Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation 6. Keplergesetze und Gravitation 6.1 Geo- und...

Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

6. Keplergesetze und Gravitation

6.1 Geo- und heliozentrisches Weltbild

Lies im Buch Basiswissen 1+2 Seite 98 und 99!

Tabelle mit der Gegenüberstellung der beiden WB.

Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

A2 Welche Mondphasen kennst du?

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•Bei Neumond geht der Mond in etwa zusammen mit der Sonne am Morgen auf und am Abend unter. •Im ersten Viertel geht der Mond gegen Mittag auf und gegen Mitternacht unter. •bei Vollmond geht er in der Abenddämmerung auf und in der Morgendämmerung unter und ist die ganze Nacht sichtbar. •im letzten Viertel geht er gegen Mitternacht auf und gegen Mittag unter.

A3 Zu welchen Tageszeiten kann der Mond beobachtet werden? Zu welchen Tageszeiten ist der zunehmende Mond und zu welchen Tageszeiten ist der abnehmende Mond zu beobachten?

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Aristoteles

384 – 322 v. Chr.

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Claudius Ptolemäus (ca. 87 – 165 n. Chr.) – „Almagest“

Geozentrisches Weltbild

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Nikolaus Kopernikus

(1473 – 1543)

1543 “De revolutionibus orbium coelestium”

(“Über die Bewegungen im Himmelsraum”)

Nikolaus Kopernikus

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Nikolaus Kopernikus (1473 – 1543)

Heliozentrisches

Weltbild

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Weltbil1.exe

Beachte: Die angeführten WB sind geometrische Modelle ohne Anspruch auf physikalische Erklärung.

Woran erkennt man, dass ein Himmelskörper zum Sonnensystem gehört?

A: Schleifenbahnen.Erklärung im ptolemäischen WB: mit Epizykelnim Kopernikanischen: Kreisbahnen; Die Erde bewegt sich schneller als Mars um die Sonne. Bewegt sich die Erde an Mars vorbei, scheint dieser rückwärts zu laufen.

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Planetenrückläufigkeit

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Mars retrograd

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Hinweise auf das Kopernikanische WB: nach Galilei:

Jupitermonde, also Erde nicht einziger Körper, um den sich andere drehen.

Venusphasen

Problem bei Kopernikus: Die Vorausberechnungen waren ungenau, er musste auch Epizykel dazunehmen. Grund: Verharren auf Kreisbahnen.

Lösung: Kepler. (1571-1630) ( Seit 1612 in Linz) Er wurde 1600 zu Tycho de Brahe, einem damals berühmten Astronomen nach Prag gerufen, um das Datenmaterial seiner Beobachtungen vom Mars auszuwerten. Er ermittelte eine Ellipsenbahn.

Kapitel 6 Keplergesetze und GravitationAristoteles, Ptolemäus und Kopernikus

DerDialogowurde1632

gedruckt.

Galileo Galilei(1564 – 1642)

Galileo Galilei

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Johannes Kepler

(1571 – 1630)

1596: Mysterium Cosmographicum

1609: 1. und 2. Keplersches Gesetz

1619: 3. Keplersches Gesetz

1627:Rudolphinische Tabellen

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Keplergesetze:

1. Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. (1605)

2. In gleichen Zeiten werden gleiche Flächen überstrichen. (1605)

3. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen. (1615)

Diese Gesetze beschreiben zwar den Planetenverlauf gut, lieferten aber keine physikalische Erklärung.

Warum sind die Bahnen gekrümmt?

Die physikalische Erklärung lieferte Newton.

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6.2 Das Newtonsche Gravitationsgesetz.

Newton (1643 -1727)Die Schwerkraft ist nicht nur auf der Erde wirksam, sondern auch zwischen den Himmelskörpern.

Zwischen zwei beliebigen Massen herrscht eine Anziehungskraft.

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NewtonschesGravitationsgesetz: NewtonschesGravitationsgesetz:

2r

mMGF

G=6,67·10–11Nm2kg–2 ... Gravitationskonstante

Newtonsches Gravitationsgesetz

M, m … Massen

r … Abstand der beiden Massen

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Bestimmung der GravitationskonstanteDrehwaage von Cavendish Drehwaage von Cavendish

Cavendish (1731-1810)

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Die Gravitationskonstante ist sehr klein, daher sehr schwierig im Labor zu messen.

Die Massen sind in den jeweiligen Massenmittelpunkten zu denken. Daher kann man die Entfernungen von diesen nehmen.

In der ersten Position heben sich die beiden Drehmomente auf. In der zweiten Position wird die Masse auf der Waage von der größeren Masse angezogen, weil die Entfernung kleiner geworden ist.Der Torsionsfaden bewirkt ein Rückstellmoment.Es stellt sich ein Gleichgewichtszustand ein.

Setzt man für F die Gravitationskraft ein, lässt sich daraus die Gravitationskonstante bestimmen. Sie ist vom Material unabhängig und an jedem Ort gleich.

Θ·φ = 2·F·r

Messung der Gravitationskonstante - Drehwaage von Cavendish

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6.3 Anwendungen des Gravitationsgesetzes6.3.1 Bestimmung der Erdmasse:

Aus Fallmessungen wissen wir: FG = m·g

andrerseits gilt: r

MmGF

2

Wir setzen gleich: r

MmGgm

2 G

rgM

2

M = 5,98·1024kg

bei r = 6,37·106m

·

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336

2411

26

3213

kg/m 192864,5510)10*37,6(*4

3*966,5

kg 10*965868911,510*67,6

)10*(6,37*9,80665=M

V

M

m 10*082696932,1*r*3

4=V *V=M

:Erddichte der Bestimmung

Bestimme die Dichte der Erde!

Setzt man in die Formel für die Dichte, erhalten wir für sie obigen Wert; auf der Erdoberfläche beträgt sie ca. 3000 kgm-3. → Der Kern ist viel dichter.

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6.3.2 Bestimmung der Sonnenmasse:

Überlegung:

Zentripetalkraft = Gravitationskraft

mr

MGrm

22 │: m

GMT

r42

32

211

3112

2

32

)25,36586400.(1067,6

)10496,1(4

GT

r4M

= 1,9899.1030 kg

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6.3.3 Wie sind die Keplergesetze mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz vereinbar?

Zu 1. KG:

Nach Newton: Die Bahnen, die ein Körper unter dem Einfluss der Gravitation ausführt, sind Kegelschnitte.

Modelle zeigen.

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Wann beschreibt der Körper eine Kreisbahn?

Zentripetalkraft = Gravitationskraft

2

2

rMm

Gr

mv │: m . r

r

GMv2

6

2411

1037,6

1096,51067,6

r

GMv

= 7,9 km/s

1. kosmische Geschwindigkeit

Kreisbahn-geschwindigkeit

Ist die Geschwindigkeit kleiner als die Kreisbahngeschw., ergibt sich eine Ellipse., die zum Teil innerhalb der Erde verläuft (Annäherung "Wurfparabel" (Voraussetzung g = konst.))Ist die Geschwindigkeit größer als die Kreisbahngeschwindigkeit, erhalten wir Ellipsen.

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Aber: Ist sie zu groß, verlässt der Körper den Anziehungsbereich der Erde.

Fluchtgeschwindigkeit:

Der Körper muss eine so große kinetische Energie haben, dass die Gesamtenergie (Kin + Pot ) größer als 0 ist. (Herleitung der pot. Energie später.)

0r

GMm2

mv2

6

2411

1037,6

1096,51067,62

r

GM2v

= 11,2 km/s

2. kosmische Geschwindigkeit oder Fluchtgeschwindigkeit.

Bei dieser Geschwindigkeit beschreibt der Körper eine Parabel.

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Simulation der Keplerbahnen

x

y

r

r

r

MmGF

2

),( yxr

(x,y)

Ort des Satelliten

3r

xMGax

3r

yMGay

22 yxr Abstand der beiden Körper

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Eingabe x0, y0, v,α, dt

G

ME

vx← v∙cos(α)

vy← v∙sin(α)

x ← x0

y ← y0

Wiederhole bis Abbruch

322 yxr

r

xGMax

r

yGMay

dtaxvxvx

dtayvyvy

dtvxxx dtvyyy

Ausgabe x, y

Wir rechnen der Einfachheit halber r^3 aus und setzen es r !!

Bestandsvariable

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Der rote Kreis stellt die Erde dar.Start unmittelbar auf der Erdoberfläche bei x = 6,37·106m, y = 0, tangential zur Erdoberfläche.

Satellitenbahnen

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Geschwindigkeit Name Bahnform

v < 7,9km/s Ellipse (Wurfparabel)

v = 7,9km/s Kreisbahngeschw.(1. kosm.)

Kreis

7,9 km/s < v < 11,2 km/s Ellipse

v = 11,2 km/s Fluchtgeschw. (2. kosm.)

Parabel

v > 11,2 km/s Hyperbel

Satellitenbahnen

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Ergänzung: Berechne den Ort eines geostationären Satelliten

22

r

MmGrm

GMT

r42

32

32

22411

32

2

4

861601096,51067,6

4

GMTr

= 42125,13 km

42125,13 - 6370 = 35755,13km über der Erdoberfläche muss sich ein geost. Sat. befinden.

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Zum 2. Kepler-Gesetz:

Der physikalische Hintergrund ist hier der Drehimpulserhaltungssatz.

L = Jω = konstmr2 ω = konstr2 ω = constr2Δφ/Δt = constr2 Δφ = const · Δ t r.r Δφ. = const ·Δt r ·Δb = const · Δt 2·ΔA = const . Δ t ΔA = k·Δt In gleichen Zeiten finden gleiche Flächenänderungen statt.

b

Vgl. den Versuch mit dem Drehschemel und den Hanteln.

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Zum 3. KG

Wir betrachten noch einmal die Berechnung der Sonnenmasse:

2

32

GTr4

M

22

3

4MG

Tr

Der Quotient bleibt für alle Planeten gleich.

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Der Feldbegriff Der Feldbegriff

6.4 Das Gravitationsfeld

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Feldbegriff:

Ein Feld ist ein Raum, in dem jedem Punkt ein bestimmter Wert einer physikalischen Größe zugeordnet wird.

Theaterplätze, Temperaturwerte in Wetterkarten, Helligkeitsfeld einer Lampe

Es gibt Vektor- und Skalarfelder.

Wirkt in jedem Punkt eine Kraft, sprechen wir von einem Kraftfeld.

z. B. Magnetfeld eines Stabmagneten.

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2r

MGg

m

F

Das Gravitationsfeld der Erde:

Wie beim Magneten können wir das Gravitationsfeld durch Feldlinien darstellen.

Gravitationsfeldstärke = Fallbeschleunigung

Jedem Punkt des Gravitationsfeldes ist eine bestimmte Gravitations-beschleunigung zugeordnet.

Die Feldliniendichte nimmt nach außen hin ab. ( Feldstärke kann als Maß für die Feldliniendichte angesehen werden. (Modell))

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Arbeit zum Verschieben eines Körpers im Gravitationsfeld:

)r

1

r

1(GMmdr

r

MmGW

ba

b

a2

Sie hängt also nur vom Anfangs- und Endpunkt ab.

Dabei ändert sich die kinetische Energie des Körpers:

)r

1

r

1(GMm

2

mv

2

mv

ba

2b

2a

Wir formen um:

b

2b

a

2a

r

MmG

2

mv

r

MmG

2

mv

Das heißt diese Terme bleiben immer konstant.

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r

MmG

2

mvE

2

Gesamtenergie

Der zweite Term entspricht der potentiellen Energie

r

MmGEpot Potentielle Energie eines Körpers im Abstand r

von der Masse M.

Im Unendlichen ist sie demnach 0. (Festlegung)

Das negative Vorzeichen erklären wir uns als gebundenen Zustand.

Je näher der Körper der Erde ist, desto kleiner ist seine potentielle Energie, ganz in Übereinstimmung mit früheren Überlegungen.

Ebenso nimmt die kinetische Energie beim Nähern zu.

Anwendungsbeispiel: Berechnen der Fluchtgeschwindigkeit (vgl. Seite 4) bei Nachweis des 1. Keplergesetzes.