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InhaltInhalt
• Protokollführung
• Ausgewählte
Messverfahren
• Vorstellung des Praktikums
• Fehlerfortpflanzung
Teil 1
Teil 2
• Ergebnisdarstellung
• Allgemeine Hinweise
• Messunsicherheiten
• Auswertung von Messdaten
Versuche des Physikalischen PraktikumsVersuche des Physikalischen Praktikums
28 Mechanik
13 Wärmelehre
14 Elektrik
11 Optik
3 Festkörperphysik
12 Atom-
und Kernphysik
1. Semester
2. Semester
Versuchsauswahl 6 Versuche pro Semester
pro Versuch ein Anleitungsheft
InhaltInhalt
• Protokollführung
• Ausgewählte
Messverfahren
• Fehlerfortpflanzung
Teil 2
• Ergebnisdarstellung
• Allgemeine Hinweise
• Messunsicherheiten
• Auswertung von Messdaten
• Vorstellung des
PraktikumsTeil 1
Allgemeine HinweiseAllgemeine Hinweise
Ort
Zeit
Kontakt
Homepage
• Gebäude 4, Raum 4.244
• Garderobenschränke im Keller 4.015 und 4.016(0,50 €
Pfand)
Herr Dr. Hille - 831
• Terminliste im Schaukasten neben dem Praktikumsraum
Herr Berger - 423
Herr Dr. Wolf - 518
E-Mail: Ingo.Berger@b-tu.de
E-Mail:
Friedrich-Wilhelm.Hille@b-tu.de
E-Mail: Bodo.Wolf@b-tu.de
Frau Fritzsche - 415E-Mail: Christina.Fritzsche@b-tu.de
http://www.b-tu.de/ag-experimentalphysik/lehre/physikalisches-praktikum
Allgemeines
Allgemeine HinweiseAllgemeine Hinweise
• Verbot
von Essen und Trinken im Laborbereich
• Versuchsabschluss bei Anerkennung des Protokolls
• Einhaltung von Arbeits-, Gesundheits-
und Brandschutz
• Arbeitsgruppen zu je 2
Studenten
Alle geforderten Versuche müssen bis zur Prüfung abgeschlossen
sein.
Ist dies nicht der Fall, können in den entsprechenden Folgesemestern
Ersatzversuche nach Absprache durchgeführt werden.
•
Sie sind im Praktikum unfallversichert. Zur Anfertigung eines Unfallprotokolls ist der Unfall dem Betreuer zu melden.
•
Elektrische Schaltungen stromlos
aufbauen. Prüfung durch den Betreuer.
•
Berührung blanker, unter Spannung stehender Teile vermeiden (gefährlich: U~ ≥ 42V; U= ≥ 60V).
•
Bei grob fahrlässigem Verhalten kann der Praktikantregresspflichtig gemacht werden.
•
Im Notfall Netzverbindung unterbrechen; rote NOT-AUS-Taster
betätigen.
•
Handhabung von Lasern bzw. schwach radioaktiven Quellen sowie vom Röntgengerät nur nach gesonderter Einweisung
•
Bei Schäden (Geräte, Glas, Quecksilber, Gasgeruch,Brandgefahr) ist der Betreuer zu informieren.
Allgemeine HinweiseAllgemeine Hinweise
Arbeitsschutz
Gründe
Allgemeine HinweiseAllgemeine Hinweise
•
Krankheit
•
Keine Versuchsvorbereitung
•
Mehr als 15 min
Verspätung
•
Überschreitung der Versuchsdauer um 15 min
•
Versuchsabbruch durch technischen Defekt
•
Überschreitung des Abgabetermins
•
nach 3 Korrekturversuchen des Protokolls
•
unentschuldigtes Fehlen
Gründe
•
Betrugsversuch
für eine zeitnahe
Versuchswiederholung
für eine Versuchswiederholung nach dem regulärem
Praktikum
• Physikalisches Praktikum;D. Geschke, Teubner-Verlag, 12. Auflage 2001
•
Praktikum der Physik;W. Walcher, Teubner
Verlag, 9. Auflage 2006
•
Das Neue Physikalische Grundpraktikum;Eichler/ Kronfeldt
/ Sahm, Springer-Verlag, 2. Auflage 2005
•
Physik;Halliday
/ Resnick
/ Walker, WILEY-VCH, 2. Auflage 2009 (auch als Bachelor-Ausgabe
2007 erhältlich)
Literatur
Allgemeine Hinweise
Die Durcharbeitung des Heftchens gilt als Versuchsvorbereitung und Arbeitsschutzbelehrung !
•
Physik -
Für Wissenschaftler und Ingenieure;Paul A. Tipler, Spektrum Akademischer Verlag,6.Auflage 2009
• Einführung in das Physikalischen Praktikum;Philipp, Berger, Wolf, 7.Auflage 2014
InhaltInhalt
• Protokollführung
• Ausgewählte
Messverfahren
• Vorstellung des
Praktikums
• Fehlerfortpflanzung
Teil 1
Teil 2
• Ergebnisdarstellung
• Allgemeine Hinweise
• Messunsicherheiten
• Auswertung von Messdaten
Versuchs-Vorbereitung
• Erstellung eines Messwertprotokolls (Ablaufplan)
• Beantwortung der Fragen zur Vorbetrachtung
• Mitzubringen sind:-
lose DIN A4 Blätter zum Beschreiben
- Zeichen-
und Funktionspapier DIN A4(Homepage oder www.papersnake.de)
-
Taschenrechner, Lineal, Schreibgerät
• Die Versuchsanleitung ist durchzuarbeiten.
ProtokollführungProtokollführung
• Die Versuchsanleitung für den jeweils nächsten Versuchbefindet sich am Versuchsplatz (Vorbereitungszeit 2
Wochen)
• Abholung der ersten
Versuchsanleitung des Semesters im Praktikumsraum (4.244) mindestens eine Woche
vor Versuchsbeginn
Versuchs-Durchführung
ProtokollführungProtokollführung
• Handys sind während des Praktikums auszuschalten!
• Versuchsplatz so verlassen, wie er vorgefunden wurde!
• Im Praktikum wird in erster Linie gemessen!
• Eintragung der Messwerte in vorgefertigtes Messwertprotokoll
• Messwertprotokoll vom Betreuer unterzeichen lassen
• Sauberes, zügiges und konzentriertes Arbeiten
• Arbeitsbeginn nach Einweisungen des Betreuers
• Überprüfung der Geräte und Zubehör am Versuchsplatz aufVollständigkeit anhand der Geräteliste
(nicht mit Bleistift)
• pünktlicher Versuchsbeginn zu den ausgewiesenen Zeiten
• keine eigenmächtige Reparatur bzw. Austausch von Geräten vornehmen
• Protokollabgabe: 1 Woche nach VersuchsendeVersuchs-Auswertung
-
Aufgaben und Berechnungen
• Protokollaufbau:
ProtokollführungProtokollführung
• handschriftlich, sauber und übersichtlich• mit Heftstreifen (Aktendulli) zusammengeheftet
○
klar strukturiert und nachvollziehbar○
gegeben, gesucht, Lösung
○
ggf. Skizzen verwenden○
Beispielrechnung mit Zahlenwert und Einheit
○
Fehlerrechnung○
Ergebnisse zweimal
unterstreichen
- Diagrammdarstellung○
auf Millimeter-
oder andere Funktionspapiere
○
ein Diagramm pro Blatt
• Korrekturen mit Korrekturblatt hinter
das Protokoll heften.
Kein Excel
oder vergleichbare
Programme für die Protokoll- und
Diagramm-darstellungen verwenden!
- Deckblatt
-
unterzeichnetes Messwertprotokoll-
Versuchsanleitung
Gründe für die Nichtanerkennung
eines Protokolls
ProtokollführungProtokollführung
• Nichtbeachtung der geforderten Vorgaben
• Grobe Fehler
• Nichteinhaltung der äußeren Form
• Unkorrekte Durchführung der Messaufgaben
-
Berechnung-
Fehlerbetrachtung
-
Diagrammdarstellung
• Nichtbeachtung der Fragestellung
• Auswertung mit Excel oder vergleichbarer Programme
InhaltInhalt
• Protokollführung
• Ausgewählte
Messverfahren
• Vorstellung des
Praktikums
• Fehlerfortpflanzung
Teil 1
Teil 2
• Ergebnisdarstellung
• Allgemeine Hinweise
• Messunsicherheiten
• Auswertung von Messdaten
LängeWinkel
Zeit
Drehzahl
Temperatur
Masse
DruckKraft
Spannung, Strom, Widerstand
Magnet-flussdichte
Ladung
Beleuchtungs-stärke
MESSENim Praktikum
Ausgewählte MessverfahrenAusgewählte Messverfahren
Messschieber
Ausgewählte MessverfahrenAusgewählte Messverfahren
Innenmaß
Außenmaß
Tiefenmaß
Feststellschraube
Auflösung
Nonius
20tel Skala
Umgang mit dem Nonius
12,0mm
12,75mm
11,45mm
12,0mm
12,6mm
11,4mm
Ausgewählte MessverfahrenAusgewählte Messverfahren
Bügelmessschraube
Ausgewählte MessverfahrenAusgewählte Messverfahren
Klemmhebel
Kupplung (Ratsche)
Skalentrommel
MessamboßMessspindel
Hartmetall-messflächen
Bügel Isolierplatte
Auflösung Messbereich
Skalen
Skalenhülse Bezugslinie
Richtiges Ablesen der Skala an einer analogen Bügelmessschraube
5,05mm
Ausgewählte MessverfahrenAusgewählte Messverfahren
5,22mm
5,50mm
5,77mm
Auflösung: e = 0,01mm
Analysenwaage
Ausgewählte MessverfahrenAusgewählte Messverfahren
Max. Last = 200gAuflösung = 1mg
Wägegut Wägestücke
Zeigeranzeige (1mg)
Stellrad für Feineinstellung
(100mg und 10mg)
4 Wägestücke
Feineinstellung am Stellrad 0,920g
37,000g
Zeigeranzeige -0,009g
37,911g
Beispiel:
Beim Auflegen der Wägestückeimmer die Arretierung
benutzen!
Barometer
Ausgewählte MessverfahrenAusgewählte Messverfahren
Thermometer
LotQuecksilber-vorratsgefäß
Skale mit Nonius
Der Messwert wird in mbar
mit einer
Nachkommastelle direkt abgelesen!
Analoge Multimeter
Ausgewählte MessverfahrenAusgewählte Messverfahren
Messbereichsschalter
Messbereichfür Wechselstrom
Messbereichfür Gleichstrom
Skalen fürWechselstrom
Skalen fürGleichstrom
Fehlerklasse
Minuspol Pluspol3-10A
Justierschraube
Umgang mit der Skala
Ausgewählte MessverfahrenAusgewählte Messverfahren
Gleichstrom (DC) Wechselstrom (AC)MB = 10mA
MB = 300µA
MB = 1A
MB = 30mA
Messwert = 7,5mA
Messwert = 260µA
Messwert = 0,7A
Messwert = 27mA
Ausgewählte MessverfahrenAusgewählte Messverfahren
Das Oszilloskop
ist ein
VERBESSERTES VOLTMETER
:
VOLTMETER, weil es die Potentialdifferenz (oder Spannung) zwischen zwei Punkten eines Stromkreises messen kann. Es wird folglich parallel zu den
zwei interessieren-
den
Punkten angeschlossen.
VERBESSERT, weil es damit möglich ist, diese Spannung in ihrer Zeitabhängigkeit sichtbar zu machen. Parameter wie Amplitude und Periode einer Wechselspannung werden dabei gemessen. Dann funktioniert das Oszilloskop
als Y-t-Schreiber, was
der am häufigsten verwendete Modus ist:
Die Spannung wird als Funktion der Zeit abgebildet.
Im X-Y-Betrieb stellt das Oszilloskop
eine Spannung als Funktion einer zweiten Spannung dar.
•
•
•
•
• Protokollführung
• Ausgewählte
Messverfahren
• Vorstellung des
Praktikums
• Fehlerfortpflanzung
Teil 1
Teil 2
• Ergebnisdarstellung
• Allgemeine Hinweise
• Messunsicherheiten
• Auswertung von Messdaten
Messunsicherheiten und FehlerfortpflanzungMessunsicherheiten und Fehlerfortpflanzung
• Grobe Messabweichung
• Systematische Messabweichung
• Zufällige Messabweichung
• Gesamtabweichung
Art der Mess-abweichungen
Grobe MessabweichungenGrobe Messabweichungen
• Meist durch Unachtsamkeit
• Zahlendreher (12,5 statt 15,2)
• Beim Ablesen von Skalen (25,1 statt 25,6)
Lassen sich natürlich vermeiden
Systematische MessabweichungSystematische Messabweichung
Systematische Messabweichungen einiger Messmittel siehe Arbeitsunterlagen.
Sie bleiben bei Messwiederholungen konstant
• ist eine zeitlich konstante Abweichung, die sich durch Wiederholungen feststellen oder beeinflussen lässt (Herstellerangaben).
durch Justierung verringern oder eliminieren,
nicht
• Wenn man die Abweichung kennt, kann man diese
durch geänderten Messaufbau vermeiden,
durch Einhaltung zulässiger Umgebungsbedingungen verhindern,
durch Toleranzen bzw. Fehlergrenzen in der Auswertung berücksichtigen.
• Unzulänglichkeit menschlicher Sinnesorgane
zufällige Messabweichungenzufällige Messabweichungen
unvermeidbar -
gehorchen den Gesetzen der Statistik -
• Begrenzte Anzeige-
und Einstellgenauigkeit der Geräte
• Veränderliche äußere Einflüsse (z. B. unsystematische Temperatur- oder Luftdruckschwankungen)
• Führt zu zufälliger Streuung der Messwerte um den Mittelwert
• Positive und negative Abweichungen gleichhäufig
• Eine physikalische Messung liefert nie den
Gesamtabweichung (Größtfehler)Gesamtabweichung (Größtfehler)
• Der gemessene Wert besitzt immer
ZufälligeMess-
abweichung=
SystematischeMess-
abweichung
Gesamt-abweichung +
wahren Wert.
Messabweichungen.
( ) ( ) ( )xuxuxu SZ +=
XXX SZ Δ+Δ=Δoder
Im Praktikumbevorzugte Schreibweise
• Protokollführung
• Ausgewählte
Messverfahren
• Vorstellung des
Praktikums
• Fehlerfortpflanzung
Teil 1
Teil 2
• Ergebnisdarstellung
• Allgemeine Hinweise
• Messunsicherheiten
• Auswertung von Messdaten
Auswertung von MessdatenAuswertung von Messdaten
• Lineare RegressionBestimmung durch eine Diagrammdarstellung
Bestimmung durch eine Berechnung
•
auf Millimeterpapier
•
auf halblogarithmischem Papier
•
auf doppeltlogarithmischem Papier
Bestimmung durch eine Diagrammdarstellung
Bestimmung durch eine Berechnung
Messwerte für Drehmomentbestimmung
Versuchsaufbau: TorrsionsmodulVersuchsaufbau: Torrsionsmodul
0,00
1,96
5,89
9,81
19,62
29,43
49,05
68,67
0,0
1,5
4,5
7,5
15,0
22,5
38,0
53,0
FN
ϕ°
ϕ
0,000
0,026
0,079
0,131
0,262
0,393
0,663
0,925
0,00
2 × 0,1+2 × 0,2+2 × 0,2+2 × 0,5+2 × 0,5+2 × 1+2 × 1
mkg
y-Achse x-Achse
0,0
0,2
0,6
1,0
2,0
3,0
5,0
7,0
Messwerte für Entladung eines Kondensators
UV
ts
10
9
8
7
6
5
4
3
2
0
13
30
49
72
100
133
176
238
Versuchsaufbau: Kondensator im GleichstromkreisVersuchsaufbau: Kondensator im Gleichstromkreis
Versuchsaufbau: Gammastrahlen
IsotopenGenerator
ÖffnungGM‐Zähler
Abstands‐Skale
Versuchsaufbau: Gammastrahlen
Messwerte für die Bestätigung des Abstandsgesetzes
Nullrate ohne Präparat: N0
= 0,31 s‐1
Abstand
acm
abs. Zählrate
Z1/100s
norm. Zählrate
N1/s
korr. Zählrate
Nkorr1/s
5,07,510,012,515,017,520,022,525,027,530,0
18901084777636529491427412431375371
18,9010,847,776,365,294,914,274,124,313,753,71
18,5910,537,466,054,984,603,963,814,003,443,40
Nkorr = N –
N0
Versuch: GammastrahlenVersuch: Gammastrahlen
t = 100 sMessintervall der Zeit:
Lineare RegressionLineare Regression
Covarianz:
•
Annahme: lineare Abhängigkeit zweier Messgrößen x,y
xbay ⋅+=
•
Gesucht: Gerade, die sich der Punktwolke am besten nähert
Varianz:
• Ausgleichsgerade nach dem Prinzip der kleinsten Summe der Fehlerquadrate(„Least Square Methode“):
∑=
−−
=n
ii xx
nxV
1
2)(1
1)(
∑=
−⋅−−
=n
iii yyxx
nxCov
1)()(
11)(
yxyxn
xCovn
iii ⋅−⋅
−= ∑
=111)(
Lineare RegressionLineare Regression
xbya ⋅−=
Beispiel: Schuhgröße als Funktion der Körperlänge
= 32779,6 –
(181)2 = 18,6
= 7696,9 –
(181·42,5)
= 4,4
0,237
= 42,5 –
0,237 ·181
= -0,397
Körper- größe
Schuh- größe
i xi yi
1 183 43
2 185 43
3 176 42
4 183 42
5 177 41
6 187 45
7 179 42
8 182 42
9 185 44
10 173 41
MW 181,0 42,5
Körper- größe
Schuh- größe
i xi yi xi2
1 183 43 33489
2 185 43 34225
3 176 42 30976
4 183 42 33489
5 177 41 31329
6 187 45 34969
7 179 42 32041
8 182 42 33124
9 185 44 34225
10 173 41 29929
MW 181,0 42,5 32779,6
Körper- größe
Schuh- größe
i xi yi xi2 yi
2
1 183 43 33489 1849
2 185 43 34225 1849
3 176 42 30976 1764
4 183 42 33489 1764
5 177 41 31329 1681
6 187 45 34969 2025
7 179 42 32041 1764
8 182 42 33124 1764
9 185 44 34225 1936
10 173 41 29929 1681
MW 181,0 42,5 32779,6 1807,7
Körper- größe
Schuh- größe
i xi yi xi2 yi
2 xi ·
yi
1 183 43 33489 1849 7869
2 185 43 34225 1849 7955
3 176 42 30976 1764 7392
4 183 42 33489 1764 7686
5 177 41 31329 1681 7257
6 187 45 34969 2025 8415
7 179 42 32041 1764 7518
8 182 42 33124 1764 7644
9 185 44 34225 1936 8140
10 173 41 29929 1681 7093
MW 181,0 42,5 32779,6 1807,7 7696,932779,6181,0 42,5 7696,9
4,4
18,6
0,237
xbay ⋅+=allgemeine Form
=4,4
18,6=( )22 xx
yxyxb−
⋅−⋅=
( )( ) ( )22
,xx
yxyxxV
yxCovb−
⋅−⋅==
( ) ( ) yxyxyxCovn ⋅−⋅=⋅− ,1
( ) ( ) ( )221 xxxVn −=⋅−
• Protokollführung
• Ausgewählte
Messverfahren
• Vorstellung des
Praktikums
• Fehlerfortpflanzung
Teil 1
Teil 2
• Ergebnisdarstellung
• Allgemeine Hinweise
• Messunsicherheiten
• Auswertung von Messdaten
Messunsicherheiten und FehlerfortpflanzungMessunsicherheiten und Fehlerfortpflanzung
Ziel: • Abschätzung der Genauigkeit eines Messverfahrens
• Bei einmaliger Messung
einer Größe:
• Bei Mehrfachmessung
einer Größe:
○
Abschätzung des zufälligen Fehlers(z.B.: aus der Anzeige- und Ablesegenauigkeit des benutzten Messgerätes)
○
zweifache Standardabweichung
○
Spannweite-Verfahren (Ausreißer entfernen)
( )2
minmax xxx −=Δ
xsx 2=Δ
Beispiel einer Abschätzung bei einmaliger MessungBeispiel einer Abschätzung bei einmaliger Messung
Bestimmung des elektrischen Widerstandes R eines elektrischen Bauteils• Messung Spannung
(U in V)Strom(I in A)
• Bestimmung der Messunsicherheiten:mit Vielfachmessgerät (Geräteklasse 1,5) mit grober Skaleneinteilung
• Messbereiche (Gleichgrößen) 10 V 1 A
• Abgelesene Werte 9,15 V 0,821 A
•
Zufällige MessunsicherheitAbweichungen durch Ablesung 0,2 V 0,02 A
•
Systematische Messunsicherheit Geräteklasse 1,5 (1,5% vom Skalenendwert)
•
Gesamtmessunsicherheit
uZ (U) = ±
0,1 V uZ (I) = ±
0,01 A
uS (U) = ±
0,15 V uS (I) = ±
0,015 A
u(U) = ±
0,25 V u(I) = ±
0,025 A
Messunsicherheiten und FehlerfortpflanzungMessunsicherheiten und Fehlerfortpflanzung
• Größtfehler einer Ereignisgröße Y = f(X1 , X2 , …)
Abschätzung des Größtfehlers jeder einzelnen Größe X1 , X2 , ...
Falls die Messunsicherheiten ΔX1 , Δ
X2 << X1 , X2 ,…dann ergibt sich für Y = f(X1 , X2 , ...)auf Grund der Taylorreihenentwicklung
für den Absolutfehler :
...22
11
+Δ∂∂
+Δ∂∂
=Δ XXYX
XYY
Messunsicherheiten und FehlerfortpflanzungMessunsicherheiten und Fehlerfortpflanzung
Taylorreihenentwicklung für Größtfehler (Beispiel: Druckmessung)
2rF
AFp
⋅==
πpY = FX =1 rX =2
pΔ = rrpF
Fp
Δ∂∂
+Δ∂∂
21r⋅π
xay ⋅=
2−⋅= xay
ay ='
32' −⋅−= xay
•
Nebenrechnung:
•
a x
x-2a
F
πF
21r
rrFF
rΔ
⋅−
+Δ⋅ 32
21ππpΔ =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
+Δ
rr
FFp 2pΔ =
1. Summand
2. Summand
2rF⋅π
pΔ = rr
FFr
Δ⋅⋅−+Δ⋅ 32
121ππ
Bei Summen
(oder Differenzen) addieren sich die Absolutfehler
Bei Potenzprodukten
von Messgrößen addieren sich die Relativfehler
...321 +Δ⋅+Δ⋅+Δ⋅=Δ XcXbXaY
...3
3
2
2
1
1 +Δ
⋅+Δ
⋅+Δ
⋅=Δ
XXc
XXb
XXa
YY
...321 +⋅+⋅+⋅= XcXbXaY
...321 ⋅⋅⋅= cba XXXY
Messunsicherheiten und FehlerfortpflanzungMessunsicherheiten und Fehlerfortpflanzung
Beispiel: Maximale Unsicherheit (Größtfehler)
für RBeispiel: Maximale Unsicherheit (Größtfehler)
für R•
Abgelesende Werte U = 9,15 V I = 0,821 A
R = 11,1449 Ω•
Berechneter Wert
•
Messunsicherheit u(U) = ±
0,25 V u(I) = ±
0,025 Au(R) = ?
•
Grundlage (Ohmsche Gesetz)
•
Anwendung der „Potenzproduktregel“(relativer Fehler für R)
•
Einsetzen der Werte und Einheiten
= 0,0273
+ 0,0305
= 0,0578
u(R)R
0,25V9,15V
= + 0,025A0,821A
u(R) = u(R)R
· R = 0,0578
·
11,1449Ω
•
Darstellung des ErgebnissesR = (11,14 ± 0,64)Ω
u(R)R
= 5,8%
=
0,6442Ω
IUR =
u(R)R
= +u(U)U
u(I)I
= 5,78%
Beispiel: Maximale Unsicherheit (Größtfehler)
für RBeispiel: Maximale Unsicherheit (Größtfehler)
für R
•
Abgelesende Werte U = 9,15 V I = 0,821 A
•
Messunsicherheit u(U) = ±
0,25 V u(I) = ±
0,025 Au(R) = ?
•
„Min-Max-Regel“(relativer Fehler für R) u(R) = Rmax - Rmin
2
•
Maximalwerte Umax = 9,40 V Imax = 0,846 A
•
Minimalwerte
xmax = x +
u(x)
xmin = x -
u(x) Umin = 8,90 V Imin = 0,796 A
Rmax = =Umax
Imin= 11,8090Ω
9,40V0,796A
Rmin = =Umin
Imax= 10,5201Ω
8,90V0,846A
•
Maximalwerte für R
•
Minimalwerte für R
11,8090Ω
–
10,5201Ω
2= = 0,6445Ω
nach der „Min-Max-Methode“
•
Darstellung des Ergebnisses R = (11,14 ± 0,64)Ω
Messwerte für Drehmomentbestimmung
Beispiel für die Bestimmung der absoluten bzw. relativen Abweichung des AnstiegesBeispiel für die Bestimmung der absoluten bzw. relativen Abweichung des Anstieges
FN
ϕ°
0,00
1,96
5,89
9,81
19,62
29,43
49,05
68,67
0,0
1,5
4,5
7,5
15,0
22,5
38,0
53,0
ϕ
0,000
0,026
0,079
0,131
0,262
0,393
0,663
0,925
mkg
0,00
2 × 0,1+2 × 0,2+2 × 0,2+2 × 0,5+2 × 0,5+2 × 1+2 × 1
y-Achse x-Achse
0,0
0,2
0,6
1,0
2,0
3,0
5,0
7,0
FN
ϕ°
0,00
1,96
5,89
9,81
19,62
29,43
49,05
68,67
0,0
1,5
4,5
7,5
15,0
22,5
38,0
53,0
ϕ
0,000
0,026
0,079
0,131
0,262
0,393
0,663
0,925
mkg
0,00
2 × 0,1+2 × 0,2+2 × 0,2+2 × 0,5+2 × 0,5+2 × 1+2 × 1
0,0000
0,0007
0,0062
0,0171
0,0685
0,1542
0,4399
0,8557
y-Achse x-Achse
0,0
0,2
0,6
1,0
2,0
3,0
5,0
7,0
ϕ 2 ϕ · F
0,000
0,051
0,462
1,284
5,137
11,557
32,531
63,521
xbay ⋅+=
( )22 xxyxyxb
−
⋅−⋅=
xbya ⋅−=
= 74,1714,318 ‐
0,310 ∙
23,05
0,1928 –
(0,310)2=
= 23,05 –
74,17 ∙
0,310
F = 74,17 ∙
ϕ + 0,0623,05 0,310 0,1928 14,318
Bestimmung von b
Bestimmung von a
= 0,06
23,05 0,310 14,3180,1928
74,17
0,06
Mittelwert
Allgem. FunktionBerechnung der Regressionsgeraden
Beispiel für die Bestimmung der absoluten bzw. relativen Abweichung des AnstiegesBeispiel für die Bestimmung der absoluten bzw. relativen Abweichung des Anstieges
ϕ°
0,0
1,5
4,5
7,5
15,0
22,5
38,0
53,0
ϕ
0,000
0,026
0,079
0,131
0,262
0,393
0,663
0,925
0,06
2,00
5,89
9,77
19,48
29,19
49,25
68,67
x-Achse
F‘ (F – F‘)2
0,0036
0,0016
0,0000
0,0017
0,0203
0,0593
0,0406
0,0000
0,127
F‘ = 74,17 ∙
ϕ + 0,06
FN
0,00
1,96
5,89
9,81
19,62
29,43
49,05
68,67
mkg
y-Achse
0,0
0,2
0,6
1,0
2,0
3,0
5,0
7,0
Standardabweichung für F
( )∑ −⋅−
= 2'2
1 FFn
sF
( )∑ ∑−⋅⋅= 22 ϕϕn
nss FAnstieg
Standardabweichung des Anstieges
( ) AnstiegstAnstiegu ⋅=
Abweichung des Anstieges
t-Verteilung für 8 Einzelwerte : 2,37
=1
6·
0,127 = 0,059 Nϕ 2
0,0000
0,0007
0,0062
0,0171
0,0685
0,1542
0,4399
0,8557
= 0,059 N·8
8∙1,542 –
(2,478)2= 0,067 N
= 2,37 ∙
0,067 N
= 0,159
2,478 1,5423
Fϕ = (74,17 ±
0,16) N/rad
u(F/ϕ)F/ϕ = 0,22%
Summe
Funktionsgleichung
2,478 1,5423 0,127
2,37
0,059 N
0,067 N
Beispiel für die Bestimmung der absoluten bzw. relativen Abweichung des AnstiegesBeispiel für die Bestimmung der absoluten bzw. relativen Abweichung des Anstieges
Statistische Fehlertheorie für MehrfachmessungStatistische Fehlertheorie für Mehrfachmessung
Wendepunkt Wendepunkt
68%
s s
xsx − sx +
( )2
2
2
21)( s
xx
es
xf−
−⋅=
πGaußscheFehlerrechnung
( ) ∑=
=+++=n
iin x
nxxx
nx
121
1...1
Voraussetzungen sind eine
große Anzahl n
von Einzelmessungen, die normalverteilt
sind.
Statistische Fehlertheorie (Gaußsche Fehlerrechnung)Statistische Fehlertheorie (Gaußsche Fehlerrechnung)
• Standardabweichung der Einzelmessung ( )1
2
−
−= ∑
nxx
s ix
○
für fallen 68%
der Messwerte in den Bereich∞→n ±x xs
( )( )1
2
−−
= ∑nn
xxs i
x
• Standardabweichung des Mittelwertes
○
für fällt der Erwartungswert mit 68%
Wahr in den Bereich∞→n ±x xs
○
für wird mit dem Faktor
t (Student -
t-Verteilung, Praktikumsunterlagen)multipliziert, um die gleiche oder eine bessere) statistische
Sicherheit zu erhalten.
∞<<n
Statistische Fehlertheorie (Gaußsche Fehlerrechnung)Statistische Fehlertheorie (Gaußsche Fehlerrechnung)
• Für wird mit dem Faktor
t (siehe Arbeitsunterlagen) multipliziert, um die gleiche (oder eine bessere) statistische Sicherheit P zu erhalten.
∞<<n xs
• t - Werte (Student t-Verteilung) für unterschiedliche statistische Sicherheiten
Pund verschiedenen Stichprobenumfang
n
• Man nennt xst ⋅ xstx ⋅±die Messunsicherheit
und den Vertrauensbereich.
n-1/P 60% 70% 80% 90% 95% 99% 99,9%2 1,060 1,39 1,89 2,92 4,30 9,92 31,6
4 0,941 1,19 1,53 2,13 2,78 4,60 8,61
5 0,920 1,16 1,48 2,02 2,57 4,03 6,86
9 0,883 1,10 1,38 1,83 2,26 3,25 4,7814 0,868 1,08 1,34 1,76 2,14 2,98 4,14
0,842 1,04 1,28 1,64 1,96 2,58 3,29∞
95%
4,30
2,78
2,57
2,26
2,14
1,96am häufigsten im Praktikum verwendet
Siehe Einführungsheft Seite 31
Statistische Fehlertheorie für MehrfachmessungStatistische Fehlertheorie für MehrfachmessungBeispiel: Bestimmung des Durchmessers d eines Metallstabes
Mittelwert :
0,0177
Sys. Messunsicherheit :
Standardabweichung :
Student – t-Verteilung :
Gesamtmessunsicherheit :
Zufällige Messunsicherheit :
0,005
0,006
2,09
0,0127
5,519
d = (5,52 ±
0,02) mm
aus Tabelle
( ) ( ) ( )dududu ZS +=
1234567891011121314151617181920
5,5155,5105,5305,520
5,5205,5255,5255,5205,5205,5105,5155,5205,5155,5255,5205,5155,520
5,525
5,515
5,505
n dmm
Ergebnis:
( )dZ stdu ⋅=
Genauigkeitsklasse II( ) dmduS ⋅+= −5105μ
∑=
⋅=n
iid
nd
1
1
( ) ( )∑=
−−⋅
=n
iid dd
nns
1
2
11
Statistische Fehlertheorie für MehrfachmessungStatistische Fehlertheorie für MehrfachmessungBeispiel: Bestimmung des Durchmessers d eines Metallstabes
5,500
5,535
5,5055,5105,5155,5205,5255,530
0
0
125741
0%
0%
5%10%25%35%20%5%
Hdmm
1234567891011121314151617181920
5,515
5,515
5,515
5,515
5,515
5,510
5,510
5,5305,520
5,520
5,5205,520
5,520
5,520
5,520
5,5255,525
5,525
5,5255,505
n dmm
Häufigkeitsverteilung Hmit einer Schrittweite von 0,005 mm
Statistische Fehlertheorie für MehrfachmessungStatistische Fehlertheorie für Mehrfachmessung
Häufigkeitsverteilung
0
1
2
3
4
5
6
7
8
5,500 5,505 5,510 5,515 5,520 5,525 5,530 5,535
Durchmesser
Anz
ahl d
er M
essu
ngen
dmm
Y = f(X1 , X2 , ...)
Statistische Fehlertheorie (Gaußsche Fehlerrechnung)Statistische Fehlertheorie (Gaußsche Fehlerrechnung)
alle Größen X1 ... Xn sind gleich häufig gemessen•
Voraussetzung:
• Potenzprodukt von Messgrößen
• Bei Summen oder Differenzen
Y = a·X1 + b·X2 + c·X3 + …
Y = X1a · X2
b · X3c
...2
2
2
121
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∂∂
= XXY sXYs
XYs
...)()( 2221
+⋅+⋅= XXY sbsas
...2
2
2
1
21 +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
Xs
bXs
aYs XXY
InhaltInhaltTeil 1
• Protokollführung
• Ausgewählte
Messverfahren
• Vorstellung des
Praktikums
• Fehlerfortpflanzung
Teil 1
Teil 2
• Ergebnisdarstellung
• Allgemeine Hinweise
• Messunsicherheiten
• Auswertung von Messdaten
ErgebnisdarstellungErgebnisdarstellung
• Messunsicherheiten werden auf im Normalfall auf höchstensangegeben.
• Messergebnis und Messunsicherheit sollten dabei die gleiche Dimension haben, d. h. die Messunsicherheit kann sein als das Messergebnis.
• Das berechnete Ergebnis kann ebenfalls sein als die Messergebnisse, aus denen es bestimmt wurde.
zwei signifikante Ziffern
nicht genauer
niemals genauer
E = (x ±
u(x)) Einheit
Beispiel 1: Bestimmung der
Dichte eines Quaderförmigen Körpers
x = (39,60 ±
0,05) mm
y = (38,20 ±
0,05) mm
z = (10,00 ±
0,05) mm
m = (40,0 ±
0,1) g
u(x) / x = 0,13%
u(y) / y = 0,13%
u(z) / z = 0,50%
u(m) / m = 0,25%
ρ = 2,64424348 g/cm3 u(ρ) / ρ = 1,01%
ErgebnisdarstellungErgebnisdarstellung
Vm
=ρ zyxV ⋅⋅=
zyxm
⋅⋅=ρ
Bestimmungsgleichung
gemessene Größen mitabsoluter und relativer
Messunsicherheit
Ergebnis mit relativerMessunsicherheit
absolute Messunsicherheit
( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
ρρρρ uu u(ρ) = 0,02663157 g/cm3
ρ = (2,64 ±
0,03) g/cm3
2
121 lmJ ⋅=
l = (450 ±
0,5) mm
m = (99,8 ±
0,1) g
× 2
ErgebnisdarstellungErgebnisdarstellung
Beispiel 2: Bestimmung des Massenträgheitsmomentes eines langen dünnen Stabes
Bestimmungsgleichung
gemessene Größen mitabsoluter und relativer
Messunsicherheit
u(l) / l = 0,11%
u(m) / m = 0,10%
J = 0,001684125 kg·m2 u(J) / J = 0,32%Ergebnis mit relativerMessunsicherheit
absolute Messunsicherheit
( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
JJuJJu
ΔJ = 5,3892E-06 kg·m2
ΔJ = 0,0000053892 kg·m2
J = (1,68 ±
0,01) ·
10-3
kg·m2
ZusammenfassungZusammenfassungVersuchsvorbereitung (Planung, Organisation, Aufbau), Versuchsdurchführung (sauberes, zügiges und konzentriertes Arbeiten) sowieAuswertung der physikalischen Experimente.
Verwendung von wissenschaftlicher Literatur (auch Handbücher, Tabellen usw.)
Messen (mit analogen und digitalen Messverfahren) einschließlich der Handhabung von Messgeräten und des Gebrauchs physikalisch-technischer Einheiten,
Anwenden graphischer und mathematischer Verfahren beim Lösen physikalisch-technischer Aufgaben und der Auswertung von Messungen,
•
•
•
•
Recommended