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Inhalt
Rechenstörungen: Ein Versuch der Begriffsklärung .................................................. 5
Mögliche Ursachen und tatsächliche Risikofaktoren ................................................. 6
Verfestigtes zählendes Rechnen als Symptom von Rech enstörungen .................... 8
Kennzeichen verfestigten zählenden Rechnens ...................................................... 8
Begleiterscheinungen des verfestigten zählenden Rechnens ................................. 9
Weitere Symptome von Rechenstörungen ................................................................ 13
Probleme bei der Links-rechts-Unterscheidung ..................................................... 13
Intermodalitätsprobleme ........................................................................................ 13
Einseitige Zahl- und Operationsvorstellungen ....................................................... 14
Diagnostische Möglichkeiten ..................................................................................... 14
Fehleranalyse ........................................................................................................ 14
Das diagnostische Gespräch ................................................................................. 22
Das ElementarMathematische BasisInterview (EMBI) .......................................... 23
Bielefelder Rechentest für das zweite Schuljahr (BIRTE 2)................................... 24
Förderkonzepte und -schwerpunkte .......................................................................... 25
Förderkonzepte .................................................................................................... 25
Förderschwerpunkte .............................................................................................. 26
Elternarbeit ................................................................................................................... 30
Anhang ......................................................................................................................... 32
Anhang 1: Mathematische Tests im schulischen Kontext ..................................... 32
Anhang 2: Aspekte des Zahlbegriffs ...................................................................... 35
Anhang 3: Weitere Ideen und Anregungen zur Förderung ................................... 37
Literatur ........................................................................................................................ 48
5
Rechenstörungen: Ein Versuch der Begriffsklärung
Bezug: SINUS-Transfer Grundschule Modul G 4, S. 23
Arithmasthenie, Dyskalkulie, Rechenstörung, Rechenschwäche, … – alle diese Begriffe
beschreiben im Grunde dasselbe Phänomen, nämlich besondere Schwierigkeiten beim
Erlernen von Mathematik. Eine einheitliche wissenschaftliche Definition hierfür existiert
nicht und die Aufzählung ließe sich auch noch beliebig weiterführen, wobei jeder Begriff
immer auch einen Hinweis auf die Wissenschaftsdisziplin, der er entstammt, sowie die
Ausprägung der mathematischen Schwierigkeiten oder einen Hinweis auf deren Ursachen
enthalten kann.
Die drei am häufigsten verwendeten Begriffe sind Rechenschwäche, Rechenstörung und
Dyskalkulie, die zur Klärung hier kurz erläutert werden:
Der Terminus Rechenschwäche wird bei Kindern angewendet, „die einer Förderung jen-
seits des Standardunterrichts bedürfen“ (vgl. Lorenz/ Radatz 1993). Ungefähr 20% aller
Schülerinnen und Schüler eines Jahrgangs gelten als rechenschwach, wobei mit dem Be-
griff jedoch keine Festlegung auf die Dauer, die Art oder die Ausprägung der Schwierigkei-
ten einhergeht.
Etwa 4–6% aller Schülerinnen und Schüler eines Jahrgangs haben dauerhafte und
schwerwiegende Probleme beim Erlernen des Rechnens, bei ihnen liegt eine Rechenstö-
rung vor. Dieser Begriff wird verwendet, wenn Kinder aufgrund (noch) fehlender Voraus-
setzungen kein Verständnis für Zahlen, Rechenoperationen und Rechenstrategien auf-
bauen konnten.
Die „Verordnung über die Förderung von Schülerinnen und Schülern mit besonderen
Schwierigkeiten beim Lesen, Rechtschreiben oder Rechnen (VOLRR)“ vom 18.05.2006
definiert in §1 folgendermaßen: „Schülerinnen und Schüler mit besonderen Schwierigkei-
ten sind diejenigen, die trotz Förderung anhaltende Schwierigkeiten […] im Bereich des
Rechnens haben“ (Hessisches Kultusministerium 2006).
Der Begriff Dyskalkulie sollte nur dann verwendet werden, wenn eine Rechenstörung vor-
liegt und zugleich festgestellt worden ist, dass das betroffene Kind im Sinne des §35a
SGB VIII (Sozialgesetzbuch VIII) seelisch behindert bzw. von einer solchen Behinderung
bedroht ist. Denn Kinder kommen nur in den Genuss öffentlich finanzierter außerschuli-
6
scher „Therapie“, wenn im Sinne dieses Paragraphen eine seelische Behinderung bzw.
Bedrohung belegt wird. Eine Rechenstörung allein rechtfertigt dagegen keine Maßnahme
im Sinne des §35a.1
Mögliche Ursachen und tatsächliche Risikofaktoren
Bezug: SINUS-Transfer Grundschule Modul G 4, S. 24–27
Die Ursachen für Rechenstörungen sind unbekannt, wenn man den Begriff „Ursache“ im
Sinne von Kausalität verwendet. Dies bedeutet jedoch nicht, dass Beeinträchtigungen,
z.B. in der visuellen Wahrnehmung, sich nicht negativ auf das Mathematiklernen auswir-
ken können. Sie stellen einen großen Risikofaktor dar, weil Mathematiklernen oft über den
visuellen Lernkanal stattfindet. Aus dem Risikofaktor „Visuelle Teilleistungsstörung“ wird
für das individuelle Kind aber erst dann eine Ursache für Rechenstörungen, wenn die
schulische Kompensation dieser Beeinträchtigung (z.B. durch Lernen auch über andere
Kanäle) nicht gelingt.
Risikofaktoren dürfen aber nicht nur beim Kind selbst gesucht werden. „Systematische
Erziehung zur Unselbstständigkeit durch überbehütende Eltern oder soziale Vernachlässi-
gung der Kinder können dazu führen, dass Kinder erhebliche Schwierigkeiten beim Ma-
thematiklernen bekommen“ (Schipper 2005).
Aber auch ein starres Curriculum, ein nicht auf alle Lernkanäle ausgerichtetes Lehrbuch
oder ein schlechter Mathematikunterricht sind als Risikofaktoren zu benennen. Es sind
wohl eher „Ursachenfelder“, die das Aufkommen von besonderen Schwierigkeiten beim
Erlernen des Rechnens begünstigen können, sie aber nicht zwangsläufig zur Folge haben.
Es kann davon ausgegangen werden, dass bei der Ausbildung einer Rechenstörung in
nahezu jedem Fall die folgenden drei Ursachenfelder mitwirken:
1 Entscheidend ist hier der erste Satz des §35a, nach dem Kinder und Jugendliche, die seelisch behindert oder von einer solchen Behinderung bedroht sind, Anspruch auf Eingliederungshilfe haben.
7
(Schipper 2005)
Die Aufmerksamkeit der Lehrkraft muss sich in erster Linie auf das schulische Umfeld als
möglichen Risikofaktor konzentrieren, da Veränderungen im eigenen Unterricht ver-
gleichsweise schnell und einfacher vorgenommen werden können als im individuellen und
familiären Bereich: „Auf nichts haben Lehrer so viel Einfluss wie auf ihren Unterricht. Sie
sollten ihn nutzen“ (Zitat Prof. Andreas Helmke, in: Spiewak 2005).
Individuum
� Fähigkeiten, Interessen � (Vor-)Wissen � Anstrengungsbereitschaft � Sensorische Beeinträchti-
gungen (visuell, auditiv, …) � Aufmerksamkeit, Konzentra-
tion, Gedächtnis � Angst, …
Schulisches Umfeld
� Lehrkraft � Unterrichtsmethode � Umgang mit Material � Lehrbuch � Mitschüler � Sprache und Gespräche auf
der Meta-Ebene � Förderunterricht
Familiäres und soziales Umfeld
� Familiäre Situation (Überbehütung, Vernachlässigung, Scheidung, Konkur-renz zwischen Geschwistern, Beherrschung der deutschen Sprache, Frei-zeitangebote, …)
� Art der Hausaufgabenbetreuung, Möglichkeiten der Nachhilfe (z.B. auch die finanzielle Situation der Familie), der psychologischen Beratung, der Fähig-keit der Eltern, die Probleme wahrzunehmen …
8
Verfestigtes zählendes Rechnen als Symptom von
Rechenstörungen
Bezug: SINUS-Transfer Grundschule Modul G 4, S. 20–22, S. 31–37
Kennzeichen verfestigten zählenden Rechnens
Verfestigtes zählendes Rechnen ist das zentrale Merkmal für Leistungsschwäche im ma-
thematischen Bereich. Zwar verfügen auch zählende Rechner über Rechenstrategien, die
sie aber zumeist nicht nutzen. Diese Kinder können bei Zahlen und Zahlrepräsentanten
weder Strukturen erkennen noch diese anwenden, was auch zu einer mangelhaften Stel-
lenwertvorstellung führen kann.
Meistens werden zählende Rechner erst in der ersten Hälfte des zweiten Schuljahres auf-
fällig, wenn im erweiterten Zahlenraum bis 100 addiert und subtrahiert wird. Diese Kinder,
die im ersten Schuljahr einfach als etwas „langsam“ galten, fallen plötzlich in ihrem Re-
chentempo deutlich hinter ihren Mitschülern zurück und versuchen, das zählende Rech-
nen zu verbergen, oder möchten das angebotene Material nicht nutzen.
Bei Kindern, die zählend rechnen, ist häufig Folgendes zu beobachten bzw. zu beachten:
• „Die Kinder verstecken ihre Hände unter den Oberschenkeln, hinter dem Rücken, unter dem Tisch, …
• Alle möglichen Materialien – die Fenster im Klassenraum, die Blumentöpfe auf den Fensterbänken, die Stifte im Mäppchen, … – werden als Zählmaterialien benutzt. Häufig wird das zählende Rechnen an solchen Gegenständen mit rhythmischen Kopfbewegungen begleitet.
• Zählendes Rechnen an den Fingern gelingt manchen Kindern mit nur minimalen Fingerbewegungen. Man sollte ihnen daher sehr genau „auf die Finger schauen“, auch wenn die Hände scheinbar unbeweglich auf dem Tisch liegen oder den Kopf stützen – und das zählende Rechnen verdeckt im dichten Haar stattfindet.
• Aufgaben mit Zehnerüberschreitung […] sind […] gerade für zählende Rechner kri-tische Prüfaufgaben […]. Wer solche Aufgaben schnell und sicher mit einer guten Strategie […] rechnet, ist wahrscheinlich kein zählender Rechner.
• Bei schriftlich vorliegenden Aufgabenlösungen deuten gehäufte +/–1-Fehler beim Rechnen im Zahlenraum bis 20 und +/–10-Fehler beim Rechnen bis 100 auf zäh-lendes Rechnen hin“ (Schipper 2005).
Zu beachten ist, dass nicht schon ein einziger Hinweis genügt, um ein Vorliegen von ver-
festigtem zählenden Rechnen anzunehmen. Erst, wenn die Symptome über einen länge-
ren Zeitraum und bei verschiedenen Aufgaben beobachtet werden, kann mit zunehmender
Sicherheit davon ausgegangen werden, dass verfestigtes zählendes Rechnen vorliegt.
9
Begleiterscheinungen des verfestigten zählenden Rec hnens
Bezug: SINUS-Transfer Grundschule Modul G 4, S. 31–37
Kennzeichnend für verfestigte zählende Rechner sind Auffälligkeiten in sechs Bereichen,
die eng mit dem zählenden Rechnen zusammenhängen:
1. Die Zerlegungen der Zahlen bis 10 sind nicht mem orisiert.
Da die Zerlegungen der Zahlen bis einschließlich 10 eine wichtige Voraussetzung für die
Entwicklung der operativen Strategie des schrittweisen Rechnens (Zehnerübergang: bis
10, dann weiter) ist, sollten die Kinder diese Zerlegungen am Ende der ersten Klasse me-
morisiert haben. Die meisten zählenden Rechner haben aber nur ein geringes Repertoire
an auswendig abrufbaren Zerlegungen und müssen sich diese daher meist durch Zählen
erschließen.
2. Verfestigte zählende Rechner zeigen insgesamt nu r ein geringes Repertoire an
auswendig gewussten Aufgaben.
Die Kinder sollten am Ende des ersten Schuljahres auch alle Additions- und Subtraktions-
aufgaben im Zahlenraum bis 10 sowie die Verdoppelungs- und Halbierungsaufgaben im
Zahlenraum bis 20 automatisiert haben, da dieses Wissen die Basis zur Entwicklung von
Rechenstrategien bildet. Das geringe Repertoire an auswendig gewussten Aufgaben führt
direkt in einen Teufelskreis: „Weil die Kinder so wenige Aufgaben auswendig wissen,
müssen sie immer wieder auf zählendes Rechnen zurückgreifen. Und weil diese Kinder
immer wieder zählend rechnen, lernen sie nur so wenige Aufgaben auswendig“ (Schipper
2005).
Das zählende Rechnen stellt eine hohe mentale Belastung dar, sodass die Kinder nach
der Ermittlung der Lösung häufig die Aufgabe selbst vergessen haben; das Einprägen der
Verbindung von Aufgabe und Lösung findet demnach nicht statt. Darüber hinaus ist zäh-
lendes Rechnen besonders fehleranfällig, sodass die Kinder bisweilen zur gleichen Aufga-
be unterschiedliche Lösungen erhalten, was wiederum das Einprägen einer stabilen Auf-
gabe-Lösung-Verbindung verhindert.
3. Operative bzw. heuristische Strategien des Rechn ens sind auch bei zählenden
Rechnern manchmal (latent) vorhanden, werden aber nur selten genutzt.
Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über Strategien, die im ersten und zweiten
Schuljahr entwickelt werden:
10
a) das Verdoppeln bzw. Halbieren nutzen
6 + 8 = 14 aus
„doppel-sechs plus zwei“
14 – 6 = 8 aus
14 – 7 = 7 7 + 1 = 8
25 + 28 = 53 aus „doppel-
fünfundzwanzig plus drei“
50 – 26 = 24 aus
50 – 25 – 1
b) gegen- bzw. gleichsinniges Verändern
6 + 8 = 14 aus
(6 + 1) + (8 – 1) = „doppel-sieben“
12 – 7 = 5 aus
(12 – 2) – (7 – 2) = 10 – 5
34 + 58 = 92 aus
(34 – 2) + (58 + 2) = 32 + 60
76 – 28 = 48 aus
(76 + 2) – (28 + 2) = 78 – 30
c) Analogien nutzen
13 + 4 = 17 weil
3 + 4 = 7
19 – 6 = 13 weil
9 – 6 = 3
30 + 40 = 70 weil
3 + 4 = 7
80 – 50 = 30 weil
8 – 5 = 3
d) Hilfsaufgaben nutzen
6 + 8 = 14 aus
6 + 10 – 2
16 – 9 = 7 aus
16 – 10 + 1
34 + 58 = 92 aus
34 + 60 – 2
76 – 28 = 48 aus
76 – 30 + 2
e) schrittweises Rechnen (Zerlegen des zweiten Summanden bzw. des Subtrahenden)
6 + 8 = 14 aus
6 + 4 + 4
14 – 6 = 8 aus
14 – 4 – 2
34 + 58 = 92 aus
34 + 50 + 8
76 – 28 = 48 aus
76 – 20 – 8
f) Stellenwerte extra
34 + 58 = 92 aus
30 + 50 = 80 4 + 8 = 12 80 + 12 = 92
76 – 28 = 48 aus
70 – 20 = 50 6 – 8 = –2
50 + (–2) = 48
(Schipper 2005)
11
„Ziel des Mathematikunterrichts in der Grundschule ist es, die Kinder zu befähigen, aus
dem dargestellten Repertoire an Verfahren flexibel das jeweils optimale – abhängig von
den zu verrechnenden Zahlen – auszuwählen“ (Schipper 2005).
Von diesem Ziel des flexiblen Wählens der richtigen Strategie sind zählende Rechner je-
doch weit entfernt. Sie verfügen zwar manchmal über diese Strategien, nutzen sie jedoch
nur selten oder ungeschickt, weil sie mehr Vertrauen in ihre zählende Vorgehensweise
haben.
4. Das Zahlenrechnen wird durch ein Ziffernrechnen ersetzt.
Im Zahlenraum bis 20 stellt das zählende Rechnen, mit Ausnahme der typischen
+/–1-Fehler, noch eine erfolgreiche Strategie dar. Bereits beim Verarbeiten von zwei- und
mehrstelligen Zahlen greift sie jedoch nicht mehr, da das Zählen nun zu lange dauert, ge-
häuft Fehler auftreten und die Kinder wissen, dass sie aufgrund der langen Bearbeitungs-
zeiten zu den leistungsschwächeren Schülern zählen.
Aus diesem Grund entwickeln zählende Rechner oft die Technik, das Rechnen mit mehr-
stelligen Zahlen auf ein Rechnen mit Ziffern zu reduzieren. Aus dem Verfahren „Stellen-
werte extra“ wird dabei – oft unterstützt durch die Eltern – die Technik „Ziffernwerte extra“.
Eine Aufgabe zur Addition kann dann z.B. so ausfallen:
34 + 48 = 712
Die Ziffern werden (wie bei der schriftlichen Addition und Subtraktion) an den einzelnen
Stellen verarbeitet. Bei 34 + 48 wird zunächst 3 + 4 = 7 gerechnet und das Ergebnis no-
tiert. Danach wird 4 + 8 gerechnet und das Ergebnis 12 hinter die 7 geschrieben. Eine
überschlagsmäßige Prüfung des Gesamtergebnisses wird nicht vorgenommen. Es wurde
also nicht mit den Zahlen 34 und 48 gerechnet, sondern nur mit einzelnen Ziffern, und die
Bedeutung (Größenvorstellung) der Zahlen wurde außer Acht gelassen.
Ein Beispiel zur Subtraktion lautet wie folgt:
86 – 38 = 52
Bei diesem Beispiel wird die absolute Differenz der beiden Ziffern gebildet, ohne Rücksicht
darauf, ob die Einerstelle des Minuenden oder des Subtrahenden größer ist. Das Kind be-
rechnet die Zehnerstelle mit 8 – 3 = 5. Da bei den Einern 6 – 8 nicht möglich ist, wird
8 – 6 = 2 gerechnet (bei der Addition dürfen ja schließlich auch die beiden Summanden in
der Reihenfolge vertauscht werden) und die 2 notiert.
12
Ein weiteres zu beobachtendes Phänomen stellt sich wie folgt dar:
72 – 46 = 38
Wenn eine Subtraktion der Einerstellen nicht möglich ist, werden sie kurzerhand einfach
addiert.
5. Fehlendes Verständnis wird durch regelhaftes Vor gehen ersetzt.
Probleme bei der Addition und Subtraktion ergeben sich häufig daraus, dass Kinder eine
eingeübte Regel übergeneralisieren. Dies wird an folgendem Schülerbeispiel näher erläu-
tert:
20 + 62 = 82
Dieser Schüler hat sich für die Addition folgende Regel eingeprägt: Verrechne erst die
Zahlen „vorne“, notiere dann am Schluss eine der „hinteren“ Ziffern. Beim obigen Beispiel
funktioniert diese Regel, da die Einerstelle des ersten Summanden null beträgt. Im folgen-
den Zahlenbeispiel stößt die Regel jedoch bereits an ihre Grenzen:
26 + 51 = 71
Beim Addieren von gemischten Zehnern (26 + 51) rechnet der Schüler 2 + 5 = 7, notiert
dieses Ergebnis und schreibt dahinter die Ziffer 1 von 51. Meistens verrechnet er dabei die
zueinander passenden Ziffern.
Bei der Subtraktionsaufgabe
73 – 36 = 16
zeigt sich, dass dieser Schüler manchmal auch die Stellenwerte vermischt: 7 – 6 = 1; die 6
von 36 wird als Einerstelle des Ergebnisses notiert.
Bereits an dieser Stelle zeigt sich deutlich: Je mehr Fehlerstrategien miteinander kombi-
niert werden, desto schwieriger wird es, sie bei einer Fehleranalyse zu identifizieren. Oft
hilft dann nur noch eine Denkanalyse2 im Rahmen einer gezielten Diagnostik mithilfe von
informellen oder halbstandardisierten Verfahren (vgl. übernächstes Kapitel dieses Bau-
steins).
2 „Dieser von Gaidoschik (2004) geprägte Begriff charakterisiert recht deutlich das wohl ergiebigste Verfah-ren, den Denk- und Lösungswegen von Kindern auf die Schliche zu kommen. Dem Kind werden gezielt Fragen zur Vorgehensweise bei der Lösung der Aufgabe gestellt. Wichtig ist dabei, dem Kind mit der Frage nicht schon eine Antwortmöglichkeit anzubieten.“ (Schipper 2005)
13
Die Probleme des Schülers aus den Beispielen resultieren möglicherweise aus einer
Übergeneralisierung einer eingeübten Regel, die im Beispiel 20 + 62 = 82 bestens funktio-
niert. Es ist nicht auszuschließen, dass seine Eltern den Aufgabentyp ZE +/– Z besonders
intensiv mit ihm geübt haben.
6. Bei zählenden Rechnern ist die Einsicht in Struk turen bzw. die Fähigkeit, diese zu
nutzen, häufig nur gering ausgeprägt.
Mithilfe von strukturierten Arbeitsmittel (z.B. Rechenrahmen, Hunderterfeld) entwickeln die
Kinder ein Verständnis für den Zahlenraum und die Rechenoperationen. Dazu ist es erfor-
derlich, dass die Kinder die Struktur des Arbeitsmittels verstanden haben. Hieraus ergibt
sich gleichzeitig die Notwendigkeit einer sinnvollen Begrenzung der Arbeitsmittel, da jedes
erlernt werden muss. Bei vielen zählenden Rechnern ist zu beobachten, dass sie das Ma-
terial nahezu ausschließlich als Zählhilfe benutzen. Beispielsweise lösen sie die Aufgabe
85 – 30, indem sie auf dem Hunderterfeld in Einerschritten rückwärts abzählen.
Weitere Symptome von Rechenstörungen
Bezug: SINUS-Transfer Grundschule Modul G 4, S. 20–22
Probleme bei der Links-rechts-Unterscheidung
Die Fähigkeit zur sicheren Unterscheidung von links und rechts ist eine wichtige Voraus-
setzung für erfolgreiches Mathematiklernen. Da alle Arbeitsmittel und Veranschaulichun-
gen in der Arithmetik mit dem Faktor „Richtung“ operieren, ist es verständlich, dass Kinder
mit Schwächen in diesem Bereich auch Schwierigkeiten dabei haben werden, Grundvor-
stellungen für Operationen wie Addition bzw. Subtraktion oder ein sicheres Verständnis für
Stellenwerte zu entwickeln. Häufige Begleitphänomene sind Zahlendreher und Rechen-
richtungsfehler (Vertauschen von Addition und Subtraktion).
Intermodalitätsprobleme
Mathematik lässt sich in drei verschiedenen Formen (Modi) darstellen, nämlich durch
Handlungen (enaktiv), durch Bilder (ikonisch) und durch Sprache und Symbole (symbo-
lisch). Der Begriff „Intermodalitätsprobleme“ beschreibt dabei die Schwierigkeiten von Kin-
dern, zwischen diesen drei Darstellungsformen zu übersetzen und z.B. eine Rechenge-
schichte in eine Gleichung umzusetzen. Aufgrund dieser Übertragungsschwierigkeiten
helfen die konkreten Handlungen am Material solchen Kindern nicht automatisch bei der
Lösungsfindung und ebenso wenig bei der Entwicklung von Rechenstrategien.
14
Einseitige Zahl- und Operationsvorstellung
Mit dem Intermodalitätsproblem eng verbunden sind einseitige Zahl- und Operationsvor-
stellungen. Gerade für leistungsschwache Kinder ist die Mathematik eine „Welt voller ge-
heimnisvoller Ziffern und Zeichen, die auf noch geheimnisvollere Art und Weise regelhaft
miteinander verknüpft werden müssen: Mathematik als Regelspiel“ (Schipper 2005). Durch
die mangelnde bzw. einseitige Zahl- und Operationsvorstellung entwickeln die Kinder indi-
viduelle Lösungsstrategien, ohne jedoch ein Verständnis dafür zu besitzen. Eine falsche
Lösung ist in diesem Verständnis von Mathematik ein Zeichen dafür, dass nicht die richti-
ge Regel benutzt wurde. Damit wird Mathematik für diese Kinder bedeutungslos.
Diagnostische Möglichkeiten
Die folgenden Ausführungen basieren auf Kaufmann/ Wessolowski (2006).
Die für die Grundschule relevanten standardisierten Tests sind häufig Gruppentests. Sie
geben keine Einblicke in die Denkwege der Kinder, sind produkt- und nicht prozessorien-
tiert (vgl. Anhang).
Informelle Verfahren (z.B. Fehleranalysen und diagnostische Gespräche) sowie halb-
standardisierte Tests (z.B. EMBI) können dagegen Einsichten darüber liefern, wie ein
Kind an Aufgaben herangeht, welcher Vorstellungen es sich bedient und welche Verbin-
dungen und Schlussfolgerungen es herstellt. Dies gibt der Lehrkraft die Möglichkeit, die
kognitiven Schwierigkeiten und Besonderheiten eines Kindes möglichst genau zu be-
schreiben und aus diesem Wissen heraus gezielt Fördermaßnahmen abzuleiten und in
den Förderplan aufzunehmen.
Fehleranalyse
Nicht das richtige oder falsche Ergebnis einer Aufgabe gibt demnach Aufschluss über die
Denk- oder Lösungswege der Kinder; vielmehr gilt es, die Vorgehensweisen und Denkpro-
zesse der Kinder selbst zu verstehen. Der erste Schritt im diagnostischen Prozess ist nach
Kaufmann/ Wessolowski (2006) die Fehleranalyse, die anhand von schriftlich vorliegenden
Aufgabenlösungen aus Übungen, Hausaufgaben und Tests erfolgen kann. Fehler entste-
hen meist nicht zufällig oder durch flüchtiges Verrechnen, wie die folgenden Beispiele zei-
gen, sondern sind Ergebnisse subjektiver Strategien.
15
Fehlerart Beispiel Strategie
Zählfehler:
Mitzählen der „An-
fangszahl“
3 + 5 = 7
8 – 5 = 4
86 – 54 = 43
3, 4, 5, 6, 7 (um 5 vorwärtsgezählt)
8, 7, 6, 5, 4
8, 7, 6, 5, 4 (Z) / 6, 5, 4, 3 (E)
Verwechslung von
Rechen-/ Relations-
zeichen
8 + 3 = 5
7 = 3 + 10
– statt +
+ statt =
Stellenwertfehler 34 + 3 = 64
25 + 30 = 28
3 + 3 = 6; 4 bleibt
(evtl. gedacht: 1. Ziffer + 1. Ziffer)
5 + 3 = 8; 2 bleibt
Inversionsfehler 17 – 4 = 31
23 + 9 = 23
23 + 9 = 41
gelesen und gerechnet: 17 – 4 = 13 / notierte
Lösung: 31
gelesen und gerechnet: 23 + 9 = 32 / notierte
Lösung: 23
gelesen und gerechnet: 32 + 9 = 41 / notierte
Lösung: 41
„Klappfehler“/ Rich-
tungsfehler
23 – 9 = 12
27 + 8 = 39
23 – 10 – 1 statt 23 – 10 + 1
27 + 10 + 2 statt 27 + 10 – 2
Falsche Strategie 9 � 4 = 31
6 � 9 = 51
10 � 4 = 40 40 – 9 = 31 statt 40 – 4 = 36
10 � 6 = 60 60 – 9 = 51 statt 60 – 6 = 54
Übertragen der Zer-
legungsstrategie
der Addition
14 � 15 = 120
23 � 12 = 206
10 � 10 = 100 4 � 5 = 20 100 + 20 = 120
20 � 10 = 200 3 � 2 = 6 200 + 6 = 206
(Kaufmann/ Wessolowski 2006)
Nach der Fehleranalyse folgt im zweiten Schritt das diagnostische Gespräch mit dem
Kind. Nun geht es darum, mögliche Fehlerursachen aufzudecken:
• einseitiges Zahlbegriffsverständnis
• und/ oder mangelndes Operationsverständnis
• und/ oder fehlende Rechenstrategien (vgl. Kaufmann 2009).
Zum besseren Verständnis werden im Folgenden die oben genannten Fehlerursachen
anhand von Fehlern und diagnostischen Aufgaben erläutert:
16
Zahlbegriffsverständnis
a) Zählen
73 – 4 = 79 (72, 71, 70, 79)
� Zählfehler: Nach 70 wird nicht der nächste Zehner genommen.
b) Zahlen lesen und schreiben
(Kaufmann 2009)
� Inversionsfehler (Zahlendreher)
c) Zahldarstellung und Zahlauffassung
� Falsche Zahldarstellung der Zahl 21
d) Zahlbedeutung und Zahlbeziehungen
Hier siehst du 15 Leute, die in einer Schlange vor der Kasse stehen. Wenn jetzt die
3. und die 6. Person keine Lust mehr haben zu warten und nach Hause gehen, wie
viele Leute stehen dann noch in der Schlange?
(Kaufmann/ Wessolowski 2006)
15 – 3 = 12; 12 – 6 = 6
� In diesem Beispiel werden die Zahlaspekte falsch verwendet, die Ordinalzahlen (3. und
6. Person) werden als Kardinalzahlen (3 Personen und 6 Personen) benutzt.
17
e) Größer/ kleiner – weniger/ mehr
Ich nenne dir jetzt ein Zahlenpärchen und du wiederholst bitte die größere Zahl.
Wenn ich dir das Zahlenpärchen 9 und 4 nenne, welche Zahl wiederholst du?
� Die meisten Kinder treffen die Entscheidungen „größer oder kleiner als“ auf der Grund-
lage der Zahlwortreihe und nicht unter Bezugnahme einer quantitativen Zahlbedeutung.
Da die Zahlen im Zahlenraum bis 100 bei den meisten Kindern sicherlich nicht als fortlau-
fende Zahlwortreihe gespeichert sind, müssen die Lerner eine Einsicht in die Struktur des
Aufbaus haben, nämlich dass Zehner- und Einerstellen einen Bedeutungsunterschied in
sich tragen (vgl. Kaufmann/ Wessolowski 2006).
f) Halb/ doppelt
Vor der Bearbeitung von Aufgaben aus dem Bereich „Verdoppeln und Halbieren“ sollte
sich die Lehrkraft davon überzeugen, dass bei dem Kind die genannten Begriffe gesichert
sind und die entsprechenden Handlungen für das Verdoppeln und Halbieren (Operations-
verständnis) ausgeführt bzw. erklärt werden können. Erst danach sollte überprüft werden,
ob die Verdopplungen und Halbierungen im Zahlenraum bis 20 automatisiert sind (vgl.
Kaufmann/ Wessolowski 2006).
(Kaufmann/ Wessolowski 2006)
18
g) Zahlverortung am Zahlenstrahl
(Kaufmann/ Wessolowski 2006)
� Sollen die Kinder Zahlen an einem Zahlenstrahl verorten, so müssen sie die Zahlen als
Längen und die Zahlbeziehungen als Abstände (nah – fern) darstellen. Durch diese Auf-
gabe wird der Lehrkraft deutlich, ob die Kinder bereits über diese Vorstellungen verfügen.
Hilfreich für die Entwicklung dieser Vorstellung kann der Hinweis auf eine Erleichterung
durch die Nutzung von Halbierungen bzw. Verdopplungen der Zahlen am Zahlenstrahl
sein (Kaufmann/ Wessolowski 2006).
h) Teil-(Teil)-Ganzes-Verständnis
(Kaufmann/ Wessolowski 2006)
� Wenn Kinder Zahlen ausschließlich als Ordinalzahlen auffassen, begreifen sie diese
nicht als Teil einer anderen Zahl bzw. als Teil einer Gesamtmenge, die in unserem Bei-
spiel durch die Mengen 6, 5 und 3 zusammengesetzt ist. Diese Kinder neigen beim Lösen
der oben abgebildeten Aufgabe 14 – 5 dazu, zunächst den letzten Würfel wegzunehmen
bzw. durchzustreichen und dann die noch fehlenden zwei Augen vom Würfelbild der Fünf
durchzustreichen. Die Möglichkeit, einfach das Fünfer-Würfelbild wegzunehmen, lehnen
sie ab, weil man Zahlen nicht einfach „zwischendrin“ wegnehmen dürfe. Es handele sich
hierbei ja um die „7, die 8, die 9, die 10 und die 11“ (vgl. Kaufmann/ Wessolowski 2006).
19
i) Mengenbeurteilung
Bereich: Schätzen – Perzeptive Mengenbeurteilung
(Kaufmann 2009)
� Bei einer unstrukturierten Anordnung der Gegenstände und einer kurzen Präsentati-
onszeit (so kurz, dass die Gegenstände nicht abgezählt oder in Untergruppen eingeteilt
werden können) zeigt sich, ob die Kinder eine ungefähre Vorstellung von Mengen aufge-
baut haben (vgl. Kaufmann/ Wessolowski 2006).
Bereich: Mengenbeurteilung im Kontext – Kognitive Mengenbeurteilung
(Kaufmann 2009)
� Bei der kognitiven Mengenbeurteilung wird überprüft, ob die Kinder den abstrakten Zah-
lenwert in einem Kontext richtig – also im Sinne von viel/ mittel/ wenig – einschätzen kön-
nen. Das Beispiel zeigt, dass diesem Kind die Einschätzung noch nicht gelingt.
20
Operationsverständnis
Nachdem die Fehlerursachen im Bereich des Zahlbegriffsverständnisses aufgeführt wur-
den, wenden wir uns nun den Fehlerursachen im Bereich des Operationsverständnisses
zu. Zum Operationsverständnis gehört nicht nur der Transfer zwischen Sprache und Sym-
bol, sondern alle Übersetzungen zwischen den verschiedenen Repräsentationsebenen.
So werden Defizite im mathematischen Denken oft erst beim Lösen von Textaufgaben
deutlich. Denn bei diesen Aufgaben reicht es nicht aus, Lösungsstrategien mechanisch
anzuwenden; vielmehr muss die in der Aufgabe beschriebene Situation verstanden und
mit sinnvollen mathematischen Operationen modelliert bzw. in eine Rechenaufgabe über-
führt werden. Addieren darf dabei nicht nur als eine Anweisung zum Weiterzählen und
Subtrahieren nicht ausschließlich als eine Anweisung zum Rückwärtszählen verstanden
werden.
(Kaufmann 2009)
Übungen zum Aufbau eines Operationsverständnisses müssen unterschiedliche Anregun-
gen für die verschiedenen „Übersetzungen“ zwischen Handlung (enaktiv), Bild (ikonisch)
und Sprache und Symbol (symbolisch) geben.
Aufgaben im Zahlenraum bis 20 bieten den Vorteil, dass die Kinder die Handlungen und
Zeichnungen überschaubar gestalten können und dadurch aufwendiges Zählen unterbun-
den werden kann. Kleine Mengen können simultan bzw. quasi-simultan erfasst werden
und das mathematisch Wesentliche der Handlung rückt in den Mittelpunkt der Aufmerk-
samkeit (vgl. Kaufmann/ Wessolowski 2006).
21
(Kaufmann 2009)
Rechnen und Rechenstrategien
Im Zahlenraum bis 20 lassen sich alle Aufgaben durch Zählen lösen. Im ersten Schuljahr
sind zählende Rechner sogar oftmals schneller als ihre Mitschüler, die bereits Rechenstra-
tegien nutzen. Wird der Zahlenraum größer, lassen sich die Aufgaben ebenfalls zählend
lösen. Allerdings ist dieses Verfahren für die Kinder sehr zeitaufwendig.
Beispiel:
34 + 23 = 57
Vermeintliche Strategien, wie das Addieren der beiden Zehnerzahlen (30 + 20) durch Wei-
terzählen (4, 5) und das anschließende Addieren der Einerstellen (4 + 3) durch Weiterzäh-
len (5, 6, 7), sind ebenfalls zeitaufwendig und bei einem Zehnerübergang darüber hinaus
sehr fehleranfällig.
Um den Übergang von den Zählstrategien zu den Rechenstrategien vollziehen zu können,
muss ein Kind die folgenden Rechenfertigkeiten erworben haben:
• Automatisierung der Grundaufgaben im Zahlenraum bis 10 (Addition, Subtraktion
und Zahlzerlegungen),
• Automatisierung der Verdopplungs- und Halbierungsaufgaben,
• Kennen und Anwenden der Strategien Tauschaufgaben, Nachbaraufgaben und
Umkehraufgaben (vgl. Kaufmann/ Wessolowski 2006).
22
Das diagnostische Gespräch
Das diagnostische Gespräch (vgl. Klewitz/ Köhnke/ Schipper 2008) zählt zur prozessbe-
zogenen Diagnostik. Ziel des diagnostischen Gesprächs ist es, Informationen darüber zu
erlangen, wie einzelne Kinder ihre Aufgaben bearbeiten, welche Rechenstrategien sie
verwenden und welche Denkprozesse sie verfolgen. Außerdem wird beobachtet, welches
Material das Kind benutzt und wie es damit umgeht. Hinsichtlich der Protokollierung sind
zwei Formen möglich, zum einen das Ankreuzen in einem Beobachtungsbogen und zum
anderen das ausführliche individuelle Protokoll.
Die Lehrkraft stellt innerhalb des diagnostischen Gesprächs folgende wichtige Fragen
bzw. Aufforderungen:
• „Wie hast du das gerechnet?“
• „Könntest du das auch anders rechnen?“
• „Rechne die nächste Aufgabe sofort laut, damit ich mithören kann.“
• „Du darfst auch Material benutzen, wenn du das möchtest. Erkläre dabei, was du
machst und warum du es tust.“
Folgende Regeln haben sich bei der Durchführung des diagnostischen Gesprächs be-
währt:
• Diagnostik idealerweise von zwei Lehrkräften durchführen lassen (Interviewer/in
und Protokollant/in), außer, die Lehrkraft verfügt schon über ausreichend Erfahrung
im diagnostischen Bereich.
• Das Kind über das Ziel der Überprüfung informieren (nämlich, ihm in Mathematik zu
helfen).
• Eine angenehme Gesprächsatmosphäre ohne Zeitdruck schaffen.
• Verschiedene Hilfsmittel und Materialien zur Verfügung stellen (Zwanziger- und
Hunderter-Rechenrahmen, Hunderterfeld, Steckwürfel, Wendeplättchen).
• Aufgabenkarten o.Ä. dem Kind einzeln vorlegen.
• Dem Kind genügend Zeit zur Lösung der Aufgabe zur Verfügung stellen; geduldig
sein. Wenn das Kind nicht reagiert, nachfragen, ob es die Aufgabe verstanden hat.
• Den Kindern im Rahmen der Diagnostik keine Rückmeldung zur Korrektheit ihrer
Lösung geben. Rückmeldungen finden ausschließlich in Form von Ermunterungen
statt.
• Nachfragen durch die diagnostizierende Lehrkraft erfolgen nur dann, wenn nicht
nachvollziehbar ist, wie das Kind die Aufgabe gelöst hat.
23
Das ElementarMathematische BasisInterview (EMBI)
Mit dem 2007 von Peter-Koop u.a. entwickelten „ElementarMathematischen BasisInter-
view“ liegt ein halbstandardisiertes Verfahren zur mathematikdidaktischen Diagnostik von
Kindern im Vorschulbereich sowie in den ersten beiden Jahrgangsstufen der Grundschule
vor. Kernidee ist eine (materialgestützte) Interviewsituation zwischen der Lehrkraft und
dem einzelnen Kind, die diesem die Möglichkeit bietet, sein Wissen und Können zu de-
monstrieren. So werden sowohl besondere Stärken als auch ein spezieller Unterstüt-
zungsbedarf in einer Form offengelegt, die direkte Anknüpfungspunkte für Unterricht und
Einzelförderung bietet. „Das EMBI ist somit ein Instrument zur unterrichtsbezogenen, d.h.
handlungsleitenden Diagnostik“ (Peter-Koop u.a. 2007).
Im ersten, speziell für Kindergarten- und Vorschulkinder entwickelten Teil des Interviews
werden die mathematischen Vorläuferfähigkeiten ermittelt. Diese umfassen einfache Zähl-
aufgaben, Mengenkonstanz und Kleiner-/ Größerrelationen. Darüber hinaus wird auf La-
gebezeichnungen, Muster und Ordinalzahlen eingegangen sowie das simultane Erfassen
von Mengen, das Zuordnen von Zahlen zu Mengen, das Anordnen und die Eins-zu-eins-
Zuordnung thematisiert.3
Der zweite, für Grundschulkinder vorgesehene Teil des EMBI, umfasst die differenzierte
Erhebung arithmetischer Kompetenzen in den Teilbereichen Zählen, Stellenwerte, Strate-
gien bei der Addition und Subtraktion sowie bei der Multiplikation und Division. Weitere
Interviewteile zu den inhaltlichen Kompetenzbereichen „Raum und Form“ sowie „Größen
und Messen“ sind ebenfalls erhältlich.
Das Interviewverfahren sollte in regelmäßigen Abständen wiederholt und weitergeführt
werden, um die Lernentwicklung gezielt erfassen und dokumentieren zu können. Zu-
gleich wird durch klar definierte Abbruchkriterien eine Überforderung des einzelnen Kin-
des vermieden; Situationen, in denen das Kind wiederholt keine oder falsche Antworten
gibt, werden umgangen. Diese klar definierten Abbruchkriterien liefern der Lehrkraft ge-
naue Informationen über den Leistungsstand des Kindes und den daraus resultierenden
Förderbedarf.
3 vgl. auch Baustein 3: Übergänge gestalten – Übergang Elementarbereich/ Grundschule, Kapitel „Diagnostische Möglichkeiten“
24
Bielefelder Rechentest für das zweite Schuljahr (BI RTE 2)
Eine Förderung kann nur dann erfolgreich sein, wenn sie an dem vorhandenen Wissen
des Kindes anknüpft und systematisch seine Fähigkeiten und Fertigkeiten weiterent-
wickelt. BIRTE 2 (Schipper, Wartha, von Schroeders 2011) ist ein computergestütztes
Diagnoseverfahren, das die arithmetischen Kompetenzen in der Mitte des zweiten Schul-
jahres objektiv erfasst (Normierungsstichprobe N = 2087). Auf der Grundlage umfangrei-
cher Zeit- und Fehleranalysen werden darüber hinaus – für Kinder ab Mitte des zweiten
Schuljahres – Hypothesen über das Vorliegen von Symptomen für Rechenstörungen ge-
neriert. Im zugehörigen Handbuch bekommen Lehrerinnen und Lehrer Hinweise, mit wel-
chen Aufgaben sie diese Hypothesen in kurzen prozessorientierten Diagnosegesprächen
mit dem Kind überprüfen können und worauf sie dabei besonders achten sollten.
Die Aufgaben sind so ausgewählt, dass sie die Kompetenzen in denjenigen Inhaltsberei-
chen prüfen, „die in der Regel Gegenstand des Mathematikunterrichts bis zur Mitte des
zweiten Schuljahres und für rechenschwache Kinder besonders kritisch sind“, z.B. die
Zahlzerlegungen im Zahlenraum bis 10 als Voraussetzung für das schrittweise Rechnen.
Insgesamt werden 145 Aufgaben in 13 Modulen gestellt, die zu vier Modulgruppen zu-
sammengefasst sind:
• Orientierung im Zahlenraum (Rückwärtszählen, Zahlen einordnen, Zahlenstrich)
• Basiskompetenzen (quasi-simultane Zahlauffassung, Zahldarstellung, Zahlzerle-
gung, Verdoppeln und Halbieren)
• Rechnen (Addition, Subtraktion, Aufgabenbeziehungen)
• Grundvorstellungen (Größen, Operationen wählen, Rechengeschichten)
Wenn das Kind alle Aufgaben bearbeitet hat, kann die Lehrerin bzw. der Lehrer auf
Knopfdruck insgesamt sechs Auswertungen für jedes einzelne Kind aufrufen, je eine für
jede Modulgruppe, eine für die Leistungen des Kindes im Gesamttest und eine Liste mit
den Lösungen, die das Kind bei den einzelnen Aufgaben eingegeben hat. Eine weitere auf
die Lerngruppe bezogene Auswertung gibt einen tabellarischen Überblick über die Leis-
tungen aller Kinder.
25
Förderkonzepte und -schwerpunkte
Bezug: SINUS-Transfer Grundschule Modul G 4, S. 37–47
Förderkonzepte
Nach Schipper (2005) existieren in der Förderarbeit zwei Grundsätze:
1. Grundsatz: An die Vorkenntnisse anknüpfen
Der Förderunterricht muss immer an die Vorkenntnisse der Kinder anknüpfen („Kinder dort
abholen, wo sie stehen.“). Dieser Grundsatz gilt für alle Kinder, in besonderem Maße aber
für diejenigen, denen das Mathematiklernen schwerfällt. Zählenden Rechnern darf daher
das Zählen nicht schlichtweg verboten werden; vielmehr muss bewusst an ihre zählende
Vorgehensweise angeknüpft werden. Auf diese Weise können geeignete Angebote eine
Ablösung von der zählenden Strategie herbeiführen.
2. Grundsatz: Den Aufbau mentaler Vorstellungen unt erstützen
Kindern, die keine Schwierigkeiten beim Rechnen haben, reicht oftmals die einmalige De-
monstration eines Rechenverfahrens am Material verbunden mit einer kurzen Erläuterung
aus, damit sie Aufgaben dieses Typs ohne weitere Hilfsmittel richtig lösen können. Bei
Kindern mit Rechenstörungen dagegen hat man häufig den Eindruck, dass alle Erklärun-
gen und Materialhandlungen ergebnislos bleiben bzw. nicht zu den notwendigen Einsich-
ten führen. Kindern mit Rechenstörungen gelingt der Prozess der Verinnerlichung von
Handlungen zu (mentalen) Vorstellungen nicht ohne zusätzliche Hilfen. Ihre Handlungen
mit Material sind oftmals unstrukturiert und falsch. Für sie stehen zwei Welten nebenei-
nander: Zum einen die materialgebundene Lösung von Aufgaben, zum anderen die mate-
rialunabhängige. Eine Übersetzung von einer Ebene in eine andere (Handlung – Sprache
– Bild) gelingt ihnen noch nicht.
Hier muss eine Unterstützung im Aufbau der mentalen Vorstellungen erfolgen. Die Kinder
sollen auch bei der materialunabhängigen Lösung von Aufgaben noch eine Vorstellung
von der Materialhandlung haben. Dafür müssen deren Strukturen mit den Rechenstrate-
gien übereinstimmen – dies gilt es bei der Materialauswahl zu bedenken. Nach und nach
muss den Kindern die Sicht auf das Material genommen werden (Vorhang, Augenbinde,
Abdecktuch, ...). Die Erklärung der Materialhandlung führt häufig dazu, dass später die
Erinnerung an das Material ausreicht („Denk an das Material.“), um Aufgaben korrekt lö-
sen zu können.
26
Förderschwerpunkte
„Zentrales Ziel der Förderarbeit ist es, die Kinder zu guten und erfolgreichen Strategien
des Kopfrechnens bei Additions- und Subtraktionsaufgaben zu führen“ (Schipper 2005).
Nach Schipper (2005) sollte sich die Förderung zu diesem Zweck auf drei Schwerpunkte
konzentrieren, wobei die ersten beiden Maßnahmen unterstützende, aber unverzichtbare
Maßnahmen für den dritten Förderschwerpunkt sind.
1. Schnelles Sehen
Schon bei der Zahlauffassung sollen Kinder von zählenden Verfahren weggeführt werden.
Bei diesem Förderschwerpunkt werden ihnen daher Zahldarstellungen für nur so kurze
Zeit präsentiert, dass ein Abzählen einzelner Elemente unmöglich ist. Hierbei gilt es zu
beachten, dass kleine Mengen bis 5 simultan, also „mit einem Blick“, erfasst werden kön-
nen. Größere Mengen dagegen können quasi-simultan aufgefasst werden, wenn das Ma-
terial strukturiert ist. So können durch optische Gliederung auch größere Mengen ohne
Abzählen erfasst werden, z.B. 8 als 5 rote und 3 blaue Perlen am Rechenrahmen.
Beispiel: Schnelles Sehen am Rechenrahmen
Am strukturierten Rechenrahmen werden Zahlen
hinter einem Sichtschutz für das Kind verdeckt
eingestellt. Diese Zahldarstellung wird dem Kind
dann für ca. eine Sekunde gezeigt. Nun muss das
Kind aus dem wahrgenommenen Bild die Anzahl
mental rekonstruieren.
Besonders wichtig ist es, bei der Arbeit mit dem
Rechenrahmen grundlegende Konventionen im Vorfeld zu klären. So bedeutet das Ver-
schieben aller Kugeln nach rechts null. Hierbei kann eine Markierung am Rechenrahmen
hilfreich sein.
2. Verinnerlichung der Zahlzerlegungen
Dieser Förderschwerpunkt hat die Automatisierung aller Zerlegungen der Zahlen bis 10
zum Ziel. Mithilfe dieser Fördermaßnahme soll das Hilfsmittel Finger nach und nach durch
die Ausbildung mentaler Vorstellungen ersetzt werden.
27
a) Zerlegung der Zahl 10 an den Händen mithilfe
eines Stiftes
Das Kind legt seine Hände auf den Tisch (Daumen an Dau-
men, Finger ausgestreckt). Die übliche Leserichtung von links
nach rechts wird vereinbart. Mit einem Stift zeigt man nun die
Zerlegung der Zahl 10 in eine Summe mit zwei Summanden
an. Das Kind nennt möglichst schnell die beiden Summanden
in Leserichtung. In der Beispielabbildung lautet die richtige Antwort „sechs, vier“.
b) Zerlegung der Zahl 10 an den Händen ohne Hilfe eines Stiftes
Mithilfe dieser Übung wird mit einer allmählichen Ablösung von konkreten Handlungen an
den Händen begonnen. Das Kind legt wieder beide Hände auf den Tisch, die Zerlegung
wird jedoch nicht mehr mit dem Stift angezeigt. Die Förderin bzw. das Partnerkind nennt
eine Zahl und das Kind sagt die Ergänzung bis zur 10.
c) Zerlegung der Zahl 10 an verdeckten Händen
Erheblich erschwert wird die Aufgabe, wenn die Hände in einem nächsten Schritt mit ei-
nem Tuch bedeckt werden. Bei einigen Kindern kann man nun beobachten, dass durch
„Fingertippen“ die fehlende visuelle Orientierung durch eine taktile ersetzt wird. Bei diesen
Kindern gilt es, immer wieder zwischen den Aufgabenformaten „Zerlegung der Zahl 10 an
den Händen ohne Hilfe eines Stiftes“ und „Zerlegung der Zahl 10 an verdeckten Händen“
zu wechseln.
d) Zerlegungen weiterer Zahlen
Wenn die Kinder die Zerlegungen der Zahl 10 beherrschen, können weitere Zahlzerlegun-
gen geübt werden:
• Comic-Figuren, z.B. Mickey Mouse, haben oft nur vier Finger � Üben der Zerle-
gungen der Zahl 8;
• zwei Kinder sitzen nebeneinander � Üben der Zerlegungen der Zahl 20;
• zehn Kinder sitzen nebeneinander � Üben der Zerlegungen der Zahl 100.
Dabei gehört die Aufforderung „Stell dir vor“ zu den wichtigsten Anforderungen in einem
handlungsorientierten Mathematikunterricht, da sie die Ausbildung von mentalen Bildern
und somit deren Verinnerlichung fördert.
28
3. Entwicklung von Rechenstrategien
Ziel des Mathematikunterrichts in der Grundschule ist es, dass die Kinder alle Strategien
des ersten und weiterführenden Rechnens beherrschen und optimal nutzen können (Ver-
doppeln und Halbieren, gegen- bzw. gleichsinniges Verändern, Analogien, Hilfsaufgaben,
schrittweises Rechnen, Zerlegen des zweiten Summanden bzw. des Subtrahenden, Stel-
lenwerte extra). Für verfestigte zählende Rechner ist das eine völlig unrealistische Vorstel-
lung. Hier ist es wichtig, ein Verfahren auszuwählen, das sowohl universell (d.h. nicht von
spezifischen Zahlenkonstellationen abhängig) als auch fortsetzbar ist.
Unter diesen Gesichtspunkten sind lediglich die Verfahren „Schrittweises Rechnen“ und
„Stellenwerte extra“ (ab Klasse 2) einsetzbar. Da das schrittweise Rechnen auch gut für
das Kopfrechnen mit dreistelligen Zahlen genutzt werden kann, sollte diese Art des Rech-
nens als Mindestverfahren für die verfestigten zählenden Rechner definiert werden.
Grundgedanke ist immer, dass Kopfrechenstrategien als mentale Verinnerlichung aus
Handlungen an Materialien entstehen. Daher müssen die Handlungen auch strukturell mit
der angestrebten Form des Kopfrechnens übereinstimmen. Materialien, bei denen die
Kinder die Mengen immer wieder neu abzählen müssen, sind für die Entwicklung des
schrittweisen Rechnens daher ungeeignet (z.B. Wendeplättchen oder Steckwürfel). Es
wird vielmehr ein Arbeitsmittel benötigt, das
• es gestattet, die erste Zahl simultan darzustellen,
• das Auffüllen bis 10 vom Material her fordert,
• es ermöglicht, den insgesamt dargestellten Wert der Summe quasi-simultan aufzu-
fassen.
Dies bietet u.a. der strukturierte (Zwanziger- bzw. Hunderter-) Rechenrahmen. Bei der Ar-
beit damit ist es wichtig, die Handlungen verbal zu unterstützen.
a) Handlungen am Rechenrahmen
Zunächst müssen die Kinder lernen, die zum
schrittweisen Rechnen passenden Handlungen
am Rechenrahmen durchzuführen. Auf einige
Punkte sollte hierbei besonders geachtet wer-
den:
• Die Darstellung der Ausgangszahl erfolgt mit einem „Fingerstreich“ bzw. mit so we-
nigen wie möglich.
29
• Jede Handlung ist sprachlich zu begleiten, besonders die Nennung des Zwischen-
standes „10“ ist zu fordern, um anschließendes Zählen zu vermeiden.
• Die Operation „plus / minus“ ist nicht zu versprachlichen.
Beispiel: 6 + 7 sprich „6, 10, 13“
b) Erste Ablösung von den Handlungen
Wenn die grundlegenden Handlungen (wie bereits oben beschrieben) zur Benutzung des
Rechenrahmens beherrscht werden, beginnt eine behutsame Ablösung vom Material: Der
Rechenrahmen wird zwar für das Kind sichtbar aufgestellt, aber so weit entfernt, dass
Handlungen am Material nicht mehr möglich sind. Zur Lösung einer Aufgabe werden die
Handlungen vom Kind jetzt nur noch beschrieben.
c) Rechnen mit verbundenen Augen
In diesem Schritt soll das Kind ausschließlich durch vorgestellte Handlungen am Rechen-
rahmen zur Lösung gelangen. Damit das Material weder greifbar noch sichtbar ist, werden
dem Kind die Augen verbunden oder es wird ein Sichtschirm dazwischen aufgestellt. Die
Förderin bzw. das Partnerkind stellt Aufgaben vom Typ ZE +/– E mit Zehnerüberschrei-
tung und das Kind diktiert die einzelnen Handlungen, die es zur Lösung der Aufgabe am
Material vollziehen würde.
d) Perspektiven für die weitere Förderung
Das oben beschriebene „Rechnen mit verbundenen Augen“ ist die entscheidende Hürde
bei der Ablösung vom zählenden Rechnen. Können die Kinder Aufgaben auf diese Weise
sicher lösen, dann gelingt es oft auch in sehr kurzer Zeit, Aufgaben vom Typ HZE +/– HZE
mit Zehner- und Hunderterüberschreitung erfolgreich zu bewältigen. Die Voraussetzung
hierfür ist allerdings, dass das Rechnen mit vollen Zehnern (ZE +/– Z) gelingt. Ein Kind,
das bei diesen Aufgabentypen Probleme hat, arbeitet besser nicht mit dem Rechenrah-
men, sondern mit der Hundertertafel oder mit Zehnersystemblöcken (Einerwürfel, Zehner-
stangen, Hunderterplatten).
Nach erfolgreicher Förderung sollte das Kind den komplexesten Aufgabentyp beim Rech-
nen im Zahlenraum bis 100 (ZE +/– ZE mit Zehnerüberschreitung) mithilfe der Zerlegung
der Rechenoperation in die Teilschritte ZE +/– Z und ZE +/– E durch Rückgriff auf die be-
kannten Teilaufgaben und ohne konkretes Material lösen können.
30
Elternarbeit
Die folgenden Ausführungen basieren auf Kaufmann/ Wessolowski (2006).
Für eine positive und nachhaltige Lernentwicklung kann es hilfreich sein, die Eltern in die
Förderung ihrer Kinder einzubeziehen. Dabei können sich jedoch auch Schwierigkeiten
ergeben, die sich auf den Lernprozess des betroffenen Kindes nicht fördernd, sondern
erschwerend auswirken können. Kaufmann/ Wessolowski führen folgende Aspekte an:
• Die Erklärungen von Eltern und der Lehrkraft weisen unter Umständen starke Ab-
weichungen auf, was bei den Kindern zu weiterer Verwirrung führen kann.
• Die Arbeitsmittel, die den Kindern in der Schule als Veranschaulichung zur Verfü-
gung stehen, können von den gewählten Materialien im Elternhaus abweichen; so-
mit wird der Übungsprozess für das Kind unstrukturiert.
• Die elterliche Unterstützung als solche ist mit Vorsicht zu genießen, da das Eltern-
Kind-Verhältnis dadurch auch belastet werden kann.
Sollen sich Elternarbeit und häusliche Hilfe positiv auf den Lernprozess auswirken, muss
gewährleistet sein, dass die Zusammenarbeit zwischen Eltern und Lehrkraft funktioniert.
Hierzu müssen die Eltern über die genauen Schwierigkeiten des Kindes informiert sein,
und es muss ihnen verdeutlicht werden, dass sie nicht allein die Verantwortung tragen. In
einer funktionierenden Kooperation zwischen Elternhaus und Schule kann den Eltern An-
leitung dafür gegeben werden, auf welche Weise mit dem Kind sinnvoll gearbeitet werden
kann. Dazu ist es notwendig, den Eltern Materialien an die Hand zu geben, die sie dabei
unterstützen.
Kaufmann/ Wessolowski nennen drei Grundsätze, die in der häuslichen Übungsarbeit be-
achtet werden sollten:
• Nicht einfach „noch mehr üben“: Dieser Grundsatz soll verdeutlichen, dass es kei-
nen Lernzuwachs bringt, wenn unverstandene Inhalte einfach nur ständig in neuen
Aufgaben bzw. Aufgabenformaten geübt werden.
• Regelmäßige kurze Übungseinheiten fest in den Tagesablauf einbauen.
• Nur minimale Hilfestellungen geben: Die Kinder sollen nicht mit „Tricks“ den Re-
chenweg verfälschen. Auch bei Fehlern sollte zunächst nicht eingegriffen werden,
vielmehr muss das Kind die Möglichkeit haben, seinen Denkvorgang zu Ende zu
31
bringen. Anschließend kann beispielsweise durch einen Vergleich mit der Material-
lösung der Erkenntnisprozess in Gang gesetzt werden.
Ist die Unterstützung durch das Elternhaus durchdacht und besteht eine Kooperation mit
der Schule, kann sich häusliche Förderung demnach durchaus positiv auf den Lernpro-
zess auswirken.
32
Anhang
Anhang 1: Mathematische Tests im schulischen Kontex t
Wie im Theorieteil erwähnt, sind standardisierte Tests (zumeist Gruppentests) produktori-
entiert und liefern Vergleichswerte. Um Kinder bei der Bewältigung von eventuellen Re-
chenschwierigkeiten angemessen unterstützen zu können, ist es jedoch unabdingbar, die
Rechenwege und Denkprozesse des einzelnen Kindes zu verstehen. Hierfür eignen sich
in besonderem Maße gezielte Beobachtungen, informelle Tests, diagnostische Gespräche
(vgl. Kaufmann/ Wessolowski 2006) bzw. eine Denkanalyse (vgl. Gaidoschik 2004).
Vorläuferfertigkeiten und Beginn des ersten Schulja hres
Folgende Teilkompetenzen sollten zu diesem Zeitpunk t überprüft werden:
a) Pränumerischer Bereich
• Vergleichen (z.B. „Welcher Stapel ist höher?“) • Eins-zu-eins-Zuordnung (z.B. „Zeichne für jedes Kind ein Bonbon.“) • Seriation (z.B. „Sortiere die Gegenstände nach der Größe.“) • Sprachverständnis (Begriffe kennen, z.B. mehr, weniger, gleich viel, …) • usw.
b) Numerischer Bereich
• Zahlwortreihe • Zahlvergleich • Ziffern lesen/ Ziffern schreiben • Simultanes Mengenerfassen/ Mengen (Würfelbilder) benennen • Mengen herstellen/ Mengenvergleich • usw.
c) Kognitiver Bereich
• Visuelle Wahrnehmung o Visuomotorische Koordination (z.B. Wege nachzeichnen) o Figur-Grund-Unterscheidung o Formkonstanz o Räumliche Beziehungen
• Visuelles Gedächtnis • Vorstellung • Auditives Gedächtnis
33
Allgemeine Testverfahren
Einbeziehung unterschiedlicher Teilbereiche
• RTS (Reutlinger Test für Schulanfänger, 2. Auflage 1993) • WTA (Weilburger Testaufgaben für Schulanfänger, 2. Auflage 1994) • GSS (Göppinger sprachfreier Schuleignungstest, 2. Auflage 1998) • KEV (Kieler Einschulungsverfahren, 2. Auflage 1988) • MSD (Mannheimer Schuleingangsdiagnostikum, 4. Auflage 1994) • DVET (Duisburger Vorschul- und Einschulungstest, 3. Auflage 1997) • ZAREKI-K (für Kinder von 4–5 Jahren, 2006; nur von Psychologen durchzuführen)
Erstes Schuljahr und Beginn des zweiten Schuljahres
Einzelüberprüfung
a) Standardisiert
• OTZ (Osnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung, 2001) • HaReT 1 und HaReT 2 (Hamburger Rechentest, 2005) • DEMAT 1+ und DEMAT 2+ (Deutscher Mathematiktest 2002 bzw. 2004) • ZAREKI-R (2.–4. Klasse; nur von Psychologen durchzuführen, 2. Auflage 2006) • BIRTE 2 (Bielfelder Rechentest, Mitte Klasse 2; per PC durchzuführen, 2011)
b) Halbstandardisiert
• EMBI (Elementarmathematisches Basisinterview, 2007)
c) Informell
• „Komm mit! Rechne mit!“ (Förderprogramm für rechenschwache Kinder, 2010) • Rechenstörungen: Diagnose und Förderbausteine (2006) • Förder-/Diagnosebox Mathematik Klasse 1–4 (2005)
Gruppenüberprüfung
Standardisiert
• HRT 1 und HRT 2 (Heidelberger Rechentest, 2005) • ERT 1+ (Eggenberger Rechentest, 2007) • DIRG (Diagnostisches Inventar zu Rechenfertigkeiten im Grundschulalter, 2010)
34
Drittes und viertes Schuljahr
Einzelüberprüfung
Standardisiert
• HaReT 3 und HaReT 4 (Hamburger Rechentest, 2005) • DEMAT 3+ und DEMAT 4 (Deutscher Mathematiktest, 2004 bzw. 2006) • DIRG (Diagnostisches Inventar zu Rechenfertigkeiten im Grundschulalter, 2010) • ZAREKI-R (2.–4. Klasse; nur von Psychologen durchzuführen, 2. Auflage 2006)
Gruppenüberprüfung
Standardisiert
• HRT 3 und HRT 4 (Heidelberger Rechentest, 2005) • ERT 3+ und ERT 4+ (Eggenberger Rechentest, 2010) • DIRG (Diagnostisches Inventar zu Rechenfertigkeiten im Grundschulalter, 2010)
35
Anhang 2: Aspekte des Zahlbegriffs (vgl. Padberg 2007)
1. Kardinalzahlaspekt
Paul hat zwei Brüder.
Dort liegen 4 Bauklötze.
Gib mir die 3 blauen Murmeln.
� Zahlen dienen hier zur Beschreibung von Anzahlen. Man fragt: „Wie viele?“ und be-
nennt das Ergebnis mit „eins“, „zwei“, „drei“ usw.
2. Ordinalzahlaspekt
a) Ordnungszahl
Paul liegt beim Wettlauf an 3. Stelle.
Die 5. Perle in der Kette ist blau.
Mein Rad fährt im 3. Gang am schnellsten.
Heute ist der 10. Juni.
� Die Zahlen kennzeichnen die Reihenfolge innerhalb einer (total geordneten) Reihe.
Man fragt jeweils: „An welcher Stelle?“ oder „Der bzw. die wievielte?“ und benennt das
Ergebnis mit „erster“, „zweiter“, „dritter“ usw.
b) Zählzahl
Das Haus hat die Nummer 15.
Ich lese gerade in meinem Buch auf Seite 9.
� Die Zahlen bezeichnen ebenfalls eine Reihenfolge. Hierfür benutzt man an dieser Stelle
im Unterschied zu den Ordnungszahlen direkt die natürlichen Zahlen (bzw. eine Teilmen-
ge von ihnen) in der Reihenfolge, wie sie im Zählprozess durchlaufen werden („Zählzah-
len“). Man benennt die Ergebnisse mit „eins“, „zwei“, „drei“ usw. Da durch die Zählzahlen
genau wie bei a) eine Reihenfolge beschrieben wird, spricht man auch in diesem Zusam-
menhang vom Ordinalzahlaspekt der natürlichen Zahlen.
3. Maßzahlaspekt
Der Schulweg ist 2 km lang.
Die Bonbons kosten 40 Cent.
Die Tafel Schokolade wiegt 100 g.
� Es wird gefragt „Wie lang?“, „Wie teuer?“ oder „Wie schwer?“. Die natürlichen Zahlen
dienen hier zur Bezeichnung von Größen, man benutzt sie als Maßzahlen bezüglich einer
36
gewählten Einheit. Maßzahlen spielen auch eine Rolle bei der Herstellung von Skalen
(z.B. für Temperatur- oder Zeitangaben).
4. Operatoraspekt
Sophie ist diese Woche fünfmal zur Schule gegangen.
Schreibe die Seite dreimal ab.
� Die Frage lautet „Wie oft?“. Die natürlichen Zahlen geben hier die Vielfachheit eines
Vorgangs oder einer Handlung an.
5. Rechenzahlaspekt
a) Algebraischer Aspekt
Beispiel: 8 + 5 = 5 + 8
� Die Rechengesetze finden hier Anwendung.
b) Algorithmischer Aspekt
� Bei den schriftlichen Rechenverfahren werden Anweisungen zur schrittweisen Durch-
führung gegeben.
6. Codierungsaspekt
Eine Postleitzahl von Halle lautet 06114.
Ich habe die Telefonnummer 56 79 37 62.
� Zahlen dienen zur Benennung und zur Unterscheidung von Gegenständen. Rechnen
wäre in diesen Zusammenhängen sinnlos.
37
Anhang 3: Weitere Ideen und Anregungen zur Förderun g
Hinweise zu den ausgearbeiteten Tabellen
Ergänzend zu den Fördervorschlägen im Theorieteil dieses Bausteins finden Sie in den
Tabellen auf den folgenden Seiten weitere Ideen und Anregungen zur Förderung rechen-
schwacher Kinder. Die aufgeführten Möglichkeiten erheben dabei keinen Anspruch auf
Vollständigkeit, sondern sollen vielmehr als Fundgrube für die eigene Unterrichtspraxis
dienen. Die Auswahl beschränkt sich auf die Förderung der mathematischen Kompeten-
zen, jedoch sollten dabei die Konzentrationsfähigkeit der Kinder sowie die sprachliche
Entwicklung immer im Blick behalten werden. Die Fördervorschläge konzentrieren sich auf
grundlegende Fähigkeiten der Klassen 1 und 2, da diese beiden Jahrgangsstufen wichtige
Basiskompetenzen für das erfolgreiche mathematische Lernen vermitteln.
Die Fördervorschläge sind nach den Bereichen pränumerisch, numerisch und kognitiv ge-
ordnet, um ein schnelles Auffinden zu ermöglichen. In der ersten Spalte ist unter der
Überschrift Sichtbare Schwierigkeit das Problem des Kindes beschrieben, z.B. Das Kind
kennt die richtige Reihenfolge der Zahlen nicht.
Zu dieser Schwierigkeit werden in der mittleren Spalte verschiedene Fördermöglichkeiten
aufgeführt, die dann in der letzten Spalte durch Mögliches Übungsmaterial ergänzt sind.
Als Übungsmaterialien sind hier sowohl Alltagsgegenstände als auch PC-Übungen, Spiele
und Karteien aufgeführt. Bei dem angegebenen Arbeitsmaterial (z.B. Rechenschiffchen,
Zwanzigerfeld) sollten Sie bedenken, dass die Kinder den Umgang mit jedem Material erst
erlernen müssen und daher an dieser Stelle der Grundsatz greifen muss: Weniger ist
mehr.
Mit diesem Praxisteil hoffen wir, Ihnen Hilfe und Unterstützung bei der Förderung rechen-
schwacher Kinder zu geben.
38
Anhang 3a: Pränumerischer Bereich Sichtbare Schw ierigkeit Fördermöglichkeit (Beispiel) Mögliches Übungsmaterial
Das Kind erkennt keine Ge-setzmäßigkeiten (z.B. glei-che Farbe/ Form). Klassifizierungsprobleme
Muster und Strukturen: Gesetzmäßigkeiten erkennen,
beschreiben und darstellen
• Material nach bestimmten Krite-rien (z.B. gleiche Farbe, gleiche Form) sortieren
• Eigenschaften einer Gruppe von Gegenständen beschreiben
farbige Plättchen, Kastanien, Knöpfe, Muggelsteine, Steine, farbige Büroklammern, Steckwür-fel, Bauklötze, ...
Das Kind bringt Zahlen- und Bildfolgen nicht in die richti-ge Reihenfolge. Probleme mit der Serialität
Muster und Strukturen:
funktionale Beziehungen erkennen, beschreiben und darstellen
• Bildergeschichten in richtiger Reihenfolge sortieren
• Zahlenkarten in richtiger Reihen-folge sortieren
• Faltanleitungen nacharbeiten, Faltschritte in richtiger Reihenfol-ge sortieren
• Würfelgebäude: Bauschritte in richtiger Reihenfolge sortieren
Bildergeschichten in Form von Bildkarten, Faltbücher, Holzwürfel und Baukarten Kaufmann/ Lorenz: Förder-/ Diag-nosebox Mathematik, A 21, 22 mögliche Spiele: Kartenspiele zum Ordnen der Zahlen
Das Kind erkennt nicht, dass bei Veränderung der Anord-nung einer Menge deren Mächtigkeit gleich bleibt. fehlendes Verständnis der Mengeninvarianz
Zahlen und Operationen:
Zahldarstellungen verstehen
• Legematerial zu bestimmten Mengen unterschiedlich anord-nen, abzählen und begründen
farbige Plättchen, Kastanien, Knöpfe, Muggelsteine, Steine, farbige Büroklammern, Steckwür-fel, Bauklötze, ...
Das Kind erkennt gleiche Mengen in unterschiedlicher Darstellungsform nicht. fehlendes Verständnis der Mengeninvarianz
Zahlen und Operationen: Zahldarstellungen und Zahlbeziehun-
gen verstehen
• verschiedene Darstellungen einer gleichen Menge zuordnen
Umschüttversuche nach Piaget; Bauklotztürme (einer von zwei Türmen stürzt ein – welcher war höher? Türme aus verschieden großen Bauklötzen) Ein Kind hat eine bestimmte An-zahl Bausteine; wie viele muss ein anderes Kind nehmen, um gleich viele/ mehr zu haben? Eine bestimmte Anzahl Kreise ist zu sehen: „Male genauso viele; male genauso viele Bausteine/ Plättchen, … wie es Kreise sind.“ mögliche Spiele: Wittmann/ Mül-ler: Das Zahlenbuch 1 und 2
39
Anhang 3b: Numerischer Bereich Sichtbare Schwierigkeit Fördermöglichkeit (Beispiel) Mögliches Übungsmaterial
Die vom Kind jeweils ge-sprochene Zahl entspricht nicht der von ihm gezählten Menge. Unsicherheiten bei der Eins-zu-Eins-Zuordnung beim Zählen
Zahlen und Operationen: Zahldarstellungen und
Zahlbeziehungen verstehen
• Dinge beim Zählen von der einen auf die andere Seite legen
farbige Plättchen, Kastanien, Knöpfe, Muggelsteine, Steine, farbige Büroklammern, Steckwür-fel, Bauklötze, ...
• Übungsspiele zum Weiterzählen und Rückwärtszählen (20, 19, 18, …) mit Material
Achtung: Zuordnung Menge – Zahl muss stimmen
haptisch: Knöpfe, Bohnen, Streichhölzer, Büroklammern, Münzen visuell: Blinken mit einer Ta-schenlampe akustisch: Glockenschläge, Klat-schen taktil: Knoten in Schnüren ertas-ten, aufgeklebtes Material auf Karten erfühlen
• Mengen zählen • Mengen strukturieren • „Ankerpunkte“/ die „Kraft der
Fünf“
Zählteller, Bohnen, ... Kopiervorlagen zum Einkreisen vorgegebener Mengen Zehnerstreifen, Rechenschieber/ Rechenrahmen/ Abakus, Hände (nicht zählend!)
Das Kind kennt die richtige Reihenfolge der Zahlen nicht. Unsicherheiten bei der Eins-zu-Eins-Zuordnung beim Zählen
Zahlen und Operationen: Zahldarstellungen und
Zahlbeziehungen verstehen
• Zählspiele • nicht immer bei der 1 beginnend
(weiterzählen) • in Schritten (2er-, 10er-Schritte) • Rückwärtszählen • Brettspiele mit Würfeln • Reime • Lieder
Zahlenlied. In: Wittmann/ Müller: Das Zahlenbuch. Spiele zur Frühförderung 1, S. 22 mögliche Spiele: Kartenspiele zum Ordnen der Zahlen, Brett-spiele
Dem Kind fehlt die Mengen-vorstellung im Zahlenraum bis 20. fehlende Mengenvorstellung (ZR bis 20)
Zahlen und Operationen: Zahldarstellungen und
Zahlbeziehungen verstehen
• Schätzübungen Legematerial, Gläser mit Steinen, Nudeln, Muscheln, …
• Spiele, Würfelspiele, Zahlendo-mino
mögliche Spiele: Domino-Spiele, Spiele zur simultanen Zahlerfas-sung, z.B. Halli Galli
• Beschreiben durchgeführter Handlungen, wenn nur noch das Ergebnis sichtbar ist
systematisches Legematerial (Rechenschiffchen, Zwanziger-feld, Rechenzug)
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• Übungen zur Simultanerfassung PC: SoWoSoft F09 Budenberg (ZR bis 10, 20 und 100)
• Abdeckübungen • verschiedene Darstellungen • Gesehenes verbalisieren
Rechenschiffchen PC: Blitzrechnen
• Zahlbilder erkennen, ergänzen, zeichnen
• schnelles Sehen am Rechen-rahmen
Rechenrahmen (Zwanziger bzw. Hunderter)
Das Kind unterscheidet nicht zwischen Anzahl und Zähl-zahl/ Ordnungszahl. Probleme beim Erkennen des kardinalen und ordina-len Aspektes einer Zahl
Zahlen und Operationen: Zahldarstellungen und
Zahlbeziehungen verstehen
Kardinalaspekt (wie viele?) Ordinalaspekt (Zählzahlen und Ord-nungszahlen) • handelnde Übungen oder Zeich-
nungen zum kardinalen und ordi-nalen Aspekt von Zahlen: Anzahl zeigen, 8. Kind/ Perle zeigen
Alltagssituationen handelnd durchführen, Zeichnungen zur Fragestellung mögliche Spiele: Wittmann/ Mül-ler: Das kleine Zahlenbuch. Teil 1
• Textaufgaben, die verlangen, in der Vorstellung zwischen Kardi-nal- und Ordnungszahl zu unter-scheiden (bei Schwierigkeiten auf Handlungen zurückgreifen)
Rechengeschichten erzählen und praktisch nachvollziehen, z.B. „Kreise den 4. und 3. Ball rot ein. Kreise 3 Bälle gelb ein.“
• Zahlaspekte auf Bildern und in der Umwelt thematisieren, z.B. Telefonnummern, Autokennzei-chen, Kalender
Alltagsmaterial, Bilder mögliche Spiele: Wittmann/ Mül-ler: Das Zahlenbuch. Spiele zur Frühförderung 2, S. 26
Das Kind löst Aufgaben zäh-lend. Seine Lösungen diffe-rieren in der Regel um 1 vom richtigen Ergebnis. zählendes Rechnen und dadurch entstehende Zähl-fehler
Zahlen und Operationen: Rechenoperationen verstehen und
beherrschen
Rechenstrategien entwickeln • Verdopplungsfamilien • Analogieaufgaben/
verwandte Aufgaben, z.B. 4 + 8 = 12 14 + 8 = 22
• Tauschaufgaben • Aufgaben finden bzw.
erkennen (zu Handlungen, Abbil-dungen, Legebildern – hierbei auf Simultanerfassung achten)
(vgl. Kaufmann/ Wessolowski: Re-chenstörungen, S. 87)
Rechenschiffchen, Zwanzigerfeld, Finger (nicht zählend!) Schipper: Übungen zur Präventi-on von Rechenstörungen (Kartei-karten) mögliche Spiele: Wittmann/ Mül-ler: Das kleine Zahlenbuch. Teil 2. Halli Galli, Domino
41
Das Kind hat Schwierigkei-ten beim Zerlegen von Zah-len. Zahlzerlegungen werden nicht beherrscht
Zahlen und Operationen: Rechenoperationen verstehen und
beherrschen
• Zerlegungsübungen aller Zahlen von 2 bis 10
• Beziehungen der Zahlen zur 10/ Ergänzungen zur 10 erkennen und vornehmen (handelnd � bis zur Automatisierung) � Partnerzahlen
• Betonung der Beziehung zwi-schen 5 und 10
mithilfe der Finger, Rechenschiffchen, Schüttelbox, Aufgabenkärtchen, Zehnerstreifen, Zahlenherzen Schipper: Übungen zur Präventi-on von Rechenstörungen (Kartei-karten) mögliche Spiele: Wittmann/ Mül-ler: Das kleine Zahlenbuch. Teil 2. Halli Galli
Das Kind rechnet Aufgaben mit Zehnerübergang fehler-haft/ zählend. Zehnerübergang ist nicht sicher/ automatisiert
Zahlen und Operationen: Rechenoperationen verstehen und
beherrschen
Vorübungen s. o. bei Zahlzerlegun-gen Zehnerübergang sichern • handelnd • handelnde Übung sprachlich be-
gleiten • Notation der Rechenschritte • Päckchen/ Entdeckerpäckchen • Rechenstrich • Aufgaben von und zur 10 • Übungen im Zwanzigerfeld • Verdoppelungsstrategien • Nachbaraufgaben
Rechenschiffchen, Rechenzug, Rechenrahmen PC: Budenberg Schipper: Übungen zur Präventi-on von Rechenstörungen (Kartei-karten)
Das Kind hat Schwierigkei-ten, die verschiedenen Re-chenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) zu unterscheiden. fehlendes Operationsver-ständnis
Zahlen und Operationen: - Rechenoperationen verstehen und
beherrschen - in Kontexten rechnen
Rechengeschichten in Textform ... • versprachlichen (Sag es mit dei-
nen Worten!) • legen • zeichnen • passende Rechenaufgabe finden
analog zur Aufgabe (Alltagsgegenstände), Rechenplättchen
Rechengeschichten in Bildern ... • versprachlichen • passende Rechenaufgabe finden
Erkennen von in Bildern darge-stellten Rechenoperationen, Be-gründungen finden
Rechengeschichten als Handlung ... • durchführen • versprachlichen
(schrittweise entwickeln) • Darstellung mit Plättchen/ bildhaf-
te Darstellung/ Skizze • Übertragung der Erkenntnisse auf
Alltagssituationen
Alltagsmaterial (Kastanien, Eicheln, Knöpfe etc.), Rechenplättchen
• zu Aufgaben Rechengeschichten erfinden
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Das Kind erkennt keine Be-ziehungen zwischen Aufga-ben. fehlendes Verständnis für Beziehungen zwischen Auf-gaben
Zahlen und Operationen: Rechenoperationen verstehen und
beherrschen
• Tauschaufgaben, Umkehraufga-ben, Nachbaraufgaben mit Mate-rialien handelnd umsetzen
farbige Plättchen, Kastanien, Knöpfe, Muggelsteine, Steine, farbige Büroklammern, Steckwür-fel, Bauklötze, ...
• verdeckte Aufgaben • Aufgaben versprachlichen • Aufgaben am Rechenstrich dar-
stellen
Rechenstrich Plättchen Tuch Schipper: Übungen zur Präventi-on von Rechenstörungen (Kartei-karten)
Dem Kind fehlt das Ver-ständnis für Stellenwerte. mangelndes Verständnis des Stellenwertes
Zahlen und Operationen: Zahldarstellungen und Zahlbeziehun-
gen verstehen
• Materialien zum Bündeln � Zeh-ner kennzeichnen: z.B. auf einen Teller legen, in einen Gummiring
• feste Symbole für Hunderter, Zehner und Einer (� I �) sowie Farben erleichtern das Einprägen der Stellenwerte
Streichhölzer, Steckwürfel, Mehr-systemmaterial (Hunderterplatten, Zehnerstangen, Einerwürfel), Römisches Rechenbrett PC: Budenberg
Das Kind vertauscht die Zif-fern einer Zahl. Inversionsfehler/ Zahlendreher (17 – 4 = 31)
Zahlen und Operationen: - sich im Raum orientieren
- Zahldarstellungen und Zahlbeziehun-gen verstehen
Stellenwertsystem • bei Rechts-links-
Orientierungsstörung � Übungen zur Wahrnehmung von räumli-chen Beziehungen
Körperpositionen imitieren, Ge-genstände nach Anweisung su-chen, Setzkasten nach Anwei-sung einräumen, Hüpf- und Käst-chenspiele, Figuren und Muster nachlegen/ nachzeichnen, Arbeit mit Geobrettern, Lagebeschrei-bungen
• bei fehlendem Stellenwertver-ständnis � (erneute) Erarbeitung des Stellenwertsystems (s. o.)
Abzählen und Bündeln von All-tags- und/ oder didaktischem Ma-terial mit Eintrag in Stellenwertta-fel (evtl. farbliche Kennzeichnung der H, Z, E) Relationen bilden: Warum ist die 32 größer als die 23?
• bei falscher Schreibrichtung � Notation von zweistelligen Zahlen üben (empfohlene Schreib-richtung: von links nach rechts!)
Taschenrechnerdiktate PC: Lernwerkstatt: Zahlendiktat
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Dem Kind fehlt das Ver-ständnis der Größer-Kleiner-Relation im Zahlenraum größer als 20. fehlerhafte Zahlbeziehungen größer/ kleiner
Zahlen und Operationen: Zahldarstellungen und Zahlbeziehun-
gen verstehen
• Zahlen mit Mehrsystemblöcken legen (mit Zehnerstangen und Einerwürfeln)/ Zahlen als Menge zeichnen lassen
• mündliche Übungen zum Sortie-ren von Zahlen
• Rechenstrich • Zahlenstrahl • Vorstellungsübung: „Stell’ dir vor,
du solltest die Zahl 37 legen. Wie sieht das aus?“
Hunderterplatten/ Zehnerstangen/ Einerwürfel/ Ziffernkarten II�� < IIII�
Das Kind hat keine adäqua-te Mengenvorstellung im Zahlenraum größer als 20. fehlende Vorstellung von Zahlbeziehungen
Zahlen und Operationen:
Zahldarstellungen und Zahlbeziehun-gen verstehen
• perzeptive Mengenbeurteilung (schätzen und zählen)
Alltags- und didaktisches Material, Schätzübungen mit Abzählübun-gen verbinden
• kognitive Mengenbeurteilung (vom abstrakten numerischen Wert zum situativen Kontext)
Situationen aus der Alltagswelt der Kinder finden und bespre-chen, Kinder eigene Aufgaben finden lassen (z.B. 52 Personen sind im Thea-ter. Ist das viel? Wenn diese Per-sonen in eurem Wohnzimmer sitzen würden, wäre das viel?)
• Verdoppeln und Halbieren • handelnd üben • Vorgänger und Nachfolger von
Zahlen bestimmen • Nachbarzehner bestimmen
Rechenschiffchen Zehnerstangen/ Einerwürfel
Das Kind ordnet Zahlen nicht an die richtigen Stellen am Zahlstrahl ein. fehlerhafte Zahlverortung am Zahlenstrahl
Zahlen und Operationen:
Zahldarstellungen und Zahlbeziehun-gen verstehen
• Vorgänger/ Nachfolger/ Nachbar-zehner von Zahlen bestimmen
• Zahlenkärtchen im Hunderterfeld legen/ „verorten“
• mündliche Begründungen für die Verortung finden
• schrittweise vom gezeichneten Hunderterstreifen zum leeren Zahlenstrahl
Hunderter-Punktefeld in Zehner-streifen linear legen Zahlenkärtchen Zahlenstrahl leerer Zahlenstrahl PC: Budenberg
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Das Kind erkennt die Struk-tur des Einmaleins nicht. Zusammenhänge beim Einmaleins sind unklar (Operationsverständnis fehlt)
Zahlen und Operationen: Rechenoperationen verstehen und
beherrschen
• Einmaleinsreihen � Verinnerli-chung der Abläufe
• Versprachlichung von Multiplika-tion und Division (z.B. Multiplika-tion: Gehe zweimal zum Lehrer-tisch und bringe jedes Mal drei Magnete mit.)
• handelndes Erfassen • bildhafte Darstellungen • Tauschaufgabe berücksichtigen
Plättchen Alltagsmaterial Zeichnungen Arbeitsblätter
Das Kind hat Schwierig-keiten, sich die Bedeutung von Einmaleinsaufgaben vorzustellen. fehlende Vorstellung von Aufgaben des Einmaleins
Zahlen und Operationen: Rechenoperationen verstehen und
beherrschen
• Darstellungen am Punktefeld • Versprachlichung • Begründungen finden • symbolische Darstellung
Alltagsmaterial (Kastanien, Ei-cheln, Knöpfe, …) Rechenplättchen
• Spiele
Würfelspiel mit Ereignisfeldern � Auf den Ereignisfeldern nennt der Mitspieler eine Malaufgabe, die mit Material (Bohnen, Knöpfen, Büroklammern) gelegt werden muss.
• Nennen von Aufgaben zu Bildkar-ten
Bildkarten, Rechengeschichten
Das Kind wendet Re-chenstrategien nicht pas-send an (fehlende Transfer-leistung). flexibler Umgang mit Re-chenstrategien fehlt
Zahlen und Operationen: Rechenoperationen verstehen und
beherrschen
Strategien erkennen und anwenden • Aufgaben versprachlichen • Hilfsaufgaben finden • Begründungen finden • Beziehungen zwischen Aufgaben
finden (handelnd)
Aufgabenfamilien wiederkehrende Aufgaben Rechenschiffchen Rechenstrich
Das Kind hat Schwierigkei-ten mit der realistischen Einschätzung und im Um-gang mit Größen. Vorstellung von Größen fehlt
Raum und Form: Größenvorstellung besitzen
• in Bildergeschichten Reihenfolge bilden
• Zeitspannen von Tätigkeiten ein-schätzen und zuordnen
• Erzählen von Ereignissen
Bildergeschichten, Impulsbilder zu Tätigkeiten, Sprechanlässe schaffen (gestern, heute, mor-gen, zuerst, danach, jetzt, ...) mögliche Spiele: Spiele rund um die Uhr/ Zeit
Repräsentanten zu verschiedenen Größen (Gewicht, Länge, Hohlmaße) zuordnen • Handeln mit konkretem Material;
Messen/ Wiegen mit Vergleichs- und Normmaßen
• Zuordnung von bildlichen Dar-stellungen
verschiedene Gegenstände, Messinstrumente, Bilder der Re-präsentanten mögliches Spiele: Spiele rund um die Waage/ Ge-wichte
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Gegenstände nach dem Geldwert vergleichen und gruppieren
Spielgeld, Gegenstände oder Abbildungen davon, Preisschilder mögliche Spiele: Spiele rund um Geld, z.B. Kaufladen
Das Kind verwechselt rechts und links. Probleme mit der Raum-Lage-Beziehung
Raum und Form: sich im Raum orientieren
Gegenstände nach genauer Anwei-sung anordnen, z.B.: Die Muschel liegt in der Mitte, rechts davon/ links davon ... Kontrolle mit Foto
Gegenstände, Legeanweisun-gen, Kontrollbilder
Gegenstände auf einem Hunderter-feld/ Spielplan nach Anweisung an-ordnen
Gegenstände, Hunderterfeld/ -tafel, Legeanweisung, Kontroll-karten Jansen: Wo wohnt Bruno Braun?
• Rechts-links-Parcours: Gegen-stände liegen verteilt, Seil liegt dazwischen; Kinder laufen ent-lang und beschreiben, was sie wo sehen.
• Wege im Schulhaus laufen und alles notieren, was rechts/ links zu sehen ist.
Seil und Gegenstände Ganser: Rechenschwäche über-winden
Übungen zur inneren Vorstellung: Plan mit 5x5 Kästchen; links oben steht ein Männchen; Anweisung: Gehe drei Felder nach rechts ..., Ziel-feld zeigen. Später nicht mehr durchführen, son-dern nur noch vorstellen.
Spielplan, Anweisungen
Bewegungslieder z.B.: Cichos: Ich fass an meine Nase .../ Herr Uklatsch
rechts und links von anderen Perso-nen aus: Gliederpuppe (in meiner Blickrichtung positioniert; später Po-sition ändern): Was sieht die Glie-derpuppe links/ rechts?
(Glieder-)Puppe
Eselsbrücken (wenn Schreibrichtung gesichert ist)
Daumen und Zeigefinger der linken Hand bilden ausgespreizt ein „L“
Figuren nachlegen und erkennen mögliche Spiele: Pentomino, Tangram
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Das Kind erkennt in kom-plexen Darstellungen ein-zelne Bilder/ Gegenstände/ Formen nur schwer. Schwierigkeiten bei der vi-suellen Differenzierung/ Figur-Grundwahrnehmung/ Wahrnehmungskonstanz
Raum und Form: sich im Raum orientieren
„optische“ Rätsel: sich überlagernde Strichzeichnungen bekannter Ge-genstände – einzelne Gegenstände herausfinden; Fehler finden
Kopiervorlagen
• Betrachten und Beschreiben von Bildern (davor, dahinter, neben, oben, unten, ...)
• Wimmelbilder: einen Gegenstand in verschiedenen Bildern bzw. mehrfach auf einem Bild finden
Kopiervorlagen, Wimmelbilder, Suchbücher
• Bilder vergleichen (Original und mehrere Abbildungen: richtige Abbildung finden)
• Schattenbilder
Das Kind merkt sich visuelle Informationen schwer. Probleme beim Speichern visueller Informationen
Raum und Form: - sich im Raum orientieren
- geometrische Figuren erkennen, benennen, darstellen
eine geometrische Figur zeigen, dann viele aufdecken; die erste muss dabei wiedererkannt werden
KIM-Spiele
betrachtete Figuren (z.B. Haus) aus dem Gedächtnis aufzeichnen oder zueinander sortieren
Bilder von Figuren und Formen, Memory spielen
Formen/ Gegenstände suchen; Au-gen zu: Wo in der Klasse gibt es ein Quadrat, Rechteck, eine Kugel? ...
Wanderungen im Kopf: Ich gehe aus der Klasse, dann nach links, dann … Wandern auf der Hundertertafel
betrachtete Figuren auf dem Ge-obrett nachspannen
Geobrett, Vorlagen mögliche Spiele: Götze/ Spiegel: Umspannwerk
Das Kind hat ein unzu-reichendes räumliches Vor-stellungsvermögen. räumliches Vorstellungs-vermögen nicht ausgeprägt
Raum und Form: sich im Raum orientieren
• Ich sehe was, was du nicht siehst – ggf. unterstützt mit Be-griffen der Raumlage (Das ist vor/ hinter/ neben/ …)
• Formen/ Gegenstände suchen; Augen zu: Wo in der Klasse gibt es ein Quadrat, Rechteck, eine Kugel? ...
• Wanderungen im Kopf: Ich gehe aus der Klasse, dann nach links, dann …
• Wandern auf der Hundertertafel
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Das Kind hat Schwierigkei-ten, Gegenstände in räum-lich richtige Anordnung zu bringen.
Raum und Form: sich im Raum orientieren
Sortierkasten: Gegenstände und genaue Anweisung wie diese zu legen sind: Die Muschel liegt in der Mitte, davor / dahinter / daneben ... (Kontrolle mit Foto).
Gegenstände, Legeanweisun-gen, Kontrollbilder mögliche Spiele: Spiegel/ Spiegel: PotzKlotz
Figuren nachlegen, Verschiebungen, Spiegelungen etc. dabei beachten
mögliche Spiele: Pentomino, Tangram
Das Kind hat Schwierigkei-ten, sich gedanklich in an-dere Perspektiven zu ver-setzen.
Raum und Form: sich im Raum orientieren
Richtungsschauen: Kind steht, Be-griffe links, rechts, vorne, hinten auf den Boden an entsprechende Positi-on legen, Gegenstände beschreiben; Kind drehen; in Partnerarbeit von zwei unterschiedlichen Positionen aus beschreiben
Wortkarten vorne, hinten, links, rechts
Das Kind merkt sich keine Zahlwörter. schlechtes auditives Ge-dächtnis
• zunächst Aufgaben schriftlich bearbeiten lassen und anschlie-ßend vorlesen
• Übungen zur auditiven Speiche-
rung: • Rhythmen nachklatschen • Unsinnswörter nachsprechen • Geräusche nachahmen • usw.
mögliche Spiele: Ich packe meinen Koffer und … Kaufmann/ Lorenz: Förder- / Di-agnosebox Mathematik, A 5
Das Kind hat Schwierigkei-ten, nicht sichtbare Elemen-te zu bestimmen und zu zählen.
Raum und Form: - sich im Raum orientieren
- Flächen- und Rauminhalte verglei-chen und messen
Würfelgebäude: Bauen nach Plänen, Reihenfolgen von Aufbauten in Schritten verbinden, freies Bauen, Baupläne zeichnen, in Würfelgebäu-den die Anzahl der Würfel bestim-men.
Würfel, Baupläne, Darstellung von Würfelgebäuden PC: Lernwerkstatt Wittmann/ Müller: Das Zahlen-buch 1, S. 18–19 Betzold: Arbeitskarten „Farbige Würfel“, Nr. 17–22
Das Kind hat Schwierigkei-ten, Muster zu erkennen und fortzusetzen.
Muster und Strukturen: funktionale Beziehungen erkennen,
beschreiben und darstellen
Muster legen, Muster weiterlegen und weiterzeichnen, Muster erfinden, zeichnen, beschreiben
Plättchen, Alltagsgegenstände Betzold: Arbeitskarten „Farbige Würfel“, Nr. 8–10 Besuden: Geometrie mit Winkel-plättchen, Nr. 37–40
48
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Lernwerkstatt 8 Vertrieb: Medienwerkstatt Mühlacker Internet: www.medienwerkstatt.de Schnelles Sehen (Fehleranalysen F09) Vertrieb: SoWoSoft Internet: www.sowosoft.de
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