Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik II · Teil 1: Elektrizitätslehre, Elektrodynamik 1....

Experimentalphysik II (Kip SS 2009)

Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik II

Teil 1: Elektrizitätslehre, Elektrodynamik

1. Elektrische Ladung und elektrische Felder2. Kapazität3. Elektrischer Strom4. Magnetostatik5. Elektrodynamik6. Schwingkreise und Wechselstrom

Teil 2: Optik

7. Elektromagnetische Wellen8. Optik

6 Schwingkreise und Wechselstrom

6.1 WechselspannungsgeneratorVersuch: Rotierende Spule im konstan-ten Magnetfeld

Bei Rotation der Spule wird an ihren Enden eine sinusförmige Spannung gemessen.

Wir betrachten eine Leiterschleife der Fläche A mit N Windungen (Spule), die in einem homogenen Magnetfeld mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω ro-tiert.

( )A tr

zN Windungen

Die Rotationsachse zeigt in x-Rich-tung und = (0,0,B). B

Der Fluss durch die Fläche A ist dann:

mag.( ) ( )

cos ( )A

t B dA B A t

BA tϕ

Φ = ⋅ = ⋅

∫∫r rr r

ist hierbei die Phase.( )t tϕ ω=

Einsetzen ergibt:

( )mag.( ) cos ωt B A tΦ =

Mit dem Induktionsgesetz kann nun die in der Leiterschleife erzeugte Span-nung berechnet werden:

( )ind( )( ) ωsind tU t N NB A t

dtωΦ

= − =

Es entsteht eine periodische Induk-tionsspannung mit der Amplitude:

0 ωU N B A=

Die Spannung ist also proportional zur Rotationsfrequenz ω. Die periodische Wechselspannung hat die Form

0( ) sin(ω )U t U t=

)(ind tU

t0ωπ

Beispiel:Die im Haushalt übliche Spannung ist ei-ne Wechselspannung mit der Frequenz:

-1ω 1 50s =50Hz2

( )( )

( ) cos

U t U t

I t I t

Harmonische Wechselspannungen und Wechselströme haben die Form:

Dabei sind ϕ und φ Phasen bezüglich einer beliebigen Referenz. An einem Ohmschen Widerstand sind die Pha-sen zwischen Strom und Spannung wegen U(t) = R I(t) gleich. In diesem Fall kann einfach ϕ = φ = 0 gesetzt werden.

6.2 Wechselspannung und -strom

Wir betrachten nun die wirkende elek-trische Leistung P. Es wurde bereits in Abschnitt 3.6 gezeigt, dass P = U Igilt.

≈ U(t)

0( )( ) cos( )UU tI t tR R

An einen Ohmschen Widerstand gilt:

220( ) ( ) ( ) cos ( )UP t U t I t t

Rω= =

Damit ergibt sich für die elektrische Leis-tung, die an einem Widerstand R "ver-braucht" wird:

Die Leistung P(t) ist nun eine zeitab-hängige, periodische Größe. Entschei-dend ist ihr zeitlicher Mittelwert:

1( ) ( )T

tP t P t dt

T= ∫

Aus der Grafik liest man ab:4

1( ) ( )4

tP t P t dt

T= ∫

Einsetzen liefert:42

4( ) cos ( )T

UP t t dtT R

ω= ∫

Mit der Substitution ωt = x folgt P(t)

2t πω =

t πω =52

t πω =

ttP )(

4 1( ) cos ( )t

UP t x dxT R

ω= ∫

4 1( )2 4

UP tT R T

Dies ist die sog. „Wirkleistung“, die den Widerstand erwärmt. Bei einer Gleich-spannung hätte sich als Wirkleistung

ergeben.20P U R=

Gleichspannung20UP

Wechselspannung201

2UPR≈

Es ergibt sich also für die Wirkleistung:

Daher werden jeweils eine „effektive Spannung“ und ein „effektiver Strom“

0 0 0eff eff,

2 2 2U I UU I

R= = =

definiert, die an einem Ohmschen Widerstand dieselbe mittlere Leistung bewirken würden, wie eine gleich große Gleichspannung, d.h.:

20 0 0

eff eff 22 2U I UP U I

R≈= = =

Versuch: Effektivwerte der Spannung

Lampen werden auf gleiche Helligkeit eingestellt.

Gleichspannung

Wechselspannung

≈ U(t)

LampeWechsel-spannung

Gleich-spannung Lampe

„Die Lampen sind gleich hell“bedeutet genauer, dass sie im zeitlichen Mittel gleich hell leuchten:

eff eff( ) ( ) ( )P U I P t U t I t U I≈ ≈

= = = =

Beispiel:

Das Stromnetz liefert eine effektive Spannung von Ueff = 230 V. Die Spitzenspannung ist dann:

)(! V325Veff =⋅== 230220 UU

Über einen Gleichrichter kann daher ein Kondensator auf über 300 V aufgeladen werden.

Eine periodische Größe U(t) kann immer durch eine so genannte „Fourier-Reihe“ ausgedrückt werden:

Allgemeine zeitlich periodische Span-nungsverläufe können immer auf sinus-förmige zurückgeführt werden. Ein möglicher Verlauf von U(t) sieht so aus:

Hierbei sind T die Schwingungsdauer und ω = 2π/T die Kreisfrequenz.

( ) ( )n n0

U t u n tω ϕ∞

= +∑mit den Konstanten un und ϕn.

Beliebige periodische Vorgänge können hierüber immer aus einzelnen Sinus-schwingungen aufgebaut werden.

( )( )

( ) cos

U t U t

I t I t

Daher werden in den folgenden Ab-schnitten immer nur Spannungs- und Stromverläufe der Form

betrachtet. Zwei Beispiele für Fourier-Zerlegungen folgen jetzt.

6.3 Fourier-Zerlegung

1. Beispiel: „Dreiecksspannung“)(tU

Schwingungsdauer: T = 6.28 s = 2π sKreisfrequenz: ω = 2π/T = 1 s−1

Fourier-Zerlegung

1. Beispiel: „Dreiecksspannung“

)sin(4)(1 ttUπ

Fourier-Zerlegung

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 22 3

)3sin()sin(4)( tttUπ

Fourier-Zerlegung

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= 223 5

)5sin(3

)3sin()sin(4)( ttttUπ

2. Beispiel: „Rechteckspannung“)(tU

Schwingungsdauer: T = 6.28 s = 2π sKreisfrequenz: ω = 2π/T = 1 s−1

Fourier-Zerlegung

2. Beispiel: „Rechteckspannung“

)sin(4)(1 ttUπ

Fourier-Zerlegung

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

5)5sin(

3)3sin()sin(4)(3

ttttUπ

Fourier-Zerlegung

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++=

9)9sin(

7)7sin(

5)5sin(

3)3sin()sin(4)(5

ttttttUπ

eff eff0

1( ) ( )

1 ( ) ( )

P t P t dtT

U t I t dt U IT

Die Effektivwerte von Strom- und Spannung hängen aber von der Formder Wechselspannung ab. Sie waren über den zeitlichen Mittelwert der Leistung ⟨P(t)⟩ definiert worden:

Mit dem Ohmschen Gesetz folgt:

1 ( )( )

UU tP t dtT R R

U U t dtT

Entsprechend folgt für Ieff:

1 ( )T

I I t dtT

= ∫Beispiel:

Effektivwert für eine Dreiecksspannung

, 4 4 4

( )32 ,

t T TU tT

U tt T TU t

⎧ − ≤ ≤⎪⎪= ⎨ ⎛ ⎞⎪ − ≤ ≤⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

U U t dtT

∫⇒

6.4 Kirchhoffsche Regeln für Wech-selspannungen und Wechselströme

In Abschnitt 3.9 wurden die beiden Kirchhoffschen Regeln als Grundlagen zur Berechnung von elektrischen Netzwerken eingeführt. Sie gelten auch im Fall von Wechselspannungen und Wechselströmen.

(i) Knotenregel

In jedem Knoten eines elektrischen Netzwerkes verschwindet daher zu jedem Zeitpunkt t die Summe aller NStröme.

1( ) 0

I2(t)I1(t)

Im Fall stationärer Ströme drückt die Knotenregel das Prinzip der Ladungs-erhaltung aus. Dieses Prinzip muss aber nun für alle Zeitpunkte t erfüllt sein:

Gustav Robert Kirchhoff(1824-1887)

(ii) Maschenregel

U1(t) ≈

Bei stationären Strömen verschwindet wegen der Rotationsfreiheit des elektro-statischen Feldes in jeder geschlossenen Masche die Summe aller Spannungen.

In der Elektrodynamik war:

1( ) 0

Wenn Induktivitäten mit berücksichtigt werden, gilt also auch in einer Masche zu jedem Zeitpunkt:

0=−⋅⇒

∫∫

UrdErr

≈ U(t)

Der Zusammenhang zwischen der Spannung und dem Strom ist:

( )( )dQ dU tQ CU I t Cdt dt

= ⇒ = =

Da 0( ) cos( )U t U tω=

folgt: 0( ) sin( )I t CU tω ω= −

Mit sin( ) cos2

x x π⎛ ⎞− = +⎜ ⎟⎝ ⎠

ergibt sich:

( )( )0

( ) cos 2

I t CU t

ω ω π

Am Kondensator läuft der Strom der Spannung um π/2 = 90° voraus.

6.5 Kondensator im Wechselstromkreis

U(t) I(t)U(t), I(t)

Versuch: RC-Kreis

Sinusgenerator

WiderständeKondensator

Spannung Strom

Beim Kondensator läuft der Strom der Spannung voraus, weil sich zunächst Ladungen auf den Platten ansammeln müssen.

Die mittlere Leistung am Kondensator ist ( ω = 2π/T ):

1 1( ) ( ) ( ) ( )

cos( )sin( ) 0

P t P t dt U t I t dtT T

CU t t dtT

ω ω ω

∫ ∫

∫144424443

Am Kondensator wird im Mittel also keine elektrische Leistung aufgenom-men. Ein idealer Kondensator wird im Gegensatz zu einem Ohmschen Widerstand also nicht erwärmt. Diese zeitabhängige Leistung nennt man daher auch „Scheinleistung“ oder „Blindleistung“.

≈ U(t)

Der Zusammenhang von Strom und Spannung ist nun (Maschenregel):

( )( ) 0

( )( )

dI tU t Ldt

6.6 Induktivität im Wechselstromkreis

Integration ergibt:

1( ) ( ) cos( )

sin( )

t tUI t U t dt t dtL LU t

′ ′ ′ ′= =

∫ ∫

Diesmal ist:

( )sin( ) cos 2t tω ω π= −

Damit folgt:

( ) cos 2

UI t tL

ω πω

Am der Spule läuft der Strom der Spannung um π/2 = 90° nach. Es muss also erst eine Spannung anliegen, damit sich der Strom aufbaut.

Wegen der Phasenverschiebung um π/2 zwischen Strom und Spannung gilt hier für die mittlere Leistung wieder:

( ) 0t

Bei einer idealen Spule wirkt also auch nur die Blindleistung.

U(t), I(t)

Versuch: RL-Kreis

Sinusgenerator

WiderständeSpule

Spannung Strom

Bei der Spule läuft der Strom der Span-nung nach, weil die Induktionsspannung ihrer Ursache entgegenwirkt.

6.7 Elektrischer Schwingkreis

Wir betrachten eine Reihenschaltung aus einer Spule, einem Kondensator und einem Ohmschen Widerstand. Gesucht ist die Zeitabhängigkeit des StromflussesI(t) durch diesen „Schwingkreis“.

Aufgrund der Maschenregel gilt:

0C L RU U U− + =

Einsetzen der jeweiligen Spannungen ergibt:

Differenzieren dieser Gleichung führt mit I(t) = dQ/dt auf die DGL:

0)()()(=++ tIR

dttdIL

)0(,)0(

0)()()(

IIIIdt

tdIRdt

tIdLCtI

( ) ( ) 1 ( ) 0d I t R d I t I tdt L dt LC

Umformen dieser DGL ergibt:

Mit den Definitionen

12 undRL LC

γ ω= =

folgt:

( ) ( )2 ( ) 0d I t d I t I tdt dt

γ ω+ + =

Dies ist dieselbe DGL wie beim ge-dämpften harmonischen Oszillator. Ohne den Widerstand (R = 0) ergibt sich eine ungedämpfte harmonische Schwingung für den fließenden Strom:

00 0 0

( ) cos( ) sin( )II t I t tω ωω

Für R ≠ 0 erhält man eine exponentielle Dämpfung der Amplitude I0. Wie auch bei der mechanischen Schwingung unterscheidet man Schwing-, Kriech-und aperiodischen Grenzfall.

(i) Schwingfall:

Im Fall ω0 > γ wird I(t) durch eine gedämpfte Schwingung beschrieben:

1 22R LC RCLLC

> ⇒ >

Hier ist RC eine Zeitkonstante.

(ii) Kriechfall:

Für ω0 < γ ist I(t) eine abfallende Exponentialfunktion. ω0 < γ bedeutet:

1 22R LC RCLLC

< ⇒ <

(iii) Aperiodischer Grenzfall:

Für ω0 = γ ist I(t) ebenfalls eine ab-fallende Exponentialfunktion, wobei:

1 22R LC RCLLC

= ⇒ =

mittlereDämpfung „Kriechfall“schwache

Dämpfung

Anregungsimpuls

Versuch: LCR-Kreis

Der elektrische Schwingkreis für verschiedene Kombina-tionen der Werte für den Widerstand R, die Induktivität Lder Spule und der Kapazität Cdes Kondensators.

Die im elektrischen und magnetischen Feld des LCR-Kreises gespeicherte Energie wird periodisch ineinander umgewandelt. Die Gesamtenergie ist für R = 0 konstant.

221 )()( tILtEL =

( )I t

221 )()( tUCtEC =

EtEtE LC =+ )()(Energieerhaltung:

Die Energieerhaltung liefert:

( ) ( )1 12 2

C LE t E t E

C U L I E

⇒ + =

und dQQ CU Idt

folgt nun:221 1

2 2Q dQL EC dt

⎛ ⎞⇒ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

Differenzieren dieser Gleichung ergibt:

1 1 12 2 02 2

dQ dQ d QQ LC dt dt dt

( ) ( ) 0

d QQ LC dtd Q Qdt LCd Q t Q t

⇒ + =

Dabei wurde die Frequenz ω2 = 1/LC eingeführt. Dies ist die DGL des harmo-nischen Oszillators für die Funktion Q(t) und damit auch für I(t) und U(t).

Aus der Energieerhaltung kann also, genauso wie in der Mechanik, die zeit-liche Entwicklung des Systems herge-leitet werden.

6.8 Komplexe Schreibweise

Es wird jetzt ein Formalismus vorgestellt, mit dem beliebige R,C,L-Netzwerke berechnet werden können.

Dazu wird der Wechselstromwider-stand

| | iZ Z e ϕ=

definiert, der eine komplexe Zahl mit dem Betrag |Z| und der Phase ϕ ist. Der Wechselstromwiderstand eines Stromkreises wird auch als seine „Impedanz“ bezeichnet.

tive A

„Blin

ohmsche Achse„Wirkwiderstand“

Für eine Wechselspannung

0( ) cos( )U t U tω=

wird jetzt die komplexe Schreibweise

0( ) i tU t U e ω=

eingeführt. Dem Realteil von U(t) ent-spricht jetzt die ursprüngliche Wechsel-spannung.

Auch für den Strom schreibt man

0( ) i tI t I e ω=

wobei die Amplitude I0 eine komplexe Zahl sein kann. Wir berechnen jetzt das Verhältnis der Amplituden Z = U0/I0für einen Ohmschen Widerstand, eine Kapazität und eine Induktivität. Dieses Verhältnis ist die Impedanz.

(i) Ohmscher Widerstand:

( ) i t i tU t U e R I eUU R I Z RI

ω ω= =

⇒ = ⇒ = =

Ein Ohmscher Widerstand hat also eine reelle Impedanz, d.h. |Z| = R undϕ = 0.

(ii) Kapazität:

Am Kondensator gilt:

( )( ) i t

dU tI t I e Cdt

dC U edt

Ci U e

Dann folgt für die Impedanz:

1 1UZ iI i C Cω ω

⇒ = = = −

Diese Impedanz ist rein imaginär, mit:

lim | | 0 lim| |

Z Zω ω

πϕω

→∞ →

= = −

= =∞

(iii) Induktivität:

An einer Spule gilt:

( )( ) i t

dI tU t U e Ldt

dL I edt

Li I e

Dann folgt für die Impedanz:

UZ i LI

ω⇒ = =

Diese Impedanz ist wieder rein imaginär, mit:

lim | | lim| | 0

Z Zω ω

πω ϕ

→∞ →

=∞ =

Mit der Impedanz und dem Ohmschen Gesetz kann rückwärts wieder der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung berechnet werden.

Beispiel: Strom und Spannung am Kondensator

( 2)1 1 iCZ e

i C Cπ

ω ω−= =Es war:

Mit dem Ohmschen Gesetz folgt:

( ) ( )( )

20 00 0

( 2)0 0

( ) Re cos( )

( ) Re Re

Re cos( 2)

i t i i t

U t U e U t

U UZ I U C eI Z

I t I e U C e e

U C e U C t

ω π ω

ω ω ω π+

= ⇒ = =

⇒ Strom eilt Spannung um π/2 voraus.

Dieses Vorgehen lässt sich jetzt auf beliebige RCL-Kreise übertragen. Dies soll anhand eines Beispiels verdeutlicht werden.

Beispiel: Serienschaltung aus einem Ohmschen Widerstand und einer In-duktivität:

Die Gesamtimpedanz ZRL ergibt sich durch Addition der Einzelimpedanzen wie bei der Serienschaltung von Ohm-schen Widerständen.

Also folgt:

Im( )arctan arctanRe( )

RL R L

Z Z Z R i L

Z LZ R

= + = +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Der Zusammenhang zwischen physika-lischem Strom und Spannung ist dann:

≈ U(t)

I(t))cos()(

)cos()(

RLges tZItU

Frequenzgang eines RL-Kreises: "Tiefpass"

→ ⇒ →

→∞⇒ → =

ω ϕω ϕ π ϕ→ ⇒ →→∞⇒ → =

6.9 Transformator

Sekundärspule

PrimärspuleB(t)

A=const.

Ein Transformator besteht aus zwei Spulen mit den Windungszahlen N1und N2, die auf ein Eisenjoch gewickelt sind. Er dient dazu, Spannungen und Ströme zu verstärken.

Aufbau eines Transformators

mag B AΦ = ⋅rr

Wird eine zeitlich variable SpannungU1(t) an die Primärspule gelegt, fließt ein Strom I1(t). Dieser erzeugt das Feld B(t) nach dem Ampèreschen Gesetz:

2. EisenjochMagnetische Feldlinien bevorzugen Berei-che, in denen µ sehr groß ist, d.h. Berei-che in ferromagnetischen Materialien (Fe, Co, Ni). Der Grund dafür ist die im Feld gespeicherte Energie (Abschnitt 4.x).

Funktionsweise (qualitativ):

3. SekundärspuleDas zeitlich veränderliche Magnetfeld im Eisenjoch induziert in der Sekundärspule entsprechend der 3. Maxwell-Gleichungdie Spannung U2(t).

1. Primärspule

Bei der folgenden quantitativen Be-rechnung wird der „ideale Transfor-mator“ angenommen, d.h.:

(1) Keine Streuverluste des magne-tischen Flusses. Das Magnetfeld B(t) ist im Eisenjoch überall gleich großund im Außenraum vernachlässigbar. (2) Keine Ohmschen Verluste noch Streukapazitäten in den Leitungen.(3) Keine Wirbelströme im Eisenjoch (können durch isolierte Transforma-torbleche verhindert werden).

)(tB&Wirbelstrom IWirb(t)

),(),( 0 trIsdtrB rrrr μμ=⋅∫

Eine geschlossene Feldlinie der Längel im Eisenjoch umschließt die Ströme durch beide Spulen, so dass gilt:

Hier sind L11 die Selbstinduktion der Primärspule und L12 die von ihr in der Sekundärspule erzeugte Gegenin-duktion.

Primär Sekundär

( ) ( )t B t AΦ = Φ = Φ⇒ Φ =

Primärseite:

1 ind 1

( ) ( ) 0( ) ( ) ( )

( ) ( )

U t U tU t U t N t

U t N AB t

= − = Φ

A=const.

REisenjoch

Einsetzen von B(t) ergibt:

212111

+=μμ

Der magnetische Fluss durch Primär-und Sekundärspule ist gleich groß:

0 1 1 2 2Eisen-

01 1 2 2

B dr Bl N I N I

B N I N Il

⋅ = = +

⇒ = +

∫r r

Auf der Sekundärseite wird entsprechend die Spannung U2 induziert:

222121

tBANtNU

−−=

−=Φ−=μμ

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

( ) ( ) ( )

mit ( , 1,2)j kjk

U t L I t L I t

U t L I t L I tN N A

L j kl

= − −

mit Selbstinduktion L22 der Sekundär-spule und L21 als Gegeninduktion.

Zusammengefasst ergeben sich die Transformatorgleichungen:

Die beiden Gegeninduktivitäten sind beim idealen Transformator gleich:

Das Verhältnis der Spannungen erhält man aus der Annahme, dass der mag-netische Fluss in den Spulen gleich ist:

111 )(

UNNtNU

−=⇒

−=Φ= &

Für den verlustfreien Transformator ver-halten sich die Ströme entsprechend:

1 2 2 112 r 0 r 0 21

N N A N N AL Ll l

μ μ μ μ= = =

Primärspulemit wenigenWindungen

Lichtbogen

Sekundärspulemit vielen

Windungen

Versuch: Hochspannungserzeugung

Zur Funkenbildung: die Durchschlags-feldstärke in (normal feuchter) Luft liegt bei etwa E = 1 kV/mm.

Primärspule mitvielen Windungen

Sekundärspule mit wenigen Windungen

Versuch: Erzeugung hoher Ströme durch Transformation

Netztrafo

Funkenstrecke

Tesla-Trafo

Schwing-kreis

Prinzip des Tesla-Transformators:

Mit dem Tesla-Transformator können extrem hohe Spannungen erzeugt werden.

Nicola Tesla(1856-1943)

Versuch: Tesla-Transformator

Netztrafo

Funken-strecke

InduktivitätKonden-sator

Einzelkomponenten des Tesla-Transformators

Koronaabbildung

Gasentladungs-röhre

Tesla-Transformator

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