Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 105.05.06

Vorlesung 4:

Roter Faden:

Bisher: lineare BewegungenHeute: Kreisbewegung

Exp.: Märklin, Drehschemel, Präzession Rad

Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 205.05.06

Kreisbewegung

Kinematik, d.h. Beschreibung der Rotationdurch Winkelgeschwindigkeit und Zentripetalbeschleunigung.

Dynamik, d.h. Zusammenhang zwischenKräfte and kinematische Größen →Bewegungsgleichung (d.h. Gleichung fürRotation, die äquivalent zu F=dp/dt für lineare Bewegung ist)

Erwartung: Rotation erzeugt durch DrehmomentM=r x F. Gilt auch M=dL/dt mit L=r x p?

Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 305.05.06

Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung

Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 405.05.06

Vektornotation

Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 505.05.06

Vektor der Winkelgeschwindigkeit

Will man die Bewegungsebene beliebig angeben, ist es zweckmäßig,einen Vektor der Winkelgeschwindigkeit als Normalvektor dieserEbene anzugeben, dessen Betrag ω=v/r ist. Da dieser Vektor senk-recht zu v und r steht, kann man ihn als Vektorprodukt schreiben:v=ω x r →ω=1/r2(r x v) (da r x v = r x (ω x r)= r2 ω)

ω

r v

Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 605.05.06

Zentripetalkraft bei gleichförmiger Kreisbewegung

Zentripetalkraft=ma=mω2r=mv2/r

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Zum Mitnehmen

Zentripetalkraft=ma=mω2r=mv2/r

ω

r v

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Zentripetalkraft am Äquator

Die Zentripetalkraft reduziert GewichtskraftWo ist Effekt am Größten?

Wieviel weniger wiegen Sie dort?

Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 905.05.06

Zentripetalkraft bei gleichförmiger Kreisbewegung

Komponenten, d.h. Projektionender Kreisbewegung auf Achsen

sind sin und cos Funktionen!

Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1005.05.06

Zum Mitnehmen aus KinematikKinematik=Beschreibung einer Bewegungdurch Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigungin Abhängigkeit der Zeit:x(t) v(t)= x(t)a(t)=v(t)=x(t)a=konstant; v=v0+at; x=x0+v0t+1/2at2

Jetzt:ϕ(t) ω(t)= ϕ(t)α(t)= ω(t)= ϕ(t)

α =konstant; ω = ω 0+ α t; ϕ = ϕ 0+ ω 0t+1/2 α t2

Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1105.05.06

Dynamik

Kinematik, d.h. Beschreibung der Rotationdurch Winkelgeschwindigkeit und Zentripetalbeschleunigung.

Dynamik, d.h. Zusammenhang zwischenKräfte and kinematische Größen →Bewegungsgleichung (d.h. Gleichung fürRotation, die äquivalent zu F=dp/dt für lineare Bewegung ist)

Erwartung: Rotation erzeugt durch DrehmomentM=r x F. Gilt auch M=dL/dt mit L=r x p?

Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1205.05.06

DrehimpulsDefiniere Drehimpuls als L= r x p = r x mv =m (r x v)=mr2ω = J ω. J=mr2 heisst Massenträgheitsmoment .

In Worten: Drehimpuls = Trägheitsmoment x Winkel-geschwindigkeit, ähnlich wie p = m v.

Es gilt: dL/dt= d/dt (r x p) = dr/dt x p + r x dp/dt= v x mv + r x F = r x F = M

M oder (D) ist ein Vektor, der Drehmoment genanntwird. Es gilt: M=dL/dt=d (J ω)/dt= J d ω/dt =J α

ω=1/r2(r x v)

r v

M=r x F

r F

Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1305.05.06

Analogien

J=Σmi ri2 = Massenträgheitsmoment(eng.: mass moment of inertia)

L=Jω = Drehimpuls oder Drall(eng.: angular momentum)

Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1405.05.06

DrehimpulserhaltungM=dL/dt=d (J ω)/dt= J d ω/dt =J α = mr2 dω/dt

In Worten: Das Drehmoment ist gleich der zeitlichenÄnderung des Drehimpulses.

L=mr2 ω ist der Betrag des Drehimpulses einesumlaufenden Massenpunktes (=J ω)

Satz von der Erhaltung des Drehimpulses:Beim Fehlen äußerer Drehmomente bleibt dieSumme der Drehimpulse eines abgeschlossenenSystems konstant.

Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1505.05.06

Versuch DrehschemelTrägheitsmoment für einenspindeldürren Studenten:∑mi r2≅0.Gesamtträgheitsmomentdann J=2mra

2=2.2.0.8 =2.56 kgm2

Am Anfang: Drehimpuls L=JaωaNach Heranziehen der Kugeln: L=Jeωe.

Bei Drehimpulserhaltung:ωe=ωa (Ja/Je)=ωa(ra/re)2

Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1605.05.06

Versuch Drehschemel

Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1705.05.06

PräzessionsversuchBeobachtung: drehendes Radfällt nicht, sondern dreht sichin horizontaler Ebene.

Erklärung: Drehimpuls L hatTendenz sich Drehmoment Mparallel zu richten (wie Impulsp parallel F).

Gewichtskraft übt Drehmomentin horizontaler Richtung ausund M=mgD=dL/dt schiebtL in horizontale Richtung!

RD

Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1805.05.06

PräzessionsfrequenzOhne Drehung: M=mg x D erzeugt Drehimpuls in horizontaler Richtung, wodurch das Rad sich nachunten bewegt. Die Änderung des Drehimpulsesbei einem drehenden Rad dL ändert Gesamtvektor Lnach Parallelogramm-Regel (und es gilt auch L willsich in Richtung von M bewegen).

dLdϕ

Es gilt: M=dL/dtdL=LL=mR2 ωRad

dϕ Oder: M=Ldϕ/dt≡LωP

Oder: Präzessionsfrequenz=ωP=M/L=mgD/(mR2 ωRad)

=gD/(R2 ωRad)L

Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1905.05.06

Pendel

Rücktreibende Kraft Fr=mg sin α≅mg α= mx= ml αLösung der Diff. Gleichung α=g/lα:

α=Asin(ωt), da α=Aω2 sin(ωt),oder Aω2 sin(ωt)=Ag/l sin(ωt) ,oder ω=√g/l.

α

αFr

l

Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 2005.05.06

Pendel als Drehbewegung

ϕ

αFr

r

Drehmoment M = r x F = dL/dt=d(r x p)/dtOder -r x mg = d(r x mv)/dt =mr x dv/dtOder -r x g = r x d(ω x r)/dt=r x (ω x r)Oder, da a x (b x c)= b (a.c) –c (a.b),gilt -r x g = ω r2-r (r. ω) = ω r2

(Scalarprodukt r. ω=0 da r⊥ ω (=α) Oder -lgsin ϕ =l2 ϕ(ω = ϕ und sin ϕ = ϕ - ϕ 3/(3!)+… ≅ ϕ)Lösung der Diff. Gleichung ϕ =-g/l ϕ :ϕ =Asin(ωt), da ϕ =-Aω2 sin(ωt),oder Aω2 sin(ωt)=Ag/l sin(ωt) ,oder ω=√g/l =2π/T. Schwingungsdauer T=2π√(l/g)

F=mgg=(0,0,g)

√l

T Steigung 2π/√g

Methnode um g zu messen

Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 2105.05.06

Zum Mitnehmen

ω=1/r2(r x v)

r v

M=r x F

r F

Bewegungsgleichungen für Translation: ∑F=dp/dtRotation: ∑M=dL/dtDrehimpuls L=r x p =mr2ω=J ω