Modellierung intraspezifischer Konkurrenz Company LOGO 22. März 2013 Dr. Udo Käser, Institut für...

Modellierung intraspezifischer

Konkurrenz

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22. März 2013 Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie

16. Forum für Begabungsförderung in Mathematik21. – 23. März 2013, Julius-Maximilians-Universität Würzburg

Ein Unterrichtsbeispiel für den Stochastikunterricht der Sek I

• Zielsetzung des Stochastikunterrichts in der Sek I:

- Deskriptive Statistik

- Kombinatorik

- Simulieren und Modellieren

- Hinführung zur Inferenzstatistik

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Einleitung

• Typische Aufgaben und Problemstellungen (I):

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Einleitung

• Typische Aufgaben und Problemstellungen (II):

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Einleitung

• Typische Aufgaben und Problemstellungen (III):

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Einleitung

• Ziel: Präsentation eines Unterrichtskonzepts für den Stochastikunterricht der Sek I mit Bezug zu

Problemstellungen der theoretischen Biologie

- Modellierung intraspezifischer Konkurrenz (Tauben-Falken-Problem)

evolutionär stabile Strategien (ESS)

- Verknüpfung kombinatorischer Probleme mit der Analyse funktionaler Zusammenhänge

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Einleitung

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Konzept: Intraspezifische Konkurrenz

• Ausgangssituation:

Tiere einer Art treffen im Kampf um Ressourcen 1:1 aufeinander

• Modellierung zweier prototypischer Verhaltesweisen:

Falke (F) Der Falke kämpft um die Ressource

Taube (T) Die Taube zieht sich aus Kämpfen zurück

Vier Kombinationsmöglichkeiten bei Konflikten:

F:F, F:T, T:F, T:T22. März 2013 Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie

Konzept: Intraspezifische Konkurrenz

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Konzept: Intraspezifische Konkurrenz

kämpft gegen Falke Taube

Falke

Taube

22. März 2013 Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie

Konzept: Intraspezifische Konkurrenz

kämpft gegen Falke Taube

Falke

Sieger ist unverletzt und erhält die

gesamte Ressource;

Verlierer ist verletzt und erhält nichts

Taube

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Konzept: Intraspezifische Konkurrenz

kämpft gegen Falke Taube

Falke

Sieger ist unverletzt und erhält die

gesamte Ressource;

Verlierer ist verletzt und erhält nichts

TaubeDie Ressource

wird ohne Kampf im Verhältnis 1:1 geteilt

22. März 2013 Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie

Konzept: Intraspezifische Konkurrenz

kämpft gegen Falke Taube

Falke

Sieger ist unverletzt und erhält die

gesamte Ressource;

Verlierer ist verletzt und erhält nichts

Taube zieht sichunverletzt zurück;

Falke erhält die gesamte Ressource

Taube

Taube zieht sichunverletzt zurück;

Falke erhält die gesamte Ressource

Die Ressource wird ohne Kampf im Verhältnis 1:1 geteilt

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Konzept: Intraspezifische Konkurrenz

• Modellannahmen:

- Wert der Ressource: V > 0

- Größe der Beschädigung: C > 0 und C > V (sonst gäbe es keine Tauben)

- p(F) = p p(T) = 1 – p

- p(F:F) = p²p(F:T, T:F) = 2 p (1 – p)p(T:T) = (1 – p)²

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Konzept: Intraspezifische Konkurrenz

gewinnt im Mittel Falke Taube

Falke

Taube

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Konzept: Intraspezifische Konkurrenz

gewinnt im Mittel Falke Taube

Falke 0,5 (V – C)

Taube

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Konzept: Intraspezifische Konkurrenz

gewinnt im Mittel Falke Taube

Falke 0,5 (V – C)

Taube 0,5 V

22. März 2013 Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie

Konzept: Intraspezifische Konkurrenz

gewinnt im Mittel Falke Taube

Falke 0,5 (V – C)

Taube 0 0,5 V

22. März 2013 Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie

Konzept: Intraspezifische Konkurrenz

gewinnt im Mittel Falke Taube

Falke 0,5 (V – C) V

Taube 0 0,5 V

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Konzept: Intraspezifische Konkurrenz

• Fragestellung: Wie viele Tiere zeigen das Verhalten als Falke oder das Verhalten als Taube innerhalb einer evolutionär stabilen Strategie?

• Vorüberlegung (I):

- Zeigen sehr viele Tiere das Verhalten von Tauben, ist es vorteilhaft die Strategie eines

Falken anzuwenden.

- Zeigen sehr viele Tiere das Verhalten vonFalken, ist es vorteilhaft die Strategie einerTaube anzuwenden.

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Konzept: Intraspezifische Konkurrenz

• Vorüberlegung (II):

- Ist C gegenüber V sehr groß, ist zu erwarten, dass mehr Tiere das Verhalten einer Taube

als eines Falken zeigen.

- Ist C gegenüber V sehr klein, ist zu erwarten, dass mehr Tiere das Verhalten eines Falken

als einer Taube zeigen.

22. März 2013 Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie

Konzept: Intraspezifische Konkurrenz

• E(F, F) = 0,5 (V – C)E(F, T) = V

E(T, F) = 0 E(T, T) = 0,5 V

• Falke trifft mit Wahrscheinlichkeit p auf Falken; Fitness verändert sich im Mittel um 0,5 (V – C);

Falke trifft mit Wahrscheinlichkeit 1 – p auf Taube; Fitness verändert sich im Mittel um V

• Taube trifft mit Wahrscheinlichkeit p auf Falken, Fitness verändert sich im Mittel um 0;

Taube trifft mit Wahrscheinlichkeit 1 – p auf Taube; Fitness verändert sich im Mittel um 0,5 V

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Konzept: Intraspezifische Konkurrenz

• W(F) = W0 + 0,5 p (V – C) + (1 – p) V

W(T) = W0 + 0,5 (1 – p) V

• Evolutionär stabile Strategie: W(F) = W(T)

W0 + 0,5 p (V – C) + (1 – p) V = W0 + 0,5 (1 – p) V

0,5 p V – 0,5 p C + V – p V = 0,5 V – 0,5 p V

0,5 p C = 0,5 V

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Konzept: Intraspezifische Konkurrenz

V C – V

p = und 1 – p =

C C

• Als evolutionär stabile Strategie stellt sich für die Häufigkeit, mit der Tiere das Verhalten als Falke (bzw. als Taube) zeigen, das Verhältnis von Wert der Ressource und der durchschnittlichen Beschädigung ein (bzw. von C – V und C)

• Rückbezug zur Vorüberlegung:

C groß p klein V groß p groß

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Konzept: Intraspezifische Konkurrenz

V

p =

C

• C = const

p = p(V) als proportionaler Zusammenhang

• V = const

p = p(C) als antiproportionaler Zusammenhang

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Konzept: Intraspezifische Konkurrenz

V

p =

C

p = p(V, C) als Funktion R+ X R+ [0;1]

• Möglicher Einstieg über Simulation:

- Alle SuS sind Tiere mit Fitness W0 = 100

- Rundenweise „Kampf“ gegen einen zufällig bestimmten Mitschüler mit V = 10 und C = 40

- Rundenweise legen die SuS geheim fest, ob sie

das Verhalten als Falke oder Taube zeigen.

- Rundenweise werden f(F), f(T) und W notiert.

22. März 2013 Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie

Erfahrungen

• Ziel: Maximierung von W

• Fragen zur Analyse:

- Pendelt sich p(F) auf einen bestimmten Wert stabil ein?

- Wie häufig nutzen SuS mit hohem W die Strategien F und T?

• Realisieren einer Simulation am PC parallel zur theoretischen Herleitung der ESS

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Erfahrungen

VIELEN DANK!

22. März 2013 Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie

VIELEN DANK!

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