern
grau: echte Sternfigur, weiß: zusammengesetzter Stern
(mit innen liegendem Strahl)
Die Eck- undSternfigurenbis zur Zahl 12
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Kommen wir nun zu Johannes Kepler undseiner Suche nach dem Gemeinsamen inMusik, Geometrie und Kosmos
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Weltharmonik (1619)
• Geometrie• Musik• Astronomie• Urbilder in
der Seele
Johannes Kepler (1571-1630)Fondation St. Thomas, Straßburg
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Kepler fand dies Gemeinsame in dem,was er Archetypen nannte, geometrischeUrbilder, die der Schöpfung zugrundeliegen und die auch in der menschlichenSeele verankert sind.
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Grundlage war auch dafür die Entdeckungdes Pythagoras, daß musikalischeIntervalle, die als wohlklingend (oderharmonisch) empfunden werden,einfachen Zahlenverhältnissenentsprechen.
Diese Intervalle können z.B. aufschwingenden Saiten gespielt werden.
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Kepler bog die schwingenden Saiten(in Gedanken) zum Kreis.
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Die geometrischenUrbilder derkonsonanten Intervallenach Johannes Kepler
Oktave 2:1 Quinte 3:2
Quarte 4:3 Gr. Terz 5:4 Gr. Sexte 5:3
Kl. Terz 6:5 Kl. Sexte 8:5
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Hartmut Warm fand, daß sich dieseharmonischen Verhältnisse auch in denFlächenverhältnissen der einfachen Eck-und Sternfiguren wiederfinden.
Ein erstes Beispiel ist das Quadrat miteingeschriebenem Inkreis undumschriebenen Umkreis:
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ri
ru
2=i
u
rr
c ² = a ² + b ²
ru² = ri² + ri²
ru² = 2 ri²
22 2 iu rr =
iu rr 2=
2=i
u
FF
Ermittlung des Verhältnisses der Flächen(F), ausgehend vom Satz des Pythagoras
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Der Umkreis weist also genau die doppelteFläche des Inkreises auf.
Musikalisch entspricht dies der Oktave (2:1).
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34;
34 ==
i
u
i
u
FF
rr
916
34*
34 =
89
9162 =÷
ri
ru
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Beim Sechseck hat der Umkreis genau 4/3mal die Fläche des Inkreises.
Musikalisch entspricht dies der Quarte (4:3).
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23
89*
34 =
223*
34 =
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Damit haben wir die Hauptverhältnisse dergriechischen Musik gefunden (Oktave,Quarte, Quinte (3:2) und zusätzlich denGanzton (9:8)), welche auch in der spätereneuropäischen Musik beibehalten wurden.
Im Prinzip gelten diese Intervalle (Oktave,Quarte, Quinte) in allen Musikkulturen alsharmonisch, vor allem die Oktave, dieselbst in der atonalen Musik noch alsstrukturbildend beibehalten wird.
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Geometrisch können wir sie durch folgendeeinfache Konstruktion vereint darstellen:
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Oktave, Quarte, Quinte
dunkelgrau: Quarte 4:3, hellgrau: Quinte 3:2, zusammen Oktave 2:1
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Kommen wir nun zum Dreieck, das wir ausdem Sechseck konstruieren können:
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4;2 ==i
u
i
u
FF
rr
ri
ru
2;2 ==i
u
i
u
FF
rr
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Ein Verhältnis der Flächen von 4:1 läßt sichalso durch ein Dreieck oder durch zweiQuadrate konstruieren.
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Es zeigt sich nun, daß auch die räumlichenVerhältnisse im Planetensystem miteinfachen Konstruktionen aus Kreis, Dreieckund Viereck systematisch sehr exaktanzunähern sind.
Dabei müssen die Kleinen Halbachsen derPlanetenbahnen zu Grunde gelegt werden.
Ein Beispiel:
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Verhältnisse der kleinen Halbachsenzwischen Außen und Innen
äußerer Kreis: Saturninneres Quadrat: Mars
Dreieck: JupiterQuadrat: Erde
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Die sich in den dargestellten Konstruktionenergebenden Flächenverhältnisse entsprechenmit äußerst geringer Abweichung den Relationender Kleinen Halbachsen zwischen den genanntenPlaneten.
In dem Buch „Die Signatur der Sphären“ vonHartmut Warm wird nachgewiesen, daß diesesPrinzip für sämtliche Planeten gilt, und daß einerein zufällige Übereinstimmung zwischen dengeometrischen und den planetarischen Verhält-nissen statistisch äußerst unwahrscheinlich ist.
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Dreieck und Viereck finden sich zusammenim Zwölfstern wieder.
In einem weiteren Schritt läßt sich zeigen,daß man im Zwölfstern sowohl dieVerhältnisse der bisher behandeltenmusikalischen Grundintervalle findet alsauch die Verhältnisse der KleinenHalbachsen aller Planeten inkl. Pluto(Nachweis in der „Signatur der Sphären“).
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Verhältnisse der Musik undder Kleinen Halbachsen der Planeten im Zwölfstern
Verhältnisseder Flächen:
12 : 6 : 4 : 3Oktave, Quinte,Quarte
Verhältnisseder Flächen(beispielhaft):
6 : π = Ve / Me
4 : π = Pl / Ne
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Bei dem gezeigten Zwölfstern handelt essich um denjenigen aus 4 Dreiecken. Erergibt sich durch das Zeichnen des echtenZwölfsterns (in einem Linienzug zuzeichnen) in dessen Inneren.
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Kommen wir nun zu den Bewegungen derPlaneten.
Da diese bei früheren Harmonik-Symposienausführlich dargestellt wurden, werden hiernur beispielhafte Endergebnisse gezeigt(Einzelheiten siehe ebenfalls „Die Signaturder Sphären“).
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Zunächst die Bewegungsfigur, die sichzwischen den 3 massivsten Planeten unseresSonnensystems, Jupiter, Saturn und Neptunergibt (Uranus ist auf dem gleich folgendenBild ebenfalls zu sehen):
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Raumgeraden Jupiter-Neptun bei Jupiter/Saturn-Konjunktionen, 750 mal, Zeitraum 14.894 Jahre
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Venus und Erde zeichen folgende Figur:
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Erde/Venus
-200 -100 0 100 200-200 -100 0 100 200-200 -100 0 100 200 -300 -150 0 150 300-300 -150 0 150 300-300 -150 0 150 300
Umlaufzeiten 13:8, d.h 5 Konjunktionen in 8 (7,993) Jahren
Periode 583,921 Tage
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Die hier zum Tragen kommende Fünf istmusikalisch in der Großen (und Kleinen)Terz enthalten, also dem Intervall 5:4.
Geometrisch läßt sie sich ebenfalls alsFlächenverhältnis einfacher Eckfigurenfinden:
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große Terz 5:4 aus Fünfeck und zwei Zehnecken
( ) ..381966,12/55..10557,1..52786,1 =−=
( )( )
25,116
5258*2
5555..105572,1..381966,1
=−
=+−=
..52786,15*26 =−
( ) ..10557,155/8 =+
Fünfeckkreis
Zehneckkreis
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Damit können wir die vorher gefundeneGrundstruktur der griechischen Tonleiternerweitern und erhalten die Grundstrukturder Dur- (und Moll-)tonleitern:
Grundstruktur der Dur-Tonleiter
4:35:4
6:5
3:2
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Fasssen wir die 3 geometrischenKonstruktionen zusammen, mit denen diemusikalischen Verhältnisse dargestelltwerden können:
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Quarte 4/3Oktave 2:1
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Alle anderen musikalischen Intervalleergeben sich aus Kombinationen dieser3 Grundkonstruktionen (die Quinte ausViereck und Sechseck hatten wir bereitskennengelernt). Weitere Beispiele dafür:
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Große Sexte 5 : 3 = 4/3 * 5/4 Halbton 16 : 15 = (4/3) / (5/4)
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Bei der Konstruktion der Großen Terz ausFünfecken und 2 Zehnecken hatten wirgesehen, daß durch das 1. Zehneck einVerhältnis vom 1,381966.. abgeteilt wird.
Diese Zahl bzw. die Ziffern nach demKomma stellen die Ergänzung zum GoldenenSchnitt (0,618033..) dar.
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„Silberner Schnitt“
A = 1,381966..
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Es zeigt sich weiterhin, daß mit dieserProportion sämtliche Verhältnisse derKleinen Halbachsen im innerenPlanetensystem (nur bei Mars Aphel undPerihel) noch exakter anzunähern sind.
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Abweichungengeometrisches/planetarischesIntervall:
Er/Ve - 0,026%
Ve/Me - 0,025 %
Ma.p/Er - 0,026%
Ma.a/Er - 0,028%
A = 1,381966..
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Siberner Schnitt (A = F/Z) und inneres Planetensystem
yy
geometr.Verhältnis
planetarisches Verhältnisder kleinen Halbachsen
Abweich.(%)
F/Z 1,38196.. Erde/VenusMars Perihel/Erde
1,382331,38161
0,02650,0260
(F/Z)² 1,90983.. Venus/Merkur 1,90935 0,0250
(F/Z)³ 2,63932.. Erde/Merkur 2,63936 0,0015
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Zwei Sternfiguren spielen also eine ganzbesondere Rolle im Planetensystem.
Sie können mit Fug und Recht alsArchetypen, also geometrische Urbilder imSinne Johannes Keplers, bezeichnet werden.
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Archetypische Sternfiguren
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Man findet sie auch des öfteren inmenschlichen Kunstwerken, in seltenenFällen sogar kombiniert:
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Cathédrale de Chartres
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Geometrisch können wir sie folgendermaßenvereinigen:
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...928,14)23(*4 =+
( ) ....07179,123/4 =+
Zwölfsternkreis
Zwölfeckkreis
16..07179,1*..928,14 =
..52786,1)53(*2 =−
( ) ..472,1053*2 =+
Fünfsternkreis
Fünfeckkreis
16..5278,1*..472,10 =
16..07179,1..928,14 =+
12..5278,1..472,10 =+
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Über Platons Akademie stand geschrieben, keiner, dernicht Freude an der Geometrie hat, trete hier ein.
Rudolf Steiner sagte, an der Geometrie habe er zumersten Mal das Glück kennengelernt, da in ihr etwasrein Geistiges zum Ausdruck kommt.
Ich würde es so ausdrücken, daß man in dem hierGezeigten das Weben einer universellen Gesetz-mäßigkeit spürt, die dem entspricht, wonach dieHarmoniker aller Zeiten gesucht haben, und derenGewahrwerden uns die Gewißheit geben kann, daß dieWelt im tiefsten Grunde gut ist.
Das Schlußwort aber soll nun Johannes Kepler haben:
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„Die Geometrie, vor der„Die Geometrie, vor derEntstehung der Dinge vonEntstehung der Dinge vonEwigkeit her zum göttlichenEwigkeit her zum göttlichenGeist gehörig ..., hat GottGeist gehörig ..., hat Gottdie Urbilder für diedie Urbilder für dieErschaffung der WeltErschaffung der Weltgeliefert und mit dem Bildgeliefert und mit dem BildGottes ist sie in denGottes ist sie in denMenschen übergegangen,Menschen übergegangen,also nicht erst durch diealso nicht erst durch dieAugen in das InnereAugen in das Innereaufgenommen worden.”aufgenommen worden.”
Johannes Johannes KeplerKepler
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Danke für Ihre Aufmerksamkeit
Zuletzt ein Hinweis in eigener Sache:
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Sphärenmusik undKosmische Harmonien
Rüttihubelbad/Bern Seminar, 15. - 17. Mai 2015
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