Kapitel 20 Mehrgleichungs- Modelle: Konzepte. © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 2 Mehrgleichungs-Modelle Modellierung

Kapitel 20

Mehrgleichungs-Modelle: Konzepte

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© 2005 Verlag Pearson Studium© Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie

Mehrgleichungs-Modelle

Modellierung von ökonomischen Prozessen, die simultan mehrere endogene Variable betreffen

Beispiele: Darstellung des Marktes für ein Produkt: Modell muss

Entwicklung von Menge und Preis repräsentieren Wirtschaftsraum umfasst Gütermarkt, Finanzmarkt, Arbeitsmarkt,

etc., die in Wechselwirkung stehen

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CAP-Modell

CAP-Modell (capital asset pricing model)

Ri: Erlös des i-ten Vermögenswertes

Ri - Rf = i(E{Rm} – Rf) + ui

mit

Rf: Erlös eines risikolosen Vermögenswertes

E{Rm}: erwarteter Erlös des optimalen Portfolios

Analyse von mehreren Werten:

ui repräsentieren gemeinsame Faktoren, haben gemeinsame Abhängigkeitsstruktur

Effiziente Nutzung der Information: gemeinsame Analyse

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Investitionsmodell

Grunfeld & Griliches (1958)

I = 1 + 2F + 3C + u

mit

I: Investitionen (gross investment)

F: Marktwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode

C: Anlagenwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode

Daten für fünf Unternehmen, 1935-1954

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Marktmodell

für ein Produkt, z.B. Schweinefleisch

Qd = 1 + 2P + 3Y + u1 (Nachfragefunktion)

Qs = 1 + 2P + 3Z + u2 (Angebotsfunktion)

Qd = Qs

mit

Qd: Nachfragemenge, Qs: Angebotsmenge, P: Preis des Produktes, Y: Einkommen, Z: Kosten der Produktion

oder

Q = 1 + 2P + 3Y + u1

Q = 1 + 2P + 3Z + u2

Modell bestimmt Q und P für gegebene Werte von Y und Z

Endogene Variable: Q, P; exogene Variable: Y, Z

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Klein‘s Modell 1

Ct = 1 + 2Pt + 3Pt-1 + a4(Wtp+ Wt

g) + ut1 (Konsum)

It = 1 + 2Pt + 3Pt-1 + 4Kt-1 + ut2 (Investitionen)

Wtp = 1 + 2Xt + 3Xt-1 + 4t + ut3 (Private Löhne und Gehälter)

Xt = Ct + It + Gt

Kt = It + Kt-1

Pt = Xt – Wtp – Tt

C (Konsumausgaben), P (Gewinne), Wp (Private Löhne und Gehälter), Wg (Öffentliche Löhne und Gehälter), I (Investitionen), K-1 (Kapitalbestand des Vorjahres), X (Produktion), G (Ausgaben der Öffentlichen Hand ohne Löhne und Gehälter), T (Steuern) und t [Zeit (Trend)]

Endogen: C, I, Wp, X, P, K; exogene: 1, Wg, G, T, t, P-1, K-1, X-1

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Typen von Mehrgleichungs-Modellen1. Mehrgleichungsmodelle mit (gemeinsamen) fixen Regressoren

(multivariates Regressionsmodell) Nachfrage nach Gütern durch Haushalte capital asset pricing model Modell für Investitionen von Unternehmen von Grunfeld-

Griliches2. Mehrgleichungsmodelle mit stochastischen (endogenen)

Regressoren (simultaneous equation model, interdependente Modelle)

Marktmodell Klein’s Modell

Kontemporär korrelierte Störgrößen

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Typen von Gleichungen

Reaktions- oder Verhaltensgleichungen: beschreiben das Verhalten einer abhängigen Variablen als Funktion von erklärenden Variablen

Definitorische Identitäten: definieren eine Variable als Summe anderer Variabler

Gleichgewichts-Bedingungen: postulieren Beziehungen, die als Gleichgewicht interpretiert werden können

Definitorische Identitäten und Gleichgewichts-Bedingungen enthalten keine Störgrößen!

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Schätzprobleme

Bei Mehrgleichungs-Modellen muss gerechnet werden mit Stochastischen Regressoren: abhängige Variable werden als

Regressoren verwendet Kontemporär korrelierten Störgrößen: die einzelnen Gleichungen

sind nicht voneinander unabhängig

Konsequenzen: OLS-Schätzer der Koeffizienten sind nicht konsistent, nicht

erwartungstreu!

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Zweigleichungs-Modell

Zwei abhängige Variable Y1 und Y2

Y1 = 1 + 2Y2 + 3X1 + u1 (Gleichung A)

Y2 = 1 + 2Y1 + 3X2 + u2 (Gleichung B)

1. Verletzung der Annahme 4 (Exogenität der Regressoren): Effekt eines positiven Wertes u1:

Wert von Y1 wird vergrößert (siehe Gleichung A)

Aus Gleichung B folgt, dass dann der Wert von Y2 größer wird

Daraus folgt: u1 und Y2 sind korrelierte Variablen

2. Verzerrte OLS-Schätzer: Überdurchschnittlich große Werte von Y1 werden oft (als Folge

positiver u1) gemeinsam mit großen Werten von Y2 beobachtet

2 wird überschätzt!

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Marktmodell: Eine Simulation

Mit 2 = – 1, 2 = 1, 3 = 1, 3 = 1 ergeben sich (siehe oben):

Q = – P + Y + u1 (Nachfrage)

Q = P + Z + u2 (Angebot)

Generieren der Daten in EViews:

Y = 20 + 10*nrnd

Z = 10 + 10*rnd

u1 ~ N(0,4), u2 ~ N(0,9)

Q = (Y + Z + u1 + u2 )/2, P = (Y – Z + u1 – u2)/2

OLS-Schätzung der beiden Gleichungen:

Q = 2.98 – 0.58*P + 0.80*Y; p(tP) = 0.037, p(tY) = 0.000, R2 = 0.84

Q = 3.52 + 0.77*P + 0.86*Z; p(tP) = 0.000, p(tY) = 0.000, R2 = 0.83

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Marktmodell, Forts.

Nachfragefunktion

Q = 1 + 2P + 3Y + u1 = x‘ + u1

mit x = (1, P, Y)‘, = (1, 2, 3)‘

Achtung! Endogene Variable P ist erklärende Variable:

plim (X'X)-1 X'u ≠ 0

Reduzierte Form:

Q = 11 + 12Y + 13Z + v1

P = 21 + 22Y + 23Z + v2

mit 11 = (1 2 – 2 1)/(2 – 2), v1 = (2 u1 – 2 u2)/(2 – 2), etc.

Die ij können konsistent geschätzt werden! Kann man aus Schätzern für ij auf Schätzer der i und i schließen?

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Schätzprobleme, Forts.

Zwei Fragestellungen: Identifizierbarkeit: Können – bei gegebener Struktur des Modells

und gegebenen Daten – die Parameter (konsistent) geschätzt werden?

Schätzverfahren: Welche – (neue?) – Schätzmethoden können bei Mehrgleichungs-Modellen angewendet werden, sodass gewünschte Eigenschaften der Schätzer sichergestellt sind?

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Typen von Variablen

Endogene Variable: Werden durch das Modell bestimmt Vollständiges Modell: Anzahl der Gleichungen ist so groß, wie die

Anzahl der endogenen Variablen

Exogene Variable: Sind von außerhalb des Modells bestimmt Können auch verzögerte endogene („vorherbestimmte“,

predetermined) Variable sein Wir unterscheiden:

Strikt exogene Variable: unkorreliert mit historischen, aktuellen und künftigen Störgrößen

vorherbestimmte Variable: unkorreliert mit aktuellen und künftigen Störgrößen

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Marktmodell, Forts.

Zwei Gleichungen:

Q = 1 + 2P + 3Y + u1 (Nachfragefunktion)

Q = 1 + 2P + 3Z + u2 (Angebotsfunktion)

bestimmen Q und P (endogene Variable)

außerhalb des Systems bestimmt: Y, Z

Offene Fragen: Rückkoppelung zwischen Q und Y? Z unabhängig von Q?

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SUR-Modell

seemingly unrelated regression

allgemeiner Fall des multivariaten Regressionsmodells

m Gleichungen

Yt1 = x‘t11 + ut1

…

Ytm = x‘tmm + utm

mit Var{uti} = i2 für i = 1,…,m; Cov{uti,utj} = ij ≠ 0 für i ≠ j , i,j = 1,…,m

(kontemporär korrelierte Störgrößen)

Regressoren können für die Gleichungen unterschiedlich sein

Mehrgleichungs-Modell mit gemeinsamen Regressoren:

xti = xt für i = 1,…,m

Vereinfachung des SUR-Modells (vergl. das CAP-Modell)

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Investitionsmodell, Forts.

I = 1 + 2F + 3C + u

I: InvestitionenF: Marktwert des Unternehmens am Ende der VorperiodeC: Anlagenwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode

General Motors:

I = -149.78 + 0.119*F + 0.371*C, R2 = 0.92, se = 91.78Chrysler:

I = -6.19 + 0.078*F + 0.316*C, R2 = 0.91, se = 13.28General Electric:

I = -9.96 + 0.027*F + 0.152*C, R2 = 0.71, se = 27.88

Investitionen sind auch bestimmt von allgemeiner Konjunktur!

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SUR-Modell, Notation

m = 2 mit n-Vektoren yi, ui, (nxki)-Matrix Xi:

yi = Xi i + ui, i = 1, 2

Var{uti} = i2, Cov{ut1,ut2} = 12, t = 1,…,n

mit 2n-Vektoren

oder mit

1 1 1 1

2 2 2 2

0

0

y X uy

y X u

y X u 21 12

212 2

{ } n nV Var u I I

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Kronecker-Produkt

Definition:

Ordnung: npxmq

11 1 11 1

1 1

11 1 11 11 1 1

1 1 1

,m q

n nm p pq

m m q

n nm n p nm pq

a a b b

A B

a a b b

a B a B a b a b

A B

a B a B a b a b

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Interdependente Mehrgleichungs-ModelleStrukturform: Darstellung der Beziehung zwischen endogenen

Variablen einerseits und exogenen und vorherbestimmten Variablen andererseits entsprechend der ökonomischen Theorie.

Reduzierte Form: Darstellung der Abhängigkeit der endogenen von den vorherbestimmten Variablen

Koeffizienten der Strukturform: Interpretation als Strukturparameter im Sinn der

ökonomischen Theorie Reduzierten Form: Interpretation als impact multiplicator; geben

Effekt der Änderung der vorherbestimmten Variablen auf abhängige Variable an

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Marktmodell, Forts.

Strukturform

Qt = 1 + 2Pt + 3Yt + ut1 (Nachfragefunktion)

Qt = 1 + 2Pt + 3Zt + ut2 (Angebotsfunktion)

ut = (ut1,ut2)‘: bivariates Weißes Rauschen

Matrixnotation: A yt = zt + ut

mit yt = (Qt, Pt)‘, zt = (1, Yt, Zt)‘

21 12

212 2

{ }tVar u

1 32

2 1 3

01,

1 0A

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Marktmodell, Forts.

Reduzierte Form

yt = A-1zt + A-1ut = zt + vt

mit

In Langform:Qt = 11 + 12Yt + 13Zt + vt1

Pt = 21 + 21Yt + 23Zt + vt2

3 2 2 31 2 2 1

2 2 2 2 2 2

3 31 1

2 2 2 2 2 2

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Strukturform

m abhängige Variable (und Gleichungen), K Regressoren:

Ayt = zt + ut

mit m-Vektoren yt und ut, K-Vektor zt, (mxm)-Matrix A, und (mxK)-Matrix

Struktur des Mehrgleichungs-Modells: (A, , )

Strukturparameter: Elemente von A und Normalisierte Matrix A: ii = 1 für alle i

Vollständiges Mehrgleichungs-Modell: A ist quadratisch und invertierbar

Rekursives Mehrgleichungs-Modell: A hat Dreiecksform; die endogenen Variablen beeinflussen sich nur in einer Richtung

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Identifizierbarkeit

Fragestellung: Können aus den Schätzern der Parameter der reduzierten

Form konsistente Schätzer der Strukturparameter abgeleitet werden?

Können mit den exogenen und vorherbestimmten Variablen als Instrumente Instrumentvariable für die erklärenden endogenen Variablen bestimmt werden?

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Marktmodell, Forts.

Aus 13 = – 23/(2 – 2) und 23 = – 3/(2 – 2) ergibt sich

a2 = p13/p23

als Schätzer für 2 aus den OLS-Schätzern p13 und p23 für 13 und 23

b2 = p12/p22

für 2 aus p12 und p22 für 12 und 22 Weiters ergeben sich

a3 = p22(b2 – a2), a1 = p11 – p21a2;die Koeffizienten der Nachfragefunktion lassen sich in eindeutiger Weise

aus den konsistenten Schätzern der ij bestimmen; die Nachfragefunktion ist identifizierbar

Analog ergibt sich für die Koeffizienten der Angebotsfunktion

b3 = – p23(b2 – a2), b1 = p11 – p21b2;auch die Angebotsfunktion ist identifizierbar

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Modifiziertes Marktmodell


Qt = 1 + 2Pt + ut2 (Angebotsfunktion)Koeffizienten der reduzierten Form:

11 = (12 – 21)/(2 – 2), 12 = 32/(2 – 2)

21 = (1– 1)/(2 – 2), 22 = 3/(2 – 2)

1. Angebotsfunktion:

b2 = p12/p22, b1 = p11 – p21b2

die Angebotsfunktion ist identifizierbar 2. Nachfragefunktion: für drei Koeffizienten gibt es nur zwei

Gleichungen

a1 = p11 – p21a2, a3 = p22(b2 – a2)es existiert keine eindeutige Lösung. Die Funktion ist nicht identifizierbar; sie ist unteridentifiziert

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Noch ein Marktmodell

Qt = 1 + 2Pt + 3Yt + 3Zt + ut1 (Nachfragefunktion)

Qt = 1 + 2Pt + ut2 (Angebotsfunktion)

1. Angebotsfunktion:

b2 = p12/p22, b2 = p13/p23

für beide Lösungen ergibt sich

b1 = p11 – p21b2

die Angebotsfunktion ist identifizierbar; man sagt, die Angebotsfunktion ist überidentifiziert

2. Die Nachfragefunktion ist unteridentifiziert

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Identifizierbarkeit: Kriterien

Identifizierbarkeit einer Gleichung bedeutet, dass eine Anzahl von Modell-Variablen aus der Gleichung

ausgeschlossen sind („ Nullrestriktionen“) oder eine andere Restriktion zutrifft

Punktrestriktion: ein Koeffizient hat einen bestimmten Wert, z.B. den Wert Null

Gleichungen in den Koeffizienten, linear oder nicht-linear Restriktion für Elemente von

Überprüfen der Nullrestriktionen Abzähl- oder Ordnungs-Bedingung Rang-Bedingung

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Ordnungs-Bedingung

Modell mit m abhängigen Variablen, K Regressoren :

Ayt = zt + ut

mit (mxm)-Matrix A, (mxK)-Matrix

i-te Gleichung: mi: Anzahl der erklärenden endogenen Variablen

mi*: Anzahl der durch Nullrestriktionen ausgeschlossenen endogenen Variablen (mi* = m – mi – 1)

Ki*: Anzahl der durch Nullrestriktionen ausgeschlossenen vorherbestimmte Variablen (Ki* = K – Ki)

Ordnungs-Bedingung: Die Gleichung ist identifizierbar, wenn

Ki* + mi* ≥ m – 1 oder Ki* ≥ mi

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Ordnungs-Bedingung: InterpretationOrdnungs-Bedingung: Die Gleichung ist identifizierbar, wenn

Ki* + mi* ≥ m – 1 oder Ki* ≥ mi

d.h., wenn die Anzahl der ausgeschlossenen Variablen (Ki* + mi*)

mindestens so groß ist wie die um Eins verminderte Anzahl der endogenen Variablen (m – 1)

die Anzahl der ausgeschlossenen vorherbestimmten Variablen (Ki*) mindestens so groß ist wie die Anzahl der erklärenden endogenen Variablen (mi)

Achtung! Die Ordnungs-Bedingung ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die Identifizierbarkeit einer Gleichung

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Modifiziertes Marktmodell, Forts.


Qt = 1 + 2Pt + ut2 (Angebotsfunktion)

m = 2 (Q, P), K = 2 (1, Y);

1. Nachfragefunktion (i = 1):

m1* = 0, m1 = 1, K1* = 0, K1 = 2

die Ordnungs-Bedingung ist nicht erfüllt: K1* = 0 < m1 = 1 (oder K1* + m1* = 0 < m – 1 = 1); die Nachfragefunktion ist nicht identifiziert

2. Angebotsfunktion (i = 2):

m2* = 0, m2 = 1, K2* = 1, K2 = 1

die Ordnungs-Bedingung ist erfüllt: K2* = 1 = m2 = 1 (oder K2* + m2* = 1 = m – 1 = 1); die Angebotsfunktion ist identifizierbar

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Rang-Bedingung

Modell mit m abhängigen Variablen, K Regressoren :

Ayt = zt + ut

mit (mxm)-Matrix A, (mxK)-Matrix

i-te Gleichung: Streichen der i-ten Zeile ergibt A*: durch Streichen aller Spalten in A, die in i-ter Zeile einen

von Null verschiedenen Koeffizienten haben *: durch Streichen aller Spalten in , die in i-ter Zeile einen

von Null verschiedenen Koeffizienten haben

Rang-Bedingung: Die Gleichung ist identifizierbar, wenn

r(A*|*) ≥ m – 1

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IS-LM-Modell

Ct = 11 – 14Yt + ut1 C: Konsum; I: Investitionen, R: Zins-

It = 21 – 23Rt + ut2 satz, Y: Einkommen, M: Geldmenge,

Rt = – 34Yt + 32Mt + ut3 Z: autonome Ausgaben

Yt = Ct + It + Zt endogen: C, I, R, Y; exogen: 1, M, Z

Erste Gleichung: Ordnungs-Bedingung: K1 = 2 = m1 = 2; Rang-Bedingung: die folgende Matrix hat den Rang 3 = m -1

Beide Bedingungen sind erfüllt; die 1. Gleichung ist identifizierbar

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* *32

1 0 0

0 1 0

1 0 0 1

A

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Praxis der Idenfizierbarkeits-prüfung1. Ein Mehrgleichungs-Modell ist identifizierbar, wenn jede seiner

Gleichungen identifizierbar ist2. Gleichungen, die die Ordnungs-Bedingung erfüllen, erfüllen

meist auch die Rang-Bedingung3. Kleine Modelle sind meist leicht nach beiden Kriterien prüfbar;

bei umfangreichen Modellen ist die Identifizierbarkeit der Gleichungen meist kein Problem (Modell enthält viele vorherbestimmten Variable)

4. Soll ein Regressor eliminiert werden? Bei Eliminieren ist Gleichung eher identifizierbar Nicht Eliminieren kann fälschliche Identifizierbarkeit anderer

Gleichungen zur Folge haben5. Weitere Gleichung in identifizierbarem Modell: das neue

Modell ist identifizierbar, wenn mindestens eine neue Variable verwendet wird

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