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KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg undnationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu
Verzerrungen und FestigkeitenVorlesung und Übungen1. Semester BA Architektur
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
2 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und Festigkeitslehre Verzerrungen und Spannungen
WerkstoffkennwerteNormalspannungen
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
3 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
Einachsiger Zugversuch
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
4 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
Kraft – Verformungs - Diagramm
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
5 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
Wie lassen sich die Ergebnisse des einachsigen Zugversuches auf die Tragfähigkeit von Bauteilen übertragen ?
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
6 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
F [kN]
d
d - ∆d
L∆
L
L +
∆L
0u
0 0
u u uu u− ∆
ε = =
Äußere Kraft F und Längenänderung ∆L
u 0
u =
u 0+
∆u
Innere Spannungen σuund Dehnung εu
Teil heraus-geschnitten
σu
σu
Beziehung in u-Richtung
v
u
Das Verhältnis gedehnte Länge / ungedehnte Länge ist
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
7 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
Normalspannungen wirken senkrecht auf eine beliebige Schnittfläche
Normalspannungen sind Flächen bezogene Größen [MN/m², N/mm²]
Normalspannungen in u-Richtung sind konstant über die
Länge L und
Querschnittsfläche mit A = d · t
L
d
1 1
F
t
Querschnitt Schnitt 1 - 1 senkrecht zur Mittelachse
F
συσυ
Gleichgewicht am unteren Teilstück
F – σ · A = 0 uF FA d t
⇒ σ = =⋅
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
8 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
tan Eσα = =ε
Eσ = ⋅ ε
Spannungs-Dehnungs-Diagramm Stahl S 235
Hooke‘sches Gesetz
E … Elastizitätsmodul [MN/m² = N/mm²]
Maß für die Nachgiebigkeit des Werkstoffes
Dehnung ε [%]
Spannung σ [N/mm²] elastischer Bereich
plastischer Bereich
Bruch
Zugfestigkeit fu,k
untere Streck-grenze fy,k
elastischer Bereich
Lineare Beziehung von Dehnung zu Spannung (Geradengleichung)
Reversible Dehnungen bei Entlastung keine Restdehnungen
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
9 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
Spannungs-Dehnungs-Diagramm Stahl S 235
Tragreserven
bleibende (irreversible) Dehnungen nach der Entlastung (Umformung)
Dehnung ε [%]
Spannung σ [N/mm²] elastischer Bereich
plastischer Bereich
Bruch
Zugfestigkeit
Untere Streckgrenze
plastischer Bereich
nicht-lineare Beziehung von Dehnung zu Spannung
Große Verformungen vor dem Bruch
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
10 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
0 0,1 0,2 0,3 0,4Dehnung ε [%]
Spannung σ [N/mm²]
250
200
150
100
50
0
Stahl, schematisch, duktil
Glas, spröd
Beton, spröd
Elastizitätsmodul
Stahl2
St
2
210 N/mmE0,1 %
210 210 000 N/mm0,001
σ= ≈
ε
= =
2
Glas
2
70 N/mmE0,1 %
70 000 N/mm
σ= ≈
ε
=
E σ=ε
Beton
2
30 N/mm²E0,1 %
30 000 N/mm
σ= ≈
ε
=
Glas
Beton
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
11 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
Kohlefaser E = 400 000 [MN/m²]
Stahl E = 210 000 [MN/m²] (Eisen-Kohlenstoff-Legierung)
E = 170 000 [MN/m²] (Chrom-Nickel-Legierng)
Aluminium E = 70 000 [MN/m²]
Glas E = 70 000 [MN/m²]
Stahlbeton E = 15 000 bis 40 000 [MN/m²]
Holz E = 10 000 bis 13 000 [MN/m²]
Holzplatten E = 1 200 bis 8 000 [MN/m²]
Mauerwerk E = 5 000 bis 10 000 [MN/m²]
Kunststoff E = 1 000 bis 4 000 [MN/m²]
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
12 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
Räumlicher Spannungszustand
Einschnürung durch Querdehnung bzw. Querkontraktion
Druckspannungen senkrecht zur Zugkraft
FZug
FZug
FDruck
FDruck
Aufweitung durch Querdehnung bzw. Querkontraktion
Zugspannungen senkrecht zur Druckkraft
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
13 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
Dehnung (+)
Zugspannung (+)
Druckspannung (-)
Stauchung (-) Dehnung (+)
Zugspannung (+)
Druckspannung (-)
Stauchung (-)
Stahl
Werkstoff mit gleicher Zug- und Druckfestigkeit
Beton
Werkstoffe mit geringer Zugfestigkeit
C 20/25C 30/37C 35/45
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
14 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
Betonstauchung ε [%]
Druckspannung σ [N/mm²]
Druckfestigkeit fck
Ecm
fck/εc1εc1 εc1u
Nicht – lineares Spannungs-Dehnungs-Diagramm für Beton
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
15 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNormalspannungen
Normalspannungen in einer Stütze
Äußere Druckkraft FDQuerschnittsfläche A = b · d
FD
σDAnnahme:
Druckspannung konstant über die Schnittfläche
D DD
F FA d b
⇒ σ = =⋅
FD
FDdb
Gleichgewicht am unteren Teilstück
FD – σD · A = 0
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
16 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNormalspannungen
.l
γ
h
d
N(x) d x= −γ ⋅ ⋅ DN(x)(x)A(x)
σ =
N(h) d h [kN/m]= −γ ⋅ ⋅
x
γ Eigenlast der Wand [kN/m³]
Normalkraft Druckspannung
D(h) d h / d h [kN/m²]
σ = −γ ⋅ ⋅
= −γ ⋅
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
18 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNormalspannungen
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
19 12.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreWerkstoffkennwerte
F [kN]
d
d - ∆d
L∆
L
L +
∆L
uu
u∆
ε =
Äußere Kraft F und Längenänderung ∆L
v - ∆v
v
u
u +
∆u
Inneren Spannungen σuund Verzerrung εu
Teil heraus-geschnitten
σu
σu
Beziehung in u-Richtung
v
u
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