Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen...

Wahrscheinlichkeitsrechnung undStatistik fur Biologen

Einfuhrung: Deskriptive Statistik

Martin Hutzenthaler & Dirk Metzler

http://evol.bio.lmu.de/_statgen.html

18. April 2012

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1 EinfuhrungKonzept und QuellenPlan

2 Ziele der deskriptiven (d.h. beschreibenden) Statistik3 Graphische Darstellungen

Histogramme und DichtepolygoneStripchartsBoxplotsBeispiel: RingeltaubeBeispiel: Darwin-Finken

4 Statistische KenngroßenMedian und andere QuartileMittelwert und Standardabweichung

5 Vom Sinn und Unsinn von MittelwertenBeispiel: Wahlerische BachstelzenBeispiel: Spiderman & SpiderwomanBeispiel: Kupfertoleranz beim Roten Straußgras

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Einfuhrung

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Einfuhrung Konzept und Quellen

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It is easy to lie with statistics.

It is hard to tell the truth without it.

Andrejs Dunkels

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It is easy to lie with statistics.It is hard to tell the truth without it.

Andrejs Dunkels

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Was ist Statistik?

Die Natur ist voller Variabilitat.

Wie geht man mit variablen Daten um?

Es gibt eine mathematische Theorie desZufalls:

die Stochastik.

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Was ist Statistik?

die Stochastik.

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Was ist Statistik?

die Stochastik.

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IDEE DER STATISTIK

Variabilitat

(Erscheinung der Natur)

Zufall

(mathematische Abstraktion)

modellieren.

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IDEE DER STATISTIK

Variabilitat

Zufall

modellieren.

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IDEE DER STATISTIK

Variabilitat

Zufall

modellieren.

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Statistik

Datenanalyse

mit Hilfe

stochastischer Modelle

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Quellen

Wir danken Matthias Birkner fur die intensive Zusammenarbeitbeim Erstellen der ersten Version dieser Vorlesung sowieBrooks Ferebee, Gaby Schneider und Anton Wakolbinger fur dieBereitstellung vieler Beispiele und Lehrmaterialien.http://joguinf.informatik.uni-mainz.de/~birkner/

http://www.math.uni-frankfurt.de/~wakolbin/statbio/

http://ismi.math.uni-frankfurt.de/schneider/statbio0708.html

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Einfuhrung Plan

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Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Klassische Statistik

1 Beschreibende Statistik2 Der Standardfehler3 Der t-Test fur gepaarte Stichproben4 Der t-Test fur unabhangige Stichproben5 Haufigkeiten6 Der Chi-Quadrat Test7 Lineare Regression8 Korrelation9 Varianzanalyse (ANOVA)

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Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Klassische Statistik1 Beschreibende Statistik

2 Der Standardfehler3 Der t-Test fur gepaarte Stichproben4 Der t-Test fur unabhangige Stichproben5 Haufigkeiten6 Der Chi-Quadrat Test7 Lineare Regression8 Korrelation9 Varianzanalyse (ANOVA)

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Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Klassische Statistik1 Beschreibende Statistik2 Der Standardfehler

3 Der t-Test fur gepaarte Stichproben4 Der t-Test fur unabhangige Stichproben5 Haufigkeiten6 Der Chi-Quadrat Test7 Lineare Regression8 Korrelation9 Varianzanalyse (ANOVA)

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Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Klassische Statistik1 Beschreibende Statistik2 Der Standardfehler3 Der t-Test fur gepaarte Stichproben

4 Der t-Test fur unabhangige Stichproben5 Haufigkeiten6 Der Chi-Quadrat Test7 Lineare Regression8 Korrelation9 Varianzanalyse (ANOVA)

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Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Klassische Statistik1 Beschreibende Statistik2 Der Standardfehler3 Der t-Test fur gepaarte Stichproben4 Der t-Test fur unabhangige Stichproben

5 Haufigkeiten6 Der Chi-Quadrat Test7 Lineare Regression8 Korrelation9 Varianzanalyse (ANOVA)

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Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Klassische Statistik1 Beschreibende Statistik2 Der Standardfehler3 Der t-Test fur gepaarte Stichproben4 Der t-Test fur unabhangige Stichproben5 Haufigkeiten

6 Der Chi-Quadrat Test7 Lineare Regression8 Korrelation9 Varianzanalyse (ANOVA)

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Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Klassische Statistik1 Beschreibende Statistik2 Der Standardfehler3 Der t-Test fur gepaarte Stichproben4 Der t-Test fur unabhangige Stichproben5 Haufigkeiten6 Der Chi-Quadrat Test

7 Lineare Regression8 Korrelation9 Varianzanalyse (ANOVA)

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Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Klassische Statistik1 Beschreibende Statistik2 Der Standardfehler3 Der t-Test fur gepaarte Stichproben4 Der t-Test fur unabhangige Stichproben5 Haufigkeiten6 Der Chi-Quadrat Test7 Lineare Regression

8 Korrelation9 Varianzanalyse (ANOVA)

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Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Klassische Statistik1 Beschreibende Statistik2 Der Standardfehler3 Der t-Test fur gepaarte Stichproben4 Der t-Test fur unabhangige Stichproben5 Haufigkeiten6 Der Chi-Quadrat Test7 Lineare Regression8 Korrelation

9 Varianzanalyse (ANOVA)

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Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Klassische Statistik1 Beschreibende Statistik2 Der Standardfehler3 Der t-Test fur gepaarte Stichproben4 Der t-Test fur unabhangige Stichproben5 Haufigkeiten6 Der Chi-Quadrat Test7 Lineare Regression8 Korrelation9 Varianzanalyse (ANOVA)

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Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Weitere Themen

Nichtparametrische Tests

DiskriminanzanalyseGrundbegriffe derWahrscheinlichkeitstheorieParameterschatzungModerne Anwendung: Analyse vonGenexpressionsdaten (vielleicht)R

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Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Weitere Themen

Nichtparametrische TestsDiskriminanzanalyse

Grundbegriffe derWahrscheinlichkeitstheorieParameterschatzungModerne Anwendung: Analyse vonGenexpressionsdaten (vielleicht)R

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Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Weitere Themen

Nichtparametrische TestsDiskriminanzanalyseGrundbegriffe derWahrscheinlichkeitstheorie

ParameterschatzungModerne Anwendung: Analyse vonGenexpressionsdaten (vielleicht)R

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Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Weitere Themen

Nichtparametrische TestsDiskriminanzanalyseGrundbegriffe derWahrscheinlichkeitstheorieParameterschatzung

Moderne Anwendung: Analyse vonGenexpressionsdaten (vielleicht)R

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Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Weitere Themen

Nichtparametrische TestsDiskriminanzanalyseGrundbegriffe derWahrscheinlichkeitstheorieParameterschatzungModerne Anwendung: Analyse vonGenexpressionsdaten (vielleicht)

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Einfuhrung Plan

Plan der Vorlesung

Weitere Themen

Nichtparametrische TestsDiskriminanzanalyseGrundbegriffe derWahrscheinlichkeitstheorieParameterschatzungModerne Anwendung: Analyse vonGenexpressionsdaten (vielleicht)R

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Einfuhrung Plan

Statistik-Software R

http://www.r-project.org13 / 120

Einfuhrung Plan

Folien, R-Befehle, Quellen und Ubungen

http://evol.bio.lmu.de/statgen/StatBiol/12SS

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Ziele der deskriptiven (d.h. beschreibenden) Statistik

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Beschreibende Statistik

Beschreibende Statistik:Ein erster Blick auf die Daten

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Beschreibende Statistik

Beschreibende Statistik:Ein erster Blick auf die Daten

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Graphische Darstellungen

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Beispiel

Daten aus einer Diplomarbeit aus 2001 amForschungsinstitut Senckenberg, Frankfurt

am Main

CrustaceensektionLeitung: Dr. Michael Turkay

Charybdis acutidens TURKAY 1985

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Beispiel

Daten aus einer Diplomarbeit aus 2001 amForschungsinstitut Senckenberg, Frankfurt

am Main

CrustaceensektionLeitung: Dr. Michael Turkay

Charybdis acutidens TURKAY 1985

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Der SpringkrebsGalathea intermedia

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Der SpringkrebsGalathea intermedia

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Helgolander Tiefe Rinne,Fang vom 6.9.1988

Carapaxlange (mm):Nichteiertragende Weibchen (n = 215)

2,9 3,0 2,9 2,5 2,7 2,9 2,9 3,03,0 2,9 3,4 2,8 2,9 2,8 2,8 2,42,8 2,5 2,7 3,0 2,9 3,2 3,1 3,02,7 2,5 3,0 2,8 2,8 2,8 2,7 3,02,6 3,0 2,9 2,8 2,9 2,9 2,3 2,72,6 2,7 2,5 . . . . .

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●●

●●●

●●

●●●

●●

0 50 100 150 200

Nichteiertragende Weibchen am 6. Sept. '88, n=215

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Graphische Darstellungen Histogramme und Dichtepolygone

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Eine Moglichkeit der graphischenDarstellung:

das Histogramm

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Carapaxlänge [mm]

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

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Carapaxlänge [mm]

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

24 / 120

Nichteiertragende Weibchen am 6. Sept. ’88, n=215A

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

Wieviele haben

Carapaxlänge

zwischen

2,0 und 2,2?

24 / 120

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

Wieviele haben

Carapaxlänge

zwischen

2,0 und 2,2?

24 / 120

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

Wieviele haben

Carapaxlänge

zwischen

2,0 und 2,2?

24 / 120

Analoge Daten zwei Monate spater(3.11.88):

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Nichteiertragende Weibchen am 3. Nov. '88, n=57

Carapaxlänge [mm]

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

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Vergleich der beiden Verteilungen

Nichteiertragende Weibchen

Carapaxlänge [mm]

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Problem: ungleiche Stichprobenumfange: 6.Sept: n = 2153.Nov : n = 57

Idee: stauche vertikale Achse so, dass Gesamtflache = 1.

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Carapaxlänge [mm]

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

27 / 120

Carapaxlänge [mm]

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

27 / 120

Carapaxlänge [mm]

Nichteiertragende Weibchen am 6. Sept. ’88, n=215

3.0 3.52.52.0

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Die neuevertikale Koordinate

ist jetzt eineDichte

(engl. density).

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Carapaxlänge [mm]

3.0 3.52.52.0

Gesamtflache=1

Dichte ?=

Anteil des Ganzenpro mm

Welcher Anteilhatte eine Langezwischen 2.8 und 3.0 mm?

(3.0− 2.8) · 0.5 = 0.1

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Carapaxlänge [mm]

3.0 3.52.52.0

Gesamtflache=1

Dichte ?

=Anteil des Ganzenpro mm

(3.0− 2.8) · 0.5 = 0.1

30 / 120

Carapaxlänge [mm]

3.0 3.52.52.0

Gesamtflache=1

Dichte

(3.0− 2.8) · 0.5 = 0.1

30 / 120

Carapaxlänge [mm]

3.0 3.52.52.0

Gesamtflache=1

Dichte

(3.0− 2.8) · 0.5 = 0.1

30 / 120

2.0 3.0 3.51.5

Carapaxlänge [mm]

Gesamtflache=1

Dichte

(3.0− 2.8) · 0.5 = 0.1

30 / 120

2.0 3.0 3.51.5

Carapaxlänge [mm]

Gesamtflache=1

Dichte

(3.0− 2.8) · 0.5 = 0.1

30 / 120

2.0 3.0 3.51.5

Carapaxlänge [mm]

Gesamtflache=1

Dichte

(3.0− 2.8) · 0.5 = 0.1

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Die beiden Histogramme sind jetztvergleichbar

(sie haben dieselbe Gesamtflache).

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Die beiden Histogramme sind jetztvergleichbar

(sie haben dieselbe Gesamtflache).

31 / 120

Versuche, die Histogramme zusammen zuzeigen:

Carapaxlänge [mm]

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

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Carapaxlänge [mm]

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

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1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 2.7 2.9 3.1 3.3 3.5 3.7

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Unser Rat an Sie:

Wenn Sie Schauwerbegestalter(in) sind:

Beeindrucken Sie Jung und Alt mit total abgefahrenen 3D-Plots!

Wenn Sie Wissenschaftler(in) werden wollen:

Bevorzugen Sieeinfache und klare 2D-Darstellungen.

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Unser Rat an Sie:

33 / 120

Unser Rat an Sie:

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Unser Rat an Sie:

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Problem

Histogramme kann man nicht ohne weiteresin demselben Graphen

darstellen,

weil sie einanderuberdecken wurden.

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Problem

Histogramme kann man nicht ohne weiteresin demselben Graphen

darstellen,

weil sie einanderuberdecken wurden.

34 / 120

Einfache und klare Losung: Dichtepolygone

Carapaxlänge [mm]

3.0 3.52.52.0

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Carapaxlänge [mm]

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

35 / 120

Nichteiertragende Weibchen am 3. Nov. '88, n=57

Carapaxlänge [mm]

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

35 / 120

Zwei und mehr Dichtepolygone in einem Plot

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Carapaxlänge [mm]

ahl 6. Sept. '88

3. Nov. '88

Biologische Interpretation der Verschiebung?

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Zwei und mehr Dichtepolygone in einem Plot

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Carapaxlänge [mm]

ahl 6. Sept. '88

3. Nov. '88

Biologische Interpretation der Verschiebung?

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Anzahl vs. DichteA

0 1 2 3 4 5 6 7

Also: Bei Histo-grammen mitungleichmaßi-ger Unterteilungimmer Dichtenverwenden!

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Anzahl vs. DichteA

0 1 2 3 4 5 6 7

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Anzahl vs. DichteA

0 1 2 3 4 5 6 7

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Anzahl vs. DichteA

0 1 2 3 4 5 6 7

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Graphische Darstellungen Stripcharts

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1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Carapax

40 / 120

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Carapax

●●●

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40 / 120

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Carapax

40 / 120

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Carapax

● ●●●●

●●●

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Stripchart + Boxplots, horizontal

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● ●●●●

●●●

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Boxplots, horizontal

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●●●

3.11.88 6.9.88

Boxplots, vertikal

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Histogramme und Dichtepolygonegeben

ein ausfuhrliches Bildeines Datensatzes.

Manchmal zu ausfuhrlich.

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Histogramme und Dichtepolygonegeben

ein ausfuhrliches Bildeines Datensatzes.

Manchmal zu ausfuhrlich.

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Graphische Darstellungen Boxplots

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Zu viel Information erschwert den Uberblick

Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum

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Zu viel Information erschwert den Uberblick

Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum Baum

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Beispiel:Vergleich von mehreren Gruppen

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Graphische Darstellungen BoxplotsD

8 10 12 14

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8 10 12 14

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Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

Boxplot, einfache Ausführung

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Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

47 / 120

Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

50 % der Daten 50 % der Daten

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Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

Median

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Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

MedianMin Max

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Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

MedianMin Max

25% 25% 25% 25%

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Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

MedianMin Max

25% 25% 25% 25%

1. Quartil 3. Quartil

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Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Boxplot, Standardausführung

Carapaxlänge [mm]

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Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

Interquartilbereich

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Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

Interquartilbereich

1,5*Interquartilbereich1,5*Interquartilbereich

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Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Carapaxlänge [mm]

47 / 120

Der Boxplot

2.0 2.5 3.0 3.5

Boxplot, Profiausstattung

Carapaxlänge [mm]

47 / 120

Der Boxplot

95 % Konfidenzintervall für den Median

2.0 2.5 3.0 3.5

Boxplot, Profiausstattung

Carapaxlänge [mm]

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Graphische Darstellungen Beispiel: Ringeltaube

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Beispiel:

Die Ringeltaube

Palumbus palumbus

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Wie hangt die Stoffwechselrate bei derRingeltaube von der Umgebungstemperatur

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Datenaus dem

AK StoffwechselphysiologieProf. Prinzinger

Universitat Frankfurt

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Klar:Stoffwechselrate

hoherbei

tiefen Temperaturen

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Vermutung:Bei hohen Temperaturen

nimmt die Stoffwechselratewieder zu

(Hitzestress).

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Graphische Darstellungen Beispiel: Darwin-Finken

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Charles Robert Darwin (1809-1882)

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Charles Robert Darwin (1809-1882)

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Darwin-Finken

//darwin-online.org.uk/graphics/Zoology_Illustrations.html

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Darwins Finken-Sammlung

Sulloway, F.J. (1982) The Beagle collections of Darwin’sFinches (Geospizinae). Bulletin of the British Museum(Natural History), Zoology series 43: 49-94.

I http://datadryad.org/repo/handle/10255/dryad.154

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Flugellangen der Darwin-FinkenF

60 70 80 90

Flügellängen je nach Insel

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Flugellangen der Darwin-Finken

60 70 80 90

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Flugellangen der Darwin-FinkenF

60 70 80 90

Flügellängen je nach Insel

●●●

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47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 72.5 77.5 82.5 87.5 92.5 97.5

Barplot für Flügellängen (Anzahlen)

SCris_ChatFlor_ChrlSnti_Jams

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Histogramm (Dichten!) mit Transparenz

Flügellängen

50 60 70 80 90

62 / 120

50 60 70 80 90 100

Dichteplot

Flügellängen

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Cam.par Cer.oli Geo.dif Geo.for Geo.ful Geo.sca Pla.cra

Schnabelgröße je nach Art

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Cam.par Cer.oli Geo.dif Geo.for Geo.ful Geo.sca Pla.cra

Schnabelgröße je nach Art

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1 Histogramme erlauben einen detailierten Blick auf dieDaten

2 Dichtepolygone erlauben Vergleiche zwischen vielenVerteilungen

3 Boxplot konnen große Datenmengen vereinfachtzusammenfassen

4 Bei kleinen Datenmengen eher Stripcharts verwenden5 Vorsicht mit Tricks wie 3D oder halbtransparenten Farben6 Jeder Datensatz ist anders; keine Patentrezepte

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4 Bei kleinen Datenmengen eher Stripcharts verwenden

5 Vorsicht mit Tricks wie 3D oder halbtransparenten Farben6 Jeder Datensatz ist anders; keine Patentrezepte

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4 Bei kleinen Datenmengen eher Stripcharts verwenden5 Vorsicht mit Tricks wie 3D oder halbtransparenten Farben

6 Jeder Datensatz ist anders; keine Patentrezepte

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Statistische Kenngroßen

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Es ist oft moglich,das Wesentliche

an einer Stichprobe

mit ein paar Zahlenzusammenzufassen.

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Wesentlich:

1. Wie groß?

Lageparameter

2. Wie variabel?

Streuungsparameter

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Wesentlich:

1. Wie groß?

Lageparameter

2. Wie variabel?

Streuungsparameter

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Wesentlich:

1. Wie groß?

Lageparameter

2. Wie variabel?

Streuungsparameter

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Eine Moglichkeitkennen wir schonaus dem Boxplot:

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Lageparameter

Der Median

Streuungsparameter

Der Quartilabstand (Q3 −Q1)

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Lageparameter

Der Median

Streuungsparameter

69 / 120

Lageparameter

Der Median

Streuungsparameter

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Statistische Kenngroßen Median und andere Quartile

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Der Median:die Halfte der Beobachtungen sind kleiner,

die Halfte sind großer.

Der Median istdas 50%-Quantil

der Daten.

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Der Median:die Halfte der Beobachtungen sind kleiner,

die Halfte sind großer.

Der Median istdas 50%-Quantil

der Daten.

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Die Quartile

Das erste Quartil, Q1:

ein Viertel der Beobachtungensind kleiner,

drei Viertel sind großer.

Q1 ist das25%-Quantilder Daten.

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Die Quartile

Das erste Quartil, Q1:ein Viertel der Beobachtungen

sind kleiner,drei Viertel sind großer.

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Die Quartile

Das erste Quartil, Q1:ein Viertel der Beobachtungen

sind kleiner,drei Viertel sind großer.

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Die Quartile

Das dritte Quartil, Q3:

drei Viertel der Beobachtungensind kleiner,

ein Viertel sind großer.

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Die Quartile

Das dritte Quartil, Q3:drei Viertel der Beobachtungen

sind kleiner,ein Viertel sind großer.

73 / 120

Die Quartile

Das dritte Quartil, Q3:drei Viertel der Beobachtungen

sind kleiner,ein Viertel sind großer.

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Statistische Kenngroßen Mittelwert und Standardabweichung

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Am haufigsten werden benutzt:

LageparameterDer Mittelwert x

StreuungsparameterDie Standardabweichung s

75 / 120

Am haufigsten werden benutzt:

LageparameterDer Mittelwert x

StreuungsparameterDie Standardabweichung s

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Der Mittelwert

(engl. mean)

76 / 120

NOTATION:

Wenn die Beobachtungenx1, x2, x3, . . . , xn

heißen,schreibt man oft

xfur den Mittelwert.

77 / 120

DEFINITION:

Mittelwert

=Summe der MesswerteAnzahl der Messwerte

78 / 120

DEFINITION:

Mittelwert

=SummeAnzahl

78 / 120

DEFINITION:

Mittelwert

Der Mittelwert von x1, x2, . . . , xn als Formel:

x = (x1 + x2 + · · · + xn)/n

n∑i=1

78 / 120

DEFINITION:

Mittelwert

x = (x1 + x2 + · · · + xn)/n

n∑i=1

78 / 120

DEFINITION:

Mittelwert

x = (x1 + x2 + · · · + xn)/n

n∑i=1

78 / 120

Beispiel:

x1 = 3, x2 = 0, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 1

x = Summe/Anzahlx = (3 + 0 + 2 + 3 + 1)/5

x = 9/5x = 1,8

79 / 120

Beispiel:

x1 = 3, x2 = 0, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 1x = Summe/Anzahl

x = (3 + 0 + 2 + 3 + 1)/5x = 9/5x = 1,8

79 / 120

Beispiel:

x = (3 + 0 + 2 + 3 + 1)/5

x = 9/5x = 1,8

79 / 120

Beispiel:

x = (3 + 0 + 2 + 3 + 1)/5x = 9/5

x = 1,8

79 / 120

Beispiel:

x = (3 + 0 + 2 + 3 + 1)/5x = 9/5x = 1,8

79 / 120

Geometrische Bedeutungdes Mittelwerts:

Der Schwerpunkt

80 / 120

Wir stellen uns die Beobachtungen alsgleich schwere Gewichte auf einer Waage

♦ ♦ ♦ ♦

0 1 2 3

81 / 120

Wo muß der Drehpunkt sein, damit dieWaage im Gleichgewicht ist?

♦ ♦ ♦ ♦

0 1 2 3

81 / 120

m = 1,5 ?

82 / 120

m = 1,5 ?

zu klein

82 / 120

m = 2 ?

82 / 120

m = 2 ?

zu groß

82 / 120

m = 1,8 ?

82 / 120

m = 1,8 ?

richtig

82 / 120

Beispiel: Galathea intermedia

”Rundlichkeit“:=

Abdominalbreite / Carapaxlange

Vermutung:Rundlichkeit nimmt

bei Geschlechtsreife zu

83 / 120

Beispiel: Galathea intermedia

”Rundlichkeit“:=

Abdominalbreite / Carapaxlange

Vermutung:Rundlichkeit nimmt

bei Geschlechtsreife zu

83 / 120

84 / 120

Beispiel:

3.11.88

85 / 120

86 / 120

Die Standardabweichung

Wie weit weichteine typische Beobachtung

vomMittelwert

87 / 120

Die Standardabweichung

Wie weit weichteine typische Beobachtung

vomMittelwert

87 / 120

1 2 3 4

88 / 120

1 2 3 4

Mittelwert=2,8

88 / 120

1 2 3 4

Abweichung

typische

88 / 120

1 2 3 4

Abweichung

1 2 3 4

Abweichung = 4 − 2,8 = 1,2

88 / 120

1 2 3 4

Abweichung

1 2 3 4

Abweichung = 4 − 2,8 = 1,2

88 / 120

1 2 3 4

Abweichung

1 2 3 4

Abweichung = 3 − 2,8 = 0,2

88 / 120

1 2 3 4

Abweichung = 2 − 2,8 = −0,8

88 / 120

1 2 3 4

Abweichung = 1 − 2,8 = −1,8

88 / 120

Die Standardabweichung σ (“sigma”)[auch SD von engl. standard deviation]

ist einetwas komisches

gewichtetes Mittelder Abweichungsbetrage

und zwar

σ =√

Summe(Abweichungen2)/n

89 / 120

Die Standardabweichung σ (“sigma”)[auch SD von engl. standard deviation]

ist einetwas komisches

gewichtetes Mittelder Abweichungsbetrage

und zwar

σ =√

Summe(Abweichungen2)/n

89 / 120

Die Standardabweichung von x1, x2, . . . , xn

als Formel:

√√√√1n

n∑i=1

(xi − x)2

σ2 = 1n

∑ni=1(xi − x)2 heißt Varianz.

90 / 120

als Formel:

√√√√1n

n∑i=1

(xi − x)2

σ2 = 1n

90 / 120

als Formel:

√√√√1n

n∑i=1

(xi − x)2

σ2 = 1n

90 / 120

Faustregel fur die StandardabweichungBei ungefahr glockenformigen (also eingipfligen undsymmetrischen) Verteilungen liegen ca. 2/3 der Verteilungzwischen x − σ und x + σ.

x −− σσ x x ++ σσ

91 / 120

Standardabweichung der Carapaxlangennichteiertragender Weibchen vom 6.9.88

Carapaxlänge [mm]

2.0 2.5 3.0

1.5 x == 2.53

Hier liegt der Anteil zwischen x − σ und x + σ bei 72%.

92 / 120

Carapaxlänge [mm]

2.0 2.5 3.0

1.5 x == 2.53x == 2.53σσ == 0.28

σσ2 == 0.077

Hier liegt der Anteil zwischen x − σ und x + σ bei 72%.

92 / 120

Carapaxlänge [mm]

2.0 2.5 3.0

1.5 x == 2.53x == 2.53σσ == 0.28

σσ2 == 0.077

Hier liegt der Anteil zwischen x − σ und x + σ bei 72%.92 / 120

Varianz der Carapaxlangennichteiertragender Weibchen vom 6.9.88

Alle Carapaxlangen im Meer: X = (X1,X2, . . . ,XN).

Carapaxlangen in unserer Stichprobe: S = (S1,S2, . . . ,Sn=215)Stichprobenvarianz:

σ2S =

215∑i=1

(Si − S)2 ≈ 0,0768

Konnen wir 0,0768 als Schatzwert fur die Varianz σ2X in der

ganzen Population verwenden?Ja, konnen wir machen. Allerdings ist σ2

S im Durchschnitt umden Faktor n−1

n (= 214/215 ≈ 0,995) kleiner als σ2X

93 / 120

Alle Carapaxlangen im Meer: X = (X1,X2, . . . ,XN).Carapaxlangen in unserer Stichprobe: S = (S1,S2, . . . ,Sn=215)

Stichprobenvarianz:

σ2S =

215∑i=1

(Si − S)2 ≈ 0,0768

n (= 214/215 ≈ 0,995) kleiner als σ2X

93 / 120

Alle Carapaxlangen im Meer: X = (X1,X2, . . . ,XN).Carapaxlangen in unserer Stichprobe: S = (S1,S2, . . . ,Sn=215)Stichprobenvarianz:

σ2S =

215∑i=1

(Si − S)2 ≈ 0,0768

n (= 214/215 ≈ 0,995) kleiner als σ2X

93 / 120

σ2S =

215∑i=1

(Si − S)2 ≈ 0,0768

ganzen Population verwenden?

Ja, konnen wir machen. Allerdings ist σ2S im Durchschnitt um

den Faktor n−1n (= 214/215 ≈ 0,995) kleiner als σ2

93 / 120

σ2S =

215∑i=1

(Si − S)2 ≈ 0,0768

ganzen Population verwenden?Ja, konnen wir machen.

Allerdings ist σ2S im Durchschnitt um

den Faktor n−1n (= 214/215 ≈ 0,995) kleiner als σ2

93 / 120

σ2S =

215∑i=1

(Si − S)2 ≈ 0,0768

n (= 214/215 ≈ 0,995) kleiner als σ2X

93 / 120

Varianzbegriffe

Varianz in der Population: σ2X = 1

∑Ni=1(Xi − X )2

Stichprobenvarianz: σ2S =

∑ni=1(Si − S)2

korrigierte Stichprobenvarinanz:

n − 1σ2S

n − 1· 1

n∑i=1

(Si − S)2

n − 1·

n∑i=1

(Si − S)2

Mit “Standardabweichung von S” ist meistens das korrigierte sgemeint.

94 / 120

Varianzbegriffe

∑Ni=1(Xi − X )2

∑ni=1(Si − S)2

n − 1σ2S

n − 1· 1

n∑i=1

(Si − S)2

n − 1·

n∑i=1

(Si − S)2

94 / 120

Varianzbegriffe

∑Ni=1(Xi − X )2

∑ni=1(Si − S)2

n − 1σ2S

n − 1· 1

n∑i=1

(Si − S)2

n − 1·

n∑i=1

(Si − S)2

94 / 120

Varianzbegriffe

∑Ni=1(Xi − X )2

∑ni=1(Si − S)2

n − 1σ2S

n − 1· 1

n∑i=1

(Si − S)2

n − 1·

n∑i=1

(Si − S)2

94 / 120

Beispiel

x 1 3 0 5 1 10

x − x −1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2 1 1 4 9 1 16

s2 = Summe((x − x)2

)/(n − 1)

= 16/(5− 1) = 4

95 / 120

Die Daten

x 1 3 0 5 1

x − x −1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2 1 1 4 9 1 16

)/(n − 1)

= 16/(5− 1) = 4

95 / 120

x =? Summe

x 1 3 0 5 1 10

x − x −1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2 1 1 4 9 1 16

)/(n − 1)

= 16/(5− 1) = 4

95 / 120

x = 10/5 = 2 Summe

x 1 3 0 5 1 10

x − x

−1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2 1 1 4 9 1 16

)/(n − 1)

= 16/(5− 1) = 4

95 / 120

x = 10/5 = 2 Summe

x 1 3 0 5 1 10

x − x −1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2 1 1 4 9 1 16

)/(n − 1)

= 16/(5− 1) = 4

95 / 120

x = 10/5 = 2 Summe

x 1 3 0 5 1 10

x − x −1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2

1 1 4 9 1 16

)/(n − 1)

= 16/(5− 1) = 4

95 / 120

x = 10/5 = 2 Summe

x 1 3 0 5 1 10

x − x −1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2 1 1 4 9 1 16

)/(n − 1)

= 16/(5− 1) = 4

95 / 120

x = 10/5 = 2 Summe

x 1 3 0 5 1 10

x − x −1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2 1 1 4 9 1 16

)/(n − 1)

= 16/(5− 1) = 4

95 / 120

x = 10/5 = 2 Summe

x 1 3 0 5 1 10

x − x −1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2 1 1 4 9 1 16

)/(n − 1)

= 16/(5− 1)

95 / 120

x = 10/5 = 2 Summe

x 1 3 0 5 1 10

x − x −1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2 1 1 4 9 1 16

)/(n − 1)

= 16/(5− 1) = 4

95 / 120

x = 10/5 = 2 Summe

x 1 3 0 5 1 10

x − x −1 1 −2 3 −1 0

(x − x)2 1 1 4 9 1 16

)/(n − 1)

= 16/(5− 1) = 4

95 / 120

Eine simulierte Fischpopulation (N=10000 adulte)

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

96 / 120

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Mittelwert: 25.14Standardabweichung: 1.38Mittelwert: 25.14

96 / 120

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Mittelwert: 25.14Standardabweichung: 1.38Mittelwert: 25.14Standardabweichung: 1.38

96 / 120

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Mittelwert: 25.14Standardabweichung: 1.38

20 22 24 26 28 30

Eine Stichprobe aus der Population (n=10)

Laenge [cm]

● ●●● ●●● ●● ●

96 / 120

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

● ●●● ●●● ●● ●M: 24.33

96 / 120

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

● ●●● ●●● ●● ●M: 24.33SD mit (n−1): 1.58

96 / 120

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

● ●●● ●●● ●● ●M: 24.33SD mit (n−1): 1.58SD mit n: 1.42

96 / 120

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

● ●●● ●●● ●● ●M: 24.33SD mit (n−1): 1.58SD mit n: 1.42

20 22 24 26 28 30

Noch eine Stichprobe aus der Population (n=10)

Laenge [cm]

●●● ●●●●● ●●

96 / 120

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

● ●●● ●●● ●● ●M: 24.33SD mit (n−1): 1.58SD mit n: 1.42

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

●●● ●●●●● ●●M: 24.93

96 / 120

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

● ●●● ●●● ●● ●M: 24.33SD mit (n−1): 1.58SD mit n: 1.42

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

●●● ●●●●● ●●M: 24.93SD mit (n−1): 1.01

96 / 120

Laenge [cm]

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

● ●●● ●●● ●● ●M: 24.33SD mit (n−1): 1.58SD mit n: 1.42

20 22 24 26 28 30

Laenge [cm]

●●● ●●●●● ●●M: 24.93SD mit (n−1): 1.01SD mit n: 0.91

96 / 120

1000 Stichproben, jeweils vom Umfang n=10

SD mit n−1 berechnet

0.5 1.0 1.5 2.0

SD mit n berechnet

0.5 1.0 1.5 2.0

97 / 120

0.5 1.0 1.5 2.0

SD mit n berechnet

0.5 1.0 1.5 2.0

97 / 120

0.5 1.0 1.5 2.0

SD mit n berechnet

0.5 1.0 1.5 2.0

97 / 120

σ mit n oder n − 1 berechnen?Die Standardabweichung σ eines Zufallsexperiments mit ngleichwahrscheinlichen Ausgangen x1, . . . , xn (z.B. Wurfelwurf)ist klar definiert durch √√√√1

n∑i=1

(x − xi)2.

Wenn es sich bei x1, . . . , xn um eine Stichprobe handelt (wiemeistens in der Statistik), sollten Sie die Formel√√√√ 1

n − 1

n∑i=1

(x − xi)2

verwenden.

98 / 120

σ mit n oder n − 1 berechnen?Die Standardabweichung σ eines Zufallsexperiments mit ngleichwahrscheinlichen Ausgangen x1, . . . , xn (z.B. Wurfelwurf)ist klar definiert durch √√√√1

n∑i=1

(x − xi)2.

Wenn es sich bei x1, . . . , xn um eine Stichprobe handelt (wiemeistens in der Statistik), sollten Sie die Formel√√√√ 1

n − 1

n∑i=1

(x − xi)2

verwenden.98 / 120

Vom Sinn und Unsinn von Mittelwerten

99 / 120

Mittelwert und Standardabweichung. . .charakterisieren die Daten gut, falls deren Verteilungglockenformig ist

und mussen andernfalls mit Vorsicht interpretiert werden.Wir betrachten dazu einige Lehrbuch-Beispiele aus derOkologie, siehe z.B.

M. Begon, C. R. Townsend, and J. L. Harper.Ecology: From Individuals to Ecosystems.Blackell Publishing, 4 edition, 2008.

Im Folgenden verwenden wir zum Teil simulierte Daten, wenndie Originaldaten nicht verfugbar waren. Glauben Sie uns alsonicht alle Datenpunkte.

100 / 120

Mittelwert und Standardabweichung. . .charakterisieren die Daten gut, falls deren Verteilungglockenformig istund mussen andernfalls mit Vorsicht interpretiert werden.

Wir betrachten dazu einige Lehrbuch-Beispiele aus derOkologie, siehe z.B.

100 / 120

Vom Sinn und Unsinn von Mittelwerten Beispiel: Wahlerische Bachstelzen

101 / 120

Bachstelzen fressen Dungfliegen

Rauber Beute

Bachstelze (White Wagtail) Gelbe DungfliegeMotacilla alba alba Scatophaga stercoraria

image (c) by Artur Mikołajewski image (c) by Viatour Luc

102 / 120

Vermutung

Die Fliegen sind unterschiedlich großEffizienz fur die Bachstelze = Energiegewinn / Zeit zumFangen und fressenLaborexperimente lassen vermuten, dass die Effizienz bei7mm großen Fliegen maximal ist.

N.B. Davies.Prey selection and social behaviour in wagtails (Aves:Motacillidae).J. Anim. Ecol., 46:37–57, 1977.

103 / 120

available dung flies

length [mm]

4 5 6 7 8 9 10 11

104 / 120

length [mm]

4 5 6 7 8 9 10 11

150 mean= 7.99

104 / 120

length [mm]

4 5 6 7 8 9 10 11

150 mean= 7.99

sd= 0.96

104 / 120

captured dung flies

length [mm]

4 5 6 7 8 9 10 11

104 / 120

captured dung flies

length [mm]

4 5 6 7 8 9 10 11

60 mean= 6.79

104 / 120

captured dung flies

length [mm]

4 5 6 7 8 9 10 11

60 mean= 6.79

sd= 0.69

104 / 120

4 5 6 7 8 9 10 11

dung flies: available, captured

length [mm]

availablecaptured

104 / 120

Vergleich der Großenverteilungen

captured availableMittelwert

6.29 < 7.99Standardabweichung 0.69 < 0.96

4 5 6 7 8 9 10 11

length [mm]

availablecaptured

105 / 120

captured availableMittelwert

7.99Standardabweichung 0.69 < 0.96

4 5 6 7 8 9 10 11

length [mm]

availablecaptured

105 / 120

captured availableMittelwert 6.29 < 7.99

Standardabweichung 0.69 < 0.96

4 5 6 7 8 9 10 11

length [mm]

availablecaptured

105 / 120

Standardabweichung

0.69 < 0.96

4 5 6 7 8 9 10 11

length [mm]

availablecaptured

105 / 120

Standardabweichung

4 5 6 7 8 9 10 11

length [mm]

availablecaptured

105 / 120

Standardabweichung 0.69 < 0.96

4 5 6 7 8 9 10 11

length [mm]

availablecaptured

105 / 120

Interpretation

Die Bachstelzen bevorzugen Dungfliegen, die etwa 7mm großsind.

Hier waren die Verteilungen glockenformig und es genugten 4Werte (die beiden Mittelwerte und die beidenStandardabweichungen), um die Daten adaquat zubeschreiben.

106 / 120

Interpretation

Die Bachstelzen bevorzugen Dungfliegen, die etwa 7mm großsind.

Hier waren die Verteilungen glockenformig und es genugten 4Werte (die beiden Mittelwerte und die beidenStandardabweichungen), um die Daten adaquat zubeschreiben.

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Vom Sinn und Unsinn von Mittelwerten Beispiel: Spiderman & Spiderwoman

107 / 120

Nephila madagascariensisimage (c) by Bernard Gagnon

108 / 120

Simulated Data:Eine Stichprobe von 70 SpinnenMittlere Große: 21,06 mmStandardabweichung der Große: 12,94 mm

109 / 120

size [mm]

0 10 20 30 40 50

110 / 120

Nephila madagascariensis (n=70)

size [mm]

0 10 20 30 40 50

110 / 120

size [mm]

0 10 20 30 40 50

mean= 21.06

110 / 120

size [mm]

0 10 20 30 40 50

males females

110 / 120

size [mm]

0 10 20 30 40 50

males females

110 / 120

Nephila madagascariensisimage (c) by Arthur Chapman

111 / 120

Fazit des Spinnenbeispiels

Wenn die Daten aus verschiedenen Gruppen zusammengesetztsind, die sich bezuglich des Merkmals deutlich unterscheiden,kann es sinnvoll sein, Kenngroßen wie den Mittelwert fur jedeGruppe einzeln zu berechnen.

112 / 120

Vom Sinn und Unsinn von Mittelwerten Beispiel: Kupfertoleranz beim Roten Straußgras

113 / 120

Kupfertolerantes Rotes Straußgras

Rotes Straugras KupferAgrostis tenuis Cuprum

image (c) Kristian Peters Hendrick met de Bles

114 / 120

A.D. Bradshaw.Population Differentiation in agrostis tenius Sibth. III.populations in varied environments.New Phytologist, 59(1):92 – 103, 1960.

T. McNeilly and A.D Bradshaw.Evolutionary Processes in Populations of Copper TolerantAgrostis tenuis Sibth.Evolution, 22:108–118, 1968.

Wir verwenden hier wieder simulierte Daten, da dieOriginaldaten nicht zur Verfugung stehen.

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A.D. Bradshaw.Population Differentiation in agrostis tenius Sibth. III.populations in varied environments.New Phytologist, 59(1):92 – 103, 1960.

T. McNeilly and A.D Bradshaw.Evolutionary Processes in Populations of Copper TolerantAgrostis tenuis Sibth.Evolution, 22:108–118, 1968.

Wir verwenden hier wieder simulierte Daten, da dieOriginaldaten nicht zur Verfugung stehen.

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Anpassung an Kupfer?

Pflanzen, denen das Kupfer schadet, haben kurzereWurzeln.

Die Wurzellangen von Pflanzen aus der Umgebung vonKupferminen wird gemessen.Samen von unbelasteten Wiesen werden bei Kupfermineneingesaht.Die Wurzellangen dieser “Wiesenpflanzen” werdengemessen.

116 / 120

Pflanzen, denen das Kupfer schadet, haben kurzereWurzeln.Die Wurzellangen von Pflanzen aus der Umgebung vonKupferminen wird gemessen.

Samen von unbelasteten Wiesen werden bei Kupfermineneingesaht.Die Wurzellangen dieser “Wiesenpflanzen” werdengemessen.

116 / 120

Pflanzen, denen das Kupfer schadet, haben kurzereWurzeln.Die Wurzellangen von Pflanzen aus der Umgebung vonKupferminen wird gemessen.Samen von unbelasteten Wiesen werden bei Kupfermineneingesaht.

Die Wurzellangen dieser “Wiesenpflanzen” werdengemessen.

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Pflanzen, denen das Kupfer schadet, haben kurzereWurzeln.Die Wurzellangen von Pflanzen aus der Umgebung vonKupferminen wird gemessen.Samen von unbelasteten Wiesen werden bei Kupfermineneingesaht.Die Wurzellangen dieser “Wiesenpflanzen” werdengemessen.

116 / 120

Browntop Bent (n=50)

root length (cm)

0 50 100 150 200

0 Copper Mine Grass

2/3 der Wurzellangen innerhalb [m-sd,m+sd]???? Nein!

117 / 120

root length (cm)

0 50 100 150 200

Grass seeds from a meadow

117 / 120

root length (cm)

0 50 100 150 200

Grass seeds from a meadow

copper tolerant ?

117 / 120

0 50 100 150 200

root length (cm)

meadow plants

copper mine plants

117 / 120

root length (cm)

0 50 100 150 200

0 copper mine plants

m m+sm−s

117 / 120

root length (cm)

0 50 100 150 200

meadow plants

m m+sm−s

117 / 120

Fazit des Straußgras-Beispiels

Manche Verteilungen konnen nur mit mehr als zweiVariablen angemessen beschrieben werden.

z.B. mit den funf Werten der Boxplots:min, Q1, median, Q3, max

118 / 120

Fazit des Straußgras-Beispiels

Manche Verteilungen konnen nur mit mehr als zweiVariablen angemessen beschrieben werden.

z.B. mit den funf Werten der Boxplots:min, Q1, median, Q3, max

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● ●● ●● ● ●● ● ●● ●● ●● ● ●

● ●

0 50 100 150 200

Browntop Bent n=50+50

root length (cm)

copper mine plants

meadow plants

119 / 120

Schlussfolgerung

In der Biologie sind viele Datenverteilungenannahernd glockenformig und konnen durch den

Mittelwert und die Standardabweichung hinreichendbeschrieben werden.

Es gibt aber auch Ausnahmen. Also:Immer die Daten erst mal graphisch untersuchen!

Verlassen sie sich niemals allein auf numerischeKenngroßen!

120 / 120

Schlussfolgerung

120 / 120

Schlussfolgerung

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