Kurvendiskussion

FunktionstypFunktionstypFunktionstypFunktionstyp Lineare Lineare Lineare Lineare FunktionenFunktionenFunktionenFunktionen Gebrochen rationale FunktionenGebrochen rationale FunktionenGebrochen rationale FunktionenGebrochen rationale Funktionen

0) Funktionsgleichung f(x) = anxn+...+a2x2+a1x+a0 f(x) = ...

...

+

+

xbxa

m

m

n

n

1 a) Polstellen - Nenner(Polstellen)=0

1 b) Asymptoten ---- Senkrecht: An Polstellen

Schief: Gleichung≙Zähler÷Nenner (bis auf Rest)

1 c) Definitionsmenge D D = D = D = D = ℝℝℝℝ D = D = D = D = ℝ ℝ ℝ ℝ \\\\ {{{{Polstelle1;;;; ... ... ... ...}}}}

2 a) Achsensymmetrie Bei nur geraden Exponenten bei nur geraden E. im Zähler

2 b) Punktsymmetrie Bei nur ungeraden Exponenten bei nur ungeraden E. im Zähler

3 a) Limes im Unendlichen

Die höchste Potenz wird ausgeklammert und für

xxxx→∞ →∞ →∞ →∞ wird eine positive Zahl eingesetzt: Das

Vorzeichen des Ergebnisses≙Vorzeichen vor ∞

Es wird sooft getrennt abgeleitet, bis die höchste x-

Potenz = 1 ist: Man erhält die Näherungsrichtung

durch einsetzen einer positiven bzw. negativen Zahl.

Bei nochmaligem Ableiten erhält man den Endpunkt.

3 b) Limes an den Polstellen - Man setzt eine der Polstellen in den Nenner. Das

Ergebnis ist ∞, je nach Vorzeichen + oder -.

3 c) Limes an den schiefen Asymptoten - Der Grenzwert entspricht dem Limes der Asymptote.

4) Ableitungen

f´(x) = an·n·xn-1 + ... + a1·2·x + a1

f´´(x) = an·n·(n-1)·xn-2 + ... + a1·2 für n≥2

f´´´(x) = an·n·(n-1)·(n-2)·xn-3 ... für n≥3

f´(x) = ²

''

n

znnz +

5) Nullstellen

f(x) = 0

Bei n=3: eine Nullstelle suchen, Polynomdivision

NSn ist bei (NSn’ | f(NSn) )

zähler(x) = 0

Bei n=3: eine Nullstelle suchen, Polynomdivision

Ist NSn keine Polstelle, so ist Nn (NSn | f(NSn) )

6 a) Extrempunkte

Sattelpunkt =Sattelpunkt =Sattelpunkt =Sattelpunkt = Treppenpunkt Treppenpunkt Treppenpunkt Treppenpunkt

f´(x) = 0

Die Ergebnisse werden in f´´ eingesetzt.

Ergebnis negativ: Hochpunkt bei (em | f(em) )

Ergebnis positiv: Hochpunkt bei (en | f(en) )

Ergebnis 0: Es liegt ein Sattelpunkt bei (es | f(es) ) vor (= Wendepunkt bei Tangentensteigung 0)

6 b) Monotonieintervalle

monoton steigend/fallend auf ] -∞; e1 [

f ist monoton fallend/steigend auf ]e1 ; e2 [

...

monoton steigend/fallend auf ]en ; +∞ [

7 a) Wendepunkte

linksgekrümmt heißt:

„die Sekante liegt über der Kurve“„die Sekante liegt über der Kurve“„die Sekante liegt über der Kurve“„die Sekante liegt über der Kurve“

f´´(x) = 0

Die Ergebnisse werden in f´´´eingesetzt.

Ergebnis negativ: Die Krümmung wechselt von konvexxxx (linksksksksg.) nach konkav (rechtsg.)

Ergebnis positiv: Die Krümmung wechselt von konkav (rechtsg.) nach konvexxxx (linksksksksg.)

Ergebnis = 0: Kein Wendepunkt vorhanden

7 b) Krümmungsintervalle

linksgekrümmt/rechtsgekrümmt auf ]-∞; w1 [

f ist ...

rechtsgekrümmt/linkskegrümmt auf ]wn; +∞ [

8 a) Wertetabelle

Die Wertetabelle sollte für diejenigen x-Werte beginnen und enden, bei denen y im darstellbaren Bereich

(z. B. y<10) liegt. Eine Wertetabelle sollte 20 x-Werte enthalten (z. B. von -10 bis +10 im Abstand=1

oder von -5 bis +5 im Abstand=0,5).

8 b) Zeichnung

∙ Ein Koordinatensystem wird gezeichnet.

Breite: Minimaler bis maximaler x-Wert Höhe: Minimaler bis maximaler y-Wert

∙ Die Achsen werden mit „x“ und „y“ beschriftet, außerdem müssen die Zahlenwerte eingetragen werden

∙ Die Punkte von der Tabelle werden auf das Koordinatensystem übertragen.

∙ Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte sowie eventuelle Sattel- und Treppenpunkte beschriften