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Mathematik I-II
Kapitel 8: Lineare Algebra - Reelle Matrizen
Prof. Dr. Erich Walter Farkas
http://www.math.ethz.ch/∼farkasHS 2020 - FS 2021
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http://www.math.ethz.ch/~farkas
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Inhaltsangabe
1. Grundbegriffe
2. Spezielle quadratische Matrizen
Diagonal- und Dreiecksmatrizen
Symmetrische und schiefsymmetrische Matrizen
3. Gleichheit von Matrizen
4. Rechnenoperationen für Matrizen
Addition und Substraktion von Matrizen
Multiplikation von Matrizen
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Literatur
Lothar Papula
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2
Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium
14. Auflage, Springer Verlag
Seiten 5 - 23,
Seiten 147 - 148 (Übungsaufgaben mit Lösungen im Anhang)
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Grundbegriffe
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Definition einer reellen Matrix
Definition. Unter einer reellen (m × n)-Matrix A ∈ Rm×n versteht
manein aus m · n reellen Zahlen bestehendes rechteckiges Schema mit
mwaagerecht angeordneten Zeilen und n senkrecht angeordneten
Spalten,
A =
a11 a12 · · · a1j · · · a1na21 a22 · · · a2j · · · a2n
......
. . ....
...
ai1 ai2 · · · aij · · · ain...
......
. . ....
am1 am2 · · · amj · · · amn
i-te Zeile
j-te Spalte
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Definition einer reellen Matrix: Anmerkungen
Bemerkung. Wir führen weitere Bezeichnungen ein:
B aij , i = 1, 2, . . . ,m und j = 1, 2, . . . , n sind die
Matrixelemente,
B i ist der Zeilenindex,
B j ist der Spaltenindex,
B m ist die Anzahl der Zeilen,
B n ist die Anzahl der Spalten.
Eine reelle Matrix ist ein geordnetes Zahlenschema aus reellen
Zahlen und
besitzt keinen Zahlenwert.
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Definition einer reellen Matrix: Anmerkungen
B Es ist üblich i und j als Indizes zu verwenden und die
Gefahr, das i
mit der komplexen Einheit zu verwechseln, besteht hier
nicht.
B Matrizen werden oft mit Grossbuchstaben gekennzeichnet und
die
Elemente mit den dazugehörigen Kleinbuchstaben. Allerdings
kann
man die Elemente einer Matrix auch mit den Indizes andeuten,
Aij = aij .
B Gebräuchliche Schreibweisen für eine Matrix sind,
A, A(m,n), (aij)1≤i≤m,1≤j≤n, (aij)(m,n) .
Die Klammern um aij sind nötig, sonst würde man von nur
einem
Element sprechen.
B Oft werden Matrizen als A angedeutet, doch in unserem Kontext
sind
Grossbuchstaben ausreichend.
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Definition einer reellen Matrix: Anmerkungen
B Wir sagen A ∈ Rm×n ist eine ‘m mal n Matrix’.
B Der Platz, den ein Matrixelement aij innerhalb der Matrix
A
einnimmt, ist durch die beiden Indizes i und j eindeutig
festgelegt.
Das Matrixelement aij befindet sich dabei in der i-ten Zeile und
der
j-ten Spalte.
B Sonderfall: Wenn m = n gilt, dann enthält die Matrix
gleichviele
Zeilen und Spalten und wird daher als quadratische Matrix
bezeichnet.
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Reelle Matrizen: Beispiele
Beispiel.
B Die Matrix
A =
(3 1 5 0
2 −3 0 1
)
besitzt 2 Zeilen und 4 Spalten und ist daher eine (2× 4)-Matrix.
Wirhaben zum Beispiel a21 = 2 und a13 = 5.
B Die Matrix
A =
1 1 52 −3 07 2 8
ist ein Beispiel einer quadratischen, 3-reihigen Matrix.
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Spezielle Matrizen
Es gibt einige spezielle Matrize, für die es konventionelle
Bezeichnungen
gibt.
B Nullmatrix: Die Nullmatrix 0(m,n) ∈ Rm×n, deren Elemente alle
gleichNull sind. Wenn es aus dem Kontext klar ist oder wir es
explizit
nochmal andeuten mit “ 0 ∈ Rm×n ”, dann schreiben wir einfach
0.
B Einheitsmatrix / Identitätsmatrix: Die Einheitsmatrix In ∈
Rn×n istdie quadratische Matrix
In =
1 0 · · · 0
0. . .
. . ....
.... . .
. . . 0
0 · · · 0 1
.
Sie hat also den 1-Vektor auf ihren Diagonalen und die
restlichen
Elemente sind gleich Null.
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Spezielle Matrizen
B Der Spaltenvektor ist Matrix mit nur einer Spalte. Sie ist vom
Typ
(m × 1) und besitzt die Form
A(m,1) =
a1
a2...
am
∈ Rm×1 .B Der Zeilenvektor ist eine Matrix mit nur einer Zeile.
Sie ist vom Typ
(1× n) und besitzt die Form
A(1,n) =(a1 a2 · · · an
)∈ R1×n .
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Spezielle Matrizen
B Wenn wir x ∈ Rn schreiben, dann ist x ein Spaltenvektor.
B Um Platz zu sparen, schreiben wir auch manchmal
(x1 · · · xn
)ᵀ∈ Rn statt
x1...xn
∈ Rn .Mit dem Zeichen (·)ᵀ transponieren wir, das heisst Zeilen
werden zuSpalten und umgekehrt. Mehr dazu kommt später.
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Zeilenvektoren und Spaltenvektoren
Die Zeilen einer Matrix werden daher auch als Zeilenvektoren,
die Spalten
einer Matrix auch als Spaltenvektoren bezeichnet.
Eine (m × n)-Matrix enthält genau m Zeilenvektoren und
nSpaltenvektoren,
a11 a12 · · · a1j · · · a1na21 a22 · · · a2j · · · a2n
......
......
ai1 ai2 · · · aij · · · ain...
......
...
am1 am2 · · · amj · · · amn
a1
a2
ai
am
a1 a2 aj an
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Zeilenvektoren und Spaltenvektoren
B Zeilenvektoren für i ∈ {1, . . . ,m},
ai =(ai1 ai2 . . . aij . . . ain
).
B Spaltenvektor für j ∈ {1, . . . , n},
aj =
a1j
a2j...
aij...
amj
.
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Zeilenvektoren und Spaltenvektoren
Die (m × n)-Matrix A lässt sich dann wie folgt beschreiben,
B durch n Spaltenvektoren
A =(a1 a2 . . . aj . . . an
),
B durch m Zeilenvektoren
A =
a1
a2
...
ai
...
am
.
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Zeilenvektoren und Spaltenvektoren: Beispiele
Beispiel. Die (2× 4)-Matrix
A =
(1 4 0 2
2 0 1 5
)
enthält zwei Zeilenvektoren, nämlich
a1 =(
1 4 0 2)
, a2 =(
2 0 1 5)
und vier Spaltenvektoren, nämlich
a1 =
(1
2
), a2 =
(4
0
), a3 =
(0
1
), a4 =
(2
5
).
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Transponierte einer Matrix
Definition. Die Transponierte einer Matrix A = (aij) ∈ Rm×n ist
dieMatrix Aᵀ = (aji ) ∈ Rn×m. Das heisst für
A =
a11 · · · a1n... . . . ...am1 · · · amn
ist ihre Transponierte gegeben durch
Aᵀ =
a11 · · · am1... . . . ...a1n · · · amn
Visuell bedeutet es, dass die Matrix an ihrer
Hauptdiagonalen
a11, a22, . . . , akk , k = min{m, n}, gespiegelt wird.
Die Transponierte wird auch als AT ,At , oder A′ notiert.
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Transponierte einer Matrix
Übung. Sei A ∈ Rm×n und c ∈ R. Zeigen Sie, dass
dieTranspositionsabbildung Rm×n → Rn×m, A 7→ Aᵀ eine Involution
ist, dasheisst, sie ist selbstinvers, (Aᵀ)ᵀ = A.
Nachdem wir die Addition, Multiplikation mit Skalaren, und
die
Matrixmultiplikation eingeführt haben, werden wir noch die
folgenden
Eigenschaften sehen.
B Die Transpositionsabbildung ist linear, das heisst für A,B ∈
Rm×n
und c ∈ R gilt (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ und (cA)ᵀ = cAᵀ.
B Für A ∈ Rm×n, B ∈ Rn×` gilt (AB)ᵀ = BᵀAᵀ.
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Transponierte einer Matrix: Beispiele
Beispiel. Wir transponieren die Matrizen
A =
1 34 20 −8
, B =1 1 10 −2 5
7 6 0
, C =12
9
und erhalten
Aᵀ =
(1 4 0
3 2 −8
), Bᵀ =
1 0 71 −2 61 5 0
, Cᵀ = (1 2 9) .Der Spaltenvektor C ist dabei in den
Zeilenvektor Cᵀ überführt worden.
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Spezielle quadratische Matrizen
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Quadratische Matrizen
Eine (n × n)-Matrix A besitzt die Gestalt
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
. . ....
an1 an2 · · · ann
∈ Rn×n .
Bemerkung.
B Die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix verläuft von
links
oben nach recht unten. Sie verbindet die Diagonalelemente aii
,
i = 1, 2, . . . , n miteinander.
B Nebendiagonalen verlaufen parallel zur Hauptdiagonale.
B Die Gegendiagonale verläuft von rechts oben nach links
unten.
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Diagonalmatrix
Definition. Eine quadratische Matrix A heisst Diagonalmatrix,
wenn alle
ausserhalb der Hauptdiagonalen liegenden Elemente
verschwinden,
aij = 0 , für alle i 6= j .
Eine (n × n)-Diagonalmatrix besitzt daher die Gestalt
A =
a11 0 · · · 0
0 a22. . .
......
. . .. . . 0
0 · · · 0 ann
.
Beispiel. Ein Beispiel einer Diagonalmatrix wäre die
Einheitsmatrix.
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Dreiecksmatrix
Definition. Eine quadratische Matrix wird als Dreiecksmatrix
bezeichnet,
wenn alle Elemente ober- oder unterhalb der Hauptdiagonalen
verschwinden.
Im ersten Fall, siehe die Matrix A, nennen wir die Matrix
untere
Dreiecksmatrix, und im zweiten Fall, siehe die Matrix B, sagen
wir obere
Dreiecksmatrix.
A =
a11 0 · · · 0
a21 a22. . .
......
. . .. . . 0
an1 · · · an,n−1 ann
B =b11 b12 · · · b1n0 b22
. . ....
.... . .
. . . bn−1,n
0 · · · 0 bnn
.
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Symmetrische Matrix
Definition. Eine quadratische Matrix A heisst symmetrisch,
wenn
Aᵀ = A .
Das heisst, wenn für alle i , j ∈ {1, . . . , n} gilt,
aij = aji .
Bemerkung. Bei einer symmetrischen Matrix sind die Elemente
spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonalen angeordnet.
Beispiel.
A =
1 4 −24 5 0−2 0 8
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Schiefsymmetrische Matrix
Definition. Eine quadratische Matrix A heisst schiefsymmetrisch,
wenn
Aᵀ = −A .
Das heisst, wenn für alle i , j ∈ {1, . . . , n} gilt,
aij = −aji .
Bemerkung. Bei einer schiefsymmetrischen Matrix A verschwinden
alle
Diagonalelemente, aii = 0, i ∈ {1, 2, . . . , n}, denn
aii = −aii =⇒ 2aii = 0 =⇒ aii = 0 .
Beispiel.
A =
0 4 3−4 0 −5−3 5 0
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Gleichheit von Matrizen
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Gleichheit von Matrizen
Definition. Zwei Matrizen A,B ∈ Rm×n heissen gleich, A = B, wenn
füralle i ∈ {1, . . . ,m} , j ∈ {1, . . . , n} gilt,
aij = bij .
Beispiel.
A =
(1 5
0 3
)B =
(1 5
0 3
)C =
(1 5
0 7
)
Somit gilt A = B aber A 6= C .
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Rechnenoperationen für Matrizen
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Addition and Substraktion von Matrizen
Definition. (Matrixaddition) Zwei Matrizen A,B ∈ Rm×n werden
addiert,indem man die entsprechenden, das heisst die
gleichstelligen
Matrixelemente addiert.
Die Matrix
C = A + B = (cij)(m,n) mit cij = aij + bij
heisst die Summe von A und B.
Die Matrix
D = A− B = (dij)(m,n) mit dij = aij − bij
heisst die Differenz von A und B.
Achtung! Addition und Substraktion sind nur für Matrizen
gleichen Typs
erklärt.
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Addition und Substraktion von Matrizen
Vergewissern Sie sich, dass folgende Rechengesetze gelten,
B Kommutativgesetz: A + B = B + A,
B Assoziativgesetz: A + (B + C ) = (A + B) + C .
Beispiel. Wir bilden die Summe C = A + B und die Differenz D =
A− Bvon
A =
(1 5 −34 0 8
)B =
(5 1 3
−1 4 7
)und erhalten
C =
((1 + 5) (5 + 1) (−3 + 3)(4− 1) (0 + 4) (8 + 7)
)=
(6 6 0
3 4 15
),
D =
((1− 5) (5− 1) (−3− 3)(4 + 1) (0− 4) (8− 7)
)=
(−4 4 −65 −4 1
).
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Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
Definition. (Skalarmultiplikation) Eine Matrix A =∈ Rm×n wird
miteinem reellen Skalar λ ∈ R multipliziert, indem man jedes
Matrixelementaij mit dem Skalar λ multipliziert,
λA = λ(aij)(m,n) = (λaij)(m,n) .
Die Matrix λA ist das Produkt aus der Matrix A und dem Skalar
λ.
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Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
Seien λ, µ ∈ R und A,B ∈ Rm×n. Vergewissern Sie sich, dass
folgendeRechengesetze gelten,
B Assoziativgesetz: λ(µA) = (λµ)A.
B Distributivgesetze:
• (λ+ µ)A = λA + µA,• λ(A + B) = λA + λB.
Beispiel. Sei
A =
(1 −5 34 1 0
).
Wir berechnen die Matrix B = 4A und erhalten
B = 4 ·
(1 −5 34 1 0
)=
(4 −20 12
16 4 0
).
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Multiplikation von Matrizen
Definition. (Matrixmultiplikation) Sei A ∈ Rm×n und B ∈ Rn×`.
Dannheisst die Matrix
C = AB = (cij)(m,`) ∈ Rm×`
sodass für i ∈ {1, . . . ,m} und j ∈ {1, . . . , `} gilt,
cij =n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + ...+ ainbnj ,
das Produkt der Matrizen A und B.
Achtung! Die Matrixmultiplikation ist nur definiert, wenn die
Länge der
Zeilen der ersten Matrix mit der Länge der Spalten der zweiten
Matrix
übereinstimmt!
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a11 ... a1k ... a1p
......
......
...
ai1 ... aik ... ai p
......
......
...
an1 ... ank ... anp
A :n rowsp columns
b11 ... b1j ... b1q
......
......
...
bk1 ... bkj ... bkq
......
......
...
bp1 ... bpj ... bpq
B :p rowsq columns
c11 ... c1j ... c1q
......
......
...
ci1 ... ci j ... ci q
......
......
...
cn1 ... cnk ... cnq
C=A×B :n rowsq columns
a i1×b1j
a i k×bkj
a i p×bpj
+...+
+...+
Source:
http://www.texample.net/tikz/examples/matrix-multiplication/30/34
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Multiplikation von Matrizen
Bemerkung. Das Matrixelement cij ist also das Skalarprodukt aus
dem
i-ten Zeilenvektor von A und dem j-ten Spaltenvektor von B.
Beispiel. Wir berechnen das Produkt C der Matrizen
A =
(1 4 2
4 0 −3
)und B =
1 1 0−2 3 50 1 4
.Dies ergibt
C = AB =
(1 4 2
4 0 −3
) 1 1 0−2 3 50 1 4
=
(−7 15 284 1 −12
).
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Multiplikation von Matrizen
Übung. Betrachten Sie die folgenden Rechengesetze für die
Matrizenmultiplikation und geben Sie an, von welchem Typ die
Matrizen
A,B,C sein müssen, damit die Gesetze überhaupt Sinn
ergeben.
B Assoziativgesetz: A(BC ) = (AB)C .
B Distributivgesetz:• A(B + C ) = AB + AC ,• (A + B)C = AC + BC
.
Übung. Zeigen Sie, dass die Identitätsmatrix ihrem Namen
gerecht wird,
also dass für A, In ∈ Rn×n folgendes gilt,
AIn = InA = A .
Zeigen Sie auch die schon erwähnte Gleichheit,
(AB)ᵀ = BᵀAᵀ .
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Multiplikation von Matrizen
Übung. Üben Sie die Matrixmultiplikation an folgenden
Beispiele.
Berechnen Sie die Produkte der angegebenen Matrizen falls
möglich.
1.)
1 2 30 4 50 0 6
1 1 10 1 1
0 0 1
2.) (1 −1 02 0 −1
) 1 1−2 0−1 1
12
3
3.)(
1 1 1 1)
x1
x2
x3
x4
4.)x1
x2
x3
x4
(1 1 1 1)
5.)
1 0 00 1 00 0 1
x1x2x3
6.)1 0 00 1 0
0 0 1
(x1 x2 x3)
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Danke für Ihre Aufmerksamkeit!
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Ein spezieller Dank geht an Alexander Smirnow, der eine frühere
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dieser Slides aufgebessert und ergänzt hat.
Bei Fragen und Verbesserungsvorschlägen schreiben Sie bitte
an
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DreiecksmatrizenSymmetrische und schiefsymmetrische Matrizen
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und Substraktion von MatrizenMultiplikation von Matrizen
Anhang
![Bakterielle Resistenzmechanismen – Spezielle Formen der Resistenz · 2019. 8. 20. · Carbapeneme, Monobaktame], Glykopeptide wie Vancomycin) • Inhibierung der bakteriellen Proteinsynthese](https://img.pdfslide.org/doc/110x75/60c9a1343afb1115981d336b/bakterielle-resistenzmechanismen-a-spezielle-formen-der-resistenz-2019-8-20.jpg)
