Modellierung intraspezifischer Konkurrenz Company LOGO 22. März 2013 Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie 16. Forum für Begabungsförderung in Mathematik

Modellierung intraspezifischer

Konkurrenz

Company LOGO

22. März 2013 Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie

16. Forum für Begabungsförderung in Mathematik21. – 23. März 2013, Julius-Maximilians-Universität Würzburg

Ein Unterrichtsbeispiel für den Stochastikunterricht der Sek I

• Zielsetzung des Stochastikunterrichts in der Sek I:

- Deskriptive Statistik

- Kombinatorik

- Simulieren und Modellieren

- Hinführung zur Inferenzstatistik


Einleitung

• Typische Aufgaben und Problemstellungen (I):


Einleitung

• Typische Aufgaben und Problemstellungen (II):


Einleitung

• Typische Aufgaben und Problemstellungen (III):


Einleitung

• Ziel: Präsentation eines Unterrichtskonzepts für den Stochastikunterricht der Sek I mit Bezug zu

Problemstellungen der theoretischen Biologie

- Modellierung intraspezifischer Konkurrenz (Tauben-Falken-Problem)

evolutionär stabile Strategien (ESS)

- Verknüpfung kombinatorischer Probleme mit der Analyse funktionaler Zusammenhänge


Einleitung


Konzept: Intraspezifische Konkurrenz

• Ausgangssituation:

Tiere einer Art treffen im Kampf um Ressourcen 1:1 aufeinander

• Modellierung zweier prototypischer Verhaltesweisen:

Falke (F) Der Falke kämpft um die Ressource

Taube (T) Die Taube zieht sich aus Kämpfen zurück

Vier Kombinationsmöglichkeiten bei Konflikten:

F:F, F:T, T:F, T:T22. März 2013 Dr. Udo Käser, Institut für Psychologie




kämpft gegen Falke Taube

Falke

Taube




Falke

Sieger ist unverletzt und erhält die

gesamte Ressource;

Verlierer ist verletzt und erhält nichts

Taube




Falke


gesamte Ressource;


TaubeDie Ressource

wird ohne Kampf im Verhältnis 1:1 geteilt




Falke


gesamte Ressource;


Taube zieht sichunverletzt zurück;

Falke erhält die gesamte Ressource

Taube

Taube zieht sichunverletzt zurück;

Falke erhält die gesamte Ressource

Die Ressource wird ohne Kampf im Verhältnis 1:1 geteilt



• Modellannahmen:

- Wert der Ressource: V > 0

- Größe der Beschädigung: C > 0 und C > V (sonst gäbe es keine Tauben)

- p(F) = p p(T) = 1 – p

- p(F:F) = p²p(F:T, T:F) = 2 p (1 – p)p(T:T) = (1 – p)²



gewinnt im Mittel Falke Taube

Falke

Taube




Falke 0,5 (V – C)

Taube




Falke 0,5 (V – C)

Taube 0,5 V




Falke 0,5 (V – C)

Taube 0 0,5 V




Falke 0,5 (V – C) V

Taube 0 0,5 V



• Fragestellung: Wie viele Tiere zeigen das Verhalten als Falke oder das Verhalten als Taube innerhalb einer evolutionär stabilen Strategie?

• Vorüberlegung (I):

- Zeigen sehr viele Tiere das Verhalten von Tauben, ist es vorteilhaft die Strategie eines

Falken anzuwenden.

- Zeigen sehr viele Tiere das Verhalten vonFalken, ist es vorteilhaft die Strategie einerTaube anzuwenden.



• Vorüberlegung (II):

- Ist C gegenüber V sehr groß, ist zu erwarten, dass mehr Tiere das Verhalten einer Taube

als eines Falken zeigen.

- Ist C gegenüber V sehr klein, ist zu erwarten, dass mehr Tiere das Verhalten eines Falken

als einer Taube zeigen.



• E(F, F) = 0,5 (V – C)E(F, T) = V

E(T, F) = 0 E(T, T) = 0,5 V

• Falke trifft mit Wahrscheinlichkeit p auf Falken; Fitness verändert sich im Mittel um 0,5 (V – C);

Falke trifft mit Wahrscheinlichkeit 1 – p auf Taube; Fitness verändert sich im Mittel um V

• Taube trifft mit Wahrscheinlichkeit p auf Falken, Fitness verändert sich im Mittel um 0;

Taube trifft mit Wahrscheinlichkeit 1 – p auf Taube; Fitness verändert sich im Mittel um 0,5 V



• W(F) = W0 + 0,5 p (V – C) + (1 – p) V

W(T) = W0 + 0,5 (1 – p) V

• Evolutionär stabile Strategie: W(F) = W(T)

W0 + 0,5 p (V – C) + (1 – p) V = W0 + 0,5 (1 – p) V

0,5 p V – 0,5 p C + V – p V = 0,5 V – 0,5 p V

0,5 p C = 0,5 V



V C – V

p = und 1 – p =

C C

• Als evolutionär stabile Strategie stellt sich für die Häufigkeit, mit der Tiere das Verhalten als Falke (bzw. als Taube) zeigen, das Verhältnis von Wert der Ressource und der durchschnittlichen Beschädigung ein (bzw. von C – V und C)

• Rückbezug zur Vorüberlegung:

C groß p klein V groß p groß



V

p =

C

• C = const

p = p(V) als proportionaler Zusammenhang

• V = const

p = p(C) als antiproportionaler Zusammenhang



V

p =

C

p = p(V, C) als Funktion R+ X R+ [0;1]

• Möglicher Einstieg über Simulation:

- Alle SuS sind Tiere mit Fitness W0 = 100

- Rundenweise „Kampf“ gegen einen zufällig bestimmten Mitschüler mit V = 10 und C = 40

- Rundenweise legen die SuS geheim fest, ob sie

das Verhalten als Falke oder Taube zeigen.

- Rundenweise werden f(F), f(T) und W notiert.


Erfahrungen

• Ziel: Maximierung von W

• Fragen zur Analyse:

- Pendelt sich p(F) auf einen bestimmten Wert stabil ein?

- Wie häufig nutzen SuS mit hohem W die Strategien F und T?

• Realisieren einer Simulation am PC parallel zur theoretischen Herleitung der ESS


Erfahrungen

VIELEN DANK!


VIELEN DANK!


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