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Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe IITeil 10: Integralrechnung

Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik

Sommersemester 2010/11

Internetseite zur Vorlesung:

http://www.mathematik.hu-berlin.de/˜neumann/

Didaktik der Mathematik der S II, Integralrechnung Sommersemester 2010/11

Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II

Der Integralbegriff

Zugänge zum IntegralMögliche Zugänge zum IntegralProbleme der Zugänge

Flächenberechnung über Ober- und Untersumme

Exaktifizierung des Integralbegriffs

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Mögliche Zugänge zum Integral

1. Bestimmung von orientierten (!) Flächeninhalten bzw.Flächeninhaltsfunktionen unter Funktionsgraphen(Ober- und Untersummen – Riemann-Integral)

2. Bestimmung von Stammfunktionen - Umkehrung des Ableitens3. Rekonstruktion von Beständen aus Änderungen

(siehe 1. Teil der Vorlesung)

Alle drei Aspekte sind bei der Behandlung der Differentialrechnung vonBedeutung und sollten berücksichtigt werden.Aber: In welcher Reihenfolge und mit welcher Gewichtung?

Mögliche Zugänge zum Integral

1. Bestimmung von orientierten (!) Flächeninhalten bzw.Flächeninhaltsfunktionen unter Funktionsgraphen(Ober- und Untersummen – Riemann-Integral)

2. Bestimmung von Stammfunktionen - Umkehrung des Ableitens3. Rekonstruktion von Beständen aus Änderungen

(siehe 1. Teil der Vorlesung)

Alle drei Aspekte sind bei der Behandlung der Differentialrechnung vonBedeutung und sollten berücksichtigt werden.Aber: In welcher Reihenfolge und mit welcher Gewichtung?

Probleme der Zugänge

Zu 1.: Bestimmung von (orientierten!) Flächeninhalten bzw.Flächeninhaltsfunktionen unter Funktionsgraphen(Ober- und Untersummen)

I „Klassischer Zugang“, der nach wie vor einen wichtigen Aspektbei der Behandlung des Integrals darstellen sollte

I ABER: Gefahr der Identifikation: „Integral = Flächeninhalt“I Häufig Vernachlässigung der Orientierung

Aufgabe aus TIMMSDidaktik der Mathematik der S II, Integralrechnung Sommersemester 2010/11

Außerdem:

Zu frühe analytische Definition des Riemann-Integrals∫ b

af (x)dx = lim

n→∞Un = lim

n→∞= On

(falls lim

n→∞Un = lim

n→∞= On

)führt zu „Missverhältnis von begrifflichem und terminologischemAnspruch gegenüber realisiertem Niveau der Diskussion“ (KIRSCH)

Zu 2.: Bestimmung von Stammfunktionen - Umkehrung des Ableitens

Über das Zusammentragen bisheriger Erkenntnisse:

Funktion Flächeninhaltsfunktionf mit A mit

f (x) = c A(x) = c·xf (x) = a·x A(x) = 1

2 ·a·x2

f (x) = x2 A(x) = 13 ·x

f (x) = x3 A(x) = 14 ·x

gelangt man zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung alsDefinition: ∫ b

af (x)dx := F(b)− F(a) mit F′(x) = f (x)

I Einseitig rechnerische OrientierungI Begrifflicher Zugang (was ist ein Integral?) kommt zu kurzI Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sollte eine

wichtige Erkenntnis sein, wird aber zur Definition „degradiert“.

„Antididaktische Inversion“

I Einseitig rechnerische OrientierungI Begrifflicher Zugang (was ist ein Integral?) kommt zu kurzI Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sollte eine

wichtige Erkenntnis sein, wird aber zur Definition „degradiert“.

„Antididaktische Inversion“

Integration als Rekonstruktion von Beständen

Zu 3: Motivation der Integration überRekonstruktion von Beständen aus Änderungen

„Integrieren heißt Rekonstruieren“

(DANCKWERTS/VOGEL)

Ein EinstiegsbeispielIn eine leere Badewanne wird eine gewisse Zeit Wasser eingelassen, danndie Wasserzufuhr gestoppt, gleichzeitig der Abfluss geöffnet und nach einerWeile wieder geschlossen:

Wie viel Wasser befindet sich nach einer beliebigen Zeit t in der Wanne?

Stellen Sie die Wassermenge als (stückweise definierte) Funktion in Abhän-gigkeit von der Zeit dar und fertigen Sie einen Graphen dieser Funktion an.

I Aus der derZuflussgeschwindigkeitdes Wassers zu jedemZeitpunkt wird auf dieWassermenge in derWanne zu jedem Zeitpunktzurückgeschlossen.

I Zuflussgeschwindigkeit:Ableitung V ′(t) –momentaneÄnderungsrate derWassermenge

→ Aus der Änderungsrate V ′

die Funktion Vwiederhergestellt(rekonstruiert).

Das lateinische Wort für Wiederherstellen ist „integrare“.

Vorteil des Zugangs:

I Grundverständnis vom Integrieren als Rekonstruieren

I Integral als orientierter Flächeninhalt

I Integral als Umkehrung der Ableitung

I Sinnvolle Anwendungsaufgaben nach Einführung desIntegralbegriffs

Das lateinische Wort für Wiederherstellen ist „integrare“.

Vorteil des Zugangs:

I Grundverständnis vom Integrieren als Rekonstruieren

I Integral als orientierter Flächeninhalt

I Integral als Umkehrung der Ableitung

I Sinnvolle Anwendungsaufgaben nach Einführung desIntegralbegriffs

Zusammenfassung

Vorgeschlagener Ablauf:

1. Rekonstruktion von Beständen aus Änderungen

2. Bestimmung von Flächeninhalten Ober- und Untersumme

3. Integral als Umkehrung der Ableitung: Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung

Ober- und Untersumme unter der Normalparabel:Die Streifenmethode des Archimedes

Annäherung an den Flächeninhalt A, der von der Kurve zuf (x) = x2 und der x− Achse eingeschlossen wird.1. Schritt: Betrachtung des Intervalls I=[0;1],Teilung in n = 4 gleich große Teilintervalle

Ober- und Untersumme für n = 4

Für Rechtecke der Breite 14 : Breite · Hohe

UntersummeU4 = 1

4 · f (04) + 1

4 · f (14) + 1

4 · f (24) + 1

4 · f (34)

U4 = 14 · (0 + 1

16 + 14 + 9

16) = 1464 ≈ 0, 22(FE)

ObersummeO4 = 1

4 · f (14) + 1

4 · f (24) + 1

4 · f (34) + 1

4 · f (44)

O4 = 14 · (

116 + 1

4 + 916 + 1) = 30

64 ≈ 0, 47(FE)

U4 < A < O4

UntersummeU4 = 1

4 · f (04) + 1

4 · f (14) + 1

4 · f (24) + 1

4 · f (34)

U4 = 14 · (0 + 1

16 + 14 + 9

16) = 1464 ≈ 0, 22(FE)

ObersummeO4 = 1

4 · f (14) + 1

4 · f (24) + 1

4 · f (34) + 1

4 · f (44)

O4 = 14 · (

116 + 1

4 + 916 + 1) = 30

64 ≈ 0, 47(FE)

U4 < A < O4

UntersummeU4 = 1

4 · f (04) + 1

4 · f (14) + 1

4 · f (24) + 1

4 · f (34)

U4 = 14 · (0 + 1

16 + 14 + 9

16) = 1464 ≈ 0, 22(FE)

ObersummeO4 = 1

4 · f (14) + 1

4 · f (24) + 1

4 · f (34) + 1

4 · f (44)

O4 = 14 · (

116 + 1

4 + 916 + 1) = 30

64 ≈ 0, 47(FE)

U4 < A < O4

UntersummeU4 = 1

4 · f (04) + 1

4 · f (14) + 1

4 · f (24) + 1

4 · f (34)

U4 = 14 · (0 + 1

16 + 14 + 9

16) = 1464 ≈ 0, 22(FE)

ObersummeO4 = 1

4 · f (14) + 1

4 · f (24) + 1

4 · f (34) + 1

4 · f (44)

O4 = 14 · (

116 + 1

4 + 916 + 1) = 30

64 ≈ 0, 47(FE)

U4 < A < O4

UntersummeU4 = 1

4 · f (04) + 1

4 · f (14) + 1

4 · f (24) + 1

4 · f (34)

U4 = 14 · (0 + 1

16 + 14 + 9

16) = 1464 ≈ 0, 22(FE)

ObersummeO4 = 1

4 · f (14) + 1

4 · f (24) + 1

4 · f (34) + 1

4 · f (44)

O4 = 14 · (

116 + 1

4 + 916 + 1) = 30

64 ≈ 0, 47(FE)

U4 < A < O4

UntersummeU4 = 1

4 · f (04) + 1

4 · f (14) + 1

4 · f (24) + 1

4 · f (34)

U4 = 14 · (0 + 1

16 + 14 + 9

16) = 1464 ≈ 0, 22(FE)

ObersummeO4 = 1

4 · f (14) + 1

4 · f (24) + 1

4 · f (34) + 1

4 · f (44)

O4 = 14 · (

116 + 1

4 + 916 + 1) = 30

64 ≈ 0, 47(FE)

U4 < A < O4

Ober- und Untersumme für n Teilintervalle

2. Schritt: Betrachtung des Intervalls I=[0;1],Teilung in n gleich große Teilintervalle

Ober- und Untersumme für n Teilintervalle für I=[0;x]

3. Schritt: Betrachtung des Intervalls I=[0;x]

für n Teilintervalle der Länge xn

Aufgabe zu Schritt 2 und 3:

a) Zu Schritt 2:Ermitteln Sie Un und On für f (x) = x2 über dem Intervall I = [0, 1].

Verwenden Sie dazu die Summenformeln∑

k=1k2 = 1

6 · n · (n + 1) · (2n + 1)

und bestimmen Sie limn→∞

Un bzw. limn→∞

b) Zu Schritt 3:Ermitteln Sie wieder lim

n→∞Un bzw. lim

n→∞On jedoch nun für I = [0; x].

c) Ermitteln Sie limn→∞

Un bzw. limn→∞

On für I = [0; x]

für die Funktion f zu f(x) = 2x2 + x.

Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II

Der Integralbegriff/ Integralrechnung

Zugänge zum IntegralMögliche Zugänge zum IntegralProbleme der Zugänge

Flächenberechnung über Ober- und Untersumme

Definitionen

Eine Funktion f sei in einem Intervall [a, b] definiert und beschränkt.ζ = [t0, . . . , tn] sei eine Zerlegung von [a, b].

Untersumme von f bei der Zerleg. ζ: S f (ζ) =

n−1∑i=0

(ti+1 − ti) · infx∈[ti,ti+1]

Obersumme von f bei der Zerleg. ζ: S f (ζ) =

n−1∑i=0

(ti+1 − ti) · supx∈[ti,ti+1]

Die untere Grenze der Menge aller Obersummen heißt Oberintegral(Infimum aller Obersummen).Die obere Grenze der Menge aller Untersummen heißt Unterintegral(Supremum aller Untersummen).Sind Ober- und Unterintegral gleich, dann heißt die Funktion f in [a, b]integrierbar und der gemeinsame Wert von Ober- und Unterintegralheißt bestimmtes (Riemann-)Integral von f in [a, b].

Schulbuchdefinition:Sei f eine in einem Intervall [a; b] definierte Funktion, die in jedemabgeschlossenen Teilintervall von [a; b] einen kleinsten und einengrößten Funktionswert hat.Haben "die" Folge (Un) der Untersummen und "die" Folge (On) derObersummen einen gemeinsamen Grenzwert, d. h.

limn→∞

Un = limn→∞

On,so heißt dieser gemeinsame Grenzwert bestimmtes Integral der

Funktion f im Intervall [a; b]:∫ b

af (x) dx

I Bei dieser Definition werden bereits, ohne dies explizit zuerwähnen, spezielle Folgen von Unter- und Obersummenvorausgesetzt.

I Das bestimmte Integral ist eine Zahl.

limn→∞

Un = limn→∞

af (x) dx

limn→∞

Un = limn→∞

af (x) dx

Definition der Integralfunktion:

Sei f integrierbar über [a, x] für alle x ∈ [a, b], so heißt

Fa : x→ Fa(x) =

af (t) dt für x ∈ [a, b]

Integralfunktion von f zur unteren Grenze a und oberen Grenze x.

f(t) heißt Integrandfunktion.

Anschaulicher Zusammenhang von Ableiten und Integrieren

Änderungsrate a = ∆v∆t Geschwindigkeits„gewinn“ ≈ a(t)·∆t

Lokale Änderungsrate für ∆t→ 0, Für ∆t→ 0: v(t + ∆t) = v(t) + a(t) ·∆t

geometrische Deutung:Tangentensteigung

Rekonstruktion der Geschwindigkeits-funktion aus den Änderungsraten

Allgemein:Aus Bestandsfunktion F die Ände-rungsratenfunktion f = F′ ermitteln.

Allgemein:Aus Änderungsfunktion f die Be-standsfunktion F =

∫f ermitteln.

Zusammenhang von Ableiten und Integrieren

Auch anhand des Beispiels„Badewanne“ lässt sich derZusammenhang von Ableitenund Integrieren rückblickenddiskutieren.

→ Anschauliche „Erfahrung“:

Ableiten und Integrieren sind„Umkehroperationen“.

I Die gleich lautende„rechnerische Erfahrung“sollte ebenfalls bereitsgemacht worden sein.

.Didaktik der Mathematik der S II, Integralrechnung Sommersemester 2010/11

Die Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung – Singular/Plural?

Zwei (zusammenhängende) Fragen:

1. Wie lässt sich ermitteln, ob eine Funktion f eine Stammfunktionbesitzt? Wenn ja, wie lässt sich eine Stammfunktion bestimmen?

2. Wie lässt sich eine Funktion F aus ihrer als bekanntangenommenen Änderungsrate F′ allgemein rekonstruieren?

Zwei Antworten (Hauptsätze):

1. f sei stetig in [a; b] und es sei Fa(x) :=

af (t) dt, x≤b.

Dann gilt F′a(x) = f (x) für alle x ∈ [a; b].→ Integralfunktion ist bei stetigen Funktionen differenzierbar und

eine Stammfunktion.

2. Sei f integrierbar über [a; b] und F eine beliebige Stammfunktionvon f .

Dann gilt für a≤x≤b : Fa(x) =

af (t) dt = F(x)− F(a)

→ Bestimmte Integrale∫ b

af (x)dx lassen sich mithilfe einer beliebigen

Stammfunktion berechnen.

Zwei Antworten (Hauptsätze):

1. f sei stetig in [a; b] und es sei Fa(x) :=

af (t) dt, x≤b.

Dann gilt F′a(x) = f (x) für alle x ∈ [a; b].→ Integralfunktion ist bei stetigen Funktionen differenzierbar und

eine Stammfunktion.

2. Sei f integrierbar über [a; b] und F eine beliebige Stammfunktionvon f .

Dann gilt für a≤x≤b : Fa(x) =

af (t) dt = F(x)− F(a)

→ Bestimmte Integrale∫ b

af (x)dx lassen sich mithilfe einer beliebigen

Stammfunktion berechnen.

Der Begriff „Stammfunktion“

Definition:Seien f , F Funktionen, definiert in einem Intervall [a; b].F ist eine Stammfunktion von f in [a; b], wenn F differenzierbar in [a; b]ist und F′ = f gilt.

Satz:Sind F1, F2 Stammfunktionen einer Funktion f in einem Intervall [a; b],dann unterscheiden sich F1 und F2 höchstens um eine additiveKonstante.

Genauer gesagt gilt dies, falls der Definitionsbereichzusammenhängend ist.

Der Begriff „Stammfunktion“ Begriffe

I Eine Stammfunktion ist eine differenzierbare Funktion F,deren Ableitung f ist.

I Ein Unbestimmtes Integral oft auch Klasse aller Stammfunktionen

genannt: : F(x) + c =

∫f (x) dx ; c ∈ R

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