(Wirtschafts-)mathematik I Mathe im Wandel der Zeit Volksschule 1960: Ein Bauer verkauft einen Sack...

(Wirtschafts-)mathematik IMathe im Wandel der Zeit

Volksschule 1960:Ein Bauer verkauft einen Sack Kartoffeln für 50 DM. Die Erzeugerkosten betragen 40 DM. Berechne den Gewinn! Realschule 1970:Ein Bauer verkauft einen Sack Kartoffeln für 50 DM. Die Erzeugerkosten betragen vier Fünftel des Erlöses. Wie hoch ist der Gewinn? Gymnasium 1980:Ein Agrarökonom verkauft eine Menge subterraner Feldfrüchte für eine Menge Geld (G). G hat die Mächtigkeit 50. Für die Elemente aus G gilt: G ist 1. Die Menge der Herstellkosten (H) ist um zehn Elemente geringer als die Menge G. Zeichnen Sie das Bild der Menge H als die Teilmenge der Menge um G und geben Sie die Lösungsmenge (L) für die Frage an: Wie mächtig ist die Gewinnsumme? Gesamtschule 1990:Ein Bauer verkauft einen Sack Kartoffeln für 50 DM. Die Erzeugerkosten betragen 40 DM und der Gewinn 10 DM. Unterstreiche das Wort "Kartoffel" und diskutiere mit deinem Nachbarn darüber. Schule 2001 (nach Einführung der Rechtschreibreform und des Euros)Ein kapitalistisch priweligirter bauer bereichert sich an einem Sack Kartoffeln um 10 Euros. Untersuche den tekst auf inhaltliche fehler, korigiere die aufgabengestaltung unt demonstriere gegen die lösunk. Schule 2010Es gipt keine Kartoffeln mehr.

Analysis, Lineare Algebra und Finanzmathematik

• 1. Mathematische Grundkenntnisse• 2 Funktionen mit einer unabhängigen Variablen• 3. Differentiation von Funktionen mit einer unabhängigen Variablen• 4 Grundlagen der Integralrechnung• 5 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen• 6 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen

Variablen• 7 Matrizenrechnung• 8. Lineare Optimierung• 9. Lineare Abbildungen (nur WI)• 10 Determinanten (nur WI)• 11 Finanzmathematische Verfahren

1. Mathematische Grundkenntnisse

• 1. Mathematische Grundkenntnisse• 1.1 Grundlagen der mathematischen Logik• 1.1.1 Negation• 1.1.2 Konjunktion• 1.1.3 Disjunktion• 1.1.4 Implikation• 1.1.5 Äquivalenz• 1.2 Mengen• 1.3 Relationen• 1.4 Arithmetik• 1.5 Folgen und Reihen• 1.6 Abbildungen

1.1 Grundlagen der mathematischen Logik

(1.1.1) Definition

Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) ist.

p: „Die Kosten sind niedrig.“q: „Der Gewinn ist hoch.“

Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) ist.Bezeichnung: Wir bezeichnen hier Aussagen mit kleinen lateinischen Buchstaben p, q, r, s, ...

Beispiel

r: x + 3 = 5

Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) ist.Bezeichnung: Wir bezeichnen hier Aussagen mit kleinen lateinischen Buchstaben p, q, r, s, ...

r: x + 3 = 5

Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) ist.Bezeichnung: Wir bezeichnen hier Aussagen mit kleinen lateinischen Buchstaben p, q, r, s, ...

Die Aussage r ist wahr für x = 2 und falsch für alle x 2.

Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) ist.Bezeichnung: Wir bezeichnen hier Aussagen mit kleinen lateinischen Buchstaben p, q, r, s, ...

s: 3 = 0t: 2 + 2 = 4

Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) ist.Bezeichnung: Wir bezeichnen hier Aussagen mit kleinen lateinischen Buchstaben p, q, r, s, ...

s: 3 = 0 (f)t: 2 + 2 = 4 (w)

1.1.1 Negation

(1.1.2) DefinitionDie Aussage p ist wahr, wenn p falsch ist und falsch, wenn p wahr ist.Es gilt also folgende Wahrheitstabelle:

P p

w f

f w

p:r:s:t:

Aus den Aussagen des vorherigen Beispiels erhält man durch Negation

p: „Die Kosten sind nicht niedrig.“r:s:t:

Aus den Aussagen des vorherigen Beispiels erhält man durch Negation

p: „Die Kosten sind nicht niedrig.“r: x + 3 5s:t:

Aus den Aussagen des vorherigen Beispiels erhält man durch Negation

p: „Die Kosten sind nicht niedrig.“r: x + 3 5s: 3 0 (w)t:

Aus den Aussagen des vorherigen Beispiels erhält man durch Negation

p: „Die Kosten sind nicht niedrig.“r: x + 3 5s: 3 0 (w)t: 2 + 2 4 (f)

Aus den Aussagen des vorherigen Beispiels erhält man durch Negation

1.1.2 Konjunktion(1.1.3) DefinitionDie Aussage p q ist wahr, wenn sowohl p, als auch q wahr sind; sie ist falsch, wenn eine der beiden Teilaussagen falsch ist bzw. wenn beide Teilaussagen falsch sind.Es gilt also folgende Wahrheitstabelle:

P q p q

w w w

w f f

f w f

f f f

Die Aussage p q ist wahr, wenn sowohl p, als auch q wahr sind; sie ist falsch, wenn eine der beiden Teilaussagen falsch ist bzw. wenn beide Teilaussagen falsch sind.

pq:st:st:rs:

Beispiele

Die Aussage p q ist wahr, wenn sowohl p, als auch q wahr sind; sie ist falsch, wenn eine der beiden Teilaussagen falsch ist bzw. wenn beide Teilaussagen falsch sind.

pq: „Die Kosten sind niedrig und die Gewinne sind hoch.“st:st:rs:

Beispiele

Die Aussage p q ist wahr, wenn sowohl p, als auch q wahr sind; sie ist falsch, wenn eine der beiden Teilaussagen falsch ist bzw. wenn beide Teilaussagen falsch sind.

pq: „Die Kosten sind niedrig und die Gewinne sind hoch.“st: (3 = 0) (2 + 2 = 4) (f)st:rs:

Beispiele

Die Aussage p q ist wahr, wenn sowohl p, als auch q wahr sind; sie ist falsch, wenn eine der beiden Teilaussagen falsch ist bzw. wenn beide Teilaussagen falsch sind.

pq: „Die Kosten sind niedrig und die Gewinne sind hoch.“st: (3 = 0) (2 + 2 = 4) (f)st: (3 0) (2 + 2 = 4) (w)rs:

Beispiele

Die Aussage p q ist wahr, wenn sowohl p, als auch q wahr sind; sie ist falsch, wenn eine der beiden Teilaussagen falsch ist bzw. wenn beide Teilaussagen falsch sind.

pq: „Die Kosten sind niedrig und die Gewinne sind hoch.“st: (3 = 0) (2 + 2 = 4) (f)st: (3 0) (2 + 2 = 4) (w)rs: (x + 3 = 5) (3 = 0) (f) für alle x.

Beispiele

1.1.3 Disjunktion(1.1.4) Definition Die Aussage p q ist wahr, wenn wenigstens eine der Teilaussagen wahr ist; sie ist falsch, wenn sowohl p als auch q falsch sind. Man erhält die folgende Wahrheitstabelle:

Bemerkung: Wie man aus der Definition ersieht, entspricht die Disjunktion nicht dem Umgangssprachlichen „entweder – oder“. Beide Aussagen schließen einander also nicht aus.

P q p q w w ww f wf w wf f f

Die Aussage p q ist wahr, wenn wenigstens eine der Teilaussagen wahr ist; sie ist falsch, wenn sowohl p als auch q falsch sind.

p q:s t:s t:rs:

Beispiele

Die Aussage p q ist wahr, wenn wenigstens eine der Teilaussagen wahr ist; sie ist falsch, wenn sowohl p als auch q falsch sind.

p q: „Die Kosten sind niedrig oder der Gewinn ist hoch.“s t:s t:rs:

Beispiele

Die Aussage p q ist wahr, wenn wenigstens eine der Teilaussagen wahr ist; sie ist falsch, wenn sowohl p als auch q falsch sind.

p q: „Die Kosten sind niedrig oder der Gewinn ist hoch.“s t: (3 = 0) (2 + 2 = 4) (w)s t:rs:

Beispiele

Die Aussage p q ist wahr, wenn wenigstens eine der Teilaussagen wahr ist; sie ist falsch, wenn sowohl p als auch q falsch sind.

p q: „Die Kosten sind niedrig oder der Gewinn ist hoch.“s t: (3 = 0) (2 + 2 = 4) (w)s t: (3 = 0) (2 + 2 4) (f)rs:

Beispiele

Die Aussage p q ist wahr, wenn wenigstens eine der Teilaussagen wahr ist; sie ist falsch, wenn sowohl p als auch q falsch sind.

p q: „Die Kosten sind niedrig oder der Gewinn ist hoch.“s t: (3 = 0) (2 + 2 = 4) (w)s t: (3 = 0) (2 + 2 4) (f)rs: (x + 3 = 5) (3 = 0) (w) bei x = 2, (f) bei x 2

Beispiele

Bei der Implikation wird aus den beiden Aussagen p und q die zusammengesetzte Aussage p q gebildet:

p,q (p q).(= „aus p folgt q“ bzw. „wenn p - dann q“)

p: „Der Himmel ist blau.“q: „Es regnet nicht.“

Wie man leicht sieht, ist die Aussage p q : „Wenn der Himmel blau ist, dann regnet es

nicht.“Wahr, falls p,q wahr bzw.

falsch, falls p wahr und q falsch sind.

1.1.4 Implikation

1.1.4 Implikation

(1.1.5) DefinitionDie Implikation p q ist falsch, wenn p wahr und q falsch ist, in allen übrigen Fällen ist sie wahr.Es ergibt sich also die Wahrheitstabelle:

P q p q w w ww f ff w wf f w

1.1.4 Implikation

Bemerkung: Bei der Implikation p q bezeichnet man oft die Aussage p als Vorraussetzung (Prämisse) und die Aussage q als Folgerung (Konklusion).

1.1.4 Implikation

Bemerkung: Bei der Implikation p q bezeichnet man oft die Aussage p als Vorraussetzung (Prämisse) und die Aussage q als Folgerung (Konklusion). In vielen Fällen sagt man auch:„p ist eine hinreichende Bedingung für q“ bzw. „q ist eine notwendige Bedingung für p“.

Bei der Implikation wird aus den beiden Aussagen p und q die zusammengesetzte Aussage p q

(= „aus p folgt q“ bzw. „wenn p - dann q“) gebildet: p,q (p q).

gerade b aungerade ba,

:q:p

Bei der Implikation wird aus den beiden Aussagen p und q die zusammengesetzte Aussage p q

(= „aus p folgt q“ bzw. „wenn p - dann q“) gebildet: p,q (p q).

q pgerade b a

ungerade ba,:q:p

p ist eine hinreichende Bedingung für q und q ist eine notwendige Bedingung für p

Bei der Implikation wird aus den beiden Aussagen p und q die zusammengesetzte Aussage p q

(= „aus p folgt q“ bzw. „wenn p - dann q“) gebildet: p,q (p q).

1 alsgrößer ist a²als1größer ist a

:q:p

Bei der Implikation wird aus den beiden Aussagen p und q die zusammengesetzte Aussage p q

(= „aus p folgt q“ bzw. „wenn p - dann q“) gebildet: p,q (p q).

q p1 alsgrößer ist a²

als1größer ist a :q:p

p ist eine hinreichende Bedingung für q und q ist eine notwendige Bedingung für p

1.1.5 Äquivalenz(1.1.6) DefinitionDie Äquivalenz p q ist also gleichbedeutend mit der Aussage (p q) (q p), so daß man folgende Wahrheitstabelle erhält:Die Äquivalenz p q ist wahr, wenn p,q den gleichen Wahrheitsgehalt besitzen; sie ist falsch, wenn für p,q verschiedene Wahrheitswerte gelten.

P q p q q p p q

w w w w w

w f f w f

f w w f f

f f w w w

Gelten für die beiden Aussagen p und q jeweils die Implikation p q und q p, so bezeichnet man sie als äquivalent und schreibt p q. Man sagt dazu oft auch: „p gilt genau dann, wenn q gilt“ bzw. p ist notwendige und hinreichende Bedingung für q“

2 + 2 = 4 2 * 3 = 6 0 * 0 = 1 2 * 2 = 5 0 * 0 = 0 2 * 2 = 5

Beispiele

Gelten für die beiden Aussagen p und q jeweils die Implikation p q und q p, so bezeichnet man sie als äquivalent und schreibt p q. Man sagt dazu oft auch: „p gilt genau dann, wenn q gilt“ bzw. p ist notwendige und hinreichende Bedingung für q“

2 + 2 = 4 2 * 3 = 6 (w)0 * 0 = 1 2 * 2 = 5 0 * 0 = 0 2 * 2 = 5

Beispiele

Gelten für die beiden Aussagen p und q jeweils die Implikation p q und q p, so bezeichnet man sie als äquivalent und schreibt p q. Man sagt dazu oft auch: „p gilt genau dann, wenn q gilt“ bzw. p ist notwendige und hinreichende Bedingung für q“

2 + 2 = 4 2 * 3 = 6 (w)0 * 0 = 1 2 * 2 = 5 (w)0 * 0 = 0 2 * 2 = 5

Beispiele

Gelten für die beiden Aussagen p und q jeweils die Implikation p q und q p, so bezeichnet man sie als äquivalent und schreibt p q. Man sagt dazu oft auch: „p gilt genau dann, wenn q gilt“ bzw. p ist notwendige und hinreichende Bedingung für q“

2 + 2 = 4 2 * 3 = 6 (w)0 * 0 = 1 2 * 2 = 5 (w)0 * 0 = 0 2 * 2 = 5 (f)

Beispiele

Gelten für die beiden Aussagen p und q jeweils die Implikation p q und q p, so bezeichnet man sie als äquivalent und schreibt p q. Man sagt dazu oft auch: „p gilt genau dann, wenn q gilt“ bzw. p ist notwendige und hinreichende Bedingung für q“

negativist b-aa alsgrößer ist b

:q:p

Gelten für die beiden Aussagen p und q jeweils die Implikation p q und q p, so bezeichnet man sie als äquivalent und schreibt p q. Man sagt dazu oft auch: „p gilt genau dann, wenn q gilt“ bzw. p ist notwendige und hinreichende Bedingung für q“

q pnegativist b-a

a alsgrößer ist b:q:p

p ist notwendig und hinreichend für q.

Gelten für die beiden Aussagen p und q jeweils die Implikation p q und q p, so bezeichnet man sie als äquivalent und schreibt p q. Man sagt dazu oft auch: „p gilt genau dann, wenn q gilt“ bzw. p ist notwendige und hinreichende Bedingung für q“

gerade b aungerade ba,

:q:p

Gelten für die beiden Aussagen p und q jeweils die Implikation p q und q p, so bezeichnet man sie als äquivalent und schreibt p q. Man sagt dazu oft auch: „p gilt genau dann, wenn q gilt“ bzw. p ist notwendige und hinreichende Bedingung für q“

q pgerade b a

ungerade ba,:q:p

p ist nicht notwendig und hinreichend für q.Es gilt nämlich z.B.: für a = 2, b = 6:2 + 6 = 8 geradzahlig > 2 bzw. 6 ungerade.

1.1 LogikBemerkung: Sind mehrere Aussagen miteinander verknüpft, so müssen zunächst die in den Klammern stehenden Anweisungen ausgeführt werden.

1.1 LogikBemerkung: Sind mehrere Aussagen miteinander verknüpft, so müssen zunächst die in den Klammern stehenden Anweisungen ausgeführt werden. Bezüglich der Reihenfolge, in der die einzelnen logischen Operationen durchzuführen sind, unterscheiden wir zwischen drei verschiedenen Stufen:

1. Stufe 2. Stufe3. Stufe

1.1 LogikBemerkung: Sind mehrere Aussagen miteinander verknüpft, so müssen zunächst die in den Klammern stehenden Anweisungen ausgeführt werden. Bezüglich der Reihenfolge, in der die einzelnen logischen Operationen durchzuführen sind, unterscheiden wir zwischen drei verschiedenen Stufen:

1. Stufe 2. Stufe3. Stufe

1.1 LogikBemerkung: Sind mehrere Aussagen miteinander verknüpft, so müssen zunächst die in den Klammern stehenden Anweisungen ausgeführt werden. Bezüglich der Reihenfolge, in der die einzelnen logischen Operationen durchzuführen sind, unterscheiden wir zwischen drei verschiedenen Stufen:

1. Stufe 2. Stufe , 3. Stufe

1.1 LogikBemerkung: Sind mehrere Aussagen miteinander verknüpft, so müssen zunächst die in den Klammern stehenden Anweisungen ausgeführt werden. Bezüglich der Reihenfolge, in der die einzelnen logischen Operationen durchzuführen sind, unterscheiden wir zwischen drei verschiedenen Stufen:

1. Stufe 2. Stufe , 3. Stufe ,

1.1 LogikBemerkung: Sind mehrere Aussagen miteinander verknüpft, so müssen zunächst die in den Klammern stehenden Anweisungen ausgeführt werden. Bezüglich der Reihenfolge, in der die einzelnen logischen Operationen durchzuführen sind, unterscheiden wir zwischen drei verschiedenen Stufen:

(p¬q) r => ¬s q

1. Stufe 2. Stufe , 3. Stufe ,

1.1 LogikBemerkung: Sind mehrere Aussagen miteinander verknüpft, so müssen zunächst die in den Klammern stehenden Anweisungen ausgeführt werden. Bezüglich der Reihenfolge, in der die einzelnen logischen Operationen durchzuführen sind, unterscheiden wir zwischen drei verschiedenen Stufen:

(p¬q) r => ¬s q

, 3. Stufe, 2. Stufe 1. Stufe

1.1 LogikBemerkung:

Beweisen möglich durch:

• direkter Beweis

• indirekter Beweis

• Beweis durch Gegenbeispiel