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VIERFELDERTAFEL UND BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT
Mathematik Q1 - Stochastik
HIV - SCHNELLTEST
Die Immunschwächekrankheit AIDS wird durch das HI-Virus, welches 1993 entdeckt wurde, verursacht. Die Krankheit gilt bis heute als nicht heilbar, kann jedoch „verlangsamend“ behandelt werden.
Ein HIV-Test weist die Antikörper, die nach etwa 6 Wochen nach der Ansteckung vom Körper gegen den Virus gebildet werden, nach.
DIE WICHTIGSTEN INFOS: Etwa 0,1 % einer Bevölkerung im
reproduktionsfähigen Alter sei HIV infiziert. Ein HIV-Test zeige bei 98 % der Infizierten richtig
an, dass eine HIV-Infektion vorliege; allerdings zeige dieser Test auch fälschlicherweise
bei 1 % der Nicht-Infizierten das angebliche Vorliegen dieser Infektion an.
Bei einer „Reihenuntersuchung“ unterziehen sich 100.000 Personen aus der oben genannten Bevölkerungsgruppe diesem Test.
PROBLEMATIK DES TESTS Welche falschen Diagnosen können aus
dem Ergebnis eines solchen Tests resultieren?
Ein Infizierter wird durch diesen Test nicht erfasst.
Ein NICHT-Infizierter wird fälschlicherweise als infektiös eingestuft.
ZIEL Beurteilung der Test-Güte auf Grundlage der
Bestimmung von (u. a.) ...
der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des 1. Fehlers (Infizierter wird negativ getestet)
der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des 2. Fehlers (Nicht-Infizierter wird fälschlicherweise als positiv getestet)
VORGEHEN Übersichtliche Darstellung der verfügbaren
Daten/Zahlen in einer sogenannten Mehrfeldertafel
„Rekonstruktion“ von fehlenden Zahlen aus dem Zusammenhang
Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeiten
DIE VIERFELDERTAFEL
infiziert NICHT-infiziert Gesamt
Test positiv
Test negativ
Gesamt 100.000
Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen
DIE VIERFELDERTAFEL
infiziert NICHT-infiziert Gesamt
Test positiv
Test negativ
Gesamt0,1 % von 100.000= 100
100.000
Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen
DIE VIERFELDERTAFEL
infiziert NICHT-infiziert Gesamt
Test positiv 98 % von 100= 98
Test negativ
Gesamt0,1 % von 100.000= 100
100.000
Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen
DIE VIERFELDERTAFEL
infiziert NICHT-infiziert Gesamt
Test positiv 98
Test negativ 2
Gesamt 100 99.900 100.000
Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen
DIE VIERFELDERTAFEL
infiziert NICHT-infiziert Gesamt
Test positiv 98 1 % von 99.900= 999
Test negativ 2
Gesamt 100 99.900 100.000
Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen
DIE VIERFELDERTAFEL
infiziert NICHT-infiziert Gesamt
Test positiv 98 1 % von 99.900= 999
98 + 999= 1097
Test negativ 2 99.900 – 999= 98.901
2 + 98.901= 98.903
Gesamt 100 99.900 100.000
Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen
DIE VIERFELDERTAFEL
infiziert NICHT-infiziert Gesamt
Test positiv 98 999 1097
Test negativ 2 98.901 98.903
Gesamt 100 99.900 100.000
Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen
DIE VIERFELDERTAFELRelative Zahlen für 100.000 untersuchte Personen
infiziert NICHT-infiziert Gesamt
Test positiv
Test negativ
Gesamt
DIE VIERFELDERTAFELRelative Zahlen für 100.000 untersuchte Personen
infiziert NICHT-infiziert Gesamt
Test positiv98
100.000999
100.0001097
100.000
Test negativ2
100.00098901
100.00098903
100.000
Gesamt100
100.00099900
100.000100.000100.000
DIE VIERFELDERTAFELRelative Zahlen für 100.000 untersuchte Personen
infiziert NICHT-infiziert Gesamt
Test positiv 0,00098 0.00999 0,01097
Test negativ 0,00002 0,98901 0,98903
Gesamt 0,001 0,999 1
ABKÜRZUNGEN J = Person ist infiziert. J = Person ist nicht infiziert.
T = Test zeigt, an dass Person infiziert. T = Test zeigt an, dass Person nicht infiziert.
ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN…
Aus der Gesamtheit aller untersuchten Personen wird zufällig eine Person ausgewählt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Person infiziert?
Lösung: P(J) = Anz. Infizierte / Anz. Untersuchte= 100 / 100.000
= 0.001 bzw. 0,1 %
ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN…
Aus der Gesamtheit aller untersuchten Personen wird zufällig eine Person ausgewählt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test dieser Person negativ?
Lösung: P( T )= Anz. negativ GetesteterAnz. Untersuchte
= 98903 / 100.000 = 0,98903 bzw. 98,903 %
ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN…
Zurück zum Ausgangsproblem (1): Ein Infizierter wird durch diesen Test nicht erfasst, d. h.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test eines Infizierten negativ?
Wir schreiben: PJ (T)Und meinen damit: die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Test negativ (T) ist, unter der Bedingung, dass die Person infiziert (J) ist.
LÖSUNG Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test eines
Infizierten negativ?- mit der Vierfeldertafel: PJ (T) =
= 2 / 100 = 0,02 bzw. 2 %
ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN…
Zurück zum Ausgangsproblem (2): Ein NICHT-Infizierter wird fälschlicherweise als infektiös eingestuft, d. h.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test eines NICHT-Infizierten positiv?
Wir schreiben: PJ (T)Und meinen damit: die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Test positiv (T) ist, unter der Bedingung, dass die Person NICHT infiziert (J) ist.
LÖSUNG Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test eines
NICHT-Infizierten positiv?- mit der Vierfeldertafel: PJ (T) =
= 999 / 99.900 = 0,01 bzw. 1 %
DIE BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT
Sei A ein Ereignis (z. B. positiver Test), B ein zweites Ereignis (z. B. infiziert).
Es gilt: PB (A) = (Satz von Bayes)
also:Die Wahrscheinlichkeit für A (z. B. pos. Test) unter der Bedingung B (infiziert) lässt sich berechnen, indem man die Wahrscheinlichkeit für „A und B“ (pos. Test und infiziert) durch die Wahrscheinlichkeit von B (infiziert) teilt.
ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN…
1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person infiziert, unter der Bedingung, dass der Test negativ war?
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person wirklich infiziert, wenn der Test positiv war?
3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt überhaupt ein positives Testergebnis vor?
LÖSUNG (1)Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person infiziert, unter der Bedingung, dass der Test negativ war?
- mit der Vierfeldertafel: PT (J) =
= 2 / 98903 = 0,00002 bzw. 0,002 %
„Negative Testergebnisse sind sehr verlässlich!“
LÖSUNG (2)Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person wirklich infiziert, wenn der Test positiv war?
- mit der Vierfeldertafel: PT (J) =
= 98 / 1097 = 0,089 bzw. 8,9 %
„Test muss bestätigt werden!“
LÖSUNG (3)Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt überhaupt ein positives Testergebnis vor?
- mit der Vierfeldertafel: P (T) =
= 1097 / 100.000 = 0,01097 bzw. 1,097 %
AUFGABENHausarbeit:Aufgaben 1 – 3) des AB 005 a) als
Klapptest bearbeiten
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