Perfekte Zahlen et. al. -...

§ 1 Perfekte Zahlen § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen § 3 Fazit § 4 Quellenverzeichnis

Perfekte Zahlen et. al.

Pascal Appel

Proseminar:Implementierung mathematischer Algorithmen

16. Januar 2014

Inhaltsverzeichnis I

1 § 1 Perfekte Zahlen§ 1.1 Was sind Vollkommene Zahlen?§ 1.2 Darstellungsarten

§ 1.2.1 Darstellungsart von Euklid§ 1.2.2 Darstellungsart von Eaton§ 1.2.3 Summe der ersten ung. nat. Zahlen zur 3. Pot.§ 1.2.4 Summe der ersten naturlichen Zahlen§ 1.2.5 Vergleich der Darstellungsarten

§ 1.3 Existenz ungerader vollkommener Zahlen§ 1.4 Abundante und Defiziente Zahlen

§ 1.4.1 Was sind Abundante und Defiziente Zahlen?§ 1.4.2 Beispiele§ 1.4.3 Verallgemeinerung abundanter und defizienter Zahlen

§ 1.5 Verallgemeinerung vollkommener Zahlen§ 1.5.1 Was ist eine x-fach vollkommene Zahlen?§ 1.5.2 Bestimmung x-fach vollkommener Zahlen

Inhaltsverzeichnis II

2 § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen§ 2.1 Befreundete und Gesellige Zahlen?

§ 2.1.1 Was sind Befreundete und Gesellige Zahlen?§ 2.1.2 Beispiele

§ 2.2 Satz von Thabit ibn Qurrah

3 § 3 Fazit

4 § 4 Quellenverzeichnis

§ 1.1 Was sind Vollkommene Zahlen?

Definition 1.1 (Vollkommene Zahlen)

Eine naturliche Zahl n wird vollkommene Zahl (auch perfekteZahl) genannt, wenn sie gleich der Summe σ∗(n) aller ihrer(positiven) Teiler außer sich selbst ist. Aquivalent ist einevollkommene Zahl n eine Zahl, die halb so groß ist wie dieSumme ihrer positiven Teiler (sie selbst eingeschlossen), d. h.σ(n) = 2n. [Vollkommene Zahl, WikipediaDE]

Beispiel 1.1

1 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Es gilt: 1 + 2 + 3 = 6

2 28 hat die Teiler 1, 2, 4, 7, 14 und 28. Es gilt:1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

3 496 hat die Teiler 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 und 496. Esgilt: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

4 8128 hat die Teiler 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016,2032, 4064 und 8128. Es gilt:1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064 =8128

Die ersten 10 vollkommenen Zahlen sind:

4 8.128

5 33.550.336

6 8.589.869.056

7 137.438.691.328

8 2.305.843.008.139.952.128

9 2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.17610 191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638.130.997.321.548.169.216

Im Folgenden betrachte ich nur die ersten 7 vollkommenen Zahlen,da sonst der Rechenaufwand zu groß ware.

§ 1.2 Darstellungsarten

§ 1.2.1 Darstellungsart von Euklid

Abbildung: Euklid von Alexandria

griechischer Mathematiker

3. Jahrhundert v. Chr.

Abbildung: Leonhard Euler

Schweizer Mathematiker

1707-1783

Satz 1.1 (Darstellungsart von Euklid)

Fur n ∈ N gilt:

2n−1(2n − 1)

ist eine vollkommene Zahl,

falls 2n − 1 eine Primzahl (Mersenne-Primzahl) ist.

vgl. Vortrag Dame

Beispiel 1.2

1 Fur n = 2: 1 + 2 + 3 = 6 = 22−1(22 − 1)

2 Fur n = 3: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 = 23−1(23 − 1)

3 Fur n = 5:1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496 = 25−1(25− 1)

4 Fur n = 7:1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064 =8128 = 27−1(27 − 1)

1 %% Darstellungsart von Euklid

2 clc ,clear;

4 i=1; max=7;n=2; nichtprim =0; zeit_euklid=zeros(1,max);

5 while i<max+1

6 p=2^n-1;

7 for x=2:1:p-1

8 if mod(p,x)==0

9 nichtprim =1;

10 end

11 end

12 if nichtprim ==0

13 euklid =2^(n -1)*(2^n-1);

14 fprintf(’%25.0f\n’, euklid );

15 zeit_euklid(i)=toc;

16 i=i+1;

17 end

18 n=n+1; nichtprim =0;

19 end

§ 1.2.2 Darstellungsart von Eaton

Satz 1.2 (Darstellungsart von Eaton, 1995/96)

Jede gerade vollkommene Zahl n > 6 hat die Darstellung

n = 1 +9

2k(k + 1)

mit k = 8j + 2 und einer nicht-negativen ganzen Zahl j .

Umgekehrt erhalt man nicht zu jeder naturlichen Zahl j einevollkommene Zahl.

Beispiel 1.3

1 Fur j = 0: k = 2 und n = 28 (vollkommen)

2 Fur j = 1: k = 10 und n = 496 (vollkommen)

3 Fur j = 2: k = 18 und n = 1540 (nicht vollkommen)

1 %% Darstellungsart von Eaton

2 clc ,clear;

3 perfekt =[6 ,28 ,496 ,8128 ,33550336 ,8589869056 ,137438691328];

5 i=1; max=7;j=0; zeit_eaton=zeros(1,max);

6 fprintf(’%25.0f\n’, 6);

7 zeit_eaton(i)=toc;

8 i=i+1;

9 while i<max+1

10 k=8*j+2;

11 eaton =1+(9/2)*k*(k+1);

12 for x=1:1:7

13 if eaton== perfekt(x)

14 fprintf(’%25.0f\n’, eaton );

15 zeit_eaton(i)=toc;

16 i=i+1;

17 end

18 end

19 j=j+1;

20 end

§ 1.2.3 Summe der ersten ung. nat. Zahlen zur 3. Pot.

Satz 1.3 (Summe der ersten ung. nat. Zahlen zur 3. Pot.)

Jede gerade vollkommene Zahl n > 6 hat die Darstellung

n =k∑

(2i − 1)3

mit einer geeigneten naturlichen Zahl k.

Beispiel 1.4

1 28 = 13 + 33

2 496 = 13 + 33 + 53 + 73

1 %% Summe der ersten ung. nat. Zahlen zur 3. Potenz

2 clc ,clear;

3 perfekt =[6 ,28 ,496 ,8128 ,33550336 ,8589869056 ,137438691328];

5 i=1; max=7; sumungnat =0;j=1; zeit_sumungnat=zeros(1,max);

6 fprintf(’%25.0f\n’, 6);

7 zeit_sumungnat(i)=toc;

8 i=i+1;

9 while i<max+1

10 sumungnat=sumungnat +(2*j -1)^3;

11 for x=1:1:7

12 if sumungnat == perfekt(x)

13 fprintf(’%25.0f\n’, sumungnat );

14 zeit_sumungnat(i)=toc;

15 i=i+1;

16 end

17 end

18 j=j+1;

19 end

§ 1.2.4 Summe der ersten naturlichen Zahlen

Satz 1.4 (Summe der ersten naturlichen Zahlen)

Jede gerade vollkommene Zahl n hat die Darstellung

n =k∑

i =k(k + 1)

mit einer geeig. nat. Zahl k , d. h. k ist Mersenne-Primzahl.

Jede gerade vollkommene Zahl ist also auch eine Dreieckszahl.

vgl. Vortrag Heß

Beispiel 1.5

1 6 = 1 + 2 + 3 = 3∗42

2 28 = 1 + 2 + ...+ 7 = 7∗82

3 496 = 1 + 2 + ...+ 31 = 31∗322

1 %% Summe der ersten nat. Zahlen

2 clc ,clear;

3 perfekt =[6 ,28 ,496 ,8128 ,33550336 ,8589869056 ,137438691328];

5 i=1; max=7; sumnat =0;j=1; zeit_sumnat=zeros(1,max);

6 while i<max+1

7 sumnat=sumnat+j;

8 for x=1:1:7

9 if sumnat == perfekt(x)

10 fprintf(’%25.0f\n’, sumnat );

11 zeit_sumnat(i)=toc;

12 i=i+1;

13 end

14 end

15 j=j+1;

16 end

§ 1.2.5 Vergleich der Darstellungsarten

Matlab

Abbildung: Vergleich der Darstellungsarten

Abbildung: Vergleich der Darstellungsarten (Zoom)

Abbildung: Vergleich der Darstellungsarten (Zoom auf Beginn)

§ 1.3 Existenz ungerader vollkommener Zahlen

Existieren ungeradevollkommene Zahlen???

Vermutung: NEIN

Eigenschaften einer solchen ungeraden vollkommenen Zahl z :

z hat die Form 12k + 1 oder 36k + 9

z besitzt mindestens 6 Primfaktoren

z besitzt mindestens 9 Primfaktoren, falls sie durch 3 teilbarist

falls z < 109118, ist z ganzzahlig durch p6 teilbar (p ist primund p > 10500) und besitzt mindestens 8 bzw. 11Primfaktoren

Zum heutigen Zeitpunkt ist bekannt: z > 10597. [OddPerfect]

§ 1.4 Abundante und Defiziente Zahlen

§ 1.4.1 Was sind Abundante und Defiziente Zahlen?

Definition 1.2 (Abundante Zahlen)

Ist die Summe der echten Teiler σ∗(n) einer naturliche Zahl ngroßer als die Zahl selbst, so nennt man diese Zahl abundant.[Vollkommene Zahl, WikipediaDE, Kap. 5.1]

Definition 1.3 (Defiziente Zahlen)

Ist die Summe der echten Teiler σ∗(n) einer naturliche Zahl nkleiner als die Zahl selbst, so nennt man diese Zahl defizient.[Vollkommene Zahl, WikipediaDE, Kap. 5.1]

§ 1.4.2 Beispiele

Beispiel 1.5

1 Teiler der 12: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12 (kleinsteabundante Zahl)

2 Teiler der 14: 1 + 2 + 7 = 10 < 14 (defiziente Zahl)

3 Teiler aller Primzahlen p: 1 < p (defiziente Zahl)

§ 1.4.3 Verallgemeinerung abundanter und defizienterZahlen

Definition 1.4 (n-abundante bzw. n-defiziente Zahlen)

Ist die Differenz n zwischen der Summe der echten Teiler σ∗(x)einer naturliche Zahl x und der Zahl selbst

gleich n, so nennt man x n-abundant.

gleich -n, so nennt man x n-defizient.

0-abundante bzw. 0-defizient sind vollkommene Zahlen. [TKS]

§ 1.4.3 Verallgemeinerung abundanter und defizienterZahlen

Matlab

Graphische Darstellung n-abundanter bzw. n-defizienterZahlen

Existieren mehr abundante oder defiziente Zahlen?

Zusammenhang n-abundante bzw. n-defiziente Zahlen undvollkommene Zahlen

§ 1.5 Verallgemeinerung vollkommener Zahlen

§ 1.5.1 Was ist eine x-fach vollkommene Zahlen?

Definition 1.4 (x-fach vollkommene Zahlen)

Eine x-fach vollkommene Zahl n ist eine Zahl, deren Summeihrer echten Teiler σ∗(n) das x-fache der Zahl selbst ergibt.Die vollkommenen Zahlen sind die 1-vollkommenen Zahlen.Alle x-vollkommenen Zahlen mit x ≥ 2 sind insbesondereabundante Zahlen. [Vollkommene Zahl, WikipediaDE, Kap. 4]

Beispiel 1.6

120 besitzt Teiler 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40 und60.σ∗(120) =1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60 = 240240 = 2 ∗ 120, d. h. 120 ist 2-vollkommen.

§ 1.5.2 Bestimmung x-fach vollkommener Zahlen I

1 %% Bestimmung x-fach vollkommener Zahlen

2 clc ,clear;

4 max =100000;

5 x=zeros(1,max);

6 for n=1:1: max

7 teiler=zeros(1,n);

8 j=1;

9 for i=1:1:n

10 if mod(n,i)==0

11 teiler(j)=i;

12 j=j+1;

13 end

14 end

15 summe =0;

16 for k=1:1:n

17 summe=summe+teiler(k);

18 end

19 summe=summe -n;

20 if mod(summe ,n)==0

§ 1.5.2 Bestimmung x-fach vollkommener Zahlen II

21 x(n)= summe/n;

22 end

23 if x(n)~=0

24 fprintf(’%10.0f ist %2.0f-vollkommen .\n’,n,x(n))

25 end

26 end

27 toc

§ 1.5.2 Bestimmung x-fach vollkommener Zahlen

Abbildung: Ausgabe im Command Window

Matlab benotigt zum Uberprufen der ersten 100.000 naturlichenZahlen uber 18 Minuten.

§ 2.1 Befreundete und Gesellige Zahlen?

§ 2.1.1 Was sind Befreundete und Gesellige Zahlen?

Definition 2.1 (Befreundete Zahlen)

Zwei verschiedene naturliche Zahlen, bei denen die Summe derechten Teiler σ∗ der ersten Zahl die zweite und die der zweitenZahl die erste ist, nennt man ein befreundetes Zahlenpaar. Diekleinere von ihnen ist abundant und die großere ist defizient.[Vollkommene Zahl, WikipediaDE, Kap. 5.2]

Definition 2.2 (Gesellige Zahlen)

Werden mehr als zwei naturliche Zahlen benotigt, um auf dieseWeise wieder zur Ausgangszahl zuruckzukommen, spricht man vongeselligen Zahlen. [Vollkommene Zahl, WikipediaDE, Kap. 5.2]

§ 2.1.2 Beispiele

Beispiel 2.1

220 und 284 sind das kleinste Paar befreundeter Zahlen.Es gilt: σ∗(220) = 284 und σ∗(284) = 220

12496, 14288, 15472, 14536 und 14264 sind gesellige Zahlen.Es gilt: σ∗(12496) = 14288, σ∗(14288) = 15472,σ∗(15472) = 14536, σ∗(14536) = 14264 und σ∗(14264) = 12496.

Abbildung: Pythagoras von Samos

antiker griechischer Philosoph

570 v. Chr. - 510 v. Chr.

Abbildung: Adrien-Marie Legendre

franzosischer Mathematiker

1752-1833

Liste befreundeter Zahlen unterhalb von 10.000.000:

Nr. erste Zahl zweite Zahl Jahr Entdecker1 220 284 ?? Pythagoras(?)/Thabit2 1184 1210 1860 Paganini3 2620 2924 1747 Euler4 5020 5564 1747 Euler5 6232 6368 1747 Euler6 10744 10856 1747 Euler7 12285 14595 1939 Brown8 17296 18416 um 1300/um 1300/1636 Ibn-al-Banna/Farisi/Pierre de Fermat9 63020 76084 1747 Euler

10 66928 66992 1747 Euler...

100 9071685 9498555 1946 Escott101 9199496 9592504 1929 Gerardin/Poulet102 9206925 10791795 1967 Bratley/McKay103 9339704 9892936 1966 Lee104 9363584 9437056 um 1600/1638 Yazdi/Rene Descartes105 9478910 11049730 1967 Bratley/McKay106 9491625 10950615 1967 Bratley/McKay107 9660950 10025290 1966 Lee108 9773505 11791935 1967 Bratley/McKay

[TUFR]

Abbildung: Henri Cohen

franzosischer Mathematiker

Man kennt heute insgesamt 53 Ketten geselliger Zahlen:

46 der Lange 4

1 der Lange 5

2 der Lange 6

2 der Lange 8

1 der Lange 9

1 der Lange 28

Die langste bekannte Kette ist14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072,589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444,243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976,45946, 22976, 22744, 19916, 17716.

Abbildung: Thabit ibn Qurrah

Abu l-Hasan Thabit ibn Qurra ibn Marwan as-Sabi’ al-Harrani

syrischer Mathematiker, Astronom, Astrologe, Magier,Physiker, Mediziner und Philosoph

826-901

Satz 2.1 (Satz von Thabit ibn Qurrah)

Sind drei Zahlen

p = 3 ∗ 2n−1 − 1, q = 3 ∗ 2n − 1 und r = 9 ∗ 22n−1 − 1

Primzahlen, so sind die beiden Zahlen

a = 2n ∗ p ∗ q und b = 2n ∗ rbefreundet.

Leider liefert dieser Satz fur n < 20000 nur in den Fallen n = 2,n = 4 und n = 7 die erforderlichen drei Primzahlen. [TUFR]

§ 3 Fazit

Mathematische Spielerei

beschaftigt Mathematiker schon seit Jahrtausenden

kann dieses Thema noch weiter ausfuhren

Vielen Dank fur IhreAufmerksamkeit

[Vollkommene Zahl, WikipediaDE] Vollkommene Zahl,WikipediaDE,http://de.wikipedia.org/wiki/Vollkommene_Zahl,Zugriff 27.11.2013

[Perfect Number, WikipediaEN] Perfect Number, WikipediaEN,http://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_number,Zugriff 27.11.2013

[TUFR] TU Freiburg: Vollkommene, befreundete und geselligeZahlen, http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/vollkzahlen.html, Zugriff 09.01.2014

[OddPerfect] OddPerfect.org, http://www.oddperfect.org/,Zugriff 14.01.2014

[TKS] Torsten-Karl Strempel: n-abundante bzw. n-defizienteZahlen

[1] hirnwindungen.de: Euklid von Alexandria, http://www.hirnwindungen.de/wunderland/bilder/euklid.gif,Zugriff 09.01.2014

[2] Polotaia: Euler, Elenin und der 10-Franken-Schein -Interessante Aspekte, http://www.politaia.org/wp-content/uploads/2011/08/Leonhard_Euler.jpg,Zugriff 09.01.2014

[3] GWB - Geoinformationstechnologie Wissensbasis:Pythagoras von Samos,http://gwb.lfvt.de/temp/personen_bilder/15.jpg,Zugriff 14.01.2014

[4] mathematik.ch: Legendre Adrien Marie, http://www.mathematik.ch/mathematiker/Legendre.jpg,Zugriff 14.01.2014

[5] WikipediaDE: Henri Cohen, http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f6/Henri_Cohen.jpg, Zugriff14.01.2014

[6] Enzyklopadie des Islams: Thabit ibn Qurra, http://www.eslam.de/begriffe/t/images/thabit_ibn_qurra.gif,Zugriff 09.01.2014

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