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SCHRIFTENREIHE SCHIFFBAU
P. Blume
Berechnung der gekoppelten Biege- und Torsionsschwingungen des Propellerblattes unter Berücksichtigung des Steigungsverlaufes über dem Radius
266 | Februar 1971
INSfJ:IITUfJ:' FU1 SCHIIIE'BAU DEH UNIV.EHSITj-~T HAhBUHG
Berechnum'; der
Bericht Nr. 266
gekoppelten Biege- und Torsionsschwinvungen
des rrooellerblattes unter Berücksichtigung des Steigungs-
verlaufes über dem Radius
von
P. Blume
Hamburg, Februar 1971
Berechnung der gekoppelten Biege- und forsionsschwingungen
des Propellerblattes unter BerÜcksichtigung des Gteigungs-
verlaufes liber dem iladius
1 . Einführung
2. Profilgeornetrie
Hechenmethode
~ahl des Ersatzsystems
HodiLLzierteß Gürnbel-Csupor- Verfn.hren fÜr
gegeneinander verdrehte ',,~uerschnitte
Berechnunp; der Eigensch1;dngungß zahlen und
Eil';enformen
Berechnung der erzwungenen Schwingungen
l;rregerlasten
Hechenverfahren
L~. Err;ebnisse
L~.1. Sigenßchwingungszahlen und Eigenformen
Erzwungene Schwingungen
c.). ZUßammenfD.ssung
- 2 -
1. Einführung
In dieser Arbeit soll als Erweiterung des Berichts Nr.256
ein Weg zur Berechnung der gekoppelten Biege- und Torsions-
schvdngungen eines Propellerblattes gezeigt werden.Diese
Arbeit stützt sich daher vorwiegend auf den schon genannten
Bericht von Boese [1J und das Verfahren von Gümbel-
Osupor [2J .
Boese hat reine Biegeschwingungen unter Berücksichtigung
des Steigungsverlaufes berechnet.Als Voraussetzungen gehen
deshalb ein,daß die Profilschwerpunkte mit den Schubmittel-
punkten des Profils zusammenfallen, daß diese Punkte auf
einer Geraden liegen und auch die resultierenden uußeren
Kräfte durch diese Punkte gehen.
Diese Voraussetzungen sollen nun fortfallen, wenn auch die
Bedingung Schubmittelpunkt gleich Schwerpunkt sp~iter
wieder eingeführt wird. Wie gezeigt wird, ist dieser Fehler
vernachHissigbar gering. Der wesentliche Anteil des 'rorsions-
momentes entsteht infolge der Rücklage.
2. Profilgeometrie
~~ß~_~~~_Q~~g!~~~
In der Regel werden die Profile eines Propellerblattes
durch Zylinderschnitte festgelegt.Doese hat diese auch
zur Berechnung der Iv1assen,Steifigkeiten und !'viderstands-
momente herangezogen.Dadurch entsteht ein Fehler gegen-
über den ebenen Querschnitten,die wohl richtiger zu
wählen w~ren.Meyne weist in [3J auf die Lage der Bruch-
flächen,d.h.auch der kleinsten Widerstandsmomente,hin.
Trotzdem soll auch hier mit den gestreckten Zylinder-
schnitten gerechnet werden, weil für den gerechneten
Propeller eben diese Schnitte mit Aufmaßen vorliegen.
Dieser Fehler betrifft nur die Eingabegrößen,undert
aber nichts an der eigentlichen Schwingungsrechnung.
- 3 -
~~~E!!E2Ge~~!~~~b~~~_~~~_§~b~~~~!!~1E~~~!
Am Beispiel eines Profils soll die Lage der Haupttr~g-
heitsachsen und des Schubmittelpunktes überprüft werden,
weil bei as;ymmetric;chen Profilen Schwerpunkt und ;::;chub-
mittelpunkt sowie Sehnen- und Haupttr~5gheits[)chsenrichtung
nicht identisch sind.Als Beispiel wird folgendes Profil
gew~hlt: NACA 08.66,WBlbungsverh~ltnis f je = 0,0679
und Dickenverhtiltnist/c = 0,15 .
Für dieses Profil wurden die erforderlichen VJerte durch
Zerlegung in Rechtecke berechnet (siehe Anhang).
Der Winkel zwischen der Sehnen- und der Haupt;tr~igheits-
achsenrichtung ergibt sich zu 1,42 Grad,das Tr~gheits-
moment ist praktisch gleich dem um die Schwerpuruztsachse
in Sehnenrichtung.
Nach [L~J ist die Lage des Schubmittelpunktes bezogen auf
dierr~gheitsachsen durch den Schwerpunkt gegeben durch
JK + ]y
Jy - J"
JI'+- :Jy
J'f - .Jx
T\irdas obige Profil ergeben sich elie ';ferteQ)< ~ O,01Lfc
und 0y ~ O,ooSc ,d.h. sie sind vernachltissigb2.rklein.
Da für tihnliche Propellerprofile Ühnliche,lerte er\'JE.:.rtet
werden, wird also in dieser Arbeit die:';ehnenrichtung als
HaupttrÜgheitsrichtung angenommen,und die Lage des Schub-
mittelpunktes sei identisch mit der des Schwerpunktes.
J ( )(y~)
J~
_ _ J (x 2.1)
J'f
3. Rechenmethode
2~2~__~~e1_~~~_~E~~!~~~~!~~~
Das Propellerblatt wird als an der Nabe einseitig einge-
spannter Tr~ger betrachtet.Dabei ist die Massenbelegung
und die Steifigkeitsverteilung über der L~nge veränderlich.
Die Hauptträgheitsachsen sind entsprechend der jeweiligen
Steigung kontinuierlich gegeneinander verdreht.
Zur Berechnung der benBtigten GrBßen werden die Aufmaße
der Zylinderschnitte herangezogen,die Rücklage jedes
Schnittes wird eingegeben durch den Bogen zwischen ein-
tretender Kante und einem Bezugsradius.
_4-
_
oorC11naten
ylinderschnitt:
Y y = achsialeKoordinate
x = tangentiale Koord.
5/~ = Koordinaten in Richtungder Haupttrügheitsachse
ß = Steivun [?swinkelLI _.J
)(
;nl:r-I-~_"V\ ;:J D1 J.--J __,.:::J~ "' :-.' ;:J~ t-_
R = Pr(
"':'= Na~
L == R
.,= R
\r = Winkel SC
.
hwerpuru~t-
o - Bezugsradiusl R .
II
( I ~
'Tteifi~keitsverlauf
ie FlEichen,ihre Schwerpunkte und die Trägheitsmomente
önnen durch Zerlegung in Rechteckelemente berechnet
erden: ~t
~on ,)0
L o- ~.."..-1-- I. I _ _ T-:--
,. t. V I I I I - >
T
~.- ~- ~
- 5 -
Ublicherweise ist der Profilumriß gegeben durch obere
und untere Aufmaßpunktero
und {~ .Dann gilt für die
Fläche: ~
F == L Lfl'l ~ ~ ?fM" 70"- 114>\",. -'1
für den Schwerpunktsabstand von der Sehne:'W:
L~."""
70>\ 1,,,, A j
Ffür den Schwerpunktsabstand von der Nase:
~
=~ ~O'" 7f~ ~r~
Fund für das Trägheitsmoment (bei Drehung in 1-Richtung):*
1 ~ Sl=
~ z. ~ F-12 L 1f..4> -t L rzo",1p..~~- 10..=~ h~~
Das kleinste Widerstandsmoment gilt in der Regel für die
Blattoberseite (Saugseite),weil der Abstand zur Trägheits-
~chse für die Saugseite größer ist:
=
Für die Drillsteifigkeit sollen die Werte einer Ellipse
gleichen Dickenverhältnisses genommen werden:
7T m3 '"=- U /1.1 2.+
-1 71' 0V(
t-
I 1t x
und
wobei L~ in den
also am gleichen
7T 8=-
16 m 'lf~~
Endpunkten der kleinen Achse auftritt,
Ort wie () aus der Biegebeanspruchung."Yc
Ilassenverte ilung
Die Messenverteilung ergibt sich aus derjenigen des Blattes
vergrößert um die mitschwingende Wassermasse.Deshalb ist
sie für die 5 -und die 1-Richtung verschieden:
m7.
(t) =~fhf' F (0 + X ? IV ~ t ({)
2-
Die hydrodynamische rlasse wird für jeden Querschnitt gleich
der für einen elliptischen Zylinder mit der Hauptachse
entsprechend der Profil tiefe angenommen, und zur Berück-
sichtigung der Dreidimensionalität wird der Heduktions-
faktor X eingeführt.Entsprechend [1] wird K über die
Länge konstant m~t X = 0.66 angenommen.
~ Das rrrägheitsmomentin ~ -Richtung wird demgegenüber als
unendlich groß angesehen (für das Profil-Beispiel ergab
sich ein Verhältnis 1:35).
6
In ~ -Richtung wird die mitschwingende VJassermassevernachlEiss igt :
m~ (L) - ~P...p' F{( )
Für die Torsion wird das polare Trägheitsmoment benötigt.
Die Drehachse geht durch den Schubmittelpunkt,d.h.
näherungsvreise auch durch den Frofilschwerpunkt.
Für ein Profil gilt:
10 - f Ot2.01VV\
als Summe %3 z. z
~ :0
~P..op [11. [11'''
L\ ~ + l;to~2.
1p" 65 - 5 0 FDas Ersatzmassenträgheitsmoment ergibt sich wieder aus
der Summe der Werte des Körpers und 'der mitschwingenden
',Jassermasse.Das hydrodynamische Trägheitsmoment J~I wird
entsprechend dem einer Ellipse gleichen Achsenverhältnisses
angenommen.Für Achsenverhältnisse ~ 0.2 ist J;'praktishh
gleich dem für eine Platte [5]:
J " -1 -- ( t ) 'fh
:=: 8 11 Jw y,( -1 --- 0 t "] (e) = Jo + x. ~ // )
~
~ fazoAF 5'. ( Jz + J!) ~ f . J~
und
wobei hier wieder der gleiche Reduktionsfaktor ~für die
Berücksichtigung dreidimensionaler Effekte gewählt wird.
Das Massenträgheitsmoment für Drehung um dieS-Achse
wird vernachlässigt bzw.zu null gesetzt.
2~g~__02~~f~~~~E!~~_Qg~2~1=Q~~Q2E=Y~Ef~eE~~_fgE_~~g~~=
~~~~~~~E_Y~E~E~e!~_~~~E~~e~~!!~
Das Verfahren [2] besteht darin, daß der Balken in dis-
krete Einzelmassen aufgeteilt wird,die durch elastische
Glieder verbunden sind.Kennt man die Einzelmassen,die
;Jteifigkeitenund die ßchvJingungsfrequenz,sokann m:;m
die übertragung des dynamischen Zustandes,gekennzeichnet
durch Auslenkung
Drehung
Verdrillung
Biegemoment
(~uerkraft
Torsionsmoment
w'
r['I
von einem Element zum anderen und damit auch von Stab-
- 7
ende zu Stabende angeben. Gibt man sich also die Be-
dingungen an einem Ende vor, so l\:önnendie Bedingungen
am anderen Stabende durch Integration Über die Länge
berechnet werden.
Wegen der Verdrehung des Blattes muß der dynamische
Zustand in zwei Ebenen,z.B. in x- und y-Richtung,be-
trachtet werden. Dann lautet der Zustandsvektor:
wy..
wy
w'x
w'y
If
Mx
My
Q"Qy
I>1T
Im um den über der Länge veränderlichen
drehten ~ - ? -System werden dann r:oment
M~ "" Mx cosß ... Mysinf.>
M'l == - Mx Sinß + MycosßQ
~"'" Q x cos ~ + Q y sin ß
Q~ :::: - Qx slnß -+ G.ycos(3
Die Steifigkeit gegen Deformation eines jeden Abschnittes
in ! -Richtung sei unendlich groß gegenüber der in~-Hich-
tung,es tritt also nur eine Deformation in ?-Richtung auf.
Sie lautet im x-y-System:
Winke 1 ß ver-
und Querkraft:
fX == -f'1
Sfn (3 f~
= 0
fy :::: f~CDS(3
(i.X == -
0('1
Sin (3 CX
S
:: 0()(.y== CXt}. cosß
Aber die sich aus der Gesamtheit aller Deformationen der
Abschnitte ergebenden Bewegungen eines Elementes haben
Komponenten in !- und 'l-Richtung.Bei Bestimmung der Nas-
senkräfte ist darauf zu achten,daß die Massen für beide
Richtungen verschieden sind.
K8Mk:=:
,-=K BMk
KTK '::'
no
Unterteilung des Balkens
{L
Den radial verlaufenden Teilen des Federzuges sind die
Steifigkeiten zugeordnet, die tangential verlaufenden
Teile sind vollkommen starr. Dem Hechengang entsprechend
beginnt die Numerierung am freien Ende.
Massen,Massentrigheitsmomente und Federelastizitäten:
=
(L k) . ~ (k
((K) ,t:.lK
- h3k/
3EJ~k
(für Absenkung infolge Querler .)
h'2K / 2 E J t?k (für Drehung infolge Querkr.)
hlK / 2. EJ'1k
(für Absenkung infolge l,oment)
h k / E J'1k
(für Drehung infolge r~oment)
h k / 6 JTClr K (für Verdrillung inf .':por.-Mom.)
Die Schubdurchsenkung wird vernachlässigt,weil nur die
niedrigen chwingungsgrade berechnet werden.
Hechenp;ang
In jedem Schritt wird die Absenkung,Drehung und Verdril-
lung einer diskreten Masse k ausgehend von der vorher-
gehenden Lasse i berechnet.Die Schwingungsfrequenz
wird zunächst als bekannt vorausgesetzt bzw. vorgegeben.
- 9 -
1.) Der Querkraftzuwachs wird von der vorherigen Masse
übernommen:
G)(k = Gxi i ~Q)cL
Qy k = Q yi
-t ~ Qyi
2.) Ebenso beim Moment:
Q7k
= - Gxli:
Sin(3k + G~kCOS f'\<
MC)C)-< - Mxi
Mcyk := M'jl
+ ~Mxi
-+ LlMyi
Gesamtes r.Ioment:
~xk =
Myk :::
Mcx k
-+ hk Q x k
M cyk -+ hK a yK
3.) Das Torsionsmoment:
MTK = MTi,cos.1t:+ AMTi -+ Q1i(R- (;).sin4f"
4.) Verdrillung:
I::.fK= KTK. M Tt(
5.) Absenkung infolge Querkraft und der filomente:
f K = k BQ J(. Q
t] k + K 6 M K. M ~ k -+ ~ r K (R - [I<) 5i 11Ä
rK
6.) Drehung infolge ,2uerkraft und der filomente:I I
o(K = k BGk. Q ttk -+ k ßMI<
.Mf}1<
7. ) Ge samte Drehung in ZVlei 1cichcunC':en:
I I
Wyk -= Wy':0(
I< cos (3k
I I I'W~
k - W xk CoS~K + W yk 51 t1~k
" J
\N'1k ""-Wxk sinßk + W'yk cos{3k
/ I
W)(k = \\lxi + !Xk SlnßI<
G ) G t .v "'
.1J0. esam e erQrl _ung:
11{ :I/' 'fi -t A Y>k
9.) Gesamte Absenkung in zwei Richtungen:
W~k:; W'xi. t t k SinßK - hl(' W; K - 'fi (R- l/(L~~tk SiJ1ßK
W'yK= Wyt -fE( cos ßK- hK\N~k - If" (R.-l1{)A tlCcosA
\11<= WXkcosß/(+ W'YKsi.., ßK
W''lk=-WXks;n~K+W'YKCOS ßK
10.) Querkraft aus Querbeschleunigung:
A QSk::: w~m~k 'W~K AQXK::: ÄQ~\<C05{3J<.- AQf}k sinßk
Ä Q t'(1(::: w1 m '}I< Wrtk ÖQYk - AQ!k Sin ßk + ~Q7 COS~K
11.) Moment aus Drehbeschleunigung und Richtungs-
änderung des Torsionsmomentes:1 '~M~k =- liJ J~kW\k'2. ,
t:. t1.,k =- G> J'1t<W'lk
.,. MTK .si" A dl(
AMxk ==-ÄM~kcosßk - ÄM~k .s"I1f.>K
LlM'1k = AM~I<Sit1{3K T AM'1k cos(3k
M (0) Wx(L) 1.1 (L ))(
My (0) Wy(L) 1.2 (L)0Qx(O) ::; 0 - l.3{L) 1= Z(L) ;::W~(l) -
Qy(O) w' (l) 'Z."(L)
Mr (D)y
Zs (L)'f (L)
- 10 -
12.) Torsionsmoment aus Verdrillbeschleunigung:
A MTK.: CU
'2.JT k 'f K
Im 18-ufe der Rechnung wird C os ~l' = ~ und SI YJ A f - A r
gesetzt, weil die I;Jinkel klein sind, die Drehträgheiten
I j und I~werden vernachlässigt.
2~2~__~~~~~e~~~~_~~~_~~ß~~~~~~~~s~~s~~~e~~~_~~~_~~s~~!~E~~~
Die Berechnung erfolgt analog dem in [1] clUfgezeigten ideg.
Es werden Werte für wvorgegeben.Nurdann,wenn die dazu-
gehörigen Eigenformen die Randbedingungen am freien und
eingespannten Ende erfüllen, ist w. Wo.
Randbedingungen am freien Ende und qei I = L:
z(0) mu2) so beschaffen sein,daß die Bedingungen am ein-
gespannten Ende I = L erfüllt sind.
Die Deformationen an beliebiger Stelle I lassen sich nun
durch IJinearkombination mit Hilfe des sogencmnten nor-
mierten Fundamentalsystems darstellen, wobei der konstante
Vektor v den AnftJngszw:;tandbeschreibt.
Z1 (L) =-Z""
(() ~ + 212(L)Vl t ~)(()V3 -t Z14{t)V~ + i-1s-(l) V,.
Z2 (() = Z2,,(l) Vr t Z2.2(OV2.-t ZZ3(L)V3 -+-Z2lr(L)V., t Z'l5(L) V5
Z3 (L> = Z3,,(l)V1 + Z31.U)V2. + i3;(t)V3 +Z34(L)V/t'" z: (l)v.
)_
( )_
( )_ 35 5
ZIy(( - 21f1 L V1 + 242 I V2.+2.'t3(t)V3 i-Z".,{OV" t-Ztt5"(t)V5"
ZS(t) : ZS-1(L}~ + ZS-1.(()V1+ l.S"3(l)V3 +Z,.Ij(OV&j iZ'5(L)Vs
Das normierte Fundamentalsystem erhält man,indem man die
Integrat ion über die -t;blänge fünf'mal durchfi5J1rt mit den
Spalten der Einheitsmatrix E als Anfangsbedingungen.Die
Lösungen ergeben, zu einer Matrix zusammengestellt, das
normierte Fundamentalsystem.
- 11 -
Die Einheitsmatrix als Anfangsbedingungen:
I. 11. llL 117. ~ Rech(1u"g
Z1 (0) \ / 1 \ ( 0 \ I 0 \ I CI \ I 0
Z2 (0)\ I 0 \ I" \ I 0 \ I 0 \ I 0
Z~ (0)
I
..
\
0
\
0
\
1
I \
0
) \
0ZLr(0) Ci 0 0 1 0
Zs (0) 0 0 0 0 '1
}t'Ür die ~)telle I== L wird das Fundamentals;ystem zur
,Jbertragungsmatrix U:
u = Z (L)filit U läßt sich die Übertragung einer beliebigen Defor-
mation am freien Ende auf das eingespannte Ende angeben.
Eine Eigenform kann aber nur vorliegen, wenn z(L) == 0 ist.
Z(L) ;::: Uv = 0
d.h. def U = 0
Flir schrittweise vorgegebene w-Werte wird jeweils det U
berechnet. Wechselt det U das Vorzeichen, so muß mit einem
w-Wert dazwischen, der durch lineare Interpolation ge-
funden v/erden kann, eine lTäherungslösung fÜr die ~~.ei~~:
fE2S~~~~~~ existieren.
Q~2_~~EI~~f~E~~~ ergeben sich aus U,berechnet fÜr die Eigen-
frequenzen Wo .Dann muß gelten
U z = 0oDie Anfangsbedingungen sind zunächst unbekannt, lassen sich
aber aus obiger Gleichung berechnen, wenn man sich eine der
Komponenten beliebig vorgibt,z.B:
2.1
( 0) :: Z01
= 1
Dann h8.t man ein lineares Gleichungssystem fÜr die Übrigen
Komponenten.Die Linearkombination von 20 mit dem normierten
Fundamentalsystem ergibt schließlich die Eigenform:
Z(l) =Z(L)Zo
- 12 -
3.4. . Berechnung der erzwungenen Schwingungen
2~~~2~__~EE~g~E~~~~~~
Hier sollen nur die infolge ungleichmäßigen Nachstroms
entstehenden Kraftschivankungen am Propellerblatt als
schwingungserregende Kräfte betrachtet werden.Diese
Kräfte werden näherungsweise als Einzelkräfte im ~-
Punkt der Profile angreifend gedacht.IV
Pli([,+) ... r [p/v (l)COs(vwet) +
)/="1
py (i/t) ~ t [ P./v(l) ~s (v W~ 1:) +
,1"1Die einzelnen Ordnungen V = 1,2,3... können nacheinander
durchgerechnet werden, weil Linearität des Systems voraus-
gesetzt wird. Die Lösungen werden später wieder überlagert.
Weiter wird die hydrodynamische D~mpfung vernachlässigt,
weil Resonanz erst für höhere Ordnungen erwartet wird
und dort die erregenden Kräfte sehr klein sind.Es inter-
essieren hier vielmehr die niedrigen Ordnungen.
Ohne Dämpfung liegen die jeweiligen zeitlichen Komponenten
p: und P ~ mit den entsprechenden Deformat ionskomponenten
'w'p( und W,/ in Phase, somit können auch die zeitlichen Kom-
ponenten nacheinander durchgerechnet werden.
p:fl([)oiVt (VGU~t)]
P: "CL) J;., (v (,je t) J
2~~~s~__g~~~~~Y~Ef~eE~g
Die Lösung für eine erzwungene Schwingungsform besteht
aus der Lösung des homogenen und des inhomogenen Gleichungs-
systems:Z e
(L) =- Zho,,"
(L) + z.~
(l)
Die Lösung des homogenen Systems erfolgt in der schon be-
schriebenen Weise mit der ]'requenz der jeweiligen Ordnung
vWe ,sie kann als normiertes Fundamentalsystem dargestellt
werden;Z hot'YI
(l) = Z ( l) V
Hierbei sind zunächst noch die Anfangsbedingungen v unbe-
kannt.
Bei der Lösung des inhomogenen Systems z~(l) müssen bei
der Integration liberdie Balkenlänge die äußeren Kräfte
und I'iomenteberücksichtigt werden.Als Anfangsbedingung
kann ein beliebiger Wert,z.B. z~(O) = O,eingesetzt werden.
Die in obiger Form vorliegenden Eregerlasten werden in
Einzelkräfte und -momente aufgeteilt, die auf jedes Massen-
element des Balkens wirken.Sie müssen zum jeweiligen
- 13 -
Querkraft- bzw. Momentenzuwachs hinzugefügt werden:
p ""xkP~k
:0
M TI<Q =
Px(lk) ßlk
Py (lI<) llLk
(P"KSinßK - PYk c.,osßJ() (~~I<- ~K)
Die Integration liefert z~(l),die zusammengesetzte
LBsung enthält nur noch den Vektor v als Unbekannte.
Ze(l) ==Z(L)v +z*(l)v muß so gewählt werden, daß die Handbedingungen sm ein-
gespannten Ende,also f'ür I = L,erfüllt sind.
Ze(L) = 0
Z(L}V+ z.*(L) =0*
U V + "Z. (L) = 0
0.11. V:: - z* (L) U-1
Dabei ist die Bedingung det U~ 0 immer erfüllt,wenn
keiner Eigenfrequenz entspricht.Damit kann die L5sungfür die erzwungenen Schwingungen angegeben werden:
Ze"Ü) = Z11(L) v:; +Z12{L)~ +Z13(l)v3+i1~(l)V4+Z1~(L)V5"+z.:(L)
Ze1 (L) - 2.2."(t) V1 + Z22.(t) Vz + Z 2.3(l) V3 + Z1.i (L)VI,+ Zu,(L) Vs-t z~ (L)
Zes (l) ::: Z3,,(L) v., + 232. (L) V2 + Z3~(L) V3 4-2:34 (L)V4 tZ :;5"([) V5 t z; (L)
Zelt (l) = Z41 (L) V-t + Z42. (l) Y2 + ZIt,(l) V3 +Zlt~ (L)V4 +Z45(L)Vs + z~ (L)
Z es (L) = ZS-1 (L) ~ + l.3"2.(L) V1 + Z53 (0 ~ + z.~lj (0 Vif + Z.ss lt) Vs -t Z; (L)
Vollkommen analog wird auch die L5sung für die Schnitt-
kräfte aus der homogenen und der inhomogenen L5sung zu-
sammengesetzt:
M xe (L) ::: t1X1(l) Y-r -t M~2.(()v2.+ MX3
(l) V3 + Mx~(L) ~ ,. Mxs-(t) V5"+ M: (L)
Mye,(L) = My,,(L)V1 + MYl(l)Vl+MY3(l)V3-+ My4(l}V4+Mys-(L)v,+M;U)
Qxe (l) == GX1 (L)v., -+ GXz.(L)V2.+ GX3(nV3 + GX4(I)V4+ Q'IC~{l)Vb+Q: (L)
Gye(L) = Öy.,(L)v1 i GY2.(L)v1tQY3([)V~+QY4(L)v.,+ÖY5"(L)Vs--t Q~(L)
MTe
(c) .. MT"(L) V., -I l1T1.(L) V,- + MTl{t) V3 + Mn CL)VI!+ Mr-s(L) ~ -+ 11; (L)
- 14 -
Die 0erte TIel) und ~el) sind bekannt aus der Integration
mit den Spalten der Einheitsmatrix E als Anfangsbedingung,
die Werte N ~ und Q * aus der Integration mit den Erreger-
lasten.
Spannungsberechnung
JTÜr die Biegespannung wird das I.loment intz -Hichtung be-
nöt igt :
M~e (L) = - Mxe(l) sinß(L) + Mye(l) cosß(L)
Dann ist an der Saugseite
/6'8
(t)::: M~e
(l) WO (L)
Sind cmf diesevJeise alle wichtigen Ordnungen mit ihren
beiden zeitlichen Komponenten durchgerechnet, so kann der
zeitliche Spannungsverlauf fÜr einen Umlauf für jeden
Proi'ilschni tt z,ysa.mmengeset zt \'lerden:
() ((,i) == L [eC (l)COS(\1CUet) + oo.s (l) si...(vwet) ]8~=...
8\1 v'l
Der zeitliche Verlauf der aus dem Torsionsmornent resul-
tierenden Schubspe.nnungen am Ende der kleinen Hauptachse,
also an der gleichen Stelle wie G8 ,1tißt sich genauso"'11.)(
lT (L) == MTe (L) / VlT (L)N
T-r ((It) = L [r;v(l)COS(vwet) -t TTS~(L) Sih (Vv.>et) J\/=1
Die Vergleichsspannung wird dann nach der Gestalttinderungs-
angeben:
h;ypothese:
G"v (L) = V us\ L) + 3 T;U)'Die graphische Auftragung des zeitlichen Verlaufes der
Vergleichsspannung liefert dann den Maximalwert.
4. Ergebnisse
li'urdas beschriebene Verfahren wurde ein ProgramL er-
stellt.Als Eingabedaten werden neben Freouenz- und
Materialangaben benötigt:
1.Die ~ropellergeometrie wird eingegeben durch die Auf-
mE~ßpunkte mehrerer Prof'ilschnitte, z. . 8 - 10 .
2.Die erregenden Kräfte in kp/cm an den gleichen stütz-
steIlen mÜssen bekannt sein.
Alle benötigten Zwischenwerte werden interpoliert, indem
durch jeweils drei StützsteIlen eine quadratische
R ;; 2,350 m
rN ;: q4 4 0 ITJ
Fa/F -= 0.61
Z ;; 5
Hm = ',080 mn ;; 135 1/min
- 15 -
Parabel gelegt wird.
Mit diesem LTogramm und dem am Institut gleichfalls
vorhandenen für reine Biegeschwingungen nach [1] wurde
derf3e Ibe ProDe ller durchgerechnet. Die erreGenden r.riifte
wurden in der VA berechnet.
.[.1' 0 pell e rd at e n :
FlLigelzc:lll
Radius
l;abenrctdius
" 1 "
,
"' 1 "~ acnenverna_~nlS
mittlere 0tcigung
Betriebsdrehzahl
In Diagr.1 sind vteigungsverlauf,Hlicklage,~r~gheits-
momente,I~asf3en und die Drehtriigheit aufgetragen.
I1 1 " ",
1,.,'
i '~~___~~ß~g~~Q~~~G~~G~~~2_~~_~~~_~~g~~~2~~~Q
In der folGenden rJ':.'.belle f3ind die lÜ[-,~enschVJingungszc'hlen
der ersten drei ,:3chT:lingung~:3r=;r:;de fLir Hechnung mit und
ohne oI':31on zuurJrlmengestell t:
Eigenschwingungszahlen in Hz
Schwingungsform mit ohneTorsion
I Gradn Grad
IIIGrad
18,68
66,66148,72
18,5665,90
147,76
Durch Berücksichtigung der Torsion werden die igen-
[JC;1vdnc;unc;szo.'11en et':Jas F:rö{:er.
jJ.l.ai:-';r. ~.~und .3 ze igen die ent sprechenden Eigenformen .luf-1-
' d "" t d.,., ,
ge~ragen Sln Ole ~omponen-en wx un~ Wy sOWle aer be~rag
der ~{e;:ml tierenden WR =~W; + W~/ ,bE)i dem 1. Grad auch
für Rechnung ohne orsion,sowie noch der TorsionswirD(e11
4.2 ßrzwunvene SchwingungenQ Q--~--
Diagr.4 und 5 zeigen den Verlo.uf der hydrodynamischen
Erregerlasten fJr die ersten drei ~rdnungen,gerechnet
wurde bis zur fünften. Doch die Größe der Kriifte klingt
mit zunehmender Ordnungszahl rasch ab.
- 16 -
Diagr.6 und 7 zeigen als Beispiel die Ergebnisse fÜr die
1.0rdnung: In Diagr.6 ist die Biegelinie mit cos- und
sin-Komponent e s01;Jieder Tors ionswinJ:::e1 2ufgetrage:h.Da-
neben wird fCr zwei Querschnitte die Schwingungs- und
Kraftrichtung der cos-Komponente gezeigt.Diagr.7 enthält
das resultierende Biege- und Torsionsmoment und zuge-
h~rige upannungen.Bei BerÜcksichtigung der Torsion
1,verdendie Deformat ionen vor c:Ülem fÜr die äu3eren
Blatteile gr~ßer,ebenso wachsen auch dort die ~pannungen
an.Das Maximum der entscheidenden Biegespannung liegt
nicht an der Nabe,wie man eigentlich vermutet.
Diagr.8 schlie lieh sind die resultierenden Durch-
biegungen am freien ~nde und die Biegespannungen am
eingespannten Ende bis zur 5.0rdnung Über der Lrreger-
freouenz emi' t n.Man erkennt den Abfall zu h~heren
Ordnungen hin.
Darunter wird der ~pannungsver12uf fÜr einen Umlauf an
der Einspannstelle gezeigt, der sich bei phasenrichtiger
Überlagerung der ersten fÜnf Ordnungen ergibt.
5. Llusammenfassung
Ausgehend von dem bestehenden Programm von Doese wurde
ein.,echenprOCTijmm unter Einbeziehung der 'liorsionge-
schaffen,das Eigenschwingungen wie auch erzwungene
Jchwingungen des verwundenen Propellerblattes mit RÜck-
lage errechnet. Die sich ergebenden Abweichungen gegen-
Liber der Hechnung ohne Tor~)ion sind f-lirden BeislJicl-
Propeller, dessen RÜcklage allerdings nicht groß ist,
nicht erheblich: die Eigenschwingungszahlen erhÖ :n
sich leicht,die Verformungen und Spannungen zel~en nur
fir die Gr~ßeren Radien wesentliche Abweichungen.
- 17 -
Literatur
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Propellerblt.ttes unter BerÜcksichtigung
des bteigung:sverlc:uies über dem RO.dius.
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(j)AhhOln9
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0 0 0 0 0 0 00.05 O.O4~8 - O. 0130 0.00 314 O.0000!J 8 -0.001413 12. 't0.'1 O.07 ~'l. - 0.0134 (J.0 0 , 5"8 ().OO01~'3 -0.00 l.' 2.5 50.'(0.2 0.1 (')15 -0.011.5 (J.O1 2.00 0.0 (J0 !i'1 () -0.003'00 1 7 2.S"0.3 0.1 '2.82 . 0.0110 ().O13~2. o.aO 0 g A 6 - O.00 2.1 84 '2..7-0.0
o.~ o. ., 3 g1- - O.OO~-1 0.01488 0.000912 -0,0 (') 14 88 3 ~t;j.o
0.5 O. -14 z.s - 0.0067 0.011+ ~2 0.001010 -0.01-1"0 332.0O.b 0.13'3 - 0.00 33 O.O-f3~H 0.0 0 09 Z.<J O.0 (J1 3 % t 7-2.00.1 0.1110 - 0.0001 0.012 12. (').ooö~32. ().OO~~2.'f .., ~g.O
0.8 0.09/6 ~(J.OO..,"! O. 00 «33lf o.ooo'tS"{, 0.0 (') 2.8'0 2. g1.4
0.«3 O.OS2.6 . 0.0 0 38 (J.Oosn (}.&o0138 0.0 0 11 0 It 11.8/f.O 0 () 0 0 0.0081-l6 0
0.10'-'0 (}OOS8Zg - 0.00 3184 1=7-11(.5'
@ ~@ @ @ @
CY (Ys..; Va.t 10,
(!J.(~Yl' 10' (] .('cs,,; Xu) '10' <D .(lCs..~l<t,{Y"/").IO' ~.()~@).}t" ;2ti>~~Xs"
0 0 0.. !i:'-.O -/5".68 - 1.1{'4-'3f. , -/3.5'8 - 1.'11- lf.' .. 1. Z, - '3.':1'- J O.I{ .. >-. '1' -'t.31
- ,1.'1 04 1.' 'f - '1..''2.+ 1.1 .. O. '11 .. 0.13
~'3 5".7- ~f.t.1-0 .. 3,~(
't ~'.0 -+ . t. ~11 -+ 3 .'~ C>
.. ~.-1 .. ..,., , -t ?.ll- 4 1.0 - 'Z.'1.U ... /( .1-'
0 () 0
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oZ.~'"1.620.022,175.481.105'.802.'t 1~.03
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37.1., 2.0,01'3'5.2.
1't 8,8"! 'f ',2
13'. b"'21. 2
3 3.4
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d = 2 '1-.16. . ,>''10.' _r 11-?-'10c n-~'.~ - 0.00$-1 c
W kLI llV. f-14 ff.-.J-v;'jhG''I JtH~w. Seh-.:
S"l-t. l4Ier' "Je.f (bc o..u/.S~/..'1~ U. )(.0,,, c) :
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1;.;; j ~ e,'I.> _0 1Vle.. +e :
J)( '" 0.000" 10' c.t
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jx.y -= 0.0000723 c"
J( xz.y) ~ -O.OOooz?-32 cl>
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H Q,rA"f.J"'~'o/..e..-I~ rrll1"'te...f ole'c.,!,.freUe /.J..s~
-'''0(~(.);.'fO- V(~t- + :;2.3-0 . c~. /0-'
'T ":(Z~;to -1{(18'1 + () 51. ).fo+')C".10-'J"/J( .
J"IIi~ ,)...
D J>1ENS IONEN KP, 0.-19SFC
OMEGA UNTERE GRENZE OMIN = ,OMEGA OBERE GRENZE OMAX = ,DFLTA OMEGA DOM = ,ANZAHL MASSENPUNKTE KZ = ,M' ZAHL EINGABEQUERSCHNITTE NZ = ,Ar-lAHL AUFMASSPUNKTE PZ = ,
DICHTE DFS WASSE"RS .ROW = . $ ,DICHTE DES PROPELLERS ROP = . $ ,EtASTIZITAFTSMODUL EP = . $ ,GLEITMODUL GP = . $ ,PROPELLERRADIUS R = . ,NABENRADIUS RN = . ,ABMINDERUNGSFAKTOR FUER 3-DIMENS. KAPPA= . ,
FUER JEDfN EINGABEQUFRSCHNITT
ABSTAND VON FLUFGELSPITZE LE = . ,BOGEN NASE-BEZUGSRADIUS BON = . ,SEHNFNLAfNGF TN = . ,STEIGUNG HN = . ,
AUFMASSPUNKTE
ABSTAND V.NASE DELTA XI OBERER PKT UNTERER PKTXI DXI ETO ETU. , . , . , . ,
. , . , . , . ,
. , . , . , . ,
. , . , . , . ,
. , . , . , . ,
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. , . , . , . .. , . , . , . ,
. , . , . , . .
. , . , . , . .. , . , . , . ,
DATENLISTE FUER 'GEK.BIEGE-U.TORSIONSSCHWING.DES VERDR.PROP.-BLATTES=================:==================::==============================
BOGEN AN DER FLUEGEI_SP I TZE BOS = . ,STEIGUNGSWINKEL AN DER SPITZE BB = . .,
KREISFREQUENZ ERZWUNGENE SCHWING. OME = . ,M' ZAHL DER ORDNUNGEN NNZ = . ,
ERREGENDE KRAEFTE ( IN KP/CM)
Tfl\4GENTIALE KOMPONENTE PNl(/1..NZ,1..NNZ,1..2/)
I.ORDNUNG 2.0RDNUNG 3.0RDNUNG 4.OPDNUNG 5.0RDNUNGCOS SIN COS SIN COS SIN COS SIN COS SIN. , . , . , . , . , . , . , . , . , . ,. , . , . , . , . , ~, . , . , . , . ,
. , . , . , . , . , . , . , . , . , . ,. , . , . , . , . , . , . , . , . , . ,
. t . , . , . , . , . , . , . , . , . ,. t . , . , . , . , . , . , . , . , . ,
.+
. , . , . , . , . , . , . , . , . ,. t . , . , . , . , . , . , . , . , .. , . , . , . , . , . , . , . , . , . ,. , . , . , . , . , . , . , . , . , . ,
ArHSIALE KOMPONENTE PN2(/1..NZ,l..NNZ,1..2/)
I.ORDNUNG 2.0RDNUNG 3.0RDNUNG 4.ORDNUNG 5.0RDNUNGCOS SIN COS SIN COS SIN COS SIN COS SIN
. , . , . , . , . , . , . , . , . , . ,
. , . , . , . , . , . , . , . . , . ,
. , . , . , . , . , . , . , . , . , . ,
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. , . , . , . , . , . , . , . , . , . ,
. , . , . , . , . , . , . , . , . , . ,
Rücklage ß[ern]
20
Dia9 f. 1
Spitzeo
Nabe
150 BlattLci nge l [cm ]
J W[cm4-] [cm~]
WTORe
15000
10000 2000
5000 1000
5vhwingungsform 1. Grades
mit1
Torsion-- ohne
Diagr. E.
y Schnitt Lx90
x
Y Schnitt L==20
x
5chwingun~5richtunC:L
p[krfern]
30
-10
plkp lern]
Diagr. 4
20
l [ern J
Erregerl a.sten1.Ordnung
10
o50 10.;:;_-------
~...._-- ps Pc'-- x x
30. Erregerlasten2. Ordnung
20
l[ern]
10
o
-10
p
[kpfcmJ
-4
-G
-8
6
4Erregerlasten
3. Ordnung
2
ol [em]
Biege linie 1.Ordnung
C05 - Komponente
o150
-04-I
5W
[ern]
o
sin - Komponente
-oeI
Torsionswinkel 1.Ordnung
o50 100
Diagr. 6
mit}
Torsionohne-
Schnitt l = 90l [cm] y
x
L [ern)
Schnitt l = 20
y
)(
l [cm]
5
4 400
3
2
1
050 100 150
5
4
3
2
1
050 100 150 L lcm]
Diagr. 7
Res. ßie<3emoment und spannung tOrdnun9
M . 105 fÖe
[kpem] (kp/cm2J
-mit}
._ _ ohne TorsIOn
L[em ]
Res. Torsionsrnoment und Spannung 1.Ordnung
MT.104 L[kpern] [kp/em2J
020
6"6[kp/crnl]
1.
200
Diagr. 8
Resultierende Durchbiegung am freien Endein Abhängigkeit von der Ordnungszahl
4.
3. 5.
40 60 80 100 GJ [1 /5]
2.Resu ltierende Biegespannungan d.er EinspannsteLle in Ab-hiingigkeit von der OrctnVtngszahl
1004.
'3.5.
o20 40 60 80 100 W [1/5 J
6' T[kp/cm2. ] [kp/cmlJ Zusammengesetzte Biege- und Schubspannung
an der ElnspaYlnsrelle (So.ugseite).Zeitlicher VerLauf Liber eine Periocte.
400
o
10 /"'T
/ '\/ \
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,- -....../ "
/ "-
/ "\\
200
- 200
Ti./4 //
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