-2 -1 1 2 1.2 1.0 7. Vorlesung - gst.tu-ilmenau.degst.tu-ilmenau.de/download/=Grundlagen_der_Schaltungstechnik_(GST... · Xs() + Ys() H V (s) H R ... Phasor Betrag Phase ()jsZ 00

7. Vorlesung „Grundlagen der analogen

Schaltungstechnik“:Dynamik – Frequenzgänge KWSR-P/N-Bodediagramm

Re s

Im s

-2 -1 1 2

Re s

-2

-1

1

2

Im s

2 4 6 8 10 12 14

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

26.11.20161

7. Vorlesung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz GST) - KWSR/Bode/Filter

Ihre Fragen

Wann benutzte ich welche Darstellungsform der

Übertragungsfunktion? / Was sind die Vorteile der Darstellungsweise

mit jw? D? s?

Wozu brauche ich die DGL der Schaltung, wenn ich am Ende doch

nur mit der transformierten Übertagungsfunktion multipliziere und

rücktransformiere?

Welche Bedeutung hat das 's'? Klar ist, dass es aus der

Laplacetransformation stammt, aber warum kann ich es statt D oder

jw verwenden und was ist die Laplaceebene (s)?

Nochmal zum Mitschreiben: Wie ermitteln sich die Pole/Nullstellen

für das P/N-Diagramm? Wozu dient das P/N-Diagramm? Was kann

ich in dem Diagramm ablesen/erkennen?

26.11.20162


Transformation einer DGL zur Bestimmung der Partikulären

Lösung für cos/sin-Anregungen

1

1 1 0... ( )n n

n nc D c D c D c y t

1

1 1 0( ... ) ( )m m

m ma D a D a D a x t

1

1 1 0

1

1 1 0

...( )( )

( ) ...

m m

m m

n n

n n

a D a D a D ay tH D

x t c D c D c D c

1

1 1 0

1

1 1 0

...( )

...

m m

m m

n n

n n

a j a j a j aYH j

X c j c j c j c

0

0 0 0) ( ) cos( jx V Vt et

0 0( ) co( ) arg[s ])( )( t Hy jVH jt

( ) ( 1)

1 1 0... ' ( )n n

n nc y c y c y c y g t

( ) ( 1)

1 1 0( ) ( ) ( ) ... ( )' ( )m m

m mg t a x t a x t a x t a x t

arg bedeutet Argument, das ist der gesamte Phasenwinkel von H(j)

26.11.20163


1

1 1 0

1

1 1 0

...( )( )

( ) ...

m m

m m

n n

n n

a D a D a D ay tH D

x t c D c D c D c

System( )x t ( )y t

Der Nenner enthält immer die Differentialgleichung

bzw. ihr charakteristisches Polynom und damit (als

Lösung) die Eigenfrequenzen (Grenz/Eckfrequenzen)

Ob

1

1 1 0

1

1 1 0

...( )

...

m m

m m

n n

n n

j j ja a a aYH

X c c cj j j cjoder

oder

1

1 1 0

1

1 1 0

...{ ( )}( )

{ ( )} ...

m m

m m

n n

n n

a s a s a s aL y tH s

L x t c s c s c s c

Übertragungsfunktionen im Zeit- und Frequenzbereich I & II

partikuläre Lösung

für x(t) = V0cos(t+0)

Bem: H(j) ist

die Fourier-

transformierte

der DGL!

Laplace-

Trafo =

Freq.b. II

0 0( ) co( ) arg[s ])( )( t Hy jVH jt

426.11.2016


Problemtransformation: Ersatzschaltbilder

D-Operator

KWSR

Laplace

cc c c

duC i CD u i

dt

c c

1u i

CD

uc ic

CC

j jj t j tcc c c c c

IU

C C C C

duC i , Ansatz: u U e e ,i I e e

dt

1j CU I oder U I

j C

cc

C C C C C C

duC i

dt

1 1sCU (s) Cu (0) I (s) oder U (s) I u (0)

sC s

(0) L x sL x x

( ) Re ( ) j tR e

dD

dt

1

DC

( )ci t

( )cu t

1

j CcU

y sC( )cU s

( )cI s (0)Cu

26.11.20165


Re s

Im s

-2 -1 1 2

Re s

-2

-1

1

2

Im s

H(s) – Pol/Nullstellendiagramm

01 02 0

1 2

( )( )...( )( )

( )( )...( )m

n

s s s s s sH s k

s s s s s sFaktorisierung

von H(s):

s0 seien die Nullstellen H(s) und s die Pole von H(s)

Merke: Der Nenner ist das charakteristische Polynom

P(s) der entsprechenden Differentialgleichung!

86 60 s 18 s2

30 38 s 39 s2 18 s3H(s)=

s5

32 , s

5

32

s3

2, s

1

3, s

1

3

Nullstellen (o):

Pole (x):

Eigenfrequenzen oder Eigenwerte der DGL!

26.11.20166


3D Interpretation der s-Ebene

-4.00

-3.00

-1.00

0.00-2.00 -1.00 0.00 1.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

Im{s}

|H(s)|

-4.00

-2.00

2.00

4.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

2.00

4.00

6.00

8.00

Re{s}

2

2

9 30 43( )

9 6 10

s sH s

s s

Frequenz-gang

( )H s j

Oberfläche

( )H s

0(1,2)

52

3s j (1,2)

1

3s j

0( ) cos(( ) arg[ ( ))]H j H jt ty V7

VDD

0

VDD

VSS

inp

VDD VSS

00

0

inp

out

3 4

5

2

1

M1

MODP

W = 100uL = 8u

M5

MODP

L = 8u

W = 100u

M4

MODN

L = 8u

W = 50u

M3

MODN

L = 8u

W = 50u

M8

MODP

L = 8u

W = 100u

CC

5pIBIAS

20u+-

VM

-5V

+

-

VP

5V

+

-

CL 50p

M7

MODP

L = 8uW = 100u

M9MODN

W = 8uL = 10u

M6

MODN

L = 8u

W = 100u

M2

MODP

W = 100u

L = 8u

Vin1

Frequenz

1.0Hz 100KHz 10GHz

V(out)

10mV

1.0V

1.0mV

10V

Zeit

0s 5us 10us 15us 20us 25us 30usV(OUT) V(Vin1:+)

-2.0V

0V

2.0V

Rückgekoppelter Verstärker:

Transientantwort: Ringing

Frequenzgang: Peaking

Ursache: komplexes Polpaar

nahe der imaginären Achse

Differentialgleichungen (lineare mit konst. Koeffz.)

Anwendung: Frequenzkompensation

8

Woher kommt das Ringing bzw. Peaking?

Regelungstechnik: Phasenverschiebung des Verstärkers HV(s)

Gegenkopplung wird zur Mitkopplung (Stabilitätsreserve sinkt)

Exkurs/Preview Regeltechnik

Rückgekoppelte Strukturen

( )X s ( )Y s+ HV(s)

HR(s)

V

R V

( )( )

1 ( ) ( )

H sH s

H s H s

_

0 1

0 1

26.11.20169


Re s

Im s

-2 -1 1 2

Re s

-2

-1

1

2

Im s

2 4 6 8 10 12 14

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.0E 3 1.0E 2 1.0E 1 1.0E0 1.0E1

30

20

10

0

Frequency

Magnitude

dB

1.0E 3 1.0E 2 1.0E 1 1.0E0 1.0E1

120

100

80

60

40

20

0

Frequency

Phase

deg

86 60 s 18 s2

30 38 s 39 s2 18 s3H(s)=

s5

32 , s

5

32

s3

2, s

1

3, s

1

3

Nullstellen (o):

Pole (x):

Re( ), Im( ), ( ) mit x s y s z H s s j

26.11.201610


Zusammenhang Frequenzgang - Pole/Nullstellen

26.11.201611


Link: Java-Applet PZ-Frequenzgang

26.11.201613


Pole und Nullstellen, Frequenzgang

H(j) & Bodediagramm

26.11.201614


Re s

Im s

-2 -1 1 2

Re s

-2

-1

1

2

Im s

H(s) – Pol/Nullstellendiagramm

01 02 0

1 2

( )( )...( )( )

( )( )...( )m

n

s s s s s sH s k

s s s s s sFaktorisierung

von H(s):




86 60 s 18 s2

30 38 s 39 s2 18 s3H(s)=

s5

32 , s

5

32

s3

2, s

1

3, s

1

3

Nullstellen (o):

Pole (x):

Eigenfrequenzen oder Eigenwerte der DGL!

26.11.201615


Frequenzgang H(j) & Bodediagramm

Für eine feste Frequenz f0, d.h. , kann ein Term

als Ortsvektor in der komplexen s-

Ebene interpretiert werden

0s j

0 0 0( ) ( )s s j s

0 0( )j s

01 02 0

1 2

( )( )...( )( )

( )( )...( )m

n

s s s s s sH s

s s s s s s

0s-Ebene

j

0s

Faktorisierung

von H(s):




0j

0s

0 0( )j s

26.11.201616


Betrag und Phase

graphische Interpretation des Frequenzverhaltens:

0 0arg ( )

0 0 0 0( ) ( )j s

j s j s e

Phasor Betrag Phase

0 0( )j s

0 0Re Ims s

0 0Phase: arg ( ) j s

s-EbeneBetrag

0s

0

jIm( )j s

0s

klein

groß größer

45o

Es gilt:

0j

0s

0 0( )j s

Grenzfrequenz!!

26.11.201617


Superposition von Ortsvektoren (“Fahrstrahl”, Zeigern)

Umschreiben der faktorisierten H(s) in Polarform:

01 02 0

1 2

...

01 02 0

...

1 2

( ) ( ) ... ( )( )

( ) ( ) ... ( )

m

n

m

n

s s s s s s eH s

s s s s s s e

01 02 0

01 02 0

log( ( ) ( ) ... ( ) )

log( ( ) ) log( ( ) ) ... log( ( ) )

m

m

s s s s s s

s s s s s s

Dasselbe gilt für das Nennerpolynom.

Trick: Überlagerung (Superposition) des Beitrags jedes

Pols bzw. Nullstelle ist möglich, wenn Logarithmus

angewandt wird:

26.11.201618


Asymptotisches Verhalten (für Nullstelle)

10log ( )

0für ( ) ~H s konst 1für ( ) ~H s

(Exponent von s)* 20dB= Steigung pro Dekade

1020log ( ) inH s dB 1020log ( ) inH s dB

10log a

0,1a10a

20

-20

0( ) k j s 0s

20log dBk

0 k s konst

X 0( ) k j s 0s

~k j

X

log( ( ) )( )

log( )

xH j

H j x

26.11.201619


Reelle Nullstelle bei s0 – idealisiertes/reales Verhalten

p 2

p 2–

p 4 45°=

p 4– 45– °=

0f s

( )

log

H j

Maßstab

reale Kurve

0

2 3

Anstieg bei

dB

f s

0

0

0

Phasengang: 0..+90

45 Phase bei f s

Phase

bzw. (log )f Maßstab

26.11.201620

0

0

0

log( )

log( ) log( 1)

Offset

j s

s js


Reeller Pol bei s – idealisiertes/reales Verhalten

p 2

p 2–

p 4 45°=

p 4– 45– °=

f s

( )

log

H j

Maßstab

reale Kurve

0

13

2

Abfall bei

dB

f s

0

0

0

Phasengang: 0.. 90

45 Phase bei

f s

Phase

26.11.201621

1log

log( ) log 1

Offset

j s

s js


Beispiel: RC Filterschaltung

1( )

1out

in

VH s

V sRC

1 1

2b bf

RC

p

Grenzfrequenz

1 1) ( 0)

2(

2b H j DC aiH j g n arg[ ( )] 45o

bH j

1s

RC

j

Pol!

R

outVinV C

26.11.201622


Documents

-2 -1 1 2 1.2 1.0 7. Vorlesung - gst.tu-ilmenau.degst.tu-ilmenau.de/download/=Grundlagen_der_Schaltungstechnik_(GST... · Xs() + Ys() H V (s) H R ... Phasor Betrag Phase ()jsZ 00