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EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Statistik II1. Einführung
Prof Dr. Andreas Behr
Statistik II 1. Einführung 1/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Inhaltsverzeichnis
1 EinleitungBeispieleAnwendungsgebiet und ÜberblickMotivation
2 WahrscheinlichkeitsaussagenDefinition von WahrscheinlichkeitBeispieleParadigmaFazit
3 Organisatorisches
Statistik II 1. Einführung 2/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
BeispieleAnwendungsgebiet und ÜberblickMotivation
Einleitung
Statistik II 1. Einführung 3/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
BeispieleAnwendungsgebiet und ÜberblickMotivation
Beispiel 1
Ich biete Ihnen folgendes Spiel an:
Sie zahlen mir 4 Euro
werfen mit einem Würfel
und erhalten von mir die Augenzahl in Euro
Statistik II 1. Einführung 4/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
BeispieleAnwendungsgebiet und ÜberblickMotivation
Beispiel 2
Sie interessieren sich für den Anteil der Akademiker (20%)unter allen in einem Land lebenden erwachsenen Personen(60 Mio.)
Sie befragen 10.000 zufällig ausgewählte Personen (d.h.0.0167%)
In der Stichprobe finden Sie mit einer Wahrscheinlichkeitenvon 95% einen Anteil an Akademikern, ...
der zwischen 19.2 und 20.8% liegt (unter Vernachlässigungdes Korrekturfaktors für das Ziehen ohne Zurücklegen)⎡⎢⎢⎢⎢⎣0.2−1.96 ·
√0.2 ·0.810000
;0.2 + 1.96 ·√
0.2 ·0.810000
⎤⎥⎥⎥⎥⎦ = [0.192;0.208]
Statistik II 1. Einführung 5/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
BeispieleAnwendungsgebiet und ÜberblickMotivation
Beispiel 3
Sie betrachten die empirische Verteilung von Aktienrenditen
S&P 500, Density of monthly rate of return
Time covered: 1/1871 − 05/2005
Monthly rate of return
Den
sity
02
46
810
1214
−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
Statistik II 1. Einführung 6/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
BeispieleAnwendungsgebiet und ÜberblickMotivation
Beispiel 3
glauben, dass diese das Ergebnis eines ’Zufallsprozesses’sind
und überlegen sich einen Zufallsgenerator, dessenBetätigung ’Aktienrenditen’ erzeugen würde, die mit dentatsächlich beobachteten Renditen Ähnlichkeiten aufweisen
Z.B. könnten Sie sich für die Normalverteilung entscheiden ...
Statistik II 1. Einführung 7/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
BeispieleAnwendungsgebiet und ÜberblickMotivation
Beispiel 3
S&P 500, Density of monthly rate of return
Time covered: 1/1871 − 05/2005
Monthly rate of return
Den
sity
02
46
810
1214
−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
Statistik II 1. Einführung 8/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
BeispieleAnwendungsgebiet und ÜberblickMotivation
Anwendungsgebiet
Das sind die drei wesentlichen Anwendungsgebiete derWahrscheinlichkeitsrechnung
Glücksspiele
Stichproben aus endlichen Grundgesamtheiten
Statistische Modelle, d.h. ausgedachte Zufallsgeneratoren,die beobachtete Sachverhalte ’hervorgebracht’ haben sollen
Statistik II 1. Einführung 9/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
BeispieleAnwendungsgebiet und ÜberblickMotivation
Überblick
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und dieinduktive StatistikDeskriptive Statistik
Charakterisierung einer vorliegenden Datenmenge
StochastikWahrscheinlichkeitsaussagen über ’den Datenzugrundeliegende Gesamtheiten oder Prozesse’
Statistik II 1. Einführung 10/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
BeispieleAnwendungsgebiet und ÜberblickMotivation
Motivation
Wahrscheinlichkeitsaussagen begegnen Ihnen allerorten
ABER: ganz überwiegend liegt eine sprachlicheVerwechslung vor
Es handelt sich oft tatsächlich nicht umWahrscheinlichkeiten, sondern einfach um relativeHäufigkeiten
Statistik II 1. Einführung 11/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
BeispieleAnwendungsgebiet und ÜberblickMotivation
Motivation
Ein Beispiel:Von 1000 Personen im Alter von 60 Jahren sind X% aneinem Herzinfarkt gestorbenOft wird dieser Anteilswert als Wahrscheinlichkeitinterpretiert:’Die Wahrscheinlichkeit für eine 60-jährige Person einentödlichen Herzinfarkt zu erleiden beträgt X%’
Statistik II 1. Einführung 12/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Definition von WahrscheinlichkeitBeispieleParadigmaFazit
Wahrscheinlichkeitsaussagen
Statistik II 1. Einführung 13/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Definition von WahrscheinlichkeitBeispieleParadigmaFazit
Wahrscheinlichkeit: Ein intuitives Beispiel
Wenn wir aus einer Kugelurne mit einer roten und einerweißen Kugel zufällig (blind, nach Mischung) eine Kugelziehen, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für die Ziehungeiner roten Kugel gerade 1/2
Analog: Münzwurf
D.h. wir nutzen die Vorstellung eines einfachenZufallsgenerators um ’Wahrscheinlichkeit’ zu definieren
Statistik II 1. Einführung 14/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Definition von WahrscheinlichkeitBeispieleParadigmaFazit
Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Laplace
Pr(A ) =Anzahl der gunstigen Ereignisse
Anzahl der gleichmoglichen Ereignisse
Wahrscheinlichkeit wird also mit Hilfe eines gedachtenZufallsgenerators definiert:
Wenn wir ’zufällig’ aus einer Urne mit n Kugeln ziehen, vondenen r rot sind und wir das Ziehen einer roten Kugel alsgünstiges Ereignis A betrachten, dann beträgt dieWahrscheinlichkeit für A gerade r/n .
Statistik II 1. Einführung 15/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Definition von WahrscheinlichkeitBeispieleParadigmaFazit
Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Laplace
Im Nenner dieser Definition steht ’gleichmöglich’
D.h. wir müssen schon wissen, dass alle Ereignisse diegleiche Wahrscheinlichkeit haben, gleichmöglich sind
Ein Würfel kann z.B. asymmetrisch sein, wie lautet dann dieWahrscheinlichkeit für eine 6?
Hier wird mit einer weiteren Wahrscheinlichkeitsdefinitiongearbeitet
Statistik II 1. Einführung 16/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Definition von WahrscheinlichkeitBeispieleParadigmaFazit
Wahrscheinlichkeitsdefinition nach von Mises
Pr(A ) = limn−→∞
rn
n ist die Versuchszahl und r die Häufigkeit des Auftretensdes interessierenden Ereignisses
Wahrscheinlichkeit wird als Grenzwert der relativenHäufigkeit definiert
D.h. wenn wir ’unendlich’ oft würfeln, entspricht die relativeHäufigkeit (Anteil der Sechsen) der Wahrscheinlichkeit eineSechs zu würfeln
Tatsächlich können wir nur sehr oft würfeln und daher nureine Schätzung der Wahrscheinlichkeit erhalten
Statistik II 1. Einführung 17/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Definition von WahrscheinlichkeitBeispieleParadigmaFazit
Objektive und subjektive Wahrscheinlichkeiten
Objektiver WahrscheinlichkeitsbegriffEine Kugelurne mit einem Anteil 𝜋 an roten Kugeln
Es wird gemischt und es soll blind gezogen werden
Die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugeln zu ziehen beträgtdann 𝜋
Diese Wahrscheinlichkeit ist durch die objektiveBeschaffenheit der Urne, d.h. die Kugeln, deren Farben, usw.bestimmt
Statistik II 1. Einführung 18/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Definition von WahrscheinlichkeitBeispieleParadigmaFazit
Objektive und subjektive Wahrscheinlichkeiten
Subjektiver WahrscheinlichkeitsbegriffJemand, der den Anteil 𝜋 nicht kennt, kann eine Vermutungdarüber anstellen
Offenkundig existiert diese subjektive Wahrscheinlichkeitnur im Kopf dieser Person (degree of belief)
Insbesondere, wenn Wiederholungen oder eine Inspektionder physischen Beschaffenheit (Zufallsgenerator) unmöglichsind, finden subjektive Wahrscheinlichkeiten Anwendung
Statistik II 1. Einführung 19/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Definition von WahrscheinlichkeitBeispieleParadigmaFazit
Arten von Wahrscheinlichkeitsaussagen
’Die Wahrscheinlichkeit mit einem fairen Würfel höchstenseine Drei zu werfen beträgt 3/6’
’Aufgrund der Kenntnis der Grundgesamtheit kann für eineStichprobe gesagt werden, dass der Anteil mit einerWahrscheinlichkeit von ...% in dem Intervall ... liegt’
’Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kurs der Aktie XY heutesteigt, beträgt ...%’
Statistik II 1. Einführung 20/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Definition von WahrscheinlichkeitBeispieleParadigmaFazit
Beispiel 1
’Die Wahrscheinlichkeit mit einem fairen Würfeln höchstenseine drei zu werfen beträgt 3/6’
Hier bezieht sich die Aussage auf die Ausgestaltung einesechten Zufallsgenerators
D.h. jemand schüttelt den Würfelbecher, so dass die Lagedes Würfels regellos ist und jede Seite des Würfels diegleiche Wahrscheinlichkeit hat, oben zu liegen zu kommen
Statistik II 1. Einführung 21/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Definition von WahrscheinlichkeitBeispieleParadigmaFazit
Beispiel 2
Es herrscht ein rein deskriptives Interessen an einerGrundgesamtheit vor
Bekannt ist lediglich eine Teilgesamtheit (Stichprobe)
Zufällig ist hier nur, welche Personen in die Stichprobegelangen
Aufgrund der zufälligen Auswahl können ausgehend von derGrundgesamtheit Wahrscheinlichkeitsaussagen über dieStichprobe gemacht und auf Basis einer StichprobeVermutungen über die Grundgesamtheit angestellt werden
Statistik II 1. Einführung 22/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Definition von WahrscheinlichkeitBeispieleParadigmaFazit
Beispiel 3
’Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kurs der Aktie XY heutesteigt, beträgt X%’
Tatsächlich bestimmen unzählige soziale Ereignisse dieEntwicklung des Aktienkurses (Äußerungen einesVorstandsmitglieds, die Geschäftsentwicklung eines Kunden,...)
Üblich ist die Annahme, dass auch das Verhalten vonAkteuren determiniert ist (keine situative Handlungsfreiheit,keine ontologische Unbestimmtheit)
Statistik II 1. Einführung 23/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Definition von WahrscheinlichkeitBeispieleParadigmaFazit
Beispiel 3
Wir ignorieren nun alle diese Bestimmungsgründe unddenken uns stattdessen, dass über die Rendite mit einemZufallsgenerator entschieden wird
D.h. wir interpretieren soziale Ereignisse, die aufgrundsozialer Prozesse entstehen, so, als ob diese mit einemZufallsgenerator erzeugt würden
In diesem Fall: Jemand zieht eine Kugel aus einer Urne mitX% roten Kugeln
D.h. man weiß, dass hier tatsächlich die Ereignisse nicht miteinem Zufallsgenerator erzeugt werden, man tut lediglichso, als ob ...
Statistik II 1. Einführung 24/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Definition von WahrscheinlichkeitBeispieleParadigmaFazit
Paradigma
Dieses ’als ob’ stellt das herrschende Paradigma in derempirischen Wirtschaftsforschung dar
Soziale Prozesse werden stochastisch ’modelliert’
D.h. man denkt sich Zufallsgeneratoren aus, für die gilt,dass die vorliegenden Sachverhalte (und Daten darüber) soaussehen, als ob sie mit einem Zufallsgenerator erzeugtworden wären
Unter erkenntnistheoretischer Perspektive ist dieseForschungspraxis nicht unproblematisch
Statistik II 1. Einführung 25/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Definition von WahrscheinlichkeitBeispieleParadigmaFazit
Paradigma
Diese ’pragmatischen Sichtweise’ wird prägnant von Spanosformuliert:
’Indeed, an important task for the modeler is to identify theobservable phenomena which can be profitably viewed as
stochastic phenomena. The question of whether there existssuch a mechanism or not is only of methaphysic interest.’
Statistik II 1. Einführung 26/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Definition von WahrscheinlichkeitBeispieleParadigmaFazit
Fazit
Wir wollen festhalten: Wahrscheinlichkeitsaussagen können sich
direkt auf Ereignisse beziehen, die mit einemZufallsgenerator erzeugt werden
auf Grundgesamtheiten beziehen, aus denen mit Hilfe einesZufallsgenerators Einheiten ausgewählt wurden
auf soziale Prozesse und durch diese entstandeneSachverhalte beziehen, die so interpretiert werden, als obdiese mit einem Zufallsgenerator erzeugt würden(Ökonometrie, Probabilistische Sozialstatistik)
Statistik II 1. Einführung 27/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Definition von WahrscheinlichkeitBeispieleParadigmaFazit
Fazit
Wir sollten uns daher mit grundlegenden Kenntnissen derStochastik vertraut machen, wenn
wir uns für Glücksspiele interessieren und/oder
wir Aussagen über Grundgesamtheiten aufgrund vonStichproben machen wollen (’echte Stichprobentheorie’)
wir soziale Prozesse stochastisch ’modellieren’ wollen, d.h.so tun wollen, als ob soziale Sachverhalte mitZufallsgeneratoren erzeugt werden
Statistik II 1. Einführung 28/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Organisatorisches
Statistik II 1. Einführung 29/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Klausur
5 gleichgewichtige Aufgaben
Keine Lehrbücher, keine eigenen Unterlagen
Kleine Formelsammlung (wird bereitgestellt)
Keine Fragen zu R oder anderer Software
Statistik II 1. Einführung 30/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Literatur
Grundlegend: Karl Mosler, Friedrich Schmid,Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik,Springer, 2004
oder Walter Assenmacher, Induktive Statistik, 2. Aufl.,Springer, 2009
oder Werner Neubauer, Egon Bellgardt, Andreas Behr,Statistische Methoden, 2. Aufl., Vahlen, 2002
Statistik II 1. Einführung 31/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Ergänzende Literatur
Aris Spanos, Probability Theory and Statistical Inference,Cambridge, 1999.
Andreas Behr, Ulrich Pötter, Einführung in die Statistik mit R,2. Auflage, Vahlen, 2010.
Götz Rohwer, Ulrich Pötter, Wahrscheinlichkeit, Begriff undRhetorik in der Sozialforschung, Juventa, 2002.
Statistik II 1. Einführung 32/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Übungen
Die Übungen sollen helfen, den in der Vorlesungbehandelten Stoff zu verstehen
Die Übungen beziehen sich inhaltlich auf die jeweilsvorherige Vorlesung
Die Übungen sind keine ’Klausurvorbereitungskurs’, Ziel istnicht die automatisierte Anwendung von Lösungsschemata
Statistik II 1. Einführung 33/34
EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen
Organisatorisches
Gliederung
1 Einführung2 Kombinatorik3 Grundlagen der W.-Rechnung4 Zufallsvariablen, W.-Verteilung5 Maßzahlen zur Charakterisierung von W.-Vert.6 Spezielle diskrete Verteilungen7 Spezielle stetige Verteilungen8 Gemeinsame Verteilungen9 Stichproben und Grenzwertsätze
10 Schätzverfahren für Parameter11 Intervallschätzung12 Hypothesentests
Statistik II 1. Einführung 34/34
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