Numerik Hauptsache, man hat Zahlen 'raus Was man exakt nicht schafft, das macht man mit Numerik...

NumerikHauptsache, man hat Zahlen 'raus Was man exakt nicht schafft, das

macht man mit Numerik Fallen und Fußangeln in der Numerik

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus

Numerik• Numerik bewältigt vieles in den Anwendungen

• Fallen und Fußangeln in der Numerik

•Was man exakt nicht schafft, das macht man mit Numerik

• Hauptsache, man hat wenigstens Zahlen 'raus

Numerik

Lagrange-Interpolation

p(x) = c0 la0(x) + c1 la1(x) + c2 la2(x) + c3 la3(x)

Phänomen verstehen

Erklärung verstehen

( )( )( )x a x b x d

hier fehlt (x-c) !

( )( )( )x a x b x d

hier fehlt (x-c) !

la(x) = y(A) / ((x(A) - x(B)) (x(A) - x(C)) (x(A) - x(D))) (x - x(B)) (x - x(C)) (x - x(D)) + y(B) / ((x(B) - x(A)) (x(B) - x(C)) (x(B) - x(D))) (x - x(A)) (x - x(C)) (x - x(D)) + y(C) / ((x(C) - x(A)) (x(C) - x(B)) (x(C) - x(D))) (x - x(A)) (x - x(B)) (x - x(D)) + y(D) / ((x(D) - x(A)) (x(D) - x(B)) (x(D) - x(C))) (x - x(A)) (x - x(B)) (x - x(C))

la c ( )( )( )x a x b x d

Jeder Punkt

erzeugt einen

Baustein.

hier fehlt (x-c) !

Lagrange-Algorithmus in einem Schritt aufgeschrieben.

Wirtschaftsfunktionenmit Lagrange-Interpolation

BM = BetriebsminimumBO = BetriebsoptimumkPug= kurzfristige PreisuntergrenzelPug= langfristige Preisuntergrenze

Kosten

Stückkosten

variable Stückkosten

Grenzkosten

DModellieredieKostenfunktionpassend.

Wirtschaftsfunktionenmit Lagrange-Interpolation

Numerik beim Bauen

Splines = Straklatten

Splines im Schiffbau

Halber Querschnitt

In gekippter Lage

Kubische Splines

• Vier „Nägel“ markieren die Form.• Von einem zum nächsten legt man ein Polynom 3. Grades (daher „kubisch“).• Man sorgt für gute Übergänge• und fügt alle passend zusammen.

Splines als Formkonzept

Bézier-Splines

Bézier-SplinesSie sind aus Bernstein-Polynomen aufgebaut.

Bézier-Splines

De Casteljau entwickelte entsprechendes für Citroen, durfte es aber nicht veröffentlichen.

Von Pierre Étienne Bézier um 1960 für Renault entwickelt.

Bézier gilt als Begründer von CAD und CAM.

CAD Computer Aided Design

Fallen und Fußangeln in der Numerik

Mit welcher Maschinengenauigkeit arbeitet Ihr Taschenrechner?10

1 10 , 1 ......

erg erg e

Die Maschinengenauigkeit MG ist die kleinste Zahl, deren Addition zu 1 von der Maschine noch gemerkt wird.

Ist e12 ungleich 0 aber e13 =0, dann ist MG=10-12

Grundlagen der Numerik mit Computer

141,421

0,00141421 10

3 Nachkommastellen, 6 tragende Ziffern

8 Nachkommastellen, 6 tragende Ziffern

Mantisse

Exponent

11 Bit für den Exponenten

Gleitpunktzahl = floatingpoint number

Vor-zeichen-bit

52 Bit für die Mantisse

64 Bit für eine Kommazahl das sind 8 Byte

Das sind dann etwa 16 dezimale Stellen für die Mantisse

Die Zehnerpotenzen laufen etwa von +300 bis -300

Gleitpunktzahl = floatingpoint number

Das sind dann etwa 16 dezimale Stellen für die Mantisse

Die Zehnerpotenzen laufen etwa von +300 bis -300

Die Abstände zwischen den darstellbaren Zahlenwerden immer größer.

Unterscheiden sich zwei große Zahlen erst nach mehr als 16 Stellenkann ihre Differenz nicht ordentlichberechnet werden.

Differenz-katastrophe

Weitere Pannen

Klar, das ist beide Male eine GeradeExcel

Weitere Pannen

nicht gelungenExcel

Beispiel für Rechenfehler (Kulisch, Miranker[270])

x = 192119201 y = 35675640

z = (1682*x*y4 + 3*x3 + 29*x*y2 - 2*x5 + 832) / 107751

Wir wenden zur Lösung 3 Systeme an:

Berechnung mit MathematicaBerechnung mit Taschenrechner

Berechnung mit Programmiersprache C

http://www.logic.at/people/schuster/c01_0000.htm

NumerikProgramm Eingabe

Precision

Resultat Ergebnis

Mathematica infinity 1783 richtig

36 Stellen 117 1783 richtig

35 Stellen 113 0. falsch

17 Stellen 57 0.E+13 falsch

16 StellenMaschinengenauig

keit 53

7.180560037061026E+20

falsch

Taschenrechner

7.72150606491E-03 falsch

Turbo C Single precision 24 1.01146705423582961E

+29 falsch

Double precision 53 7.72150606490891022E

-03 falsch

Das war eine Differenzkatastrophe

für x = 192119201 y = 35675640

Bei der Berechnung von Konfidenzintervallen kann es

von Hand durch Runden leicht zur Differenzkatasprophe

Kommen. Diese Berechnung ist „schlecht konditioniert“.

Numerische Verfahren

Was man exakt nicht schafft, das macht man mit Numerik,

Hauptsache, man hat wenigstens Zahlen 'raus.

• Rekursive, b.z.w. iterative Konzepte• Heronverfahren für Wurzeln

• Nullstellenverfahren ( Mitten~, Sekanten~ , Newton~)

• Modellierung von Prozessen (logistisch...)

• Numerische Lösung von Differentialgleichungen

Weitere Konzepte:Numerische Integration, Taylorreihen, Fourierreihen, Klangverarbeitung, ...Finite-Element-methode, Simulationen,....

Die Klothoide, nur numerisch zu bewältigen

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