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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

Stabilitat von Runge-Kutta-Verfahren

Tobias Jahnke

Vorlesung Numerische Methoden fur Differentialgleichungen

Wintersemester 2011/12

Tobias Jahnke Karlsruher Institut fur Technologie

Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

Dahlquistsche Testgleichung

y = λy , y(0) = 1

Beispiel 1: λ = −2 nicht steifBeispiel 2: λ = −100 steifBeispiel 3: λ = i isometrieerhaltend

Numerische Verfahren

Explizites Euer-VerfahrenImplizites Euler-Verfahren (A-stabil, L-stabil)Implizite Mittelpunktsregel (A-stabil, isometrieerhaltend)

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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

Beispiel 1: λ = −2

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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

y

h = 0.1, lambda = −2

exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel

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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

Beispiel 2: λ = −100

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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

t

y

h = 0.1, lambda = −100

exaktexpliziter Euler

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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

t

y

h = 0.025, lambda = −100

exaktexpliziter Euler

Tobias Jahnke Karlsruher Institut fur Technologie

Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

y

h = 0.02, lambda = −100

exaktexpliziter Euler

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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

y

h = 0.0125, lambda = −100

exaktexpliziter Euler

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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

y

h = 0.01, lambda = −100

exaktexpliziter Euler

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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

y

h = 0.005, lambda = −100

exaktexpliziter Euler

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Implizites Euler-Verfahren und implizite Mittelpunktsregel

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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

y

h = 0.1, lambda = −100

exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel

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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

y

h = 0.05, lambda = −100

exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel

Tobias Jahnke Karlsruher Institut fur Technologie

Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

y

h = 0.025, lambda = −100

exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel

Tobias Jahnke Karlsruher Institut fur Technologie

Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

y

h = 0.0125, lambda = −100

exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel

Tobias Jahnke Karlsruher Institut fur Technologie

Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

y

h = 0.005, lambda = −100

exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel

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Illustration der Konvergenzordnung

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10−3

10−2

10−1

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

Schrittweite h

max

. Feh

ler

Konvergenz fuer lambda = −2

expliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregelHeun

10−3

10−2

10−1

10−5

100

105

1010

1015

1020

Schrittweite h

max

. Feh

ler

Konvergenz fuer lambda = −100

expliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregelHeun

Tobias Jahnke Karlsruher Institut fur Technologie

Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

10−3

10−2

10−1

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

Schrittweite h

max

. Feh

ler

Konvergenz fuer lambda = −2

expliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregelHeun

10−3

10−2

10−1

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102

Schrittweite h

max

. Feh

ler

Konvergenz fuer lambda = −100

expliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregelHeun

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Ein weiteres Beispiel zur L-Stabilitat

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Anfangswertproblem: y = −2000(y(t)− cos(t)

), y(0) = 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

h = 0.04

exaktimpliziter EulerMittelpunktsregel

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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

Anfangswertproblem: y = −2000(y(t)− cos(t)

), y(0) = 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

h = 0.02

exaktimpliziter EulerMittelpunktsregel

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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

Anfangswertproblem: y = −2000(y(t)− cos(t)

), y(0) = 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

h = 0.01

exaktimpliziter EulerMittelpunktsregel

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Beispiel 3: λ = i

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0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

0

2

t

y

Realteil, h = 0.2, lambda = 0+1i

exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

0

2

t

y

Imaginärteil, h = 0.2, lambda = 0+1i

exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel

−2 0 2−2

−1

0

1

2

Realteil

Imag

inär

teil

−2 0 2−2

−1

0

1

2

Realteil

Imag

inär

teil

−2 0 2−2

−1

0

1

2

RealteilIm

agin

ärte

il

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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

0

2

t

y

Realteil, h = 0.1, lambda = 0+1i

exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

0

2

t

y

Imaginärteil, h = 0.1, lambda = 0+1i

exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel

−2 0 2−2

−1

0

1

2

Realteil

Imag

inär

teil

−2 0 2−2

−1

0

1

2

Realteil

Imag

inär

teil

−2 0 2−2

−1

0

1

2

RealteilIm

agin

ärte

il

Tobias Jahnke Karlsruher Institut fur Technologie

Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

0

2

t

y

Realteil, h = 0.05, lambda = 0+1i

exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

0

2

t

y

Imaginärteil, h = 0.05, lambda = 0+1i

exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel

−2 0 2−2

−1

0

1

2

Realteil

Imag

inär

teil

−2 0 2−2

−1

0

1

2

Realteil

Imag

inär

teil

−2 0 2−2

−1

0

1

2

RealteilIm

agin

ärte

il

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