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§ 28 Multilineare und Alternierende Abbildungen

(28.1) Definition: V und W seien wieder ein K-Vektorräume. Eine Abbildung

von V nach W stets linear ist.

Auf dem Wege zum Begriff der Determinante:

WV: p heißt multilinear, wenn sie in jedem Argument linear ist, dh. wenn für feste v1, v2, ... , vj-1, vj+1, ... , vp aus V die Abbildung

,Vv,)v,,v,v,,v,v(v p1j1j21

Man spricht stattdessen auch von p-linear, wenn die Anzahl p der Faktoren betont werden soll, so zum Beispiel von bilinear oder 2-linear, trilinear, 5-linear, etc.Der Begriff der Multilinearität gibt auch für Abbildungen

Folie 2

Kapitel V, § 28

Sinn.

.ZYX)Z,Y,X(,: RRRR 333

WVVV: p21

Wichtiger Fall für die Einführung von Tensoren:

W(V*)V: qp

mit ελμν wie oben.

(28.1) Beispiele:1o Lineare Abbildungen sind 1-linear.2o Bilinearformen, wie in § 25 studiert. Das Kreuzprodukt

3o Hier eine Trilinearform:

.YX)Y,X(,: 333 RRRist auch bilinear. Und auch die in § 26 eingeführte Determinante.

4o Es seien p Linearformen f1, f2, ... , fp auf V gegeben.Dann ist das Produkt

Folie 3

Kapitel V, § 28

stets p-linear.

),(vf...)(v)f(vf)v,...,v,v(,KV: pp2211p21p

5o V habe die geordnete Basis b = (b1,b2, ... ,bn) . Dann hat jede p-lineare Abbildung

Eine solche p-lineare Abbildung lässt sich im Fall V = Kn auch verstehen als Abbildung von Kpxn nach W .

die Form,bXXfür,XXX)X,,X,X( jjp21p21 p

p21

21

WV: p

mit den eindeutig bestimmten .W)b,,b,b(

p21p 21

Das ist (mit W = K) der Blickpunkt, der für die Determinanten eingenommen wird.Allerdings hat die Determinante für (2,2)-Matrizen in § 26 noch eine wesentliche Zusatzeigenschaft: Sie ist alternierend!

So lassen sich p-lineare Abbildungen also definieren!

Folie 4

Kapitel V, § 28

für Vektoren v1,v2, ... ,vn aus V und j < k .

(28.4) Satz: K sei Körper der Charakteristik > 2 . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent für eine p-lineare Abbildung

(28.3) Definition: Eine p-lineare Abbildung φ von Vp nach W ist alternierend (oder antisymmetrisch), wenn stets

,)v , ,v, ,v,...,v,v()v , ,v, ,v,...,v,v( pjk21pkj21

:WV: p 1o φ ist alternierend. 2o Für alle v1,v2, ... ,vn aus V ist φ(v1,v2, ... ,vn) = 0 , wenn

vj = vk für ein Paar (j,k), j < k .3o Für alle v1,v2, ... ,vn aus V und für j < k ist stets

φ(v1,v2, ... , vj, ... ,vn) = φ(v1,v2, ... , vj + vk, ... ,vn) .4o Für alle v1,v2, ... ,vn aus V und sk aus K mit sj = 0 ist stets

φ(v1,v2, ... , vj, ... ,vn) = φ(v1,v2, ... , vj + skvk, ... ,vn) .

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Kapitel V, § 28

5o Für alle v1,v2, ... ,vn aus V mit rg(v1,v2, ... ,vn) < p ist φ(v1,v2, ... ,vn) = 0 .

6o Für alle v1,v2, ... ,vn aus V ist φ(v1,v2, ... ,vn) = 0 , wenn vj = vj+1 für ein j < p .

7o Für alle v1,v2, ... ,vn aus V und j < p ist φ(v1,v2, ... ,vj, vj+1, ... ,vn) = – φ(v1,v2, ... ,vj+1, vj, ... ,vn) .

8o Für alle v1,v2, ... ,vn aus V und jede Permutation σ aus Sp gilt

φ(v1,v2,... ,vn) = sgn(σ)φ(vσ(1),vσ(2), ... ,vσ(n)) .

(28.5) Folgerung: Eine p-lineare und alternierende Abbildung

:WV: p auf einem Vektorraum der Dimension n mit Basis b ist von der Form

,bXXfür,XXX)sgn()X,,X,X( jj0)p(

p2)(

21)(

1S

p21n

Dabei ist φ0 = φ(b1,b2, ... ,bn) aus W .