View
13
Download
2
Category
Preview:
DESCRIPTION
Tabelle mit den einzelnen Schritten der Kurvendiskussion, z.B. wie sie im Abitur gefordert wird.
Citation preview
Kurvendiskussion
FunktionstypFunktionstypFunktionstypFunktionstyp Lineare Lineare Lineare Lineare FunktionenFunktionenFunktionenFunktionen Gebrochen rationale FunktionenGebrochen rationale FunktionenGebrochen rationale FunktionenGebrochen rationale Funktionen
0) Funktionsgleichung f(x) = anxn+...+a2x2+a1x+a0 f(x) = ...
...
+
+
xbxa
m
m
n
n
1 a) Polstellen - Nenner(Polstellen)=0
1 b) Asymptoten ---- Senkrecht: An Polstellen
Schief: Gleichung≙Zähler÷Nenner (bis auf Rest)
1 c) Definitionsmenge D D = D = D = D = ℝℝℝℝ D = D = D = D = ℝ ℝ ℝ ℝ \\\\ {{{{Polstelle1;;;; ... ... ... ...}}}}
2 a) Achsensymmetrie Bei nur geraden Exponenten bei nur geraden E. im Zähler
2 b) Punktsymmetrie Bei nur ungeraden Exponenten bei nur ungeraden E. im Zähler
3 a) Limes im Unendlichen
Die höchste Potenz wird ausgeklammert und für
xxxx→∞ →∞ →∞ →∞ wird eine positive Zahl eingesetzt: Das
Vorzeichen des Ergebnisses≙Vorzeichen vor ∞
Es wird sooft getrennt abgeleitet, bis die höchste x-
Potenz = 1 ist: Man erhält die Näherungsrichtung
durch einsetzen einer positiven bzw. negativen Zahl.
Bei nochmaligem Ableiten erhält man den Endpunkt.
3 b) Limes an den Polstellen - Man setzt eine der Polstellen in den Nenner. Das
Ergebnis ist ∞, je nach Vorzeichen + oder -.
3 c) Limes an den schiefen Asymptoten - Der Grenzwert entspricht dem Limes der Asymptote.
4) Ableitungen
f´(x) = an·n·xn-1 + ... + a1·2·x + a1
f´´(x) = an·n·(n-1)·xn-2 + ... + a1·2 für n≥2
f´´´(x) = an·n·(n-1)·(n-2)·xn-3 ... für n≥3
f´(x) = ²
''
n
znnz +
5) Nullstellen
f(x) = 0
Bei n=3: eine Nullstelle suchen, Polynomdivision
NSn ist bei (NSn’ | f(NSn) )
zähler(x) = 0
Bei n=3: eine Nullstelle suchen, Polynomdivision
Ist NSn keine Polstelle, so ist Nn (NSn | f(NSn) )
6 a) Extrempunkte
Sattelpunkt =Sattelpunkt =Sattelpunkt =Sattelpunkt = Treppenpunkt Treppenpunkt Treppenpunkt Treppenpunkt
f´(x) = 0
Die Ergebnisse werden in f´´ eingesetzt.
Ergebnis negativ: Hochpunkt bei (em | f(em) )
Ergebnis positiv: Hochpunkt bei (en | f(en) )
Ergebnis 0: Es liegt ein Sattelpunkt bei (es | f(es) ) vor (= Wendepunkt bei Tangentensteigung 0)
6 b) Monotonieintervalle
monoton steigend/fallend auf ] -∞; e1 [
f ist monoton fallend/steigend auf ]e1 ; e2 [
...
monoton steigend/fallend auf ]en ; +∞ [
7 a) Wendepunkte
linksgekrümmt heißt:
„die Sekante liegt über der Kurve“„die Sekante liegt über der Kurve“„die Sekante liegt über der Kurve“„die Sekante liegt über der Kurve“
f´´(x) = 0
Die Ergebnisse werden in f´´´eingesetzt.
Ergebnis negativ: Die Krümmung wechselt von konvexxxx (linksksksksg.) nach konkav (rechtsg.)
Ergebnis positiv: Die Krümmung wechselt von konkav (rechtsg.) nach konvexxxx (linksksksksg.)
Ergebnis = 0: Kein Wendepunkt vorhanden
7 b) Krümmungsintervalle
linksgekrümmt/rechtsgekrümmt auf ]-∞; w1 [
f ist ...
rechtsgekrümmt/linkskegrümmt auf ]wn; +∞ [
8 a) Wertetabelle
Die Wertetabelle sollte für diejenigen x-Werte beginnen und enden, bei denen y im darstellbaren Bereich
(z. B. y<10) liegt. Eine Wertetabelle sollte 20 x-Werte enthalten (z. B. von -10 bis +10 im Abstand=1
oder von -5 bis +5 im Abstand=0,5).
8 b) Zeichnung
∙ Ein Koordinatensystem wird gezeichnet.
Breite: Minimaler bis maximaler x-Wert Höhe: Minimaler bis maximaler y-Wert
∙ Die Achsen werden mit „x“ und „y“ beschriftet, außerdem müssen die Zahlenwerte eingetragen werden
∙ Die Punkte von der Tabelle werden auf das Koordinatensystem übertragen.
∙ Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte sowie eventuelle Sattel- und Treppenpunkte beschriften
Recommended