View
300
Download
10
Category
Preview:
Citation preview
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
Baustatik II (SS 2011)
8.3 Platten
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.1 Schnittgrößen in Platten
Voraussetzungen:# Dicke viel kleiner als die Seitenlängen.# Lasten wirken quer zur Plattenebene.
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.1 Schnittgrößen in Platten
xy
xyyx
x
y
zh
yz xz
Spannungen
Plattenmittelebene
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.1 Schnittgrößen in Platten
Schnittgrößen
Plattenmittelebene
x
y
zh
xymyxm
xqyqxm
ym
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.1 Schnittgrößen in Platten
Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Spannungen:
h
2hz
2hz
z
2
2
wobei: h
hx x x xxm z dz m m
2
2
wobei: h
hy y y yym z dz m m
• Biegemomente:
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.1 Schnittgrößen in Platten
• Drillmoment2
2
h
hxy xym z dz
xy yxm m
• Querkräfte
2
2
h
hx xzq dz
(qx = resultierende Kraft von xz )
2
2
h
hy yzq dz
(qy = resultierende Kraft von yz)
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.1 Schnittgrößen in Platten
Hauptmomente:
1 2, , , Hauptmomentex y xym m m m m
22
1,2 2 2x y x y
xy
m m m mm m
2
tan 2 xy
x y
mm m
2m
1m
yxm
ym
xym
xm
x
y
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
Beispiel: Gelenkig gelagerte quadratische Platte unter konstanter Flächenlast
1xm m
2ym m
2m1m
2
27,2pl2
21,6xyplm 2m
1 2 xym m m
x
y
auf der -Achsexm xmax. xm
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
Beispiel: Gelenkig gelagerte quadratische Platte unter konstanter Flächenlast
1infolge bzw. xym m
Bemerkungen:• mx und my in der Plattenmitte am größten, |mxy| in den Ecken am größten.• Rissbilder auf der Plattenunterseite
Rissbilder auf der Plattenoberseite2infolge bzw. - xym m
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie
Die Durchbiegung w der Platte (Verschiebung in z-Richtung) ist unabhängig von z: w = w(x,y), d.h.: alle Punkte P auf der Normalen besitzen die gleiche Durchbiegung w(x,y).
Es gilt die Normalenhypothese:Die Normalen bleiben nach der Deformation weiterhin senkrecht (orthogonal) zur Plattenmittelebene!
Normale
zw
P
P
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie
,, 0Z
w x yw w x y
z
0 Schubverzerrungxz yz
Daher werden die Kirchhoffschen Platten auch als „schubstarre“ Platten bezeichnet.
Die Normalspannung senkrecht zur Plattenmittelebene ist vernachlässigbar, d.h.
0z (Ebener Spannungszustand)
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Plattentheorie
2 22
2 22 ,
xy yx m mm p x yx x y y
,yx qq p x yx y
yxxx
mm qx y
y xyy
m mq
y x
1.) Gleichgewichtsgleichungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Plattentheorie
2.) Kinematik
wx
z
P
P
( , )w x yz
x
wu zx
wu zx
wv zy
2
2xu w zx x
2
2yv w zy y
2
2 xy
u v w zy x x y
• Verschiebungen:
• Verzerrungen:
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Plattentheorie
3.) Spannungs-Verschiebungsbeziehungen (Hooke)
2 2
2 2 2 21 1x x yE E z w w
x y
2 2
2 2 2 21 1y y xE E z w w
y x
2
2xy xywG G z
x y
Elastizitätsmodul Querkontraktionszahl/Querdehnzahl
Schubmodul : 2(1 )
E
EG G
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Plattentheorie
4.) Momenten-Verschiebungsbeziehungen
2 2
2 2xw wm K
x y
2 2
2 2yw wm K
y x
2
1xywm K
x y
3
2Plattensteifigkeit:
12 1E hK
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Plattentheorie
5.) Querkraft-Verschiebungsbeziehungen
3 3
3 2 xw wq K
x x y
3 3
3 2yw wq K
y x y
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.4 Kirchhoffsche Plattengleichung
Einsetzten von mx, my und mxy in die Gleichgewichtsgleichung für die Momente
liefert die Kirchhoffsche Plattengleichung:
4 4 4
4 2 2 4
,2
p x yw w w
Kx x y y
oder
pwK
Partielle DGL 4. Ordnung,Inhomogene Bipotentialgleichung
Bemerkung:Die Kirchhoffsche Plattengleichung kann als eine Verallgemeinerung derEuler-Bernoullischen Balkengleichung EIwIV = p betrachtet werden!
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.5 Plattengleichung im Polarkoordinatensystem
Für Kreisplatten, Kreisringplatten, Kreissektorplatten oder Platten mit einem
Kreisloch ist es sinnvoll, Polarkoordinatensystem zu verwenden.
z
dr
rh
r
z
r
rz
r
d
zm
rm q
dr
r
d
rmrm
rq
hSpannungen
Schnittgrößen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.5 Plattengleichung im Polarkoordinatensystem
( , )( , ) p rw rK
Rotationssymmetrische Probleme:
2 2
2 2 2
4 3 2 4 3 2 4
4 3 2 2 3 2 2 2 3 2 4 2 4 4
1 1
,2 1 1 2 2 4 1
wr rr r
p rw w w w w w w wwr r Kr r r r r r r r r r r
4 3 2
4 3 2 2 3
( ), ( ), 0
2 1 1
w w r p p r
p rd w d w d w dwr dr Kdr dr r dr r
Inhomogene EulerscheDGL 4. Ordnung!
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.5 Plattengleichung im Polarkoordinatensystem
Momenten-Verschiebungsbeziehungen:2 2
2 2 2
1 1r
w w wm Kr rr r
2 2
2 2 2
1 1w w wm Kr rr r
11r rwm m K
r r
rq K wr
1q K wr
Querkraft-Verschiebungsbeziehungen:
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.5 Plattengleichung im Polarkoordinatensystem
Rotationssymmetrische Probleme:2
2
1r
d w wm Kr rdr
2
2
1d w dwm Kr drdr
0r rm m
2
2
1r
d d w dwq Kdr r drdr
0q
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.6 Ersatzquerkräfte und Eckenkraft
An jedem Rand der Platten treten 3 Schnittgrößen auf: Biegemoment, Drillmoment und Querkraft. Im Rahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie können aber nur 2 Randkräfte vorgeschrieben werden. Um diese Schwierigkeit zu beseitigen, werden an jedem Rand die Querkräfte und die Drillmomente zu den so genannten Kirchhoffschen Ersatzquerkräften zusammengefasst:
3 3
3 2, 2
xyx xy x x
m w wq m q q Ky x x y
3 3
3 2, 2yxy yx y y
m w wq m q q Kx y x y
Dabei wird das Drillmoment myx=mxy durch äquivalente Kräftepaare ersetzt. Für ein infinitesimales Randelement dx verbleibt dann nur ein Zuwachs als effektive Kraft in z-Richtung.
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.6 Ersatzquerkräfte und Eckenkraft
xym dx
xyxy
mm dx dx
x
/xyxy
mm dx dx dx
x
/xym dx dx
dx dx
x
y
//xyxyxy
xy
mm dx dx dx
x
m
m dx dx
dxx
Resultierende
dx/xy xym m
dx dxx x
verteil t aufxymdx dx
x
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.6 Ersatzquerkräfte und Eckenkraft
xymx
yq
yq
An Plattenecken verbleibt an beiden Rändern in der Ecke eine resultierende Einzelkraft, die sich nicht abhebt. Diese Kraft wird als Eckenkraft bezeichnet.
2
2 2 (1 )xy yx xywF m m m K
x y
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.6 Ersatzquerkräfte und Eckenkraft
xym dyyxm dx
/yx yxm dx dx m
dydx
x
y /xy xym dy dy m
xy yxmF m Resultierende Eckkraft
Fx
y
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.6 Ersatzquerkräfte und Eckenkraft
Diese Eckenkraft ist abhebend!
Maßnahmen gegen Abheben:1.) durch Auflast in der Ecke;2.) durch Verankerung;3.) durch biegesteife Verbindung der Ecke mit der Unterstützung oder benachbarter Platte.
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.7 Randbedingungen
1.) Gelenkig gelagerter Rand 0
0x
wm
xx
y(0, ) 0
(0, ) 0
w y
w y
2
2
2 2 2
2 2 2
(0, ) 0 0
(0, ) 0 0 0x
w ww yy y
w w wm yx y x
Naviersche RB
0 2 ,xy xy xxm F m q q Beachte:
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.7 Randbedingungen
2.) Eingespannter Rand
2
2
2
(0, ) 0 0
(0, ) 0 0 (0, ) 0xy
w ww yy y
w wy m yx x y
(kein Drillmoment)
2 0 , (0, ) (0, )xy xxF m q y q y Beachte:
00xy
wm
x
x
y
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.7 Randbedingungen
3.) Freier Rand
2 2
2 2
3 3
3 2
(0, ) 0 (0, ) (0, ) 0
(0, ) 0 (0, ) 2 (0, ) 0
x
x
w wm y y yx y
w wq y y yx x y
0
0x
x
m
q
xx
y
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.7 Randbedingungen
4.) Eingespannte Ecke
x
y2
0 0 2 0xy xyw m F m
x y
Abhebende Eckenkraft!
5.) Gelenkig gelagerte Ecke
x
y
0,0 0
0,0 0
0,0 0
0,0 0
2 0
x
y
xy
xy
w
m
m
m
F m
Keine abhebende Eckenkraft!
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.7 Randbedingungen
6.) Freie Ecke
Keine abhebende Eckenkraft!
Bemerkung:
Mehr zu Randbedingungen siehe Arbeitsblätter „Platten (Randbedingungen)“!
x
y
2
0,0 0 0 0xywm F
x y
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.8 Lösungen der Plattengleichung
pwK
Die Plattengleichung ist eine inhomogene Bipotentialgleichung:
Gesamtlösung:
Dabei:
wh: homogene Lösung der Plattengleichung
wp: Partikularlösung der Plattengleichung
h pw w w
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.8 Lösungen der Plattengleichung
0hw Die homogene Lösung wh erfüllt die homogene Bipotentialgleichung:
Daher kann man den Lösungskatalog für die Airysche Spannungsfunktion Fverwenden. Dabei wird F einfach durch wh ersetzt (vgl. Arbeitsblatt „Scheiben (Lösungen))!
Die Partikularlösung wp erfüllt die inhomogene Bipotentialgleichung:
ppwK
wp kann z.B. mittels „Ansatz vom Type der rechten Seite“ gewonnen werden!
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.9 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen bei Platten
In der praktischen Anwendung erfolgt die Bestimmung der Schnittgrößen bei Platten mit Hilfe von Tabellenwerken oder in komplizierten Fällen mit einem EDV-Programm (z.B. FEM).
8.3.9.1 EinfeldplattenÜberblick:1.) Drillfreie bzw. drillweiche Platten
Lastaufteilungsverfahren von Marcus („Streifenkreuz-Verfahren“, „Streifenmethode“). Dabei wird das Drillmoment vernachlässigt.
2.) Drillsteife PlattenCzerny-Tafel; Hahn; Brückner; Stiglat und Wippel; Pucher; Bittner,
usw. (siehe Arbeitblatt „Platten (Literatur))!
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN
8.3.9 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen bei Platten
8.3.9.2 Durchlaufende PlattenÜberblick:1.) Belastungsumordnungsverfahren (BU-Verfahren)
Dieses Verfahren wird auch als „Schachbrettverfahren“ bezeichnet.Voraussetzung: min.l/max.l ≥0,75!
2.) Verfahren nach Pieper/Martens (siehe Bautabelle Schneider)Voraussetzungen: q ≤ 2g; q ≤ (2/3)p!
* Verfahren beruht auf BU-Verfahren;* Verfahren liefert i. A. größere Feldmomente als BU-Verfahren
(auf der sicheren Seite);* Rechenaufwand wesentlich geringer als BU-Verfahren.
Recommended