Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen 2 ...evol.bio.lmu.de/_statgen/StatBiol/10SS/standardfehler.2.pdf · Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein

Wahrscheinlichkeitsrechnung undStatistik fur Biologen

2. Der Standardfehler

Martin Hutzenthaler & Dirk Metzler

http://www.zi.biologie.uni-muenchen.de/evol/StatGen.html

27. April 2010

http://www.zi.biologie.uni-muenchen.de/evol/StatGen.html

1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven StatistikMittelwert und StandardabweichungEin Beispiel zur Warnung

2 Der StandardfehlerEin allgemeiner RahmenZur Verteilung von xAnwendungenZusammenfassung

Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik

Inhalt



Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung

Inhalt




Bachstelzen fressen Dungfliegen

Rauber Beute

Bachstelze (White Wagtail) Gelbe DungfliegeMotacilla alba alba Scatophaga stercoraria

image (c) by Artur Mikołajewski image (c) by Viatour Luc

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Motacilla_alba_alba.JPG

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Scatophaga_stercoraria_1_Luc_Viatour.jpg


available dung flies

length [mm]

num

ber

4 5 6 7 8 9 10 11

050

100

150



length [mm]

num

ber

4 5 6 7 8 9 10 11

050

100

150 mean= 7.99



length [mm]

num

ber

4 5 6 7 8 9 10 11

050

100

150 mean= 7.99

sd= 0.96


captured dung flies

length [mm]

num

ber

4 5 6 7 8 9 10 11

010

2030

4050

60


captured dung flies

length [mm]

num

ber

4 5 6 7 8 9 10 11

010

2030

4050

60 mean= 6.79


captured dung flies

length [mm]

num

ber

4 5 6 7 8 9 10 11

010

2030

4050

60 mean= 6.79

sd= 0.69


Beobachtung

In der Biologie sind viele Datenverteilungenannahernd glockenformig und konnen durch den

Mittelwert und die Standardabweichungangemessen beschrieben werden.

Es gibt aber auch Ausnahmen.


Beobachtung



Es gibt aber auch Ausnahmen.

Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung

Inhalt




Kupfertolerantes Rotes Straußgras

Rotes Straußgras KupferAgrostis tenuis Cuprum

image (c) Kristian Peters Hendrick met de Bles

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Agrostis_capillaris.jpeg

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Hendrick_met_de_Bles_001.jpg


Browntop Bent (n=50)

root length (cm)

dens

ity p

er c

m

0 50 100 150 200

010

2030

40

meadow plants

m m+sm−s

In etwa 2/3 der Wurzellangen innerhalb [m-sd,m+sd]????Nein! Deutlich mehr.



root length (cm)

dens

ity p

er c

m

0 50 100 150 200

010

2030

40

meadow plants

m m+sm−s

In etwa 2/3 der Wurzellangen innerhalb [m-sd,m+sd]????

Nein! Deutlich mehr.



root length (cm)

dens

ity p

er c

m

0 50 100 150 200

010

2030

40

meadow plants

m m+sm−s

In etwa 2/3 der Wurzellangen innerhalb [m-sd,m+sd]????Nein! Deutlich mehr.


Manche Verteilungen konnen nur mit mehr als zweiVariablen angemessen beschrieben werden.

z.B. mit den funf Werten der Boxplots:min, Q1, median, Q3, max


Manche Verteilungen konnen nur mit mehr als zweiVariablen angemessen beschrieben werden.

z.B. mit den funf Werten der Boxplots:min, Q1, median, Q3, max


● ●● ●● ● ●● ● ●● ●● ●● ● ●

● ●

0 50 100 150 200

Browntop Bent n=50+50

root length (cm)

copper mine plants

meadow plants


Schlussfolgerung



Es gibt aber auch Ausnahmen. Also:Immer die Daten erst mal graphisch untersuchen!

Verlassen sie sich niemals allein auf numerischeKenngroßen!


Schlussfolgerung






Schlussfolgerung





Der Standardfehler

Inhalt



Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen

Inhalt




Population(sämtliche Transpirationsraten)

n=oo



n=oo

Stichproben=14



µ

Stichprobex


Wir schatzenden Populationsmittelwert

µdurch

den Stichprobenmittelwertx .


Jede neue Stichprobe liefert einen neuen Wert von x .

x hangt vom Zufall ab:eine Zufallsgroße

FRAGE: Wie variabel ist x?

Genauer: Wie weit weicht x typischerweise von µ ab?

















Hypothethische Transpirationsratenverteilung

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

010

2030

4050

60

Transpiration (ml/(Tag*cm^2))

Dic

hte

Population



0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

010

2030

4050

60


Dic

hte

Population Stichprobenmittel(n=16)


Die allgemeine Regel

Die Standardabweichungdes Mittelwerts einer Stichprobe vom Umfang n

ist1/√

nmal

der Standardabweichungder Population.


Die allgemeine Regel

Die Standardabweichungdes Mittelwerts einer Stichprobe vom Umfang n

ist1/√

nmal

der Standardabweichungder Population.


Die Standardabweichung der Populationbezeichnet man mit

σ(sigma).

Die Regel schreibt man haufig so:

σ(x) =1√nσ(X )


Die Standardabweichung der Populationbezeichnet man mit

σ(sigma).

Die Regel schreibt man haufig so:

σ(x) =1√nσ(X )


In der Praxis istσ

unbekannt.

Es wird durchdie Stichproben-Standardabweichung s

geschatzt:


In der Praxis istσ

unbekannt.


geschatzt:


In der Praxis istσ

unbekannt.


geschatzt:

σ =??


In der Praxis istσ

unbekannt.


geschatzt:

σ ≈ s


Die geschatzteStandardabweichung

von xs/√

nnennt man denStandardfehler.

(Englisch: standard error of the mean, standard error,SEM)


Die geschatzteStandardabweichung

von xs/√

nnennt man denStandardfehler.

(Englisch: standard error of the mean, standard error,SEM)

Der Standardfehler Zur Verteilung von x

Inhalt




Wir haben gesehen:

Auch wenn die Verteilung vonx mehrgipfelig

&asymmetrisch

ist



0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

010

2030

4050

60


Dic

hte

Population


ist die Verteilung vonx

trotzdem(annahernd)

eingipfelig&

symmetrisch

(wenn der Stichprobenumfang n nur groß genug ist)



0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

010

2030

4050

60


Dic

hte

Population Stichprobenmittel(n=16)


Die Verteilung von xhat annahernd

eine ganz bestimmte Form:

die Normalverteilung.


Dichte der Normalverteilung

−1 0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Nor

mal

dich

te

µµ µµ ++ σσµµ −− σσ

Die Normalverteilungsdichte heisstauch Gauß’sche Glockenkurve

(nach Carl Friedrich Gauß, 1777-1855)



−1 0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Nor

mal

dich

te

µµ µµ ++ σσµµ −− σσ








Wichtige Folgerung

Wir betrachten das Intervall

x − s/√

n x + s/√

n

x


Wichtige Folgerung

x − s/√

n x + s/√

n

Mit Wahrscheinlichkeit ca. 2/3liegt µ innerhalb dieses Intervalls

x


Wichtige Folgerung

x − s/√

n x + s/√

n

Mit Wahrscheinlichkeit ca. 2/3liegt µ innerhalb dieses Intervalls

Mit Wahrscheinlichkeit ca. 1/3liegt µ ausserhalb des Intervalls

x


Demnach:

Es kommt durchaus vor, dass xvon µ

um mehr alss/√

n abweicht.

Der Standardfehler Anwendungen

Inhalt




ANWENDUNG 1:Welche Werte von µ sind plausibel?

x = 0,12s/√

n = 0,007

Frage: Konnte es sein, dassµ = 0,115?



x = 0,12s/√

n = 0,007




x = 0,12s/√

n = 0,007



Antwort: Es ist gut moglich.

Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.

Standardfehlers/√

n = 0,007

Abweichungen dieser Großekommen haufig vor.

(Die Frage, welche Abweichungen nicht mehr plausibel sind,untersuchen wir spater.)



Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.

Standardfehlers/√

n = 0,007





Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.

Standardfehlers/√

n = 0,007





Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.

Standardfehlers/√

n = 0,007





Abweichungx − µ = 0,120− 0,115 = 0,005.

Standardfehlers/√

n = 0,007




ANWENDUNG 2:Vergleich von Mittelwerten

Beispiel: Springkrebs

Galathea squamiferaimage (c) by Matthias Buschmann

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Galathea_squamifera.jpg


ANWENDUNG 2:Vergleich von Mittelwerten

Beispiel: Springkrebs

Galathea squamiferaimage (c) by Matthias Buschmann

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Galathea_squamifera.jpg


Vergleich der Carapaxlange:

(c): public domain

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Carapax_Krebstiere_Schema.jpg


Galathea: Carapaxlangein einer Stichprobe

Mannchen:x1 = 3,04 mms1 = 0,9 mm

n1 = 25

Weibchen:x2 = 3,23 mms2 = 0,9 mm

n2 = 29


Die Weibchenscheinen großer zu sein.

Ist das ernst zu nehmen?

Oder konnte es nur Zufall sein?










Wie genau sind die beiden Mittelwerte?


n1 = 25

s1/√

n1 = 0,18 [mm]

Mit Schwankungen von±0,18 (mm) in x1

mussen wir rechnen.




n1 = 25

s1/√

n1 = 0,18 [mm]


mussen wir rechnen.




n1 = 25

s1/√

n1 = 0,18 [mm]


mussen wir rechnen.




n2 = 29

s2/√

n2 = 0,17 [mm]

Es ist nicht unwahrscheinlich,dass x2 um mehr als ±0,17 (mm) vom wahren

Mittelwert abweicht.




n2 = 29

s2/√

n2 = 0,17 [mm]






n2 = 29

s2/√

n2 = 0,17 [mm]




Die Differenz der Mittelwerte

3,23− 3,04 = 0,19 [mm]

ist kaum großer alsdie zu erwartenden Schwankungen.

Es konnte also einfach Zufall sein,dass

x2 > x1



3,23− 3,04 = 0,19 [mm]



x2 > x1



3,23− 3,04 = 0,19 [mm]



x2 > x1


GENAUER FORMULIERT:

Wenn in Wirklichkeitdie Populationsmittelwerte

gleich sind,

µWeibchen = µMannchen

kann es trotzdem leicht passieren,dass die Stichprobenmittelwerte

x2 und x1

so weit auseinander liegen.


GENAUER FORMULIERT:

Wenn in Wirklichkeitdie Populationsmittelwerte

gleich sind,

µWeibchen = µMannchen

kann es trotzdem leicht passieren,dass die Stichprobenmittelwerte

x2 und x1

so weit auseinander liegen.


Der Statistiker sagt:

Die Differenzder Mittelwerte

ist(statistisch)

nicht signifikant.


nicht signifikant

=

konnte Zufall sein


ANWENDUNG 3:

Wenn man Mittelwertegraphisch darstellt,

sollte man auchihre Genauigkeit

(±s/√

n)anzeigen.


Also nicht so:Carapaxlangen: Mittelwerte nach Geschlecht

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

Car

apax

läng

e [m

m]

●

●

Männchen Weibchen


sondern so:Carapaxlangen:

Mittelwerte ± Standardfehler nach Geschlecht2.

62.

83.

03.

23.

4

Car

apax

läng

e [m

m]

●

●

Männchen Weibchen


ANWENDUNG 4:

Bei der Versuchsplanung:

Wieviele Beobachtungenbrauche ich?

(Wie groß sollte die Stichprobenlange n sein?)


ANWENDUNG 4:

Bei der Versuchsplanung:

Wieviele Beobachtungenbrauche ich?

(Wie groß sollte die Stichprobenlange n sein?)


Wenn man weiß, welche Genauigkeit(Standardfehler s/

√n)

fur x man erreichen will,

und wenn man(aus Erfahrung oder aus einem Vorversuch)

s ungefahr kennt,dann kann man

das notwendige n ungefahr abschatzen:s/√

n = g(g = gewunschter Standardfehler)



√n)



s ungefahr kennt,

dann kann mandas notwendige n ungefahr abschatzen:

s/√




√n)



s ungefahr kennt,dann kann man

das notwendige n ungefahr abschatzen:s/√



Beispiel:Gestresste Transpirationswertebei einer anderen Hirse-Sorte:

x = 0,18s = 0,06n = 13

Nehmen wir an, der Versuch soll wiederholt werdenund man will

Standardfehler ≈ 0,01 erreichen.

Wie groß sollte n sein?



x = 0,18s = 0,06n = 13






x = 0,18s = 0,06n = 13





Losung:

gewunscht:s/√

n ≈ 0,01

aus dem Vorversuch wissen wir:

s ≈ 0,06,√

n ≈ 0,060,01 = 6

n ≈ 36


Losung:

gewunscht:s/√

n ≈ 0,01


s ≈ 0,06,

√n ≈ 0,06

0,01 = 6n ≈ 36


Losung:

gewunscht:s/√

n ≈ 0,01


s ≈ 0,06,√

n ≈ 0,060,01 = 6

n ≈ 36


Losung:

gewunscht:s/√

n ≈ 0,01


s ≈ 0,06,√

n ≈ 0,060,01 = 6

n ≈ 36

Der Standardfehler Zusammenfassung

Inhalt




ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.

Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/

√n.

Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/√

n.s/√

n nennt man den Standardfehler.Schwankungen in x von der Große s/

√n kommen haufig

vor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.


ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .

x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/

√n.


n.s/√


√n kommen haufig



ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroße

mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/√

n.Man schatzt die Standardabweichung von x mit s/

√n.

s/√


√n kommen haufig



ZUSAMMENFASSUNGNehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ undStandardabweichung σ.Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobevom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x .x ist eine Zufallsgroßemit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/

√n.


n.s/√


√n kommen haufig




√n.


n.

s/√


√n kommen haufig




√n.


n.s/√

n nennt man den Standardfehler.

Schwankungen in x von der Große s/√

n kommen haufigvor.Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.



√n.


n.s/√


√n kommen haufig

vor.

Solche Schwankungen sind ”nicht signifikant“: sie konntenZufall sein.



√n.


n.s/√


√n kommen haufig


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