Kapitel 21 Mehrgleichungs- Modelle: Schätzverfahren

Kapitel 21

Mehrgleichungs-Modelle: Schätzverfahren

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21)

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Multivariate Regression

Allgemeinste Form: SUR-Modell

yi = Xii + ui, i = 1, …, m

mit n-Vektoren yi und ui, (nxki)-Matrix Xi; der m-Vektor ut = (ut1,…, utm) hat die Kovarianzmatrix

Gleichungsweises Schätzen: bi = (Xi‘Xi)-1Xi‘yi

berücksichtigt nicht kontemporäre Korrelation der Störgrößen

21 12 1

212 2

21 2

{ }

m

t

m m m

Var u

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Multivariate Regression, Forts.

In Matrixnotation mit mn-Vektoren ỹ und ũ etc. lautet das SUR-Modell

oder

mit

11 1 1

2

0 0

0 0

0 0m m mm

Xy u

Xy

y uX

y X u

{ } nV Var u I

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GLS-Schätzer

für aus SUR-Modell

Standardfehler erhält man aus

Effizienzgewinn GLS-Schätzung umso größer, je stärker die Störgrößen korrelieren je weniger die Regressoren korrelieren

GLS-Schätzer stimmt mit bi überein, wenn

Xi = X für alle i

uti mit übrigen utj, j ≠ i unkorreliert ist

' 1 1 ' 1( )X V X X V y

' 1 1{ } ( )Var X V X

i

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FGLS-Schätzer

Zwei-stufiges Verfahren:

1. Schätzung der Einzelgleichungen; Schätzen von aus den Residuen

2. GLS-Schätzung unter Verwendung der geschätzten Matrix

In EViews: Modellierung als System

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Investitionsmodell

Grunfeld & Griliches (1958)

I = 1 + 2F + 3C + umit I: Investitionen (gross investment) F: Marktwert des Unternehmens am Ende der VorperiodeC: Anlagenwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode

Daten für fünf Unternehmen, 1935-1954

General Motors: I = -149.78 + 0.119*F + 0.371*C, R2 = 0.92, se = 91.78

Chrysler: I = -6.19 + 0.078*F + 0.316*C, R2 = 0.91, se = 13.28

General Electric: I = -9.96 + 0.027*F + 0.512*C, R2 = 0.71, se = 27.88

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Investitionsmodell, Forts.

General Motors:

IFGLS = -133.57 + 0.115*F + 0.376*C, R2 = 0.92, se = 91.86

IOLS = -149.78 + 0.119*F + 0.371*C, R2 = 0.92, se = 91.78

Chrysler:

IFGLS = -3.27 + 0.073*F + 0.320*C, R2 = 0.91, se = 13.31

IOLS = -6.19 + 0.078*F + 0.316*C, R2 = 0.91, se = 13.28

General Electric:

IFGLS = -11.96 + 0.028*F + 0.152*C, R2 = 0.71, se = 27.89

IOLS = -9.96 + 0.027*F + 0.152*C, R2 = 0.71, se = 27.88

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Bestimmtheitsmaß

Definition

mit

ẽ: Residuen aus FGLS-Schätzung

Syy: Matrix der Stichproben-Kovarianzen

Alternatives Bestimmtheitsmaß:

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1

ˆ( ) ( )1 1

ˆ(0) ( )g

Ig yy

S SpR

S Sp S

-1 1g

ˆ ˆS (b) = (y-Xb)( )(y-Xb)= ( ) , =(e'e)/nI nSp

2* 1

1ˆ( )yy

mR

Sp S

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Investitionsmodell, Forts.

Berechnen des Bestimmtheitsmaßes1. Generieren der Gruppe GR1 der Residuen aus Sys_3:

Sys_3.makeresids

2. Berechnen der Kovarianzmatrix der Residuen aus Sys_3:

matrix sig_tilde = @cov(@convert(Gr1))

3. Analog Berechnen der Kovarianzmatrix Sig_hat der Residuen der Einzelgleichungen und der abhängigen Variablen (Syy)

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Simultane Mehrgleichungs-Modelle: Schätzverfahren 1. Einzelgleichungs-Schätzverfahren oder Methoden bei beschränkter

Information (limited information methods) Indirekte Kleinste-Quadrate-Schätzung (ILS) Zweistufige Kleinste-Quadrate-Schätzung (2SLS) ML-Schätzung bei beschränkter Information (LIML)

2. Simultane Schätzverfahren (System-Schätzmethoden Dreistufige Kleinste-Quadrate-Schätzung (3SLS) ML-Schätzung bei voller Information (FIML)

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Marktmodell

Gesucht ist ein Schätzer für 2 aus

Q = 2P + 3Y + u1 (Nachfragefunktion)

Q = 2P + u2 (Angebotsfunktion)

wobei die Störgrößen kontemporär korreliert sind

1. OLS-Schätzung von 2 aus Angebotsfunktion: b2 = (p‘p)-1p‘q mit n-Vektoren p und q; b2 ist verzerrt!

2. IV-Schätzer mit Hilfsvariabler Y: = (y‘p)-1y‘q; konsistent

3. ILS-Schätzer: = p2/p1 = (y‘p)-1y‘q mit OLS-Schätzern p1 und p2 von 1 und 2 aus der reduzierten Form

P = 1Y + v1

Q = 2Y + v2

2

2̂

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12

Marktmodell, Forts.

4. 2SLS-Schätzung:

1. Stufe: OLS-Anpassung der Hilfsvariablen

= [(y‘y)-1y‘p] y

2. Stufe: OLS-Schätzung von 2 aus Q = 2 + 2:

P̂P̂

12

ˆ ˆ ˆ ˆ( ' ) 'p p p q

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OLS-Schätzung

OLS-Schätzer der Strukturparameter eines Mehrgleichungs-Modells: im Allgemeinen weder erwartungstreu noch konsistent

OLS-Schätzer sind oft interessant: Sie sind effizient, d.h. haben minimale Varianz; sie können

daher – trotz der fehlenden Erwartungstreue – günstig sein Sie sind tendenziell robuster gegen nicht erfüllte

Voraussetzungen als andere Verfahren

OLS-Schätzer spielen eine wichtige Rolle in allen Verfahren zum Schätzen der Parameter von simultanen Mehrgleichungs-Modellen

Rekursive Mehrgleichungs-Modelle: OLS-Schätzer sind asymptotisch unverzerrt, sie können auch bei endlichem n weitgehend unverzerrt sein

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Indirekte Kleinste-Quadrate-SchätzungErfolgt In zwei Schritten: OLS-Schätzung der Koeffizienten der reduzierten Form Berechnung der Koeffizienten der Strukturform aus den

Schätzern der Koeffizienten der reduzierten Form

Voraussetzung: Die Gleichung, deren Koeffizienten geschätzt werden, muss identifizierbar sein

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2SLS-Schätzung

Die Koeffizienten der i-ten Gleichung yi = Xii + ui = Yii + Zii + ui sollen geschätzt werden; Yi: (nx(mi-1))-Matrix der endogenen Variablen, Zi: (nxKi)-Matrix der vorherbestimmten Variablen

2SLS-Schätzung erfolgt in zwei Schritten:

1. Berechnen der Hilfsvariabeln Ŷi mit Hilfe der OLS-Schätzung der Regressionskoeffizienten der reduzierten Form

Yi = Z (')i + Vi

2. Berechnen der Schätzer durch OLS-Anpassung von

yi = i + ui

mit = (Ŷi Zi)

ib

ˆiX

ˆiX

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Markt für Schweinefleisch

Q = 1 + 2P + 3Y + u1 (Nachfragefunktion)

Q = 1 + 2P + 3Z + u2 (Angebotsfunktion)

Endogen: Q, P ; exogen: Y, Z

2SLS-Schätzung:

1. Stufe:

= 11.2 + 0.008Y + 0.728Z [t(Y)=1.41, t(Z)=11.19; R2=0.89]

= 16.1 + 0.046Y – 0.236Z [t(Y)=6.50, t(Z)=2.96; R2=0.73]

2. Stufe:

= 60.9 – 3.088P + 0.149Y [t(P)=11.2, t(Y)=11.7; R2=0.89]

= 8.32 + 0.177P + 0.770Z [t(P)=1.41, t(Z)=11.8; R2=0.89]

Q̂P̂

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Markt für Schweinefleisch, Forts.

Vergleich von OLS-, ILS-, und 2SLS-Schätzung

Nachfrage Angebot

P Y P Z

OLS -1.41 0.08 -0.03 0.77

ILS -3.09 0.15 0.18 0.77

2SLS -3.09 0.15 0.18 0.74

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2SLS-Schätzer: Eigenschaften

Voraussetzung dafür, dass i-te Gleichung schätzbar ist: Identifizierbarkeit der i-ten Gleichung

Abzählbedingung: Anzahl der aus der Gleichung ausgeschlossenen, vorherbestimmten Variablen (K-Ki) ist mindestens so groß wie die um Eins verminderte Zahl der endogenen Variablen (mi-1)

Also: die Anzahl der als Instrumente in Frage kommenden, vorherbestimmten Variablen muss mindestens so groß sein wie die Anzahl der endogenen Variablen, die durch Hilfsvariable zu ersetzen sind

Eigenschaften: 2SLS-Schätzer sind1. konsistent2. asymptotisch normalverteilt

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LIML-Schätzung

ML-Schätzung bei beschränkter Information (limited information ML oder LIML-Schätzung)

Die ältere, aufwendigere LIML-Schätzung ist durch die 2SLS-Schätzung weitgehend verdrängt

Ähnliche Eigenschaften: Beide Schätzer sind konsistent und asymptotisch effizient Die Schätzer der Koeffizienten einer Gleichung stimmen überein,

wenn die Gleichung exakt identifiziert ist

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Schätzer bei voller Information

Die 2SLS-Schätzung ignoriert die kontemporäre Korrelation der Störgrößen

Schätzmethoden bei voller Information (full information methods): Das Berücksichtigen der kontemporären Korrelation macht die Schätzung der Koeffizienten einer Gleichung effizienter, da sie Information verwendet, die in allen anderen Gleichungen zu den Parametern dieser Gleichung enthalten ist

3SLS-Schätzung: Erweiterung des 2SLS-Schätzers im Sinn der FGLS-Schätzung; vergleiche die SUR-Schätzer

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3SLS-Schätzung

Die m Gleichungen des Modells werden geschrieben als

oder

mit

1 1 1 10

0m m m m

y X u

y X u

y X u

{ } nVar u I

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3SLS-Schätzung

3SLS-Schätzung erfolgt in drei Schritten: Berechnen für jede Gleichung

1. Hilfsvariable2. 2SLS-Schätzer und3. 2SLS-Residuen

Berechnen von mit

Ermitteln der 3SLS-Schätzer

als FGLS_Schätzer für

1ˆ ( ' ) 'i i z iX Z Z Z Z X P X ib

i i i ie y X b

( ' ) /ij i je e n

1 1 1[ '( ) ] '( )G z zb X P X X P y

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3SLS-Schätzer: Eigenschaften

Voraussetzung: Identifizierbarkeit aller Gleichungen

Eigenschaften: 3SLS-Schätzer sind1. konsistent2. asymptotisch normalverteilt

3SLS-Schätzer stimmen mit 2SLS-Schätzer überein, wenn Alle Gleichungen exakt identifizierbar sind diagonal ist, die Störgrößen als kontemporär unkorreliert sind

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Markt für Schweinefleisch, Forts.

Vergleich von 2SLS- und 3SLS-Schätzung

3SLS-Schätzer stimmen gut mit 2SLS-Schätzern überein: beide sind konsistente Schätzer

Die größeren t-Statistiken weisen auf höhere Effizienz der 3SLS-Schätzer hin

Nachfrage Angebot

P Y P Z

2SLS -3.09 0.15 0.18 0.74

t-Stat 3.49 3.67 1.22 10.16

3SLS -3.09 0.15 0.18 0.74

t-Stat 3.79 3.98 1.32 11.02

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Weitere Schätzer bei voller Information Iterative 3SLS-Schätzung

Iteratives Berechnen der Hilfsvariablen und Residuen (1.Stufe) FIML-Schätzung (full information ML): unterstellt normalverteilte

Störgrößen, ermittelt Schätzer der Strukturparameter durch Maximieren der Likelihood-Funktion in Bezug auf Elemente von A und

FIML-Schätzer sind konsistent asymptotisch normalverteilt asymptotisch äquivalent den 3SLS-Schätzern

In EViews: 3SLS- und FIML-Schätzer