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Matrizen Definition und Beispiele
Vorlesung 811. bzw. 12. Dezember 2013
Matrixdarstellungenlinearer Abbildungen
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 2 / 144
Matrizen Definition und Beispiele
MATRIZEN
Seite 120
Sylvester [1850], Caley [1858]
A =
a11 a12 · · · a1na21 · · · · · · a2n...
...am1 · · · · · · amn
∈ R(m,n) oder C(m×n)
heißt (m,n) - Matrix (m × n - Matrix).
Elemente
aijZeilenindex↗↖ Spaltenindex
m = n⇔ quadratische Matrix.Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 3 / 144
Matrizen Definition und Beispiele
Schreibweisen
Seite 120
A = (aij )i = 1, · · · ,mj = 1, · · · , n
A = (a1, · · · ,an), aj : =
a1j...
amj
A =
A1
...Am
, Ai : = (ai1, · · · ,ain)
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Matrizen Definition und Beispiele
Seite 121Auch Vektoren sind als Matrizen interpretierbar.
x =
x1...
xm
ist (m,1)- Matrix.
Konvention (praktische)Schreibe (Orts) - Vektoren immer als Spaltvektoren!!
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Matrizen Definition und Beispiele
Seite 121
Ai : = (ai1, · · · ,ain) wird manchmal als Zeilenvektor bezeichnet.
Bitte nicht verwirren lassen!
Wenn dieser Zeilen“vektor“ wirklich als „Vektor“ des Rn benutztwerden soll, verstehe unter Zeilenvektor
ni : = (Ai )T
Erklärung:
C1...
Cn
T
: = (C1, · · · ,Cn)
(C1, · · · ,Cn)T : =
C1...
Cn
„Transposition“(macht Zeilen zu Spalten und umgekehrt)
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Matrizen Definition und Beispiele
Vektorraum der (m,n) - Matrizen Seite 122
A + B = (aij ) + (bij ) : = (aij + bij )
λA = λ(aij ) = (λaij ).
Basis
1 0 · · · 00 0 · · · 0...
......
0 0 · · · 0
0 1 0 · · · 00 0 · · · · · · 0...
......
0 0 · · · · · · 0
· · ·
0 · · · · · · · · · 0...
...0 · · · · · · · · · 00 · · · · · · 0 1
R(m,n) isomorph zu R(m×n)
dim R(m,n) = m · n
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 122
Matrizen dienen zur Beschreibung linearer Abbildungen zwischen endlich -dimensionalen Vektorräumen.
Definition 4.1 Lineare AbbildungV ,W Vektorräume. DannT : V →W linear, wenn
T (x + y) = T (x) + T (y), ∀ x , y ∈ V
T (λ · x) = λ · T (x), ∀ x ∈ V , λ ∈ R
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Linearität ist wie der „Preis“ beim Einkaufen
Preis
3 Pakete Butter4 Kg Mehl
3l Milch1 1/2 Kg Braten
=
3∗ Preis (1 Pak. Butter)+4∗ Preis (1 Kg Mehl)+3∗ Preis (1l Milch)+1.5∗ Preis (1 Kg Braten)
Sonderangebote 1 Kg Senf 5 Euro10 Kg Senf 40 Euro sind nichtlinear
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Beispiele (pro)
Seite 123
1. Drehungen: Ebene um Nullpunkt. Oder: R3 um Achse durch Nullpunkt.
2.x → λx , λ ∈ R fest(
x1x2
)→(λ1x1λ2x2
), λi ∈ R fest.
3. Mit A = (aij )i = 1, · · · ,mj = 1, · · · , n
∈ Rm,n ist
A :
Rn → Rm
Rn 3 x →
a11x1 + · · · + a1nxn...
am1x1 + · · · + amnxn
∈ Rm
linear.Das wird die Standard - Inkarnation einer linearen Abbildung werden.
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 123
4.ddx
:
{Πn → Πn−1p 7→ p′
5.
Int1 :
{Πn → Rp 7→
∫ 10 p(s)ds
Int2 :
{Πn → Πn+1
p 7→∫ x
0 p(s)ds
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Beispiele (contra)
Seite 124
1. Verschiebungx 7→ x + c, c ∈ V c 6= 0 fest.
2. Drehung um Punkt in Ebene 6= Nullpunkt.Drehung des R3 um Achse nicht durch Nullpunkt (und nicht um 2π).
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 124
ACHTUNG!
Sehr wichtig
⇓
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 124
Lineare AbbildungLineare Abbildung T : V →W ist durch Wirkung auf eine Basis v1, · · · vn vonV festgelegt.
T : v i → T (v i )
v ∈ V ⇒ ∃!ξ1, · · · , ξm ∈ R : v =n∑
i=1
ξiv i
⇒ T (v) = T (n∑
i=1
ξiv i ) =n∑
i=1
ξi T (v i ) = w
(w ∈ W ⇒ ∃!ζ1, · · · , ζm : w =
m∑
i=1
ζiw i
)
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 15 / 144
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 124
T : V →Wn∑
i=1
ξiv im∑
j=1
ζjw j
ξ1...ξn
−→
ζj...ζm
Wie? mit Matrix T
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 125
T : V →W
v1, · · · , vn︸ ︷︷ ︸
Basis
w1, · · · ,wm︸ ︷︷ ︸
Basis
T : v j → T (v j ) =m∑
i=1
tij w i
v1 v2 · · · vn
w1 t11 t12 · · · t1nw2 t21 t22 · · · t2n...
......
...wm tm1 tm2 · · · tmn
v =∑
ξiv i
„Willst die Matrix Du erhalten,
schreib die Bilder in die Spalten“
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Rotkäppchens Diätplan
Ananas Wein Orangen SahnePreis 2.00 8 0.50 1.39Fett 0.02 0.01 0.05 30
Zucker 200 30 15 1
Korb mit:
AnanasWein
OrangenSahne
2132
−→
2 · 2.00 + 1 · 8 + 3 · 0.5 + 2 · 1.39 P2 · 0.02 + 1 · 0.01 + 3 · 0.05 + 2 · 30 F2 · 200 + 1 · 30 + 3 · 15 + 2 · 1 Z
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 125
v ∈ V ⇒ v =n∑
j=1
ξjv j
T (v) =m∑
i=1
ζiw i ζi ?
T (v) = T( n∑
j=1
ξjv j)
=n∑
j=1
ξj T (v i ) =n∑
j=1
ξj
m∑
i=1
tij w i =m∑
i=1
( n∑
j=1
tijξj
)
︸ ︷︷ ︸ζi
w i
ζ1 = t11 ξ1 + · · ·+ t1nξn· · ·
ζm = tm1 ξ1 + · · ·+ tmnξn
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 125
T :dim nV →
dim mW
v =n∑
j=1
ξjv j → w =m∑
i=1
ζiw i
ξ1...ξn
→
ζ1...ζm
=
∑nj=1 t1jξj
...∑nj=1 tmjξj
T ≈ T =
t11 · · · t1n...
tm1 · · · tmn
Abbildung↔ Matrix
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Beispiele
1.
T : R3 → R3 lineare1 → e2
e2 → e3
e3 → e1
T =
e1 e2 e3
e1 0 0 1e2 1 0 0e3 0 1 0
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
2.
T : R3 → R3
v1 =
123
→ w1 =
−15
27
v2 =
234
→ w2 =
111
v3 =
002
→ w3 =
10−1
(1)
T =
v1 v2 v3
w1 1w2 1w3 1
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
3.T : R2 → R2
v i = ei ,w i = ei , i = 1,2
e1
e2
T (e1)T (e2)
ϕϕ
ϕ = π4
T =
v1 v2
w1 1/√
2 −1/√
2w2 1/
√2 1/
√2
T(
x1x2
)=
(1/√
2 x1 − 1/√
2 x2
1/√
2 x1 + 1/√
2 x2
)
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
4.
T : R3 → R3
1−10
→
111
01−1
→
110
001
→
100
Aber Darstellung bzgl. der Standardbasen gewünscht.
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 24 / 144
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Was nun?
Wir benötigen für T die Bilder von e1,e2,e3!Aber
T
100
= T
1−10
+ T
01−1
+ T
001
=
111
+
110
+
100
=
321
T
010
= T
01−1
+ T
001
=
110
+
100
=
210
T
001
= T
001
=
100
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 25 / 144
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
T e1 =
321
= 3e1 + 2e2 + 1e3
T e2 =
210
= 2e1 + 1e2 + 0 · e3
T e3 =
100
= 1 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3
T =
3 2 12 1 01 0 0
Fertig.
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Test
Seite 125
T ·
1−10
=
3 · 1 + 2 · (−1) + 0 · 1 =2 · 1 + 1 · (−1) + 0 · 0 =1 · 1 + 0 · (−1) + 0 · 0 =
111
= T
1−10
X
3 2 12 1 01 0 0
1−10
=
B1B2B2
v =
< BT1 , v >
< BT2 , v >
< BT3 , v >
Matrix-Vektor Multiplikation
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 126
t11 · · · t1n...
tm2 · · · tmn
x1...
xn
=
t11x1 + t12x2 + · · ·+ t1nxnt21x1 + t22x2 + · · ·+ t2nxn
...tm1x1 + tm2x2 + · · ·+ tmnxn
∈ Rm
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
BeispieleSeite 126
1.
1 −1 21 2 31 0 12 −2 0
11−1
=
−2000
1 12 −13 −1
(
10
)=
123
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 29 / 144
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 1272. x , y ∈ Rn :
xT y = (x1, · · · , xn)
y1...
yn
=n∑
i=1
xiyi =< x , y >eukl.
xT y = yT x = (y1, · · · , yn)
x1...
xn
Aber (noch!) nicht
= xyT oder= yxT !!! 6= Matrix · Vektor.
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 30 / 144
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Weitere Beispiele fürMatrixdarstellungenlineare Abbildungen
Seite 127
Beispiel 4.8V ,W endlich dim. Vektorräume;N : V →W NullabbildungN : v → 0 ∀ v ∈ V
{v1, · · · , vn} bzw. {w1, · · · ,wn}beliebige Basen in V bzw. W
Dann
N (v i ) = 0 =m∑
i=1
0 · w i
⇒ N wird durch Nullmatrix
lusch, lusch −→ 0 =
0 · · · 0...
...0 · · · 0
dargestellt.Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 31 / 144
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 127Beispiel 4.9V endlich dim. Vektorraum und
I :
{V → Vv → v
die identische Abbildung.Stellt man die Identität bzgl. derselben Basis {v1, · · · , vn} in Bild - undUrbildraum dar, so hat man wegen
I(v j ) = v j = 0v1 + ·+ 0 · v j−1 + 1v j + 0 · v j+1 + · · ·+ 0vn
als j − te Spalte der darstellenden Matrixgerade ei
Es ist also T durch die Einheitsmatrix
En =
1 0 · · · · · · 0
0 1...
... 0. . .
......
.... . . . . . 0
0 0 · · · 0 1
dargestellt.
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 32 / 144
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 128
Beispiel 4.10Achtung! Identität wird nicht mehr durch E dargestellt, wenn in Urbild und Bild
I : V −→ V
{v1, · · · , vn} {w1, · · · ,wn}verschiedene Basen verwendet werden.
Wozu so+n Quatsch?Damit wir Sie in der Klausur besser fressen können? Nein! Sondern?
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 33 / 144
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Ihre Basis für R3
100
,
010
,
001
Karl-Heinz’ Basis
123
,
456
,
78
10
︸ ︷︷ ︸in Ihrem System beschrieben
Wenn Karl-Heinz durch
z1z2z3
einen Vektor beschreibt, dann erhalten Sie
die Darstellung
x1x2x3
in Ihrer Basis über
x1x2x3
= T
z1z2z3
mit T =
1 4 72 5 83 6 10
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 34 / 144
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
IR3 −→ R3
Karl-Heinz’ Weltsicht −→ Ihre WeltsichtT -Matrix
T =
1 4 72 5 83 6 10
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 35 / 144
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 129Beispiel 4.11Matrixdarstellung Drehung des R2 um Nullpunkt um Winkel ϕDarstellung bzgl. Standardbasis in Urbild - und Bildraum.
e1
e2T (e1)T (e2)
ϕϕ
Länge erhalten
T(
10
)=
(cosϕsinϕ
)= cosϕ
(10
)+ sinϕ
(01
)
T(
01
)=
(cos(π/2 + ϕ)sin(π/2 + ϕ)
)=
(− sinϕcosϕ
)= − sinϕ
(10
)+cosϕ
(01
)
T =
(cosϕ− sinϕsinϕ cosϕ
)
Tx =
(x1 cosϕ− x2 sinϕx1 sinϕ+ x2 cosϕ
)
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 36 / 144
Matrizen Lineare Abbildungen und MatrizenSeite 130
Beispiel 4.12 (Achtung: Theoretisches Beispiel)V = W = R3
T = Spiegelung an
E : = {x ∈ R3|x1 + x2 + x3 = 0}
z1 : =
1−10
, z2 : =
01−1
, z3 =
111
︸ ︷︷ ︸Beschreibung bzgl. Basis {z1,z2,z3} in Urbild und Bild einfach.
T (z1) = z1,T (z2) = z2,T (z3) = −z3
⇒ T =
1 0 00 1 00 0 −1
Vermutlich interessanter: Matrix bzgl. Einheitsvektor.Dazu T (ei ) benötigt.
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 37 / 144
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 131Für T (ei ) drücke ei aus in z1, · · · z3
z1λ1 + z2λ2 + z3λ3 = e1
ist lin. Gleichungssystem.
1 0 1 1−1 1 1 00 −1 1 0
Gauss liefert
λ1 =23, λ2 = λ3 =
13
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 38 / 144
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 131Nun
T (23
z1 +13
z2 +13
z3) =23
T (z1) +13
T (z2) +13
T (z3)
=23
z1 +13
z2 − 13
z3
=
1/3−2/3−2/3
← 1. Spalte von T
Rest analog.
(Achtung: Spiegelung rechnet man anders aus!wird später VIEL einfacher)
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 39 / 144
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 133Beispiel 4.15
Int1 :Πn −→ Rp −→
∫ 10 p(s)ds
Basen:{
1, x , x2, · · · , xn} von Πn und {1} von R.
p(x) =∑n
i=0 αixi wird bzgl. Basis 1, x , x2, · · · , xn durchα : = {α0, α1, · · · , αn} ∈ Rn+1 dargestellt.
Int1(xk ) =
∫ 1
0xk dx =
1k + 1
→ [(k + 1)− te Spalte]
Matrix = (· · · , [(k + 1)-te Spalte], · · · )
G = (1,12,
13, · · · , 1
k + 1)
Int1(p) = Gα
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 40 / 144
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Ende der Vorlesung 8
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 41 / 144
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Vorlesung 918. bzw. 19. Dezember 2013
Matrixkalkül 1
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 42 / 144
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Wiederholung
Tafel –> Matrixdarstellunglinearer Abbildungen
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 43 / 144
Matrizen Matrizenprodukt
Seite 133
Jetzt: Ziel Matrixmultiplikation
Abbildungen B A
Räume U −→ V −→ W
Basen u1, · · · ,up v1, · · · , vn w1, · · · ,wm
Matrizen (bij ) (aij )
Mit A,B auch A ◦ B =: C linear!
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 45 / 144
Matrizen Matrizenprodukt
Seite 134
Matrix (ckj ) ?
x =
p∑
j=1
xj uj , B(x) =n∑
i=1
( p∑
j=1
bij xj
)v i
A(B(x)) =n∑
i=1
( p∑
j=1
bij xj
)A(v i )
=n∑
i=1
( p∑
j=1
bij xj
) m∑
k=1
aki wk
=m∑
k=1
( p∑
j=1
( n∑
i=1
akibij
)
︸ ︷︷ ︸ckj
xj )wk
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 46 / 144
Matrizen Matrizenprodukt Seite 134
B AU −→ V −→ W
u1, · · · ,up v1, · · · , vn w1, · · · ,wm
(bij ) i=1,··· ,nj=1,··· ,p
(aki ) k=1,··· ,mi=1,··· ,n
−→C = A · B
(ckj ) k=1,··· ,mj=1,··· ,p
ckj =n∑
i=1
aki bij
C : = A · B︸ ︷︷ ︸Matrixprodukt
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 47 / 144
Matrizen Matrizenprodukt
Bemerkungen:
Seite 1351) A · B = C :
ckj =n∑
i=1
aki bij
= euklidisches inneres Produkt vonk -ter Zeile von A und j-ter Spalte von B.
Längen müssen passen!⇔ Dimension des Bildraumes von B =Dimension des Definitionsbereiches von A.
2) Matrix-Vektor-Produkt A · x (A ∈ R(m,n), x ∈ Rn) ist konsistent mitMatrix-Matrix-Produkt A · x (A ∈ R(m,n), x ∈ R(n,1)).
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 48 / 144
Matrizen Matrizenprodukt
Seite 136
3)(A · B erklärt) ; (B · A erklärt)
Und wenn das (zufällig) doch einmal der Fall sein sollte, so sind sie nichtnotwendig gleich!
Matrixmultiplikation ist NICHT kommutativ!
Bei AB = BA heißen A und B vertauschbar.
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 49 / 144
Matrizen Matrizenprodukt
Seite 137
4)(
0 10 0
)(0 10 0
)=
(0 00 0
)
⇒ (Nicht - Null) mal (Nicht - Null) = Null möglich
5) Matrixmultiplikation ist assoziativ
A · (B · C) = (A · B) · C
Tafelbeispiele „Immer auf die Kleinen!“6) Es gelten die Distributivgesetze
1.(A + B)C = AC + BC
2.A(C + D) = AC + AD
2 Stück nötig, da keine Kommutativität
Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 50 / 144
Matrizen Matrizenprodukt
Seite 135
7) x =
x1...
xn
y =
y1...
yn
xT : = (x1, · · · , xn)
xT y = (x1, · · · , xn)
y1...
yn
=
n∑
i=1
xiyi
yxT =
y1...
yn
(x1, · · · , xn)
=
y1x1 · · · y1xny2x1 · · · y2xn
...ynx1 · · · ynxn
Dyadisches Produkt!↗Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 51 / 144
Matrizen Matrizenprodukt
Sn 135,138
Auch für x ∈ R, y ∈ R (m 6= n) sind yxT und xyT erklärt (nicht aberxT y , yT x !)
yxT =
y1...
yn
(x1, · · · , xn) =
y1x1 y1x2 · · · y1xny2x1 y2x2 · · · y2xn
......
...ymx1 ymx2 · · · ymxn
xyT =
x1...
xn
(y1, · · · , ym) =
x1y1 x1y2 · · · x1ymx2y1 x2y2 · · · x2ym
......
...xny1 xny2 · · · xnym
Achtung! Ausmultiplizieren nur zur Erläuterung↗, dass yxT und xyT Matrizensind!
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Matrizen Matrizenprodukt
Seite 138
In der Praxis multipliziert man xyT
und yxT um Gottes Willen NICHTaus.
Warum nicht?Weil die Anwendung dann einfacher wird
yxT z = y (xT z)︸ ︷︷ ︸α ∈ R
= αy
yxTm
nz n
ym xT
n z n
Bild immer Vielfaches von yProf. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 53 / 144
Matrizen Matrizenprodukt
rang(yxT ) = rang
y1x1 y1x2 · · · y1xn...
......
ymx1 ymx2 · · · ymxn
=
{1 wenn x 6= 0 ∧ y 6= 00 sonst.
BemerkungJede Matrix vom Rang 1 hat eine Darstellung yxT .
BeweisA ∈ Rm,n, (a1, · · · ,an)rang(A) = 1⇒ dim span{a1, · · · ,an} = 1Sei {y} Basis. Dann ∃ λi : ai = yλi ⇒
A =
y1λ1 y1λ2 · · · y1λn...
......
ymλ1 ymλ2 · · · ymλn
⇒ A = y
λ1...λn
T
�
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Matrizen Matrizenprodukt
Folie 2 zum Übers-Bett-Hängen
a
b
α
Pa(b) = a〈a,b〉〈a,a〉 〈a,b〉 = aT b
= Pa(b) =a aT baT a
Pa =aaT
aT aProf. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 55 / 144
Matrizen Matrizenprodukt
Seite 86
Satz 2.58
v1, ..., vn Orthonormalbasis
V =n∑
j=1
〈v , v j〉v j
v =n∑
j=1
v j〈v , v j〉 =n∑
j=1
v jv j T v
=(∑
v jv j T)
︸ ︷︷ ︸E
v
E =n∑
j=1
v jv j T
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Matrizen Matrizenprodukt
Seite 214Einfacherer Methode für Spiegelung (Verbesserung von Beispiel 4.12)
Ergänze v1 =
111
zu Orthogonalsystem (v1, v2, v3)
Fourierentwicklung
v = 〈v1,v〉〈v1,v1〉v
1 + 〈v2,v〉〈v2,v2〉v
2 + 〈v3,v〉〈v3,v3〉v
3
v = v1v1 T
v1 T v1 v +v2v2 T
v2 T v2 v +v3v3 T
v3 T v3 v = Ev
Hv = −v1v1 T
v1 T v1 v +v2v2 T
v2 T v2 v +v3v3 T
v3 T v3 v
=(
E − 2v1v1 T
v1 T v1
)v .
Kenntnis von v2 & v3 nicht nötig
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Zwischenspiel
Seite 141Wie im Gaußschen Algorithmus betrachte zu linearem Gleichungssystem
A x = b
neben der Matrix A die erweiterte Matrix
(A,b) =
a11 · · · a1n | b1... |
...am1 · · · amn | bm
⇓ GAUSS ⇓
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 142
1 0 · · · 0 a′1,r+1 · · · a′1n | b′1
0. . . . . .
......
... |...
.... . . . . . 0
...... |
...0 · · · 0 1 a′r ,rn · · · a′r ,n | b′r0 · · · · · · 0 0 · · · 0 | b′r+1...
......
... |...
0 · · · · · · 0 0 · · · 0 | b′m
Rang =
{r wenn b′r+1, · · · ,b′m = 0r + 1 sonst
Gauss ändert Rang nicht⇒
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 142
Satz 4.23A ∈ Rm,n,b ∈ Rm gegeben.Dann ist
A x = b
genau dann lösbar, wenn
Rang(A,b) = Rang(A).
Besonders wichtiger Fall
A x = bRang A = n = m ⇒ immer Rang(A,b) = Rang(A)
⇒ A x = b immer lösbar
Wie wir wissen sogar immer eindeutig.
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Lösen linearer Systeme alsUmkehrung einer Abbildung
Seite 140
Lineares Gleichungssystem
(LGS)
a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + · · · a1n · xn = b1a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + · · · a2n · xn = b2
...am1 · x1 + am2 · x2 + am3 · x3 + · · · amn · xn = bm
MitA = (aij )i = 1, · · · ,m
j = 1, · · · , n∈ Rm,n
x ∈ Rn,b ∈ Rm
Ist(LGS) ⇔ A x = b
Bestimme also x ∈ Rn mitA x = b
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 141Der Abbildung
A : V −→W linear
können wir bei Vorgabe von Basen
Basen: v1, · · · , vn −→ w1, · · · ,wn
eine Matrix A zuordnen.
Umgekehrt: Bei Vorgabe von V ,W mit Basen ist auch A eindeutig Azugeordnet.
Die Abbildung A hängt aber immer von V ,W und Basen ab.
Im Folgenden meintdie einer (m,n)- Matrix A zugeordnete Abbildung Astets die Abbildung
A :
{Rn −→ Rm
x 7−→ Ax
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Matrizen Lineare Systeme und InverseSeite 141
A x = b
A : Rn −→ Rm
xzu findendes Urbild
−→ bvorgegebenes Bild
A = (a1, · · · ,an)
1. Rang A = n ⇔ a1, · · · ,an l.u.⇔ ∀b ∃ höchstens eine Lösung⇔ A injektiv
2. Rang A = m ⇔ dim span{a1, · · · an} = m⇔ ∀b durch a1, · · · ,an linear erzeugbar⇔ A surjektiv
3. Rang A = n = m ⇔ A bijektivProf. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 64 / 144
Matrizen Lineare Systeme und InverseSeite 142
Da (n,n)- Matrizen mit vollem Rang n so wichtig sind, bekommen sie einenextra Namen.
Definition 4.24A ∈ R(m,n) heißt regulär (oder nicht singulär) wenn
(i) m = n(ii) Rang (A) = n = maximal.
Ist für A ∈ R(n,n) Rang (A) < n, so heißt A singulär (oder nicht regulär)
Wiederholung:Ist A ∈ R(n,n) regulär, so hat
A x = b
für alle b ∈ Rn eine eindeutige Lösung x ∈ Rn und umgekehrt.
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Beispiele regulärer Matrizen
Seite 1421.
En = diag(1, · · · ,1) ∈ R(n,n) ist regulär
„Beweis 1“: Die Einheitsvektoren e1, · · · ,en sind linear unabhängig.
„Beweis 2“: En x = b ist für alle b ∈ Rn eindeutig lösbar, nämlich durchx = b
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse Seite 142
2.diag(d1, · · · ,dn) ∈ R(n,n) ist regulär
⇔di 6= 0 ∀ i = 1, · · · ,n
„Beweis 1“ (Skript):(d1e1, · · · ,dnen) sind genau dann l.u. wenn di 6= 0, i = 1, · · · ,n
„Beweis 2“:diag(d1, · · · ,dn)x = b
⇔d1x1 = b1...dnxn = bn
eindeutig lösbar für alle b1, · · · ,bn ⇔ d1, · · · ,dn 6= 0
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 143
3. Dreiecksmatrizen
L =
l11 0 · · · 0
l21 l22. . .
......
. . . 0ln1 · · · · · · lnn
,R =
r11 · · · · · · r1n
0. . .
......
. . . . . ....
0 · · · 0 rnn
sind genau dann regulär, wenn all ihre Diagonalelemente von Nullverschieden sind. Genau dann sind nämlich
L x = b bzw. R x = b
für alle b ∈ Rn eindeutig lösbar. (Vorwärtseinsetzen bzw.Rückwärtseinsetzen)
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse Seite 143
zu 3. Beispiel:
0 1 2 31 2 3
2 33
x =
1000
nicht lösbar.
0 1 2 30 1 2 30 0 2 30 0 0 3
x =
0...0
„mehrfach“ lösbar. x = λe1, λ ∈ R
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 143
A regulär
⇔A bijektiv
⇔A hat Umkehrabbildung (A−1)
Behauptung
(A−1) ist linear.
BeweisZu zeigen ist: Für
y1, y2 ∈ Rn, α, β ∈ R
giltA−1(αy1 + βy2) = αA−1(y1) + βA−1(y2)
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 143
Aber seien
x1 = A−1(y1), y1 = A(x1)⇔
x2 = A−1(y2), y2 = A(x2)
Dann
αy1 + βy2 = αA(x1) + βA(x2) =Linearität von A
A(αx1 + βx2)
Also
A−1(αy1 + βy2) = αx1 + βx2 = αA−1(y1) + βA−1(y2) �
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 143
A regulär
⇔A bijektiv
⇔A hat Inverse (A−1)
undA−1 ist linear.
⇒ A−1 wird durch eine Matrix dargestellt
A−1
die inverse Matrix zu A.
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 144
Wegen A−1 · A = id ist
⇒ A−1 · A = E =
1 0 · · · 0
0 1. . .
......
. . . . . . 00 · · · 0 1
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 139Schreibweise der Einheitsmatrix
E oder I oder
En oder In (Betrag der Dimension)
Für E giltEmB = BBEn = B
}für B ∈ Rm,n
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Behauptung A−1A = E ⇒ AA−1 = E
Seite 144∀x ∈ Rn :
Ax︸︷︷︸durchläuft alle y∈Rn wenn x Rn durchläuft
= A · Ex = A(A−1A)x = (A A−1)Ax
Alsoy = (A A−1)y ∀ y ∈ Rn
⇒ A A−1 = E
↑ SEHR WICHTIGES „ALSO“! Muss man verstanden haben!
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Matrizen Lineare Systeme und InverseSeite 144
AlsoA−1A = E = AA−1
Interpretationen:(i) A und A−1 vertauschbar(ii) „Linksinverse“ = „Rechtsinverse“(iii) (A−1)−1 = A
Wenn man die Inverse A−1 hat, kann man formal
A x = b
lösen durchA−1A︸ ︷︷ ︸
E
x = A−1b
alsox = A−1b
Wie rechne ich A−1 aus?
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 147
Hauptsatz (der praktischen linearen Algebra)
Wer (unnötig) Matrizen invertiert istDOOF!
Warum? Weil’s zu viel Arbeit macht und anders (meistens) schneller geht!
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 144
Wie invertiert man A? (wenns denn sein muss)Seien c1, · · · , cn die Spaltvektoren von A−1.Dann aus
A · A−1 = E
⇐⇒
A · (c1, c2, · · · , cn) = (e1, · · · ,en)
⇐⇒
(Ac1,Ac2, · · · ,Acn) = (e1, · · · ,en)
Also: Die k − te Spalte ck von A−1 löst
A x = ek
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
RechneralgorithmusFür k = 1, · · · ,n berechne die k − te Spalte ck von A−1 aus
Ack = ek
(→ vgl. später LR-Zerlegung)
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Aufwand der Berechnung von A−1(ein wenig geschummelt; siehespäter)∼ n Lösungen eines Systemes A x = b
Lösen von A x = b über{
Berechne A−1
Setze x = A−1b
ist also ineffizient, weil ca. n mal so teuer wie das Lösen von A x = b selbst.
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 144HandalgorithmusForme
a11 · · · a1n... 1 0 · · · 0
...... 0
. . . . . ....
......
.... . . . . . 0
an1 · · · ann... 0 · · · 0 1
durch Zeilenumformungen so um, dass der A−Block in E übergeht.
⇓
1 0 · · · 0... d11 · · · d1n
0. . . . . .
......
......
.... . . . . . 0
......
...
0 · · · 0 1... dn1 · · · dnn
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Dann ist
A−1 =
d11 · · · d1n... ...
dn1 · · · dnn
Wieso?
Begründung: Simultane Ausführung von n Gaußalgorithmen.
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Beispiel
A
1 2 0 | 1 0 02 3 1 | 0 1 03 4 3 | 0 0 1
⇓
1 2 0 | 1 0 00 −1 1 | −2 1 00 −2 3 | −3 0 1
⇓
1 2 0 | 1 0 00 +1 −1 | +2 −1 00 0 1 | 1 −2 1
⇓
1 2 0 | 1 0 00 1 0 | 3 −3 10 0 1 | 1 −2 1
⇓
1 0 0 | −5 6 −20 1 0 | 3 −3 10 0 1 | 1 −2 1
A−1
Probe machen: AA−1 = E !
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Ende der Vorlesung 9
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Vorlesung 108. bzw. 9. Januar 2013
Matrixkalkül 2
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
WIEDERHOLUNG
Inverse Matrizen(Tafel)
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 146
Wenn A,B ∈ R beide regulär sind, so gilt dies auch für A · BDenn man findet
(B−1 A−1)(A︸ ︷︷ ︸E
·B) = B−1B = E ,
so dassA · B die Inverse B−1A−1 hat.
Frage: Kann A · B regulär sein, wenn A oder B singulär ist?Antwort: Nein!
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 145
Satz 4.27 (Rangformel)
(i) ∀ A ∈ R(m,n) ∀ B ∈ R(n,p)
gilt Rang(A · B) ≤ min(Rang(A),Rang(B))
(ii) Ist A ∈ R(n,n) regulär, so gilt∀ B ∈ R(n,p) : Rang(A · B) = Rang(B)
(iii) Ist B ∈ R(n,n) regulär, so gilt∀ A ∈ R(m,n) : Rang(A · B) = Rang(A)
Merkregel für (ii) und (iii):Multiplikation mit einer regulären Matrix verändert den Rang nicht.
Achtung: in (i) ist „<“ möglich!
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 146
Beweis(i) Rang(A · B) ≤ min(Rang(A),Rang(B))
α) „ Rang(A · B) ≤ Rang(B) “
B = (b1, · · · , bp)⇒ AB = (Ab1, · · · ,Abp)
bi1 , · · · , bik l.a. ⇔k∑
j=1
λjbij = 0∑|λj | 6= 0
⇒ 0 = A( k∑
j=1
λjbij)=
k∑
j=1
λj(Abij)
Also in (Ab1, · · · ,Abp) höchstens so viele Spalten l.u. wie in (b1, · · · , bp)
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
(i) Rang(A · B) ≤ min(Rang(A),Rang(B))
β) „ Rang(A · B) ≤ Rang(A) “ ↘ Ab1 = a1b11 + a2b1
2 + · · ·+ anb1n
A · B =: (c1, · · · , cp) = (Ab1, · · · ,Abp)
Abi ∈ span{a1, · · · , an}; i = 1, · · · , p
⇒ span{c1, · · · , cp} ⊂ span{a1, · · · , an}
⇒ Rang(A · B) = dim span{c1, · · · , cp}≤ dim span{a1, · · · , an}= Rang(A)
�
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
(ii) „ A ∈ R(n,n) regulär. r = Rang(B),B ∈ R(n,p) ⇒ Rang(A · B) = r “
Wir zeigen(*) „bi1 , ..., bir l.u. ⇒ A bi1 , ...,A bir l.u.“
Daraus folgt dann
Anzahl lin. abh. Abik ’s ≥ Anzahl lin. unabh. bik ’s
und somitRang(AB) ≥ Rang(B).
wegen Rang(AB) ≤ Rang(B) fertig �
(*) Zeigen wir nachstehend durch Beweis von
Abi1 , ...,Abir l.a. ⇒ bi1 , ..., bir l.a.
und das geht so.
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Abi1 , ...,Abir l.a.
⇒∑
j
λj Abij = 0
∑
j
|λj | 6= 0
⇒ A(∑
j
λj bij ) = 0
A reg.⇒
∑
j
λj bij = 0
⇒ bi1 , ...,bir l.a.
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
(iii) „B ∈ R(n,n) regulär, und A ∈ R(m,n) ⇒ Rang(A · B) = Rang(A)“ X
A · B =: (c1, · · · , cn)
Rang(A·B) = dimspan{c1, · · · , cn} = dimspan
{n∑
j=1
λjc j∣∣∣
λ1...λn
∈ Rn
}
Wähle speziell
λi1...λi
n
= i − te Spalte von B−1
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
(iii) „B ∈ R(n,n) regulär, und A ∈ R(m,n) ⇒ Rang(A · B) = Rang(A)“Fortsetzung:
Dafür ist
n∑
j=1
λijc
j = (A · B)
λi1...λi
n
= A · (B · B−1)i − te Spalte
= Aei = ai , i = 1, · · · ,nFolglich
Rang(A · B) = dim span
{n∑
j=1
λjc j∣∣∣
λ1...λn
∈ Rn
}
≥ dim span{a1, · · · ,an}= Rang(A)
�Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 94 / 144
Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 146
Korollar 4.29Seien A,B ∈ R(n,n). Dann
(i)A · B regulär
⇔A regulär und B regulär
(ii) Ist A · B regulär, so ist
(A · B)−1 = B−1 · A−1
Zu (ii)
U V WA · B
B−1 · A−1
BA
B−1A−1
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Matrizen Lineare Systeme und InverseSeite 149
Mit Matrizen sind lineare Abbildungen Rn → Rm beschreibbar.Speziell auch „Bewegungen des Rn“
Frage: Welche Matrizen in R(n,n) beschreiben Abbildungen, dieLängen von Vektoren und Winkel zwischen Vektoren erhalten?
Kongruenztransformationen
Mordswichtig!
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
KongruenzforderungenSeite 149Q ∈ R(n,n) ist Kongruenztransformation (bzgl. euklidischem 〈, 〉) wenn
L : ||Qx || = ||x || ∀ x ∈ Rn
undW :
〈x , y〉||x || · ||y || =
〈Qx ,Qy〉||Qx || · ||Qy || ∀ x , y ∈ Rn
L ∧W ⇔
L : ||Qx || = ||x || ∀ x ∈ Rn
undW ′ : 〈x , y〉 = 〈Qx ,Qy〉 ∀ x , y ∈ Rn
⇔
W ′ : 〈x , y〉 = 〈Qx ,Qy〉 ∀ x , y ∈ Rn
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Q ∈ R(n,n) Kongruenz-Transformation
⇔〈x , y〉 = 〈Qx ,Qy〉 ∀ x , y ∈ Rn
FrageWelche Qs tun das?
Wunsch〈Qx ,Qy〉 Rüberwälzen
〈Qx , Qy〉
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 150A ∈ R(m,n) gegeben.
Gesucht B ∈ R(?,?) mit
〈Ax , y〉 = 〈x ,By〉, ∀ x ∈ Rn ∀ y ∈ Rm
〈x ,By〉 muss passen
⇒ B : Rm → Rn
B ∈ R(n,m)
(A ∈ R(m,n))
X
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
〈Ax , y〉 =m∑
i=1
(Ax)i yi
=m∑
i=1
n∑
j=1
aij xj yi
!=
n∑
j=1
m∑
i=1
xj bji yi
=n∑
j=1
xj (By)j = 〈x ,By〉
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
A =
a11 a12 · · · a1n
a21. . . a2n
.... . .
......
...am−1,1 · · · · · · am−1,n
am1 · · · · · · amn
→
a11 a21 · · · · · · am−1,1 am1
a12. . .
......
.... . .
......
a1n a2n · · · · · · am−1,n amn
= B
=
b11 b12 · · · b1m
b21...
......
bn1 bn2 · · · bnm
⇒ bji = aij
für i = 1, · · · , mj = 1, · · · , n
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Bei komplexem Skalarprodukt
〈x , y〉 =k∑
i=1
xi yi
und komplexer Matrix A ∈ C(m,n) hat man
〈Ax , y〉 = 〈x ,By〉
bei B ∈ C(n,m) mitbij = aji
Also: Spiegelung an der Diagonalen und Übergang zumKonjugiert-Komplexen.
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Transponierte, Adjunkte,Symmetrische, Hermitesche
Seite 150
Definition 4.33(i) Zu
A = (aij ) ∈ R(m,n)
istAT = (aji ) ∈ R(n,m)
die Transponierte (Matrix) zu A.Bei A = AT heißt A symmetrisch.
(ii) ZuA = (aij ) ∈ C(m,n)
istA∗ = (aji ) ∈ C(n,m)
die Adjungierte von A.Bei A = A∗ heißt A hermitesch. Beispiel→ Tafel.
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 151
Rechenregeln für die Transposition
〈Ax , y〉 = 〈x ,AT y〉 ∀ A, x , y ;
(A + B)T = AT + BT ∀ A,B;
(λA)T = λ AT ∀ A, λ ∈ R;
(AT )T = A ∀ A;
(AB)T = BT AT ∀ A ∈ R(m,n)
B ∈ R(n,p)
Dito für die Adjunktion * (Aber Achtung: (λA)∗ = λ A∗)Zu (AB)T = BT AT :
〈AB x , y〉 = 〈Bx ,AT y〉 = 〈x ,BT AT y〉Prof. Dr. Mackens (Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 104 / 144
Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 152
Satz 4.36
A ∈ R(n,n) regulär ⇔ AT regulär und
(AT )−1 = (A−1)T = : A−T
BeweisAnzahl l.u. Zeilen = Anzahl l.u. Spaltenund daher⇔ X
E = ET = (A A−1)T = (A−1)T AT �
Mit unseren jetzigen Kenntnissen zurück zu
〈x , y〉 = 〈Qx ,Qy〉 ∀ x , y
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 152
〈x , y〉 = 〈Qx ,Qy〉∀ x , y⇔
〈x , y〉 = 〈QT Qx , y〉 ∀ x , y⇔
〈x −QT Qx , y〉 = 0 ∀ x , y⇔
〈(E −QT Q)x , y〉 = 0 ∀ x , y⇔
||(E −QT Q)x || = 0 ∀ x⇔
E = QT Q
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 152
DamitQ ∈ R(n,n) Kongruenz-Transformation
⇔
QT Q = E
⇔
Q−1 = QT
(Bem. Bei komplexen Q und〈x , y〉 : =
∑xi yi wird die Forderung zu Q∗ Q = E)
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 152
Definition 4.37Q ∈ R(n,n) orthogonal*, wenn
QT Q = E
Q ∈ C(n,n) unitär, wenn
Q∗ Q = E
* =Zeilen und Spalten sind dann orthonormal
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Beispiel 4.38:(Kongruenztransformationen des R2)
Seite 153
Ansatz: Q =
(a bc d
)Q−1 = 1
ad−bc
(d −b−c a
)
⇒ QT = Q−1 bei
(i) a = dad−bc
(ii) d = aad−bc
}a = (ad − bc)2a
(iii) c = −bad−bc
(iv) b = −cad−bc
}b = (ad − bc)2b
|a|+|b|6=0
=⇒ ad − bc = ±1
folglich zwei Fälle
α) ad − bc = 1, a = d , b = −cβ) ad − bc = −1, a = −d , b = c
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
ALSO:
Q =
(a bc d
)orthogonal wenn
α) a = d , b = c ad − bc = det Q = 1oderβ) a = −d , b = c ad − bc = det Q = −1
In beiden Fällen a2 + b2 = 1 , also a = cosφ b = ± sinφ
Damit entweder
Q =
(cosφ − sinφsinφ cosφ
)φ ∈ [0,2π)
oder
Q =
(cosφ − sinφ− sinφ − cosφ
)φ ∈ [0,2π)
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Q =
(cosφ − sinφsinφ cosφ
)
Beschreibt Drehung um φ.
Wissen wir zwar schon, trotzdem nochmal. ||x || sin(α)
||x || cos(α)
||x ||
αx = ||x ||(
cosαsinα
)
Q x =
(x1 cosφ +x2(− sinφ)x1 sinφ +x2 cosφ
)
= ||x ||(
cosα cosφ − sinα sinφcosα sinφ + sinα cosφ
)
= ||x ||(
cos(α + φ)sin(α + φ)
)
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Nun untersuche:
Q =
(cosφ − sinφ− sinφ − cosφ
)
Qx = ||x || Q(
cosαsinα
)
= ||x ||(
cos(α + φ)− sin(α + φ)
)
x → ||x ||(
cos(α + φ)sin(α + φ)
)Drehung um φ
→ ||x ||(
cos(α + φ)− sin(α + φ)
)Spiegelung an x1- Achse.
Zusammen: Spiegelung an der Gerade{(
1− tan(φ2 )
)· λ∣∣∣ λ ∈ R
}
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Spiegelgerade
x gedreht
x
Q · x
ϕ
ϕ/2 ·
Q x =
(cosφ − sinφ− sinφ − cosφ
)x
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Ende der Vorlesung 10
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Vorlesung 1115. bzw. 16. Januar 2013
Matrixkalkül 2
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
WIEDERHOLUNG
Gauss-Elimination(Tafel)
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
LR - ZerlegungSeite 154
Start: Beispiel→ Tafel...Darstellung der k − ten Eliminationsschleife
A(k−1)
a(k−1)11 · · · · · · a(k−1)
1k a(k−1)1,k+1 · · · a(k−1)
1n
0. . .
......
. . . . . ....
... 0 a(k−1)kk a(k−1)
k,k+1 · · · a(k−1)kn
...... a(k−1)
k+1,k a(k−1)k+1,k+1 · · · a(k−1)
k+1,n...
......
0 · · · 0 a(k−1)nk a(k−1)
n,k+1 · · · a(k−1)nn
durch Matrixmultiplikation
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 154
A(k)
a(k)11 · · · · · · a(k)
1k a(k)1,k+1 · · · a(k)
1n
0. . .
......
. . . . . ....
... 0 a(k)kk a(k)
k,k+1 · · · a(k)kn
...... 0 a(k)
k+1,k+1 · · · a(k)k+1,n
......
......
0 · · · 0 0 a(k)n,k+1 · · · a(k)
nn
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
......
......
......
......
......
0 · · · 0 a(k−1)kk a(k−1)
k,k+1 · · · a(k−1)kn
0 · · · 0 a(k−1)k+1,k a(k−1)
k+1,k+1 · · · a(k−1)k+1,n
0 · · · 0...
0 · · · 0 a(k−1)nk a(k−1)
n,k+1 · · · a(k−1)nn
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 155Ziehe die k − te Zeile
lik = a(k−1)ik /a(k−1)
kk i = k + 1, · · · ,n
mal von der i − ten Zeile ab,
A(k) = Mk A(k−1) mit
Mk =
1 0 · · · · · · · · · · · · · · · 0
0 1. . .
.... . . . . . . . .
... 0 1 0 · · · · · · 0
...... −lk+1,k 1
. . ....
...... −lk+2,k 0 1
. . ....
......
......
. . . . . . 00 · · · 0 −lk+n,k 0 · · · 0 1
←bes. (k+1)−te Zeile
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 155A(1) = M1 A(0)
A(2) = M2 A(1)
...A(n−1) = Mn−1 A(n−2)
r11 · · · · · · r1n
0 r22...
.... . . . . .
...0 · · · 0 rnn
= : R (Rechte obere Dreiecksmatrix)
⇒ R = Mn−1 ·Mn−2 · · ·M2 ·M1 · A
Mi regulär⇒ A = M−11 ·M−1
2 · · ·M−1n−1 · R
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Zwei einfache FaktenSeite 155
1. Mk =
1. . .
1−lk+1,k 1
.... . .
−lnk 1
⇒ Ziehe k-te Zeile ab
M−1k =
1. . .
1lk+1,k 1
.... . .
lnk 1
⇒ Addiere k-te Zeile dazu
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 155
2. M−11 · · · · ·M−1
n−1 =
1l21 1l31 l32 1
. . .. . .
ln1 ln2 · · · · · · ln,n−1 1
Daher ⇓
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 155
A =LinksL ·
RechtsR
Zerlegungmit
L =
1 0 · · · · · · 0
l21 1. . .
...
l31 l32 1. . .
......
. . . . . . 0ln1 ln2 · · · ln,n−1 1
mit lik = a(k−1)ik /a(k−1)
kk
R =
r11 r12 · · · · · · r1n
0 r22...
.... . . r33
......
. . . . . ....
0 · · · · · · 0 rnn
← Endergebnis der Elimination
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Wozu A = L · R ?Seite 155
Dazu:
Arbeit:
A x = b Mit Gauss-El. ∼ n3
3⇔
L R x︸︷︷︸=:y
= b
⇔L y = b n(n−1)
2R x = y n(n+1)
2
n2
Faktor n3 gespart!
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Einspruch euer Ehren!Löse A x = b durch
x = A−1 b.
Auch n2 Multiplikationen!
ABER!
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 158
Oft haben Matrizen Bandstruktur
A =
x x x x 0 · · · · · · · · · 0
x. . . x
. . ....
x. . . . . . . . .
......
. . . . . . . . ....
x. . . x 0
0. . . . . . x
.... . . . . . . . . x
.... . . . . . . . . x
0 · · · · · · 0 x x x x x
Diese bleibt LR-Zerlegung erhalten. Nicht aber bei A−1
→ Aufgaben, Skript
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 159
Leider sind nicht alle regulären Matrizen LR-zerlegbar.
Trauriges Beispiel:(
0 11 0
)
Aber Gauss-mit-Pivotisierung klappt doch für alleregulären Matrizen.
Beispiel:(
0 11 0
)→(
1 00 1
)← LR-zerlegbar
FazitWendet man auf A die bei Gauss mit Pivot ausgeführtenZeilenvertauschungen an A→ A, so ist A LR-zerlegbar.
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 159Wie stellt man
A −→Zeilenvertauschen
A
mathematisch dar?
Antwort: Multiplikation mit sog. Permutationsmatrix
A =
α1...αn
← Zeilenvektoren von A
A =
αi1...αin
← {i1, · · · , in} = {1, · · · ,n} in evtl. anderer Reihenfolge.
P : =
eTi1...
eTin
⇒ A = PA
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Beispiel
eT2
eT3
eT4
eT1
0 1 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 0
1 2 3 411 12 13 1421 22 23 2431 32 33 34
=
11 12 13 1421 22 23 2431 32 33 341 2 3 4
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
BemerkungPermutationsmatrizen sind orthogonal.
P PT =
eTi1...
eTin
(ei1 , · · · ,ein ) = E
Satz 4.42
Sei A ∈ R(n,n) regulär.
⇒
∃ Permutationsmatrix P ∈ R(n,n), so dassA : = PA ist LR-zerlegbar.
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Praktische Durchführung
Seite 160
a11 · · · a1n...
......
...an1 · · · ann
12...n
←
Wende alle Zeilenvertauschungenauch auf diesen Indexvektor an.
⇓
r11 · · · · · · · · · r1n
l21. . .
......
. . ....
.... . .
...ln1 · · · · · · ln,n−1 rnn
43...n5
← gibt am Ende Vertauschungen an.
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Wann hat A selbst eine LR-Zerlegung?
Seite 162
Satz 4.44Sei A ∈ R(n,n) regulär; seien
Aj : =
a11 · · · a1j...
...aj1 · · · ajj
, j = 1, · · · ,n
Dann gilt:
A LR-zerlegbar ⇔ Aj regulär, j = 1, · · · ,n
In diesem Fall ist LR-Zerlegung eindeutig.
Bemerkung: Aj heißt j-te Hauptuntermatrix.
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Einschub (Abschnitt 4.6)Block- oder Super-Matrizen
Seite 164
R(n,n) 3 A =
A11 A12 · · · A1,N−1 A1N
A21 A22 · · · A2,N−1 A2N...
......
...AM−1,1 AM−1,2 · · · AM−1,N−1 AM−1,N
AM1 AM2 · · · AM,N−1 AMN
Aij ∈ R(nij mj ) heißt Blockzerlegung von A← Blockmatrix.
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Man kann mit Blockmatrizen rechnen wie mit „normalen Matrizen“
(A11 A12 A13A21 A22 A23
)
B11 B12B21 B22B31 B32
=
(∑3i=1 A1iBi1
∑3i=1 A1iBi2∑3
i=1 A2iBi1∑3
i=1 A2iBi2
)
Achtung die Reihenfolge beachten! (Matrixprodukt nicht kommutativ).
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Es müssen nur die „Block-Dimensionen“ und die Dimensionen der„Blöckchen“ so sein, dass
1. Die „äußere Form stimmt“Blockspaltenzahl der ersten =Blockzeilenzahl der zweiten Matrix
2. Die BlöckchenprodukteAki︸︷︷︸
r
Bij} r
ausführbar sind. Achtung: Reihenfolge beachten
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Beispiele
1 2 34 5 67 8 9
·
1 23 45 6
=
(1 24 5
)·(
1 23 4
)+
(36
)·(5, 6
)
(7 8
)·(
1 23 4
)+ 9 ·
(5, 6
)
X
1 2 34 5 67 8 9
·
1 23 45 6
=
1 ·(1, 2
)+
(2, 3
)·(
3 45 6
)
(47
)·(1, 2
)+
(5 68 9
)·(
3 45 6
)
X
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1 2 34 5 67 8 9
1 23 45 6
= klappt nicht
1 2 34 5 67 8 9
1 23 45 6
=
(14
) (1, 2
)+
(2 35 6
) (3 45 6
)
7(1, 2
)+
(8, 9
) (3 45 6
)
X
usw.
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 167
A ∈ R(m,n),B ∈ R(n,p)
Spezielle Zeilen/Spalten Blockzerlegungen.
A = (a1, · · · ,an) =
A1
...Am
B = (b1, · · · ,bp) =
B1
...Bn
a) AB =
A1
...Am
(b1, · · · ,bp) =
A1b1 · · · A1bp
...Amb1 · · · Ambp
Aibj definiert, da Ai ,bj „gleich lang“
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
b) AB = (a1, · · · ,an)
B1
...Bn
=
∑nk=1 ak Bk ←
Das könnengewisse Vektor- undParallelrechner gut.
ak Bk = dyadisches ProduktFall p = 1⇒ Spaltenorientiertes Matrix-Vektor-Produkt
c) AB = A(b1, · · · ,bp) = (Ab1, · · · ,Abp)
d) AB =
A1
...Am
B =
A1B...
AmB
�
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Wann hat A LR-Zerlegung?(Wiederholung)
Seite 162
Satz 4.44Sei A ∈ R(n,n) regulär; seien
Aj : =
a11 · · · a1j...
...aj1 · · · ajj
, j = 1, · · · ,n
Dann gilt:
A LR-zerlegbar ⇔ Aj regulär, j = 1, · · · ,n
In diesem Fall ist LR-Zerlegung eindeutig.
Bemerkung: Aj heißt j-te Hauptuntermatrix.
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Beweis: (Induktion nach n)n = 1 A = a11 6= 01 · a11 = L · R (eindeutig) XAnnahme: Behauptung für (n − 1)× (n − 1) Matrizen richtig.
Für A ∈ R(n,n) setze an A = LR und zerlege
A =
∗ · · · · · · · · · ∗ ∗...
......
... An−1... v
......
...∗ · · · · · · · · · ∗ ∗∗ · · · wT · · · ∗ ann
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A = LR =
1 0 · · · · · · 0 0
∗ . . . . . ....
......
. . . Ln−1. . .
......
.... . . . . . 0
...∗ · · · · · · ∗ 1 0∗ · · · xT · · · ∗ 1
∗ · · · · · · · · · ∗ ∗0
. . ....
......
. . . Rn−1... y
.... . . . . .
......
0 · · · · · · 0 ∗ ∗0 · · · · · · · · · 0 rnn
⇒(i) An−1 = Ln−1 Rn−1 eindeutig. (Induktionsannahme)(ii) wT = xT Rn−1 ⇔ RT
n−1 x = w ⇒ x eindeutig.(iii) v = Ln−1 y ⇒ y eindeutig(iv) ann = xT y + 1 · rnn ⇒ rnn eindeutig und Rn,Ln mit An regulär.
�
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Ende der 11. Vorlesung
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