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�8�
Far die Einfnhruug non. , uneigentliohen Riemann . Integrate
"
benotigen win :
Def . : Sei Ae R"
. ( An E R"
)u⇐µheipt ansschopfeude Folge fur A,
weun gilt :
l i ) then : An istbeschrankt und 2Ar. nom Lebesgue
- Map Null in R"
.
( ii ) V. Re ( o ,N ) : vol ( ( Alan ) n Irlo ) ) existivt for alle KEN and
ftp.uol ( ( Alan ) n Irlo) ) : 0.
Bsp . : ° Fir A . R
"
Sind sowohl kugeln ( Are Iulo ) ) als anch Warfel ( Are EKK ]"
)
anssohopfende Folgeu .
• A =L xe R"
/ 11×11,
c- ( an ] } wird durch Au=t×eR"
/ 11×11,
e I Fi ? ] }ansgeschcipft .
Def . : Seif : A → R mit A ER"
.
o Weuu f ' . 0 ist und eine ansschopfeude Folge ( An )new
fir A existrert,
so dass V. K flan beschroinkt and R.
- integtierbar ist
,dann heipt
ftp./a.flHdx = : a) flxsdx e Ruta }
das uneigentliche Riemann - Integral von f auf A.
° Weun f=f+ - f. unit f+, f. so
,dann ist das uueig .
R.
- Int
. definivt
als /fcxsdx:-. I f+ ( × ) de - I f. (e) dx e Ruttoo } sofern beide
Integrate als uneig . R
.
- Int. existieren and uicht bride a sind
.
o 1st )a/flx ) / dx endlich,
heipt f auf A absolut Riemann . integrierbw .
�9�
Bsp . : o At [ 0, • )
'
,flx ) : e
- ×'
' ×'
,An :[ 0 ,k]2
kisnalami"
"dxj;Katie 's :L'
. only
Fubini= him ( n - e-
k)
"
= 1k - soo
° A : ( on )2. f ( x ) = ¥
,An : ( 0,7 ) × ( 1k
,1)
In ÷ . :*..nl#iEax.:k:...IlIinaalxndaFubini
= ftp.o.fllosk) x. dxn :} hug
.logk : •
→ fist auf A wicht abs. R .
- iwlegrierbor .
Satz : Sei ]n : :{ A c. R"
/ A beschrciukt und 2A von Lebesgue - Map Null ] . Die Abbildnng
vol : ]n→ IR,
At > Idx besitzt folgende Eigeuschaften : t A. Beth Vxe IR"
:
l i ) not (A) >. 0 Nichtnegakritat
( ii ) A 213 ⇒ rol ( A) >. vol LB ) Monotonic
( iii ) A°nB°= ¢ ⇒ roll At B) : vol (A) + vol ( B ) Additivitat
( iv ) roll At × ) : vol ( A) Translations invariant
( ✓ ) vol ( [ 0,7 ]" ) = 1 Normierung
( vi ) vol ( UA ) = roll A) V. U : OC n ) :=f UEIR" "
/ utu : I } Rotations invariant
( vii. ) 1st { e ; }I,
ONB und A : R"
→ IR"
linear unit Skalieruug
Ac ; :S :c ; ,s
;' - 0
, dann gilt vollra ) :(IT,f)volt )
.
Bem .: ° ( i ) - ( v ) legeu die Volnmenfkt . auf ]u eindinkg fest .
° A + × := T ye R"
/ Fze A : y: ztx }
. UA i : f yer"
1 Fzea : y= Ut }
@wir imporkeren ein uitzhiohes Werkzeug aus do tin
. Algebra :
Satz : ( Singularwertzerlegung )
For jede Matrix Me IR" " "
gibt es orthogonal Transformation en UEOCN ),
VEOCM )minln ,m }
und s E R,o ,
so dass M = U^V wobei An:= Ski six.
Ben.
: ° Fairposikv semi - definite M ist dies die Eigeuwertzvleguug ( wobei U=VT ).
o Die Menge der, , Singnloirwerte
"
{ su } ist eindenkg fir jedes M.
{ si } sind
Eigeuwwte von MTM.
korollar : Sci M : IR"
→ IR"
linear und A ER"
beschroiukt unit 2A rom Lebesgue - Map Null.
Dann gilt :
vol ( MA ) = ldetl 14 ) / uol.LA )
Beweisi Sei M= UAV Singular wertzvlegung unit An : Su Su .
vo( MA ) : rol ( UNA ) . - vol ( AVA ) = vol ( VA ) ftp..sk = vol ( A) 1¥,
sn .
( vi ) ( vii ) ( vi )
Zudem gilt ldetlm )/= / detlu ) detlr ) detlv ) / = ldetlr ) / = FsuA
k= ,
I
UEOCN ) ⇒ detlu )et±n },
da 1= det ( Utu ) :
: detln }
:Ben .
: Der Einheitsquader Q :[ on ]" EIR
"
wird von M anf ein, ,
Pwallelotop"
mit
Volumen vol ( MQ ) = ldet 171 abgebildet .
/
1
l /
i 17,
'
; - . -
.,.
--
- i,
:
y
,-
:- - - - →
-
.
@
Erinnerung : ° Sind U.ve R"
offeu,
dannhiptgc C'
( U ,v ) C'
' Diffeomorphismusweun
g bijekkv and g'
:V→U diffbwist .
In okm Fall giltautomatism g-
'
E C "( V. U ) .
Lemma : ( Charaktuisieruugvon C'
'
Diffeomorphismen )
1st UEIR"
often und GECYU ,R
"
) injektiv .Dann ist
g :U→gLu )
genandann ein C
''
Diffeomorphismns ,wenu det ( ]gk ) ) TO the U
.
in
Jacobi - Matrix vongbei ×
.
Beweis : Folgt unmiltelbw aus Satz 15.4.
( Analysis 2).
D
Bsp . : ( Polarkoordinaten )
U :-. { ( r, f) e 1122 / r > 0
, fc . ( 0.2T ) )^
gcr ,9) ÷ ( IMF ) = : ( f )
y- . - . . - .
-
;]g( r ,f ) =cost - rsinf r ,
(sinf rcosf
)H !
1 >
det ( 3glr,e ) ) = r ( coif + siiif ) = r×
g. U→gCh ) : R
'
\ tlxiy ) 1×70 , Y :O } ist bijekkv und dem Lemma naoh
ein C ? Diffeomorphismus .
@Satz : ( Transformation ssatz )
Sci UER"
often, g
: U → glu ) c- R"
ein C'
. Dilfeomorphismus und A e R"
kompakt mit 2A nom Lebesgue- Map Null in R
"
. Dann gilt fir jede
Riemann . int.
Fkt. f : GCA) → R :
fga,
fltldy: /flask ' ) /det3gW/d×,
wobei (}glx ) )u,
÷ 2, gu
( x ).
Ben .:
o GLA ) ist Wieder kompakt und 2glA ) :
g ( JA ) nom Lebesgue - Map Nuh.
° Es geuigt , weuu ge C'
fast iibwall Diffeomorphismns ist.
° det 3gl× ) neunt man, ,
Funktional determinant e"
.
Bewlisidle : Angeuommeu A e R"
ist ein Quader unit Zerlegung A : Upn Qi ,
Q ; = Qotxi.
×;
£ Q ;
gl Q;)
#*t" "
+ y¥f#)Far inner feiner werdende Zvleguuyn gilt wegen
R - iutegrivbwkeit non f :
|g|a,
fly ) dy - .§,
flglxii ) vol ( g( a ;) ) / → o.
Weyn D :# bwkeit von
g gilt zudem :
g( Q ;) .
- glx ;+ Qo ) a glx ;) + Dglx :) Qo
vol ( gla ;) ) = vol ( glx ;) + Dglx;) Qo ) = vol ( Dglx ;) Qo )
Transl.
invarahz%
www.na.n.SI/dlt3gtxil/roL( a ;)
Parallel otops
Also : ¥,
f 'Hdy = §,
flgix ;) ) / out }lei/roL( Qi ) = ! flgcei ) /det3gks/ dx.
a
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