Wachstumstheorie - LMU

ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München

Wachstumstheorie

Prof. Dr. Kai Carstensen LMU und ifo Institut

Begriffe: Konjunktur und Wirtschaftswachstum

Wirtschaftswachstum:•

Langfristige Zunahme des realen BIP bzw. der realen Produktionsmöglichkeiten (Produktionspotential)

Wachstumstheorie (1. Hälfte des Semesters)Konjunktur:•

Mehrjährige Schwankungen im Auslastungsgrad des gesamtwirtschaftlichen Produktionspotentials, die bei allen Besonderheiten im einzelnen gewisse Regelmäßigkeiten aufweisen

Indikatoren: Wachstumsrate des (realen) BIP, Auslastungsgrad des Produktionspotenzials

Konjunkturtheorie (2. Hälfte des Semesters)

Konjunktur und Wachstumsdynamik in China (prozentuale Wachstumsraten)

Frage: Warum wächst China seit über 30 Jahren mit so hohen Wachstumsraten?Was treibt Wachstum?

1980 1985 1990 1995 2000 2005

WACHSTUM_CHINA KONJUNKTUR_CHINA

Konjunktur- und Wachstumsdynamik in den USA (prozentuale Wachstumsraten)

Frage: Kann Geld-

oder Fiskalpolitik einen Beitrag zur Konjunkturglättung leisten?Ist eine Konjunkturglättung überhaupt erwünscht?

1980 1985 1990 1995 2000 2005

KONJUNKTUR_USA WACHSTUM_USA

Wachstumstheorie

Neoklassisches Wachstumsmodell (Solow- Modell)

Ramsey Modell

Begriffliche Grundlagen – Wachstumstheorie (1)

Wirtschaftliches Wachstum ist die quantitative Zunahme an Gütern in einer Volkswirtschaft, die Bezugsgröße ist aus statistischen Gründen das Bruttoinlandsprodukt

Man unterscheidet extensives Wachstum, welches sich ausschließlich am BIP orientiert,

und intensives Wachstum, mit dem Pro-Kopf-Einkommen als Bezugsgröße

wobei die Bevölkerungszahl des betreffenden Landes beschreibt.

BIPPKEL

( )BIP

( )PKE

Begriffliche Grundlagen - Wachstumstheorie (2)

Veränderung des Pro-Kopf-Einkommens:

Wachstumsrate des Pro-Kopf-Einkommens:

Und mit als Symbol für die Wachstumsrate folgt

2 BIP L L BIP dPKEPKE mit PKEL dt

• •• •⋅ − ⋅ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

PKE BIP LPKE BIP L

• • •

PKE BIP Lg g g= −g

Begriffliche Grundlagen – Wachstumstheorie (3)•

Die gesamtwirtschaftliche Arbeitsproduktivität muss man vom Pro-Kopf-Einkommen unterschieden:

Bietet jeder Einwohner eines Landes eine Einheit Arbeit vollkommen unelastisch an, so sind beide Begriffe iden-

tisch.

/y BIP L=

y BIP Lg g g= −

BIP pro Kopf (Dt.) BIP je Erwerbst. (Produktivität)

2001 25200 € 2001 51000 €

2002 25500 € 2002 51400 €

2003 25800 € 2003 51800 €

wobei L die Zahl der Erwerbstätigen bezeichnet

Stilisierte Fakten zum Wachstum (1)

Es gibt sehr große Unterschiede zwischen den Pro-Kopf- Einkommen der einzelnen Länder.

Die Wachstumsraten unterscheiden sich beträchtlich.•

Die Wachstumsraten sind nicht notwendigerweise über die Zeit konstant.

Die Reihenfolge der Länder kann sich ändern. Arme Länder können (relativ zu anderen) reich werden und umgekehrt.

Was will die Wachstumstheorie? (1)

Sie will Antworten auf bestimmte Fragen geben :•

Weshalb entwickelten sich Länder wie Ost-

und West-

deutschland, Taiwan und China, Süd-

und Nordkorea so unterschiedlich, obwohl sie unter vergleichbaren Umständen starteten?

Warum sind wir so reich und andere so arm?•

Kann China zu den führenden Industrienationen der Welt aufschließen?

Wie lange brauchen die ostdeutschen Bundesländer, um auf den Entwicklungsstand Westdeutschlands zu gelangen?

Was will die Wachstumstheorie? (2)

Warum kam es in Westdeutschland nach dem Zweiten Weltkrieg zu einem Wirtschaftswunder, bei den Sieger-

mächten

Frankreich und England kam es jedoch nicht zu außergewöhnlichen Wachstumsraten?

Was ist der Motor des Wirtschaftswachstums?

Zur Geschichte der Wachstumstheorie

Wachstumstheorie (WT)

Neoklassische WTSolow/Swan

(1956)

Ramsey-Modell,Cass/Koopmans

(1965),

Endogene WT

mit konstantemTechnologieparameter

z.B. konstante Kapitalproduk-tivität, Rebelo

(1991)

mit variablemTechnologieparameterz.B. horizontale/vertikale

Innovation, Grossman/Helpman(1991)

Grundlagen: Mathematische Eigenschaften der Wachstumsverläufe

Das reale Bruttoinlandsprodukt in Niveauwerten folgt im Allgemeinen einem exponentiellen Verlauf.

Es ist für Untersuchungen üblich, die Niveauwerte zu logarithmieren.

Der Anstieg der logarithmierten Zeitreihen kann als Wachstumsrate interpretiert werden.

Betrachtung des realen Bruttoinlandsproduktes von China (Basisjahr 1987), Einheit Mrd. Renminbi (Yuan)

1980 1985 1990 1995 2000 2005

BIP_CHINA

Das Wachstum in China scheint einem exponentiellen Verlauf zu folgen!

Betrachtung des realen Bruttoinlandsproduktes der USA (Basisjahr 1987), Einheit Mrd. US-Dollar

1980 1985 1990 1995 2000 2005

BIP_USA

Das Wachstum der USA der vergangenen 30 Jahre hat eher einen linearen oder nur ganz schwach exponentiellen Verlauf!

Wirtschaftswachstum•

Die Änderung des BIPs

ergibt sich aus der folgenden

Gleichung:

Wir kennen die durchschnittliche Wachstumsrate vom BIP, aber wir wollen das Niveau in 10 Jahren wissen.

Am besten wäre ein Funktion, die folgende Argumente enthält:

homogene Differentialgleichung

t BIP tBIP g BIP•

( )0 , ,t BIPBIP f BIP g t=

Deterministische Differentialgleichung 1. Ordnung (1)

Eine lineare homogene Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten sieht wie folgt aus:

Ein Beispiel wäre:

t tx ax

wobei a einen Koeffizienten darstellt=

00,05 , 100t tBIP BIP BIP= ⋅ =i

Deterministische Differentialgleichung 1. Ordnung (2)

Folgende Schritte sind zur Lösung erforderlich

Endgültige Lösung der homogenen Differentialgleichung

homogene Differentialgleichung

Allgemeine Lösung, C ist eine Konstante Anfangsbedingung

x Cex C

………

tx x e=

Lösung einer Differentialgleichung 1. Ordnung (1)

Für unser Beispiel ergibt sich:

Endgültige Lösung der homogenen Differenzialgleichung

Für und ergibt sich:

0,05 homogene Differenzialgleichung

Allgemeine Lösung, C ist eine Konstante Anfangsbedingung

BIP BIP

BIP CeBIP C

………

ttBIP BIP e= ⋅

0 100BIP =10t =0,05 0,05 10

0 100 164,9ttBIP BIP e e ⋅= ⋅ = ⋅ =

Betrachtung des realen Bruttoinlandsproduktes von China (Basisjahr 1987) mit einem exponentiellen Verlauf, Einheit Mrd. Renminbi

1980 1985 1990 1995 2000 2005

BIP_CHINA BIP_CHINA_SIM

Berechnung BIP_CHINA_SIM: BIP_CHINA_SIM=514*exp(0,094*t)wobei t die Zeit darstellt

Von der Theorie zur Praxis an einem Beispiel•

In der angewandten Forschung ist es üblich, alle Zeitreihen außer Zinssätze zu logarithmieren.

Intuition: alle Zeitreihen wachsen langfristig exponentiell.

wobei die langfristige Wachstumsrate beschreibt.•

Vorteil: die Veränderung der logarithmierten Zeitreihe über

einen kurzen Zeitraum kann als Wachstumsrate

interpretiert werden

tX X eγ=

( ) ( ) 1ln lnt t t t t t

X X X X X Xt X t X X

γ+∂ ∂ ∂ −= = =

∂ ∂ ∂

i Kettenregelbeim Ableiten!!!

Betrachtung des Logarithmus des realen Bruttoinlands- produktes von China

1980 1985 1990 1995 2000 2005

LOG_BIP_CHINA

Die logarithmierte Zeitreihe hat einen linearen Verlauf!

Regression des Logarithmus des realen Bruttoinlands- produktes von China auf den Trend

Betrachtung des Logarithmus des realen Bruttoinlands- produktes von China mit der geschätzten Regressions- gerade (LOG_BIP_CHINA_SIM)

1980 1985 1990 1995 2000 2005

LOG_BIP_CHINA LOG_BIP_CHINA_SIM

Vergleich von berechneten Wachstumsraten (in Prozent)

1980 1985 1990 1995 2000 2005

LOG_WACHSTUMSRATE WACHSTUMSRATE

Berechnung: LOG_WACHSTUMSRATE=LOG_BIP_CHINA(t)-LOG_BIP_CHINA(t-1)WACHSTUMSRATE=BIP_CHINA(t)/BIP_CHINA(t-1)-1

Übungsaufgaben

Aufgabe 1:

Das Pro-Kopf-Einkommen beträgt 1000 €

und nach 10 Jahren 2594 €. Wie groß

war die

durchschnittliche Wachstumsrate?

Aufgabe 2:

Nach wie vielen Jahren würde sich das Ein- kommen verdoppeln, wenn die durchschnittliche

Wachstumsrate 5 % beträgt?

1. Neoklassische Wachstumstheorie - Grundmodell ohne technischen

Fortschritt

Das neoklassische Grundmodell – Idee (1)•

Das neoklassische Grundmodell wurde von Solow (1956) und Swan

(1956) entwickelt.

Idee: Der gesamtwirtschaftliche Output einer Ökonomie wird mit einer Technologie konstanter Skalenerträge unter Einsatz der beiden Produktionsfaktoren Arbeit und Kapital produziert. Empirisch kann man ein konstantes Verhältnis von Kapitaleinsatz und Output beobachten. Nimmt man daher an, dass Kapital und Output mit derselben Rate wachsen, so muss aufgrund der Technologie konstanter Skalenerträge auch der Arbeitseinsatz mit dieser Rate wachsen…

Das neoklassische Grundmodell – Idee (2)

Idee: …Der Arbeitseinsatz kann zum einen quantitativ aufgrund von Bevölkerungswachstum und zum anderen qualitativ durch technischen Fortschritt zunehmen, der jedoch exogen gegeben ist.

Nun stellt das Bevölkerungswachstum in erster Linie eine demographische Größe dar, die sich schwerlich

von ökonomischen Entscheidungen beeinflussen läßt. Deshalb ist langfristiges Wirtschaftswachstum im

Solow-Swan-Modell exogen und wird getrieben durch

Bevölkerungswachstum und exogenen techni-

Fortschritt.

Produktionsfunktion (1)

Die Ökonomie produziert mit einer gesamtwirtschaftlichen Pro-duktionsfunktion:

Eigenschaften (neoklassische Eigenschaften):1. Y ist bezüglich seiner Argumente stetig zweimal differenzier-

und hat positive, abnehmende Grenzproduktivitäten

( ) ( ) ( )( ),Y t F K t L t=

: 0, : 0

Y YF FK L

∂ ∂= > = >∂ ∂∂ ∂

= < = <∂ ∂

Diese Eigenschaft impliziert die Substituierbarkeit der beiden Produktionsfaktoren.

2. Inada-Bedingungen

3. Konstante Skalenerträge

Produktionsfunktion ist linear homogen (homogen

vom Grade 1)

lim 0, lim 0

lim , limK LK L

K LK L

F F→∞ →∞

→ →

= ∞ = ∞

( ) ( )( ) ( ) ( )( ), , , 0F K t L t F K t L tλ λ λ λ= ∀ >

Sidestep: Linear homogene Produktionsfunktionen (1)

Eine linear homogene Produktionsfunktion

besitzt folgende Eigenschaft (Euler Theorem):

Die Inputfaktoren werden zu ihren Grenzproduktivitäten vergütet, der Output wird vollkommen auf die Produktionsfaktoren aufgeteilt.

( ),Y F K L=

( ) ( ), ,F K L F K LY K L

K L∂ ∂

≡ ⋅ + ⋅∂ ∂

Beispiel: Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

Grenzproduktivitäten:

( ) 1, , 0 1Y F K L A K Lα α α−= = ⋅ ⋅ < <

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1,, /

,, 1 1 /

F K LF K L AK L Y K

KF K L

F K L AK L Y LL

− −

∂= = =

∂∂

= = − = −∂

Einkommensanteile am Output:

Elastizitäten des Outputs bzgl. der Inputfaktoren:

( )1 1

K Y KFY K YL Y LFY L Y

⋅ = =

⋅ = − = −

dY K KdY dK F K LY K dK Y Y

dY L LdY dL F K LY L dL Y Y

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ = −

Eigenschaft 3 ermöglicht es, die Produktionsfunktion in intensiver Form zu schreiben:

( , ) ( / ,1) ( / )Y F K L L F K L L f K L= = ⋅ = ⋅

( )y f k=

• Sei y=Y/L die Arbeitsproduktivität (Pro-Kopf-Output) undk=K/L die Kapitalintensität. Damit folgt:

Den gesamten Output der Ökonomie erhält man durch Multiplikation mit L

Y L y= ⋅

Es gilt , und ist gleich der Grenz- produktivität

des Kapitals:

Beispiel für eine neoklassische Produktionsfunktion: Cobb-Douglas

Produktionsfunktion

A: Stand des technischen Wissens

In intensiver Form:

'( ) 0, ''( ) 0f k f k> < '( )f k

( ),'( )

F K Lf k

1 , 0< 1Y AK Lα α α−= <

y Akα=

Euler Theorem

Wir wissen:

Daraus folgt:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

,, und

F K L F K LY F K L K L

K NF K L f k

F K L L f kK k

∂ ∂≡ = ⋅ + ⋅

∂ ∂∂ ∂

= ⋅ =∂ ∂

( ) ( ) ( )

( ) ( )

, 1 , '

F K L F K LL F K L K

L KF K LY KMPL F K L f k

L L L LMPL f k k f k

∂ ∂⋅ = − ⋅

∂ ∂∂∂

≡ ≡ = ⋅ −∂ ∂

= − ⋅

Kapitalakkumulation

Produktion kann durch Kapitalakkumulation gesteigert werden, indem nicht das gesamte Sozialprodukt konsumiert wird: Ersparnis = Investition.

Annahme: konstante Sparquote s.

Allerdings verschleißen die Kapitalgüter im Gebrauch. Es kommt zu Abschreibungen.

Annahme: konstante Abschreibungsrate δ.•

Entwicklung des Kapitalstocks:

K I Kδ= −i

( ), , 0 s 1I s F K L= ⋅ ≤ ≤

Break-even Investitionen

Aus der Kapitalakkumulationsgleichung

folgt, dass der Kapitalstock konstant bleibt, wenn die Investitionen mindestens das Abschreibungsvolumen umfassen. Die Investitionsmenge

wird daher als break-

Investition bezeichnet.

K I Kδ= −i

Kapitalakkumulation (Aggregierte Größen)

δK (Break-even investment)

F(K,L)

s·F(K,L) (Actual

investment)

Kapitalakkumulation (Aggregierte Größen)

s·F(K,L)

F(K,L)

AbschreibungErhaltung des VorhandenenKapitalstocks

TatsächlicheInvestitionen

Fundamentale Wachstumsgleichung (1)

Veränderung des Kapitalstocks über die Zeit entspricht den Bruttoinvestitionen abzüglich der Abschreibungen :

wobei s die konstante Sparquote bezeichnet.•

Division durch liefert:

K I Kδ= −i

mit ( ), , 0 s 1I s F K L= ⋅ ≤ ≤

( ),K s F K L Kδ= ⋅ −i

( )K s f k kL

δ= ⋅ −

Fundamentale Wachstumsgleichung (2)•

Die Kapitalintensität ist definiert als ; für die Änderung der Kapitalintensität erhält man:

Umstellen der Gleichung liefert:

Die Bevölkerung wachse mit konstanter Rate n:

K K L K L K K Lkt L L L L L∂ −⎛ ⎞= = = − ⋅⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

i i i ii

K Lk k k k nL L= + ⋅ = + ⋅

i ii i

( ) 0 00 , ( ) , nt LL L L t L e nL

k /k K L=

Fundamentale Wachstumsgleichung (3)•

Damit erhält man die fundamentale Wachstumsgleichung des neoklassischen Modells:

Dynamisches Verhalten:

1) Actual

Investment > Break-Even-Investment: k steigt2) Actual

Investment < Break-Even-Investment: k sinkt

( ) ( )k s f k n kδ= ⋅ − + ⋅i

Bruttoin- vestitionen

Abschreibungen -

physische Abschreibung des Kapitalstocks δ

Ausdünnung infolge des Bevölkerungswachstums n

Graphisch (1)

1k 2k kk∗

y∗ ( )n kδ+

( )s f k⋅

( )f k

Graphisch (2)

Phasendiagramm für im Solow Modell:

kk ∗

Break-even

Investmentgeringer als ActualInvestment

Break-even

Investmentgrößer als ActualInvestment

Steady State und transitorische Dynamik (1)

Langfristiges Gleichgewicht (steady-state) ist der Zustand, in dem die relevanten Wachstumsraten konstant (balanced growth path) sind.

Kapitalintensität k konvergiert unabhängig vom Ausgangs- punkt k(0)>0 zur gleichgewichtigen Kapitalintensität k*.

Es gilt und die Bruttoinvestitionen reichen somit gerade aus, die Abschreibungen zu decken.

Das Solow-Swan-Modell

impliziert Konvergenz zum steady- state

. Also gilt:

* 0k =i

* *( ) ( )s f k n kδ⋅ = + ⋅

Steady State und transitorische Dynamik (2)•

Als Steady-State

Wachstumsrate erhält man:

Da k* im Steady

State konstant ist, sind dann auch die Pro- Kopf-Größen y*=f(k*) und c*=(1-s)y* konstant; der

gesamtwirtschaftliche Output Y sowie der Kapitalstock K wachsen mit der Rate n (balanced

growth path):

* * * *

( ) ( ) ( ) ( ) 0k

k s f k n k s f kg nk k k

⋅ − + ⋅= = = − + =

* * 0 analog K Y

Y L yK L k

K L kg n n gK L k

= = + = + =

Steady State und transitorische Dynamik (3)•

Eine Ökonomie wächst im Allgemeinen entlang des transitorischen

Pfades:

f(k)/k : durchschnittliche Kapitalproduktivität•

Da die Produktionsfunktion konstante Skalenerträge auf-

weist, lässt sie sich schreiben als Y=L·f(k) und damit ist f(k)=Y/L. Da k=K/L gilt, folgt:

( ) ( )( ) ( )k

s f k n kk s f kg nk k k

⋅ − + ⋅= = = − +

( ) / ( / ) /( / ) /

f k k Y L K L Y Ks Yg nK

= =⋅

= − +

und daher

Steady State und transitorische Dynamik (4)

Auf dem Weg zum Gleichgewicht verlangsamt sich das (absolute) Wachstum in den Pro-Kopf-Größen, bis es im Gleichgewicht zum Stillstand kommt:

'( ) ( ) / 0

kg s f k nk k k

f k k f k Y Ls sk k

δ∂ ∂ ⋅⎡ ⎤= − +⎢ ⎥∂ ∂ ⎣ ⎦⋅ − ∂ ∂

= = − <

Grafik Transitorische Dynamik im Modell ohne TF

( ) /s f k k⋅

0kg >( )n δ+

( ) /s f k k⋅

Wachstumsrate des Pro-Kopf-Einkommens (1)

Entwicklung der Wachstumsrate des Pro-Kopf-Einkommens auf dem Weg ins Gleichgewicht

'( ) '( )( ) ( )

'( )( )

dy dy dky f k kdt dk dt

y f k k f k kg ky f k f k k

k f kg gf k

= = = ⋅

⎡ ⎤⋅= = = ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤⋅

⇒ = ⎢ ⎥⎣ ⎦

Wachstumsrate des Pro-Kopf-Einkommens (2)

( )'( )'( )

YKK K L Y k k f kf k

Y L Y K y f k

∂∂ ∂ ⋅

= = =∂

k*f´(k)/f(k) ist die Kapitalertragsquote, also der Anteil des Kapitaleinkommens am gesamten Pro-Kopf-Einkommen

Für eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

ist die Kapitalertragsquote konstant und entspricht dem Kapitalkoeffizienten α. Dann ergibt sich:

d.h. die Wachstumsrate des Outputs steht in einem festen Verhältnis

zur Kapitalwachstumsrate. Empirisch ist die Kapitalertragsquote recht stabil, Cobb-Douglas

also eine gute Näherung.

Dann gilt insbesondere, dass gy

steigt (sinkt), wenn gk

steigt (sinkt).•

Im Gleichgewicht sind die Wachstumsraten für die Pro-Kopf-Größen gleich Null!

'( )( )y k k

k f kg g gf k

α⎡ ⎤⋅

= =⎢ ⎥⎣ ⎦

Einfluss von Parameteränderungen: Erhöhung der Sparquote s (1)

(n+δ)k

·f(k)

Ob der Pro-Kopf Konsum sinkt oder steigt,hängt vom Anfangszustand ab!

Einfluss von Parameteränderungen: Verbesserung der Technologie

(n+δ)k

s·f(k)

Einfluss von Parameteränderungen: Wirkung einer gestiegenen Bevölkerungswachstumsrate

Optimale Sparquote und Golden-Rule Kapitalstock

Eine Ökonomie wird immer reicher, je mehr sie spart.•

Frage: Gibt es eine „optimale Sparquote“, die einen maximalen Konsum über alle Generationen hinweg

ermöglicht?•

Beziehung zwischen der Sparquote s und der steady-state

Kapitalintensität k*

→ positive Korrelation zwischen s und k*•

Pro-Kopf-Konsum im Gleichgewicht lautet:

* *(1 ) ( ( ))c s f k s= −

*( )k s mit *( ) / 0dk s ds >

Im Steady-State

Für den Pro-Kopf-Konsum erhält man:

Notwendige Bedingung für ein Maximum im Pro-Kopf- Konsum:

* * * * *( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) ( )c f k s s f k s f k s n k sδ= − ⋅ = − +

* *( ) ( )s f k n kδ⋅ = +

dc dsdc dkdc dsdk ds

Optimale Sparquote und Golden-Rule Kapitalstock Mathematische Herleitung (1)

Daraus folgt die Optimalitätsbedingung für den Golden Rule

Kapitalstock:

( ) ( )gold

gold gold gold

c f k n k

= − +

/ ( ( )) ( ) ( ) /

'( ( )) ( ) / 0

dc ds d f k s n k s ds

f k s n dk ds

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦⎡ ⎤= − + ⋅ =⎣ ⎦

Optimale Sparquote und Golden-Rule Kapitalstock Mathematische Herleitung (2)

(n+δ)k

*goldc

·f(k)

> sgold

< sgold

Steigung:(n+δ)In ist der Konsum maximal und die Steigung der Produktionsfunktion beträgt n+δ.

*goldk

Optimale Sparquote und Golden-Rule Kapitalstock Grafik

Wohlfahrtsbetrachtung des Golden-Rule- Kapitalstocks (Pareto-Betrachtung) (1)

Fall 1: Anfangskapitalstock größer als Golden-Rule-Kapitalstock (Sparquote zu hoch)

0cPareto-Verbesserung: Jeder (selbst die gegenwärtige Generation) wird besser gestellt durch Senkung der Sparquote.Übergang von einem überkapitalisierten GG zu einem Golden-Rule-

ist möglich durch Zustimmung aller Generationen!

Wohlfahrtsbetrachtung des Golden-Rule- Kapitalstocks (Pareto- Betrachtung) (2)

Fall 2: Anfangskapitalstock geringer als Golden-Rule Kapitalstock

(Sparquote zu niedrig)

Generationenkonflikt: Zukünftige Generationen sind besser gestellt, jedoch muss die gegenwärtige Generation auf Konsum verzichten!

Neoklassische Wachstumstheorie Grundmodell mit technischem Fortschritt

Einführung•

Welche Kraft verhindert ein Absinken der Wachstumsrate aufgrund der Kapitalintensivierung?

Ableiten der Wachstumsrate nach k liefert:

Der technische Fortschritt wirkt als Motor des wirtschaft- lichen

Wachstums.

( ) ( )kf kg s n xk

δ= ⋅ − + +

'( ) ( )0k s f k k f kg

k k⋅ −∂

= <∂

x: Wachstumsrate techn. Fortschritt1

1 In dem Buch von Romer

wird die Wachstumsrate des techn. Fortschritts mit g bezeichnet.

Formen des technischen Fortschritts

Faktorgebundener (z.B. Hardware, wird eingeführt mit neuen Kapitalgütern) versus

faktorungebundener (z.B.

Software, verbesserte Organisation usw.) technischer Fortschritt

Faktorungebundener technischer Fortschritt kann in Form einer Verschiebung der Produktionsfunktion ausgedrückt werden.

Faktorgebundener technischer Fortschritt z.B. durch:

Neutraler und nichtneutraler technischer Fortschritt

( )1 1t t t tK A I Kδ+ = + −

Arten des neutralen technischen Fortschritts (1)

Erweiterung der neoklassischen Produktionsfunktion um die zeitbezogenen und faktorspezifischen Technologie-

parameter

(t) und AL

1. Hicks-neutraler TF: erhöht bei unverändertem Faktoreinsatz die Grenzproduktivität beider Faktoren gleichermaßen. (∂F/∂L)/(∂F/∂K) ist konstant für ein konstantes Verhältnis K/L.

( )( ) ( ) ( ), ( ) ( )K LY t F A t K t A t L t= ⋅ ⋅

( ) ( ) ( ( ), ( )), A( ) 0Y t A t F K t L t t= ⋅ >i

Hicks-neutraler

Fortschritt ist „Technology Augmenting“.

2. Harrod-neutraler TF: bedeutet, dass bei gegebenem Kapitalkoeffizienten K/Y das Verhältnis der

Einkommensquoten

unverändert bleibt.

Harrod-neutraler Fortschritt wirkt arbeitsvermehrend.

/ /F K F LK LY Y

∂ ∂ ∂ ∂

( )( ) ( ), ( ) ( ) , A ( ) 0LLY t F K t A t L t t= ⋅ >i

3. Solow-neutraler TF: bedeutet, dass bei gegebenem Arbeitskoeffizienten L/Y das Verhältnis der Einkommensquoten

konstant bleibt.

Solow-neutraler Fortschritt wirkt kapitalvermehrend.

Nur für die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion sind alle 3 Arten des technischen Fortschritts äquivalent!

Ein GG wird im Allgemeinen nur durch Harrod- neutralen technischen Fortschritt erreicht!

/ /F K F LK LY Y

∂ ∂ ∂ ∂

( )( ) ( ) ( ), ( ) , A ( ) 0KKY t F A t K t L t t= ⋅ ⋅ >i

Fundamentale Wachstumsgleichung mit Harrod-neutralem technischen Fortschritt (1)

Die Produktionsfunktion lautet:

Der technische Fortschritt wächst mit konstanter Rate x.

Das Produkt AL

(t)·L(t) aus der physischen Arbeitsmenge L(t) und dem Effizienzmaß

wird als Arbeitsmenge in Effizienzeinheiten bezeichnet.

( )( ) ( ), ( ) ( ) , A ( ) 0LLY t F K t A t L t t= ⋅ >i

Aus der Linearhomogenität der Produktionsfunktion folgt:

Kapital pro effizienter Arbeitseinheit Output pro effizienter Arbeitseinheit

Fundamentale Wachstumsgleichung mit TF:

( )( ) ( ) ( ) ,1( ) ( )

( ) ( ) ˆˆ( ) ,1 ( )( ) ( ) ( ) ( )

K tY t A t L t FA t L t

Y t K ty t F f k tA t L t A t L t

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

ˆ ˆ ˆ( ) ( )k s f k x n kδ= ⋅ − + +i

Im langfristigen Gleichgewicht ist .•

Der gleichgewichtige Kapitalstock in Effizienzeinheiten

erfüllt die Bedingung

ˆ 0k =i

* *ˆ ˆ( ) ( )s f k x n kδ⋅ = + + ⋅

Bruttoin- vestitionen

Abschreibungen -

physische Abschreibungen des Kapitalstocks δ

Ausdünnung durch Bevölkerungswachstum n und technischen Fortschritt x

Transitorische

Dynamik:

ˆ ˆ( ) ( )ˆ ˆk

k s f kg x nk k

δ⋅= = − + +

Grafik Transitorische Dynamik im Modell mit TF

*kˆ(0)k

ˆ( )ˆ

s f kk

(x+n+δ)

ˆ( )ˆ

s f kk

Modell mit TF – Wachstum der Größen

Im Modell mit TF wachsen……

die Größen in Effizienzeinheiten , und nicht

die Pro-Kopf-Größen k, y und c mit der Rate des TF x

die entsprechenden Niveauvariablen K, Y und C mit der Rate x+n.

( ) ( )ˆ( ) ( ) ( )

K t k tkA t L t A t

g g g x

= ⇒ = =

Konvergenz und Konvergenzgeschwindigkeit

Konvergenz

Wachsen arme Länder schneller als reiche Länder?•

Das Solow-Swan-Modell

impliziert, dass Länder zu ihrem

eigenen steady-state

konvergieren.•

Betrachtung zweier Volkswirtschaften–

Unterschiedliche anfängliche Kapitalintensität

Identische Sparquoten und Bevölkerungswachstumsraten•

Das arme Land wächst pro Kopf schneller als das Reiche.

Wenn beide Länder ihren gleichgewichtigen Wachstums- pfad

erreicht haben, wachsen sie mit den gleichen Raten. Bedingte Konvergenz

(0) (0)arm reichk k<

Bedingte Konvergenz grafisch Unterschiedliche anfängliche Kapitalintensität

*kˆ(0)reichk

ˆ( )ˆ

s f kk

x+n+δ

armgreichg

ˆ(0)armk

ˆ( )ˆ

s f kk

Bedingte Konvergenz

Das neoklassische Wachstumsmodell impliziert bedingte Konvergenz.

Bei unterschiedlichen Parametern folgt aus der bedingten Konvergenz nicht, dass Länder, die weiter vom steady-

entfernt sind, schneller wachsen als andere.•

Es trifft lediglich die Aussage zu, dass Länder umso schneller wachsen, je weiter sie von ihrem eigenen langfristigen Gleichgewicht entfernt sind.

Nun: Betrachtung eines armen und eines reichen Landes, die sich nun auch in ihren Sparquoten unterscheiden:

arm reichs s<

Bedingte Konvergenz grafisch: unterschiedliche anfängliche Kapitalintensitäten und Sparquoten

ˆ(0)reichk

ˆ( )ˆ

reichs f kk⋅

x+n+δarmg

reichg

ˆ(0)armk *ˆarmk *

reichk

ˆ( )ˆ

arms f kk⋅

ˆ( )ˆ

s f kk

Bedingte und unbedingte Konvergenz

Das Konzept der bedingten Konvergenz unterscheidet man vom Konzept der unbedingten Konvergenz.

Von unbedingter Konvergenz spricht man, wenn arme Volkswirtschaften unabhängig von den zugrunde liegenden Parametern schneller wachsen als Reiche.Dies ist beim Solow-Swan

Modell nicht erfüllt.

Konvergenzgeschwindigkeit (1)

Wie lange braucht ein Land, um ins Gleichgewicht zu gelangen?

Wie lange dauert der Anpassungsprozess, der von einer höheren Sparquote verursacht wird?

Vollzieht sich die Konvergenz schnell, kann man sich auf das Verhalten im langfristigen Gleichgewicht konzentrieren.

Konvergiert das System langsam, so ist die Übergangsdynamik wichtig.→ Diese Fragen lassen sich nur numerisch beantworten.

Üblicherweise betrachtet man dazu lineare Approximationen um das langfristige GG.

Wie schnell konvergiert gegen ?•

Die Veränderung von lautet:

Eine Taylorreihenentwicklung 1. O. von um liefert:

Differenzieren von (1) bzgl. , an der Stelle liefert:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ( )) ( ) ( ) ( )k s f k t x n k t k k kδ= ⋅ − + + ⋅ ⇒ =i i i

ˆ ˆ( )k ki

*ˆ ˆk k=

ˆ ˆ( )ˆ ˆ ˆˆ k k

k kk k kk =

⎛ ⎞∂⎜ ⎟ −⎜ ⎟∂⎜ ⎟

⎝ ⎠

ˆ ˆ( ) ˆ'( ) ( )ˆ k k

k k sf k x nk

∂= − + +

Da folgt aus (1):

Einsetzen in (3) und das Ergebnis dann in (2) liefert:

*ˆ 0k =i

ˆ( )ˆ( )

x n ksf k

δ+ +=

( )( )

ˆ ˆ *

*ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) '( )ˆ ˆ( )

ˆ ˆ( ) ˆ( ) 1 0ˆ

k k x n k f k x nk f k

k k k x nk

∂ + + ⋅= − + +

∂= − + + <

Dabei bezeichnet die Outputelastizität bzgl. des Kapitals an der Stelle

Die Konvergenzgeschwindigkeit von ist proportional zur Entfernung vom gleichgewichtigen Kapitalstock .

Sei der Abstand und•

Damit folgt

Die Wachstumsrate des Abstandes ist konstant und gleich -λ.

( )( )( )* *ˆ ˆ ˆ ˆ1 ( )Kk k x n k kα δ− − + + −i

* * *ˆ ˆ ˆ'( ) / ( )K k f k f kα = ⋅

*ˆ ˆk k=

*ˆ ˆ( ) ( )d t k t k= − ( )( )*ˆ: 1 ( )K k x nλ α δ= − + +

( ) ( )d t d tλ− ⋅i

Wenn d(0) den Ausgangswert von d(t) bezeichnet, so ist der Pfad von d(t) gegeben durch .

In ausgedrückt:

Beispiel: n=0.02, x=0.01, δ=0.03 und α=1/3; damit erhält man ein λ=0.04.

In welchem Zeitraum halbiert sich der Abstand?

( ) (0) td t d e λ−

k( )* *ˆ ˆ ˆ ˆ( ) (0)tk t k e k kλ−− −

1( ) (0) (0)2

d t d e d

Nach fast 18 Jahren hat sich der Abstand halbiert.

1 1ln 17,32

= − →

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