Irreduzibilität Andreas Flesch. Irreduzibilität2 Motivation i. A. beliebig viele Darstellungen...

Irreduzibilität

Andreas Flesch

Irreduzibilität 2

Motivation

• i. A. beliebig viele Darstellungen derselben Gruppe

• Erhöhung der Dimension des Darstellungsraums => immer größere Darstellungsmatrizen

• zurückführbar auf endliche Zahl von „Grunddarstellungen“?

Irreduzibilität 3

• endliche Gruppe: alle Darstellungen können aus endlicher Zahl „unterschiedlicher irreduzibler“ Darstellungen gewonnen werden

Irreduzibilität 4

Definition

• L invarianter Vektorraum bezüglich Darstellung von G:

GGLrGTLr aa

)(

• T reduzibel: es existiert Teilraum L1 (L10, L1L) und orthogonales Komplement L2 von L, so dass beide invariant unter T sind

Irreduzibilität 5

• wichtig: L2 auch invariant

• andere Lehrbücher: Reduzibilität Vollreduzibilität

• T irreduzibel: es existiert kein solcher Unterraum

Irreduzibilität 6

unitäre Darstellungen

• alle T(Ga) unitär: Invarianz von L1 => Invarianz von L2

• Beweis: ei: Basis von L1, ej: Basis von L2

2

11

)(

0)(,0,)(

0,)(0,)(

LeGT

eGTeeeGT

eeGTeeGT

ja

jaijia

jiajia

Irreduzibilität 7

• Bem.: Darstellungen in der Physik in der Regel unitär (im Folgenden vorausgesetzt)

Irreduzibilität 8

Folgerungen

• Zerlegung von L in invariante und irreduzible Unterräume (nicht eindeutig):

q

qLL

• T(q)(Ga):irreduzible Darstellung von G in Lq

• Achtung: Summe von Operatoren aus verschiedenen Räumen

)(...)()()( )()2()1(a

naaa GTGTGTGT

Irreduzibilität 9

• Darstellungsmatrizen bez. „sortierter“ Basen der Unterräume Lq (Blockdiagonalform):

000

00

0)(0

00)(

)()2(

)1(

a

a

a

GT

GT

GT

)(...)()()( )()2()1(a

naaa GTGTGTGT

• T(q)(Ga) (dim(Lq) dim(Lq))-Matrix

Irreduzibilität 10

• Blockstruktur wird in der Regel erst nach Basiswechsel (Unterräume Lq) erreicht

• Verfahren, invarianten Unterraum zu erzeugen, liefert schließlich auch irreduzible Darstellungen

• Darstellung von Vektoren (Zerlegung in „irreduzible“ Komponenten):

qq

n

qq Lrrr

,

1

Irreduzibilität 11

Beispiel (Gruppe D3)

• R1/2: Rotation in x-y-Ebene um 120° bzw. 240°

Irreduzibilität 12

• eine mögliche Darstellung (L=R3):

100

02

1

4

3

04

3

2

1

)( 1RT

100

02

1

4

3

04

3

2

1

)( 2RT

100

010

001

)( 3RT

100

02

1

4

3

04

3

2

1

)( 4RT

100

02

1

4

3

04

3

2

1

)( 5RT

100

010

001

)( ERT

Irreduzibilität 13

• Darstellung ist reduzibel

• invariante orthogonale Unterräume V1 (x,y) und V2 (z) bilden mit den entsprechenden Teilmatrizen zwei- bzw. eindimensionale Darstellungen von D3

• Darstellung in V2 offensichtlich irreduzibel

• V1 auch irreduzibel, da es keine , gibt, so dass

yxyx eeeeee

**,** 21 Basis von V1 und

312212112 0))(,()())(,()( DReRTeRTeRTeRT aaaaa

(einfacheres Nachweisverfahren folgt später)

Irreduzibilität 14

Äquivalente Darstellungen

• Eigenschaften von Darstellungen folgen aus den irreduziblen Darstellungen

• es existieren unendlich viele irreduzible Darstellungen (vgl. Basiswechsel)

Irreduzibilität 15

• T(Ga) Darstellung von G in L, A Abbildung von L nach L‘ (gleiche Dimension)

1)()( AGATGT aa

• T‘(Ga) Darstellung von G in L‘

• T‘ und T heißen äquivalent

• Beweis: z.B. Elliot & Dawber

• äquivalente Darstellungen bilden eine Klasse

• Maschke‘s Theorem: Jede Klasse äquivalenter Darstellungen für endliche Gruppen beinhaltet unitäre Darstellungen

Irreduzibilität 16

• Beweis: z.B. Elliot & Dawber

• Bem.: gilt häufig auch für physikalisch relevante unendliche Gruppen

• daher Beschränkung auf unitäre Darstellungen

• ist T(Ga) Matrix der Darstellung bezüglich Basis ei und eine neue Basis ei‘ gegeben durch

,ii eAe

Irreduzibilität 17

AGTA a )(1

dann ist T(Ga) bezüglich der neuen Basis gegeben durch:

(äquivalente Matrixdarstellung)

Achtung: Unterschied zu oben, da dort neuer Operator, während hier gleicher Operator bezüglich neuer Basis!

•Eigenschaften wie die Eigenwerte der Darstellungsmatrizen sind für alle Elemente einer Klasse gleich.

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nicht äquivalente irreduzible Darstellungen

• T, T‘ sind nicht äquivalent, falls es keinen Operator A gibt, so dass gilt:

aaa GAGATGT 1)()(

• äquivalente Darstellungen werden identifiziert (geeignete Basis => Matrizen identisch), daher

)(TmT

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läuft über nicht äquivalente irreduzible Darstellungen

• m: Häufigkeit

Orthogonalitätsrelationen für irreduzible Darstellungen

Irreduzibilität 21

Motivation

• bisher: Reduktion auf die Analyse nicht äquivalenter irreduzibler Darstellungen

• für diese gelten wichtige Orthogonalitätsrelationen

• entscheidend für charakteristische Eigenschaften von Symmetrien (in der Physik)

Irreduzibilität 22

Schur‘s erstes Lemma

• T(Ga) irreduzible Darstellung von G in L, A Operator in L, Konstante, 1 Einheitsoperator

1*)()( AGGGATAGT aaa

• Wenn A für alle Ga mit T(Ga) kommutiert, ist A ein Vielfaches des Einheitsoperators!

Irreduzibilität 23

Schur‘s zweites Lemma

• T(1)(Ga), T(2)(Ga) seien irreduzible Darstellungen von G in L1 (Dimension s1) bzw. L2 (Dimension s2), A Operator, der Vektoren aus L2 nach L1 transformiert. Dann gilt, falls T(1) und T(2) nicht äquivalent sind:

0)()( )2()1( AGGGATAGT aaa

• Beweise: z.B. Elliot & Dawber

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Orthogonalitätsrelationen

• betrachte im Folgenden nur identische oder nicht äquivalente irreduzible Darstellungen

• dann zusammenfassende Darstellung der Lemmata möglich

• T()(Ga), T()(Ga) irreduzible Darstellungen von G in L bzw. L, A Operator, der die Vor. der Lemmata erfüllt:

Irreduzibilität 25

,1A wobei

,0 falls T(), T() nicht äquivalent

,1 falls T()=T()

Wähle ),()( 1)()( bbb

GXTGTA

wobei X beliebiger Operator, der Vektoren aus L nach L abbildet.

Irreduzibilität 26

Dann gilt:

),(

)()()(

)())(()(

)()()()(

)()()()(

)(

)(1)()(

)(1)()(

)(1)(1)()(

1)()()()(

a

acc

c

abab

ba

aabb

ba

bb

baa

GAT

GTGTXGT

GTGGXTGGT

GTGTGXTGGT

GXTGTGTAGT

da Gc=GaGb für festes a ganz G durchläuft, wenn Gb ganz G durchläuft

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Einsetzen in die Lemmata:

g

a

s

m

s

kijijamjkmaik AGTXGT

1 1 1

1)()( )()(

Wähle mqkpkmX

g

aijaqjaip GTGT

1

1)()( )()(

Bestimmung von :

Falls i=j und = gilt, folgt nach Summation über i:

s

i

g

aaqiaip sGTGT

1 1

1)()( )()(

Irreduzibilität 28

g

aijqpaqjaip

qp

g

aqpqp

s

gGTGT

s

g

sgET

1

1)()(

1

)(

)()(

)(

Falls T() unitär ist, folgt:

,)()(1

)()(ijqp

g

aajqaip s

gGTGT

da

Irreduzibilität 29

)))((())(())(()( )()(1)(1)( taaaa GTGTGTGT

• rechte Seite 0 für =,i=j,q=p

• dann:

pis

gGT

g

aaip ,)(

1

2)(

• Mittelwert über die Gruppe: Division durch die Anzahl g der Gruppenelemente

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• Orthogonalität:

pqijqjpi

gip

ippi

s

gxx

GT

GT

x

),,(),,(

)(

1)(

),,(

*

)(

)(

• gilt nur für irreduzible Darstellungen ( => Test auf Irreduzibilität)

Irreduzibilität 31

• Folgerung: irreduzible Darstellungen von Abelschen Gruppen sind eindimensional

• Beweis: T()(Ga) sei irreduzible Darstellung einer Abelschen Gruppe G, dann gilt:

1)(

,)()()()()()(

)()()()(

aa

baabba

GT

GGGGTGTGTGT

(Schur)

T()(Ga) ist diagonal für alle Ga und somit reduzierbar (Widerspruch!), es sei denn, T()(Ga) hat Dimension 1

Irreduzibilität 32

• Beispiel (D3) (g=6):

T(1): 154321 RRRRRE s1=1

T(2): 1;1 54321 RRRRRE s2=1

T(3):

10

01E

2

1

4

34

3

2

1

1R

2

1

4

34

3

2

1

2R

10

013R

2

1

4

34

3

2

1

4R

2

1

4

34

3

2

1

5R s3=2

D3 hat drei verschiedene irreduzible Darstellungen!

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• Nun gilt z.B.:

6

1

2)3( ,32

6)]([

aaip piGT

piGTGTa

aaip ,0)()(6

1

)2()3(

0)()(6

1

)2()1( a

aa GTGT

6

1

2)2( 61

6)]([

aaGT

Irreduzibilität 34

Eigenschaften von Darstellungen

• durch Basiswechsel können unendlich viele Darstellungen einer Gruppe erzeugt werden („Ähnlichkeitstransformation“)

• gesucht: von solchen Transformationen unabhängige Eigenschaften

• es existieren diverse solche Eigenschaften (z.B. Eigenwerte der Matrizen)

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• in der Regel genügt es eine zu betrachten

• besonders nützlich:

Die Spur der Matrix T(Ga) (Summe der Eigenwerte, Summe der Diagonalelemente in beliebiger Basis) (Ga) ist invariant unter Ähnlichkeitstransformationen. Die Menge

GGG aa |)(

heißt Charakter der Darstellung.

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• Beweis:

kj jaajjkjajk

kjikiajkij

iaiia

aa

s

iaiia

GGTAAGT

AGTAGTG

AGATGT

GTG

,

1

,,

1

1

1

)()())((

)()()(

)()(

)()(

• ebenso haben alle Elemente der gleichen Klasse Cp den gleichen Charakter p

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• Beweis: Seien Ga, Gb in der gleichen Klasse. Dann gilt Ga=GmGbGm

-1. Dann folgt für beliebige Darstellung T von G:

)()(

)()(

)()()(

)()()(

,

1

1

,,

1

bj

bjj

kjmmkjbjk

mkji

kibjkmij

i imbmiiaiia

GGT

GGTGT

GTGTGT

GGGTGTG

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Orthogonalität:

pqp

qp

p

n

ppp

c

g

gc

)(*)(

*)(

1

)(

Weiterhin:

2asg

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Kriterium für Irreduzibilität:

p

pp gc2

lirreduzibe

Irreduzibilität 40

Quellen

• J.P. Elliot, P.G. Dawber, Symmetry in physics, Volume 1, Principles and simple applications, MacMillan, London, 1979

• E. Stiefel, A. Fässler, Gruppentheoretische Methoden und ihre Anwendung, Teubner, Stuttgart, 1979