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IB DIPLOMA PROGRAMMEPROGRAMME DU DIPLÔME DU BIPROGRAMA DEL DIPLOMA DEL BI

M06/5/MATHL/HP1/SPA/TZ0/XX

MATEMÁTICASNIVEL SUPERIORPRUEBA 1

Miércoles 3 de mayo de 2006 (tarde)

INSTRUCCIONES PARA LOS ALUMNOS

� Escriba su número de convocatoria en las casillas de arriba.� No abra esta prueba hasta que se lo autoricen.� Conteste todas las preguntas en los espacios provistos.� Salvo que se indique lo contrario en la pregunta, todas las respuestas numéricas deberán ser

exactas o correcta con tres cifras significativas.

2 horas

Número de convocatoria del alumno

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No se otorgará necesariamente la máxima puntuación a una respuesta correcta que no esté acompañada de un procedimiento. Las respuestas deben estar sustentadas en un procedimiento o en explicaciones. En particular, junto a los resultados obtenidos con calculadora de pantalla gráfica, deberá reflejarse por escrito el procedimiento seguido para su obtención; por ejemplo, si se utiliza una gráfica para hallar una solución, se deberá dibujar aproximadamente la misma como parte de la respuesta. Aun cuando una respuesta sea errónea, podrán otorgarse algunos puntos si el método empleado es correcto, siempre que aparezca por escrito. Por lo tanto, se aconseja mostrar todo el procedimiento seguido. De ser necesario, se puede continuar desarrollando la respuesta en el espacio que queda debajo de las líneas.

1. En una progresión aritmética, el segundo término es 7 y la suma de los primeros cinco términos es 50. Halle la diferencia común de esta progresión aritmética.

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Véase al dorso

2. Sea z r1 4 4= +

cos π πi sen y z2 1 3= + i .

(a) Escriba z2 en la forma módulo-argumental.

(b) Halle el valor de r si z z1 23 2= .

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3. La gráfica de y x x= + +2 4 72 se traslada usando el vector 21−

. Halle la ecuación de la

gráfica trasladada, dando su respuesta en la forma y ax bx c= + +2 .

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4. Sea f x x x( ) = − +3 42 . Halle los valores de m para los cuales la recta y mx= +1 es tangente a la gráfica de f .

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Véase al dorso

5. El polinomio P x x ax x b( ) = + − +2 43 2 es divisible por ( )x −1 y por ( )x + 3 . Halle el valor de a y el valor de b.

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6. El siguiente es el diagrama de frecuencias acumuladas de las alturas de 30 plantas dadas en centímetros.

(a) Utilice el diagrama para estimar la mediana de la altura.

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(b) Complete la siguiente tabla de frecuencias.

Altura (h) Frecuencia0 ≤ h < 5 4

5 ≤ h < 10 9

10 ≤ h < 1515 ≤ h < 2020 ≤ h < 25

(c) A partir de lo anterior, estime la media de la altura.

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Véase al dorso

7. En el triángulo obtusángulo ABC, AC cm=10 9, , BC cm= 8 71, y BAC$ = 50o .

Halle el área del triángulo ABC.

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No representado a escala

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8. Los pesos en gramos de los panes que vende un supermercado están normalmente distribuidos con media 200 g . Los pesos del 88 % de los panes son inferiores a 220 g . Halle la desviación típica.

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9. Resuelva ln ( )x + =3 1. Dé sus respuestas de forma exacta.

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Véase al dorso

10. Sea f x x( ) ,= 20 5 y g x x( ) ,= +−3 53

0 5 . Sea R la región completamente encerrada entre

las gráficas de f y g , y el eje y. Halle el área de R.

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11. Sea a =

210

, b =−

1

6p y c = −

24

3.

(a) Halle a b× .

(b) Halle el valor de p, dado que a b× es paralela a c.

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12. Halle e e d2x x xs n∫ .

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Véase al dorso

13. Sean A y B sucesos tales que P( )A = 15

, P( | )B A = 14

y P( )A B∪ = 710

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(a) Halle P ( )A B∩ . (b) Halle P( )B .

(c) Compruebe que A y B no son independientes.

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14. Sea f x x( ) cos ( )= +3 4 1 , 0 1≤ ≤x .

(a) Halle ′f x( ) .

(b) Halle los valores exactos de las tres raíces de ′ =f x( ) 0 .

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Véase al dorso

15. Sea f la función f x x x x( ) arccos= + 12

para − ≤ ≤1 1x y g la función

g x x( ) cos= 2 para − ≤ ≤1 1x .

(a) En la siguiente cuadrícula, dibuje aproximadamente la gráfica de f y la gráfica de g .

(b) Escriba la solución de la ecuación f x g x( ) ( )= .

(c) Escriba el recorrido de g .

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16. El número de accidentes de tráfico que ocurren por día en una autopista tiene una distribución de Poisson de media 1,5 .

(a) Halle la probabilidad de que ocurran más de dos accidentes un lunes.

(b) Dado que por lo menos un accidente occurre en otro día, encuentre la probabilidad de que occurran más de dos accidentes en ese otro día.

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Véase al dorso

17. Sea A =−

2 61k

y B =−

h 33 7

, donde h y k son enteros. Dado que det detA B=

y det AB = 256h ,

(a) compruebe que h satisface la ecuación 49 130 81 02h h− + = ;

(b) a partir de lo anterior, halle el valor de k.

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18. Dado que 3 33x y x y+ = + , halle ddyx

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19. En una sala de espera hay una fila de 10 asientos. En la sala hay seis personas.

(a) ¿De cuántos modos diferentes pueden sentarse esas personas?

(b) En el grupo de seis personas hay tres hermanas que se deben sentar juntas. ¿De cuántos modos diferentes puede sentarse el grupo?

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20. Cada uno de los siguientes diagramas muestra la gráfica de una función f . Dibuje aproximadamente sobre los ejes dados, las gráficas de

(a) f x( )− ;

(b) 1f x( )

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