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Physik A – VL4 (16.10.2012)

Beschreibung von Bewegungen

- Kinematik in einer Raumrichtung II

• Die beschleunigte Bewegung

• Der Freie Fall

• Der senkrechte Wurf

• Betrachtung ungleichförmiger Beschleunigung mittels Integralrechnung

Die beschleunigte Bewegung

Ändert ein Massenpunkt seine Geschwindigkeit, spricht man von Beschleunigung.

Die Beschleunigung zeigt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert.

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www.kunst-für-alle.de

www.motor-talk.de

Durchschnittsbeschleunigung

Die Durchschnittsbeschleunigung ist definiert als

Quotient aus der Geschwindigkeits-Änderung und der dafür benötigten Zeit:

allZeitinterv

runggkeitsändeGeschwindi unigungttsbeschleDurchschni

bzw.

mit dem Zeitintervall t2 – t1 = t, in dem sich die Geschwindigkeit um v = v2 – v1

ändert.

t

v

tt

vva

12

12

Wie auch bei Weg und Geschwindigkeit handelt es sich bei der Beschleunigung

um eine vektorielle Größe (Betrag und Richtung).

Bei einer 1-dimensionalen Bewegung reicht auch hier das Vorzeichen um die

Richtung anzugeben

Durchschnittsbeschleunigung

Beispiel:Ein Auto beschleunigt gleichmäßig aus dem Stand auf eine Geschwindigkeit von 50 km/h, fährt

einige Zeit mit dieser Geschwindigkeit, bremst dann auf 30 km/h herunter und fährt mit dieser

Geschwindigkeit weiter:

4 Zeitintervalle:

1. Innerhalb 1 min ändert sich die Geschwindigkeit von 0 auf 50 km/h

2. 5 min lang ändert sich die Geschwindigkeit nicht

3. Innerhalb 20 s ändert sich die Geschwindigkeit von 50 auf 30 km/h

4. danach ändert sich die Geschwindigkeit (bis zum Ende der Messung) nicht mehr.

Durchschnittsbeschleunigung

Berechnung der Durchschnittsbeschleunigungen für die jeweiligen Zeitintervalle

gemäß :t

v

tt

vva

12

12

22

1 m/s 23,0km/h 3000h

601

km/h 50

min1

km/h 50

min0min1

km/h 0km/h 50

a

Anzahl signifikanter Stellen!!

Wichtig hier bei der Umrechnung km/h2 → m/s2:

Einheiten vergleichen! Exponenten beachten!:

2

5

222 s

m1072,7

s/h) 3600(

m/km 1000

h

km1

h

km1

Durchschnittsbeschleunigung

22

1 m/s 23,0km/h 3000h

601

km/h 50

min1

km/h 50

min0min1

km/h 0km/h 50

a

22

2 m/s 0km/h 0h

121

km/h 0

min1min6

km/h 50km/h 50

a

22

3 m/s 28,0km/h 3600

s/h 3600

s 20

km/h 20

20

km/h 50km/h 30

sa

22

4 m/s 0km/h 0h

km/h 0

min

km/h 30km/h 30

xxa

Berechnung der Durchschnittsbeschleunigungen für die jeweiligen Zeitintervalle

gemäß :t

v

tt

vva

12

12

Durchschnittsbeschleunigung

2

1 m/s 23,0a

2

2 m/s 0a

2

3 m/s 28,0a

2

4 m/s 0a

Berechnung der Durchschnittsbeschleunigungen für die jeweiligen Zeitintervalle

gemäß :t

v

tt

vva

12

12

1a3a Unterschiedliche Vorzeichen für und !

In diesem (!) Fall:

positive Beschleunigung = Erhöhung der Geschwindigkeit

(Umgangssprachlich „Beschleunigen“)

negative Beschleunigung = Erniedrigung der Geschwindigkeit

(Umgangssprachlich „Bremsen“ )

Das ist aber nicht allgemeingültig!!!!

Durchschnittsbeschleunigung

Gegenbeispiel:

Ein Auto bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 15 m/s in –x –Richtung

des Bezugssystems und bremst dann innerhalb von 10 s auf 5 m/s ab:

Auto bewegt sich nach links !

zurückgelegter Weg negativ! (vgl. letzte Vorlesung)

Geschwindigkeiten negativ!

In diesem Fall berechnet sich die Beschleunigung zu

2m/s ,01

s 10

m/s 10

s 10

m/s) 15(m/s 5

a

In diesem Fall reduziert sich die Geschwindigkeit – das Auto bremst – aber

trotzdem ist die Beschleunigung positiv.

Grund dafür ist das Bezugssystem!!

Momentanbeschleunigung

Analog zur Momentangeschwindigkeit gibt es auch eine Momentanbeschleunigung,

die in gleicher Art und Weise über die Durchschnittsbeschleunigung definiert ist:

Die Momentanbeschleunigung ist definiert als der Grenzwert der Durchschnitts-

beschleunigung , wenn t gegen Null geht:

Damit ist die Momentanbeschleunigung die Ableitung von v (genauer: v(t) !) nach t!

t

v

tt

vva

12

12

dt

dv

t

va

t

0lim

Geschwindigkeits-Zeit-Digramm

Analog zum Weg-Zeit-Diagramm zur Verdeutlichung der Definition der Momentan-

geschwindigkeit (bzw. zur graphischen Bestimmung dieser):

Betrachtung eines Geschwindigkeits-Zeit-Diagramms für die Beschleunigung:

Die Geschwindigkeits-Zeit-Kurve liefert zu jedem Zeitpunkt die Momentanbeschleunigung.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm:

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

= lineare Geschwindigkeitszunahme

v = (4,2 m/s2 ∙ t) m/s

v = a ∙ t

Weg-Zeit-Diagramm:

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

= quadratische Entwicklung des

zurückgelegten Weges

x = (2,1 m/s2 ∙ t2) m + 2,8 m

x = ½ ∙ a ∙ t2

Beschleunigungs-Zeit-Diagramm:

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

= konstante Beschleunigung

a = 4,2 m/s2 = Konstant

a = Konst.

Beschleunigungs-Zeit- (neu!), Geschwindigkeits-Zeit-, und Weg-Zeit-Diagramme

für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung:

Ort (Weg), Geschwindigkeit und Beschleunigung hängen voneinander ab!

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm:

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

= lineare Geschwindigkeitszunahme

v = (4,2 m/s2 ∙ t) m/s

v = a ∙ t

Weg-Zeit-Diagramm:

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

= quadratische Entwicklung des

zurückgelegten Weges

x = (2,1 m/s2 ∙ t2) m + 2,8 m

x = ½ ∙ a ∙ t2

Beschleunigungs-Zeit-Diagramm:

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

= konstante Beschleunigung

a = 4,2 m/s2 = Konstant

a = Konst.

Mit den bekannten Beziehungen und gilt:dt

dva

dt

ds

dt

dxv

2

2

2

2

dt

xd

dt

sd

dt

ds

dt

d

dt

dva

Die erste Ableitung des Ortes nach der Zeit ist die Geschwindigkeit

Die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit ist die Beschleunigung

hAbsprung = 39 km

vmax = 1341,9 km/h

tfreier Fall = 4 min 20 sek.

Der freie Fall

• das wichtigste Beispiel für eine

gleichmäßig beschleunigte Bewegung

• die Fallbeschleunigung in der der Nähe der Erdoberfläche beträgt

~ 9,81 m/s2

Bild:Xof711/Wikipedia

• Ursache der Fallbeschleunigung ist

die Anziehungskraft der Erde.

• Alle Körper fallen mit der gleichen

Beschleunigung zum Mittelpunkt

der Erde (ohne Luftwiderstand !), (Galileo Galilei)

Der freie Fall

Quelle: CIRES – Cooperative Institute for Research in Environmental Sciences (http://www.cires.colorado.edu)

• Das Gravitationsfeld der Erde und damit die Fallbeschleunigung variieren über die

Erdoberfläche

Ursache: Unterschiedliche Oberflächen-Topographien und Massenverteilungen

innerhalb der Erde.

• Messung aus dem Weltall:

Gravity Recovery and Climate

Experiment (GRACE) Satelliten

(seit 2002)

http://www.csr.utexas.edu/grace/

Der freie Fall

Experiment: Fallbeschleunigung

Der freie Fall

Beschleunigungs-Zeit-, Geschwindigkeits-Zeit-, und Weg-Zeit-Diagramme

für den freien Fall (eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung):

Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm: Weg-Zeit-Diagramm:Beschleunigungs-Zeit-Diagramm:

Vergleich mit dem vorherigen Beispiel für eine gleichförmig beschleunigte Bewegung:

Der freie Fall

Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm:

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

= lineare Geschwindigkeitszunahme

v = (-9,81 m/s2 ∙ t) m/s

v = g ∙ t

Weg-Zeit-Diagramm:

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

= quadratische Entwicklung des

zurückgelegten Weges

x = (-4,91 m/s2 ∙ t2) m + 78,48 m

x = ½ ∙ g ∙ t2

Beschleunigungs-Zeit-Diagramm:

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

= konstante Beschleunigung

a = g = -9,81 m/s2 = Konstant

g = Konst.

Beschleunigungs-Zeit-, Geschwindigkeits-Zeit-, und Weg-Zeit-Diagramme

für den freien Fall (eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung):

x

Der freie Fall

...in Formeln

Umformung der Gleichung für a, v und x zur Beantwortung spezifischer Fragestellungen:

1. Aus welcher Höhe ist ein Objekt gefallen, wenn es dafür die Zeit t benötigt hat?

2. Welche Zeit braucht ein Objekt um aus einer Höhe h zum Boden zu fallen?

3. Welche Geschwindigkeit hat ein Objekt im freien Fall…

…nach einer Zeit t? …nach einer Fallstrecke h?

2

2

gh tFallhöhe

Fallzeit2h

tg

Fallgeschwindigkeit v gt Fallgeschwindigkeit 2v gh

g = 9,81 m/s2g = 9,81 m/s2

Der freie Fall

...in der Forschung

Fallturm der Universität Bremen

ZARM – Zentrum für Angewandte Raumfahrttechnologie und Mikrogravitation

h = 145 m Freier Fall aus 110 m im Vakuum.

Bestimmung der Mikrogravitation,

Simulation von Schwerelosigkeit, …

24,7

ht s

g

Frage: Wie lang ist die Fallzeit?

Der senkrechte Wurf

aus Stroppe: Physik“

Wurf eines Objektes (Punktmasse) mit einer bestimmten (Abwurf-)Geschwindigkeit v0

senkrecht nach oben:

Überlagerung zweier Bewegungen:

1. gleichförmige Bewegung nach oben (v0)

2. gleichmäßig beschleunigte Bewegung nach unten (→ freier Fall!)

die resultierende Bewegung ist ebenfalls eine gleichmäßig beschl. Bewegung!

Die beiden Bewegungsvorgänge überlagern sich, aber beeinflussen sich nicht gegenseitig!

Beschleunigungs-Zeit, Geschwindigkeits-Zeit- und Weg-Zeit-Diagramme:

Der senkrechte Wurf

aus Stroppe: Physik“

Beschleunigungs-Zeit, Geschwindigkeits-Zeit- und Weg-Zeit-Diagramme:

Vergleich mit freiem Fall:

konstante Beschleunigung (-g) Startgeschwindigkeit ≠ 0 (= v0) Parabelförmig

konstante Geschwindigkeits- s-t-Kurve nach Umkehrpunkt

änderung gemäß Beschl. a = -g t1 entspricht freiem Fall

Umkehrpunkt

Umkehrpunkt

Der senkrechte Wurf

aus Stroppe: Physik“

Beschleunigungs-Zeit, Geschwindigkeits-Zeit- und Weg-Zeit-Diagramme:

Berechnung des senkrechten Wurfes:

1. Geschwindigkeit nach Zeit t:

2. Höhe nach Zeit t:

3. Geschwindigkeit in Höhe h:

4. Maximale Wurfhöhe (v = 0!):

tgvv 0

Wurf mit v0 Fallbeschleunigung

20

2t

gtvh

hgvv 220

max20

20

202 hgvhgvvg

vh

2

20

max

Umkehrpunkt

Umkehrpunkt

Frage:

Wie groß ist t1? (Zeit bis Umkehrpunkt)

g

vttgv

tgvvv

0110

0

!00

Betrachtung ungleichförmiger Beschleunigung

mittels Integralrechnung

Zunächst: Herleitung der Gleichungen für konstante Beschleunigung über Integralrechnung.

Definition der Momentanbeschleunigung: dtadvdt

dva

Integration beider Seiten der Gleichung: tavvtavvdtadvconstat

t

v

vv

00

.

00

Definition der Momentangeschwindigkeit: dtvdsdt

dsv dttavds 0

Integration:

200

200

00 00

.

0 0

2

1 bzw.

2

1

0

tatvxxtatvxxs

adtdtvxxsdttavdst

t

t

t

constat

t

x

xx

Betrachtung ungleichförmiger Beschleunigung

mittels Integralrechnung

Integrieren mit zeitabhängiger Beschleunigung, d.h. a = f (t) (Beispiel: a (t) = (5,0 m/s3)·t):

Definition der Momentanbeschleunigung: dtadvdt

dva

Integration beider Seiten der Gleichung:

t

t

v

vvdtadv

00

23-2

3-

0

23-

0

3- ms ,5202

ms 0,52

ms 0,5ms 0,5)( ttt

dtttv

tt

Damit kann v (t) zu jedem beliebigen Zeitpunkt berechnet werden, z.B. t = 2,0 s: (2,5 ms-3)(2,0 s)2 = 10 ms-1

Berechnung des Weges (mit x0 = 0): vdtdxds

Integration: tx

dtvds00

)(67,63

ms ,52ms ,52)(

0,2

0

33-0,2

0

23- tsmt

dtttx

ss

Betrachtung ungleichförmiger Beschleunigung

mittels Integralrechnung

Allgemeine Ausdrücke / Integrale für ungleichförmig beschleunigte Bewegungen:

Geschwindigkeit:

zurückgelegter Weg: t

t

t

tdtttadttvsts

00

)()( 00

t

tdttavtv

0

)()( 0

tta -3ms 1 Formder in z.B. )(mit

Zusammenfassung

• Die beschleunigte Bewegung

Ändert ein Massenpunkt seine Geschwindigkeit, spricht man von Beschleunigung.

Die Beschleunigung zeigt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert.

Die Durchschnittsbeschleunigung ist definiert als Quotient aus der Geschwindigkeits-

Änderung und der dafür benötigten Zeit

Vorzeichen der Beschleunigung beachten (Bezugssystem!) !

Die Momentanbeschleunigung ist definiert als der Grenzwert der Durchschnittsbeschleu-

nigung, wenn t gegen Null geht.bzw.

Die Momentanbeschleunigung die Ableitung von v (genauer: v(t) !) nach t!

• Der freie Fall

Wichtigstes Beispiel für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Ursache der Fallbeschleunigung ist die Anziehungskraft der Erde

Alle Körper fallen mit der gleichen Beschleunigung zum Mittelpunkt der Erde

(Bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes !)

Die Fallbeschleunigung in der der Nähe der Erdoberfläche beträgt ~ 9,81 m/s2

2

2

gh tFallhöhe Fallzeit

2ht

g Fallgeschwindigkeit bzw. v gt 2v gh

Zusammenfassung

• Der senkrechte Wurf

Überlagerung zweier Bewegungen:

1. gleichförmige Bewegung nach oben (mit Geschwindigkeit v0)

2. gleichförmig beschleunigte Bewegung nach unten (vgl. freier Fall)

Die resultierende Bewegung ist ebenfalls eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung !

Die beiden Bewegungsvorgänge überlagern sich, aber beeinflussen sich nicht gegenseitig!

• Betrachtung ungleichförmiger Beschleunigung mittels Integralrechnung

Herleitung der Gleichungen für konstante Beschleunigung über Integralrechnung.

Berechnung von ungleichmässig beschleunigter Bewegung.

tgvv 02

02

tg

tvh hgvv 220g

vh

2

20

maxWurfhöheHöhe Geschw. bzw.

Geschwindigkeit:

zurückgelegter Weg: t

t

t

tdtttadttvsts

00

)()( 00

t

tdttavtv

0

)()( 0

tta -3ms 1 Formder in z.B. )(mit