Kapitel IV. Lineare Abbildungen · Lineare Abbildungen Einführung: Linearit ät der Matrix-Vektor-Multiplikation 13 Lineare Abbildungen 13.1 Einführung: Linearit ät der Matrix-Vektor-Multiplikation

Kapitel IV. Lineare Abbildungen

Inhalt:

13. Lineare Abbildungen

14. Matrix-Darstellung

15. Isomorphie von Vektorraumen

Wir wollen nun die Abbildungen F : V → W zwischen Vektorraumen V und W

untersuchen, die die Vektorraum-Struktur erhalten. Wir nennen solcheAbbildungen Homomorphismen oder, zur Unterscheidung von den Gruppen- undRing-Homomorphismen, meistens lineare Abbildungen.

Die Struktur der Vektorraume, insbesondere der Basis- und der Dimensionsbegriff,erlauben eine genaue strukturelle Beschreibung der Eigenschaften linearerAbbildungen, wie z.B. der Injektivitat, Surjektivitat und Bijektivitat. DieseEigenschaften lassen sich auch ohne die Zuhilfenahme von Basen charakterisieren.Hierzu werden die Begriffe Kern, Bild und Rang einer linearen Abbildungeingefuhrt. Der rechnerische Umgang mit linearen Abbildungen wird mit Hilfe derMatrix-Darstellung in Abschnitt 14 begrundet. Abschnitt 15 behandelt diebijektiven linearen Abbildungen, die Isomorphismen.Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 195

Lineare Abbildungen Einfuhrung: Linearitat der Matrix-Vektor-Multiplikation

13 Lineare Abbildungen

13.1 Einfuhrung: Linearitat der Matrix-Vektor-Multiplikation

Es sei A ∈ MatK (m, n) eine Matrix. Wir definieren die Abbildung

FA : K n → Km, x 7→ Ax .

Dann gilt fur alle x , y ∈ K n und alle α ∈ K die Beziehung

FA(x + y) = FA(x) + FA(y), FA(αx) = αFA(x);

dies wird kurz zusammengefasst zu

FA(αx + βy) = αFA(x) + βFA(y)

fur alle x , y ∈ K n und alle α, β ∈ K .Mit anderen Worten, die Abbildung FA ist eine lineare Abbildung im Sinne derfolgenden Definition.

Bemerkung: Man achte auf die Dimensionsangaben: Die Matrix A liegt in Mat(m, n) und die

Abbildung FA hat den Definitionsbereich Kn sowie den Wertevorrat Km.

Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 196

Lineare Abbildungen Definition: Lineare Abbildung

13.2 Definition: Lineare Abbildung

Es sei K ein Korper, V und W zwei Vektorraume uber K .Eine Abbildung F : V → W heißt lineare Abbildung (oderVektorraum-Homomorphismus), falls gilt:

F (x + y) = F (x) + F (y) fur alle x , y ∈ V

F (αx) = αF (x) fur alle x ∈ V , α ∈ K .

Wir konnen beide Bedingungen auch zusammenfassen zu

F (αx + βy) = αF (x) + βF (y) fur alle x , y ∈ V , α, β ∈ K .


Lineare Abbildungen Bemerkungen:

13.3 Bemerkungen:

Es seien V ,W Vektorraume und F : V → W linear. Dann gilt:

(a) F (0V ) = 0W .

(b) Fur beliebige Linearkombinationen in V gilt

F

(

m∑

k=1

αkvk

)

=

m∑

k=1

αkF (vk ).

Hieraus folgt fur jede Familie (vi )i∈I von Vektoren vi ∈ V :

Ist (vi )i∈I linear abhangig, so ist auch die Familie (F (vi ))i∈I linear abhangig(in W ).

Ist die Familie (F (vi))i∈I linear unabhangig, so ist auch die Familie (vi )i∈I

linear unabhangig.


Lineare Abbildungen Satz:

Eine lineare Abbildung ist durch die Festlegung der Bilder von Basisvektorenbereits vollstandig definiert:

13.4 Satz:

Es seien V ,W Vektorraume, und (vi )i∈I sei eine Basis von V .Weiterhin seien Vektoren wi ∈ W , i ∈ I , gegeben.Dann existiert genau eine lineare Abbildung F : V → W mit F (vi ) = wi fur allei ∈ I ; mit anderen Worten, die lineare Abbildung F ist durch die Bilder F (vi ) einerBasis von V eindeutig beschrieben.

13.5 Korollar: Gleichheit linearer Abbildungen

Es seien V ,W Vektorraume uber K sowie (vi )i∈I eine Basis von V .

Zwei lineare Abbildungen F : V → W und G : V → W sind genau dann gleich,wenn die Bilder der Basiselemente gleich sind, also wenn

F (vi ) = G(vi ) fur alle i ∈ I

gilt.


Lineare Abbildungen Satz: Lineare Abbildungen F : Kn→ Km

13.7 Satz: Lineare Abbildungen F : K n→ K

m

Zu jeder linearen Abbildung F : K n → Km (mit m, n ∈ N) existiert eine eindeutigbestimmte Matrix A ∈ Mat(m, n) mit

F (x) = FA(x) = Ax fur alle x ∈ K n.


Lineare Abbildungen Satz: Verkettung linearer Abbildungen

13.8 Satz: Verkettung linearer Abbildungen

Es seien U ,V ,W Vektorraume uber K und F : U → V sowie G : V → W lineareAbbildungen. Dann ist die Verkettung

G ◦ F : U → W , u 7→ G(F (u))

linear.


Lineare Abbildungen Definition

Die folgenden Begriffe treten bei der Beschreibung linearer Abbildungen haufigauf. Deshalb sollte man sie sich merken.

13.10 Definition

Eine lineare Abbildung F : V → W heißt

Monomorphismus, wenn F injektiv ist,

Epimorphismus, wenn F surjektiv ist,

Isomorphismus, wenn F bijektiv ist,

Endomorphismus, wenn V = W gilt, also F : V → V vorliegt,

Automorphismus, wenn V = W gilt und F bijektiv ist.


Lineare Abbildungen Satz: Charakterisierung anhand einer Basis von V

13.11 Satz: Charakterisierung anhand einer Basis von V

Es seien V ,W Vektorraume uber K sowie (vi )i∈I eine Basis von V . Weiter seiF : V → W linear und wi = F (vi ). Dann gilt:

(a) F ist ein Monomorphismus genau dann, wenn (wi )i∈I linear unabhangig ist.

(b) F ist ein Epimorphismus genau dann, wenn (wi )i∈I ein Erzeugendensystemvon W ist.

(c) F ist ein Isomorphismus genau dann, wenn (wi )i∈I eine Basis von W ist.

Bemerkung: Wir halten als wichtiges Resultat fest: ein Isomorphismus F : V → W

bildet jede Basis (vi )i∈I von V in eine Basis (F (vi ))i∈I von W ab.


Lineare Abbildungen Korollar: Charakterisierung bei gleicher endlicher Dimension

Durch Einsatz des Dimensionsbegriffs fur endlich-dimensionale Vektorraume folgtsofort (siehe 8.21):

13.12 Korollar: Charakterisierung bei gleicher endlicher Dimension

Es seien V ,W Vektorraume uber K mit dimV = dimW < ∞. Fur eine lineareAbbildung F : V → W sind dann aquivalent:

(i) F ist ein Monomorphismus (d.h. injektiv).

(ii) F ist ein Epimorphismus (d.h. surjektiv).

(iii) F ist ein Isomorphismus (d.h. bijektiv).


Lineare Abbildungen Korollar: Schlussfolgerungen uber die Dimension

13.13 Korollar: Schlussfolgerungen uber die Dimension

Es seien V ,W Vektorraume uber K und F : V → W linear.

(i) Falls F ein Monomorphismus ist, so folgt dimV ≤ dimW .

(ii) Falls F ein Epimorphismus ist, so folgt dimV ≥ dimW .

(iii) Falls F ein Isomorphismus ist, so folgt dimV = dimW .

Hierbei sind dimV = ∞ und dimW = ∞ zugelassen.

13.14 Korollar: Schlussfolgerungen aus der Dimension

Es seien V ,W Vektorraume uber K .

(i) Falls dimV ≤ dimW und dimV < ∞ gilt, so existiert ein Monomorphismus F : V → W .

(ii) Falls dimV ≥ dimW und dimW < ∞ gilt, so existiert ein Epimorphismus F : V → W .

(iii) Falls dimV = dimW < ∞ gilt, so existiert ein Isomorphismus F : V → W .


Lineare Abbildungen Satz: Inverse

13.15 Satz: Inverse

Es seien V ,W Vektorraume uber K . Ist F : V → W ein Isomorphismus, so ist dieUmkehrabbildung F−1 : W → V ebenfalls linear und bijektiv, also einIsomorphismus.

Bemerkung:

(a) Existiert zwischen zwei Vektorraumen V ,W ein Isomorphismus, so heißen V

und W isomorph. Hier wurde begrundet, dass der Isomorphie-Begriff einesymmetrische Relation darstellt. Wir betrachten ihn genauer in Abschnitt 15.

(b) Fur einen Isomorphismus F : V → W gelten naturlich die Beziehungen

F ◦ F−1 = idW , F−1 ◦ F = idV .

(c) Man beachte die allgemeine Definition und den Satz 2.23 aus Kapitel I: Dielineare Abbildung F : V → W ist genau dann ein Isomorphismus, wenn eseine Abbildung X : W → V gibt mit

F ◦ X = idW , X ◦ F = idV .

Die Linearitat dieser Abbildung X wurde hier zusatzlich bewiesen.


Lineare Abbildungen Definition und Satz: Kern, Bild und Rang

Die Injektivitat, Surjektivitat und Bijektivitat kann man auch ohne Zuhilfenahmeeiner Basis ausdrucken.

13.17 Definition und Satz: Kern, Bild und Rang

Es seien V ,W Vektorraume uber K sowie F : V → W linear.

(a) Das Urbild des Nullvektors 0W heißt der Kern von F ,

Kern(F ) := F−1({0W }) = {v ∈ V | F (v) = 0W }.

Es gilt: Kern(F ) ist ein Untervektorraum von V .

(b) Das Bild von F ist die Menge

Bild(F ) = F (V ) = {F (v) | v ∈ V }.

Es gilt: Bild(F ) ist ein Untervektorraum von W .

(c) Der Rang von F ist definiert als

Rang(F ) = dim(Bild(F )).


Lineare Abbildungen Satz: Charakterisierung anhand von Kern und Bild

13.19 Satz: Charakterisierung anhand von Kern und Bild

Es seien V ,W Vektorraume uber K . Weiter sei F : V → W linear. Dann gilt:

(a) F ist ein Monomorphismus genau dann, wenn Kern(F ) = {0V } gilt.

(b) F ist ein Epimorphismus genau dann, wenn Bild(F ) = W gilt.

(c) F ist ein Isomorphismus genau dann, wenn Kern(F ) = {0V } undBild(F ) = W gilt.

Nur die Aussage (a) muss bewiesen werden, weil (b) die Definition der Surjektivitat ist (siehe2.18(b)) und (c) die Aussagen (a) und (b) zusammenfasst.

Der Beweis von (a) beruht im Wesentlichen auf der folgenden Aussage.


Lineare Abbildungen Lemma: Urbilder einpunktiger Mengen

13.20 Lemma: Urbilder einpunktiger Mengen

Es seien V ,W Vektorraume uber K . Weiter sei F : V → W linear. Fur einbeliebiges w ∈ W ist die Menge F−1({w}) entweder leer, oder sie hat die Form

F−1({w}) = p + Kern(F )

mit einem beliebigen p ∈ V , fur das F (p) = w gilt.

Bemerkung: Das Lemma besagt, dass F−1({w}) ein Element des FaktorraumsV /Kern(F ) ist; dies verallgemeinert unsere Aussage zur Losung inhomogener LGSin Satz 11.5: Die Losungsmenge der Gleichung

F (v) = w

mit w ∈ W ist entweder leer, oder sie ist ein affiner Unterraum von V mit demAufpunkt p (partikulare Losung, spezielle Losung F (p) = w) und demDifferenzenraum Kern(F ).


Lineare Abbildungen Homomorphiesatz

Wir erhalten nun den ersten Hauptsatz uber lineare Abbildungen sowie dieDimensionsformel.

13.21 Homomorphiesatz

Es seien V ,W Vektorraume uber K und F : V → W linear. Weiter seiU = Kern(F ).

Dann sind der Faktorraum V /U und der Bildraum Bild(F ) isomorph; einIsomorphismus ist gegeben durch

HF : V /U → Bild(F ), p + U 7→ F (p).

13.22 Satz: Dimensionsformel

Es seien V ,W Vektorraume uber K und F : V → W linear. Dann gilt

dimV = dim(Kern(F )) + dim(Bild(F )) = dim(Kern(F )) + Rang(F ).


Lineare Abbildungen Bemerkung

13.23 Bemerkung:

Der Homomorphiesatz ermoglicht es, jede lineare Abbildung “nach ihrem Kern zufaktorisieren”, um dadurch einen Isomorphismus zu erzeugen: aus F : V → W

wird zuerst der Monomorphismus

H1 : V /Kern(F ) → W , [v ]Kern(F ) 7→ F (v),

und daraus durch Einschrankung des Wertevorrats der Isomorphismus

HF : V /Kern(F ) → Bild(F ), [v ]Kern(F ) 7→ F (v).

Wenn man dann noch einen komplementaren Untervektorraum M 4 V vonKern(F ) findet, der ja ein vollstandiges Reprasentantensystem von V /Kern(F ) ist,so kann man HF ersetzen durch den Isomorphismus

HF : M → Bild(F ), v 7→ F (v).


Lineare Abbildungen Satz: Die Vektorraume Abb(V , W ) und Hom(V , W )

Wir betrachten nun Strukturen auf der Menge aller Abbildungen

Abb(V ,W ) = {f : V → W | f ist eine Abbildung}

sowie der Teilmenge aller linearen Abbildungen

Hom(V ,W ) = {f : V → W | f ist eine lineare Abbildung}.

Wegen der Vektorraum-Eigenschaft des Wertevorrats W konnen wir beliebigeAbbildungen f , g : V → W addieren und mit Skalaren multiplizieren:

f + g : V → W , v 7→ f (v) + g(v) ∈ W ,

αf : V → W , v 7→ αf (v) ∈ W .


Lineare Abbildungen Satz: Die Vektorraume Abb(V , W ) und Hom(V , W )

13.25 Satz: Die Vektorraume Abb(V ,W ) und Hom(V ,W )

Es seien V ,W Vektorraume uber K .

(a) Die Menge

Abb(V ,W ) = {f : V → W | f ist eine Abbildung}

mit der obigen Addition und Skalarmultiplikation ist ein K -Vektorraum. SeinNullelement ist die Abbildung N : V → W mit N(v) = 0W fur alle v ∈ V ,die sog. Null-Abbildung.

(b) Die Menge

Hom(V ,W ) = {f : V → W | f ist eine lineare Abbildung}

ist ein Untervektorraum von Abb(V ,W ); d.h. mit F : V → W linear undG : V → W linear ist auch F + G und αF linear.


Lineare Abbildungen Satz: Dimension von Hom(V , W )

13.26 Satz: Dimension von Hom(V ,W )

Falls dimV > 0 und dimW > 0 gilt, so ist

dim(Hom(V ,W )) = (dimV ) · (dimW ),

mit der Vereinbarung n · ∞ = ∞ ·m = ∞, ∞ ·∞ = ∞.

Falls dimV = 0 oder dimW = 0 ist, so gilt dim(Hom(V ,W )) = 0.

Bemerkung: Hom(K n,Km) hat die gleiche Struktur wie der VektorraumMatK (m, n) der m × n-Matrizen: Fur Matrizen A,B ∈ MatK (m, n) ist

(FA + FB)(x) = (A + B)x und αFA(x) = (αA)x .

Tatsachlich ist durch A 7→ FA ein Vektorraum-Isomorphismus zwischenMatK (m, n) und Hom(K n,Km) gegeben. Die Dimension dim(MatK (m, n)) = mn

wurde in 10.2 angegeben. Die obige Dimensionsformel liefert das gleiche Ergebnis!

Im Fall endlich-dimensionaler Vektorraume V und W wird im Beweis eine Basisvon Hom(V ,W ) konstruiert, die mit den Elementarmatrizen Ek,ℓ in 10.2vergleichbar ist.


Lineare Abbildungen Satz: Der Endomorphismenring Hom(V )

Im Spezialfall V = W sind die linearen Abbildungen F : V → V genau dieEndomorphismen; anstatt Hom(V ,V ) schreibt man oft Hom(V ).

Die Endomorphismen konnen wie ublich addiert und mit Skalarenmultipliziert werden.

Zusatzlich konnen sie mit der Verkettung (=Hintereinanderausfuhrung)verknupft werden:

F ,G ∈ Hom(V ) ⇒ F ◦ G ∈ Hom(V ),

denn die Linearitat von F ◦ G wurde ja in Satz 13.8 gezeigt.

Mit Addition und Verkettung ergibt sich die Struktur eines Rings, und zusammenmit der Skalarmultiplikation sogar die Struktur einer Algebra, wie wir sie bei denquadratischen Matrizen schon kennengelernt haben.


Lineare Abbildungen Satz: Der Endomorphismenring Hom(V )

13.27 Satz: Der Endomorphismenring Hom(V )

Es sei V ein Vektorraum uber K . Der Vektorraum

Hom(V ) = {F : V → V | f ist eine lineare Abbildung}

ist mit der Addition, Skalarmultiplikation und Verkettung eine K -Algebra. Sie ist(in der Regel) nicht-kommutativ.

Ihr Einselement ist die identische Abbildung idV : V → V ; denn

idV ◦F = F ◦ idV = F gilt fur alle F ∈ Hom(V ).

Ihre Einheiten (d.h. die Elemente mit einem Inversen bzgl. der Verkettung)sind genau die Automorphismen: sie bilden die Automorphismengruppe

Aut(V ) = {F : V → V | f ist eine bijektive lineare Abbildung}.


Lineare Abbildungen Bemerkung

13.28 Bemerkung

Im Fall V = K n lasst sich Hom(V ) mit dem Vektorraum der quadratischenMatrizen MatK (n, n) vergleichen. Die Verkettung in Hom(V ) entspricht derMatrix-Multiplikation in MatK (n, n).

Die Automorphismengruppe Aut(V ) entspricht dabei der allgemeinen linearen

Gruppe Gl(n).


Matrix-Darstellung Definition und Satz: Koordinatenabbildung

14 Matrix-Darstellung

In diesem Abschnitt sind alle Vektorraume endlich-dimensional. Zur praktischenRechnung mit linearen Abbildungen greifen wir auf Basen der Vektorraume zuruck.

14.1 Definition und Satz: Koordinatenabbildung

Es sei V ein Vektorraum uber K mit dimV = n ∈ N. Weiter sei A = (v1, . . . , vn)eine Basis von V .

(a) Durch

ΦA : V → K n, v =

n∑

i=1

αivi 7→ (α1, . . . , αn)⊤

ist eine Abbildung definiert; wir nennen ΦA die zur Basis A gehorendeKoordinatenabbildung von V .

(b) Die Koordinatenabbildung ΦA ist linear und bijektiv, also ein Isomorphismus.Ihre Umkehrabbildung lautet

Φ−1A : K n → V , (α1, . . . , αn)

⊤ 7→n∑

i=1

αivi .


Matrix-Darstellung Definition und Satz: Koordinatenabbildung

Bemerkung: Die Koordinatenabbildung ΦA ist wohldefiniert: nach Satz 8.11existiert fur jedes v ∈ V eine Darstellung

v = α1v1 + α2v2 + . . .+ αnvn

mit eindeutigen Skalaren α1, α2, . . . , αn ∈ K .


Matrix-Darstellung Voruberlegung zur Matrix-Darstellung

14.3 Voruberlegung zur Matrix-Darstellung: Es seien V ,W Vektorraume uberdem Korper K mit dimV = n und dimW = m, m, n ∈ N. Weiter seiA = (v1, . . . , vn) eine Basis von V und B = (w1, . . . ,wm) eine Basis von W .

Die Koordinatenabbildungen bezeichnen wir mit ΦA : V → K n undΨB : W → Km.

Nun sei F : V → W eine lineare Abbildung. Durch Verkettung erhalten wirdie lineare Abbildung

F = ΨB ◦ F ◦ Φ−1A : K n → Km.

Zur Abbildung F gibt es nach Satz 13.7 eine eindeutig bestimmte MatrixA ∈ MatK (m, n) mit F = FA, also F (x) = Ax .

WegenF = Ψ−1

B ◦ FA ◦ ΦA

(und der Isomorphie von ΨB und ΦA) sind die wichtigen Eigenschaften vonF gleichbedeutend mit den Eigenschaften von FA, also auch mit denEigenschaften der Matrix A. Dies liefert praktische Berechnungsmethoden

z.B. fur Kern, Bild und Rang von F .


Matrix-Darstellung Definition und Satz: Matrix-Darstellung

14.4 Definition und Satz: Matrix-Darstellung

Es seien V ,W Vektorraume uber K mit dimV = n, dimW = m und m, n ∈ N.Weiter sei A = (v1, . . . , vn) eine Basis von V und B = (w1, . . . ,wm) eine Basisvon W . Die Koordinatenabbildungen bezeichnen wir mit ΦA : V → K n undΨB : W → Km.

Es sei F : V → W eine lineare Abbildung.

(a) Die eindeutig bestimmte Matrix A ∈ MatK (m, n) mit

F = Ψ−1B ◦ FA ◦ ΦA

heißt die darstellende Matrix von F bzgl. der Basen A und B.

(b) Die k-te Spalte ~ak = (aj,k )1≤j≤m der darstellenden Matrix A von F istgegeben durch

F (vk ) =m∑

j=1

aj,kwj , k = 1, . . . , n.

Anders ausgedruckt: ~ak = ΨB(F (vk )) ist der Koordinatenvektor (bzgl. derBasis B) von F (vk ).


Matrix-Darstellung Satz

14.6 Satz

Mit den Bezeichnungen in 14.4 sei A ∈ MatK (m, n) die darstellende Matrix zurlinearen Abbildung F : V → W . Dann gilt

Rang(F ) = Rang(A).

Insbesondere folgt:

F ist ein Monomorphismus genau dann, wenn Rang(A) = n gilt.

F ist ein Epimorphismus genau dann, wenn Rang(A) = m gilt.

F ist ein Isomorphismus genau dann, wenn m = n und Rang(A) = n gilt, d.h.wenn A ∈ Gl(n,K ) gilt.


Matrix-Darstellung Praktischer Aspekt: Losung der Gleichung L(v) = w

14.7 Praktischer Aspekt: Losung der Gleichung L(v) = w

Gegeben sei eine lineare Abbildung F : V → W und ein Vektor w ∈ W .

1. Wahle geeignete Basen (v1, . . . , vn) von V und (w1, . . . ,wm) von W .

2a. Stelle die darstellende Matrix A von F auf.

2b. Berechne den Koordinatenvektor ~y von w .

3. Bestimme alle Losungen des linearen Gleichungssystems A~x = ~y .

3a. Falls keine Losung existiert, hat auch F (v) = w keine Losung.

3b. Andernfalls: Fur jede Losung x = (α1, . . . , αn)⊤∈ K n von A~x = ~y ist

v =

n∑

k=1

αkvk

eine Losung von F (v) = w .


Matrix-Darstellung Satz: Verkettung

Die Verkettung linearer Abbildungen wurde bereits in Satz 13.8 behandelt. Wirwollen hier den Zusammenhang zum Matrixprodukt erganzen.

14.9 Satz: Verkettung

Es seien U ,V ,W endlich-dimensionale Vektorraume uber K (und keiner sei derNullraum). Weiter seien A eine Basis von U , B eine Basis von V und C eine Basisvon W .

Außerdem sei A die darstellende Matrix der linearen Abbildung F : U → V bzgl.der Basen A und B, und es sei B die darstellende Matrix der linearen AbbildungG : V → W bzgl. der Basen B und C. Dann ist das Matrixprodukt C = BA

definiert und C ist die darstellende Matrix von G ◦ F bzgl. der Basen A und C.

Bemerkung: Das “Bindeglied” ist hier nicht nur der Vektorraum W , sondern auchdie Basis B von W , die sowohl fur den Wertevorrat von F als auch fur denDefinitionsbereich von G verwendet wird.


Matrix-Darstellung Satz: Basiswechsel

Wir wollen noch uberlegen, welchen Einfluss der Ubergang zu einer anderen Basisvon V (oder W ) auf die darstellende Matrix hat.

14.10 Satz: Basiswechsel

Mit den Bezeichnungen in 14.4 sei A ∈ MatK (m, n) die darstellende Matrix zurlinearen Abbildung F : V → W .

(a) Es sei A′ = (v ′1, . . . , v

′n) eine weitere Basis von V . Die Matrix T ∈ Gl(n,K )

sei die darstellende Matrix von idV : V → V bzgl. der Basen A′ und A, also

v ′k =

n∑

j=1

tj,kvj , 1 ≤ k ≤ n.

Dann ist B = AT die darstellende Matrix von F bzgl. der Basen A′ und B.



(b) Es sei B′ = (w ′1, . . . ,w

′m) eine weitere Basis von W . Die Matrix S ∈ Gl(m,K )

sei die darstellende Matrix von idW : W → W bzgl. der Basen B′ und B, also

w ′k =

m∑

j=1

sj,kwj , 1 ≤ k ≤ m.

Dann ist C = S−1A die darstellende Matrix von F bzgl. der Basen A und B′.

Bemerkung: Der Rang der darstellenden Matrizen A, B, und C im obigen Satzbleibt erhalten; man vergleiche hierzu Satz 10.20. Ubrigens gilt S ∈ Gl(n,K ), weilidV (offensichtlich) ein Isomorphismus ist; ebenso ist T ∈ Gl(m,K ).



Um sich die Gestalt der Transformations-Matrizen T und S besser merken zukonnen, beachte man das folgende kommutative Diagramm. Die Spalten von T

und S entstehen, indem man die neuen Basisvektoren in A′ bzw. B′ alsLinearkombination der alten Basisvektoren in A bzw. B schreibt. Die verwendeteBasis wird jeweils mit angegeben:

VF

−−−−→ W

(V ,A′)idV−−−−→ (V ,A)

F−−−−→ (W ,B)

idW−−−−→ (W ,B′)

y

ΦA′

y

ΦA

y

ΨB

y

Ψ′

B

K n T−−−−→ K n A

−−−−→ Km S−1

−−−−→ Km

Die Aussage zum Basiswechsel folgt direkt aus Satz 14.9.


Matrix-Darstellung Spezialfall: Endomorphismen

14.11 Spezialfall: Endomorphismen

Es sei V ein Vektorraum uber K mit dimV = n ∈ N. Weiter sei A = (v1, . . . , vn)eine Basis von V .Verwendet man im Definitions- und Wertebereich des EndomorphismusF : V → V die gleiche Basis A, so besitzt F als darstellende Matrix diequadratische Matrix A ∈ MatK (n, n) mit den Spaltenvektoren ~ak = (aj,k )1≤j≤n,wobei

F (vk ) =

m∑

j=1

aj,kvj , k = 1, . . . , n

gilt.

Ersetzt man A durch eine neue Basis A′ im Definitions- und Wertebereich V , soergibt Satz 14.10 als neue Darstellungsmatrix von F die Matrix

B = T−1AT .

Hierbei ist T ∈ Gl(n,K ) die invertierbare quadratische Matrix in 14.10(a).

Beachte: Die darstellenden Matrizen A und B = T−1AT von F : V → V sindahnlich, vgl. Satz 10.21.Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 228

Matrix-Darstellung Bemerkung

14.12 Bemerkung

Es seien V ,W endlich-dimensionale Vektorraume uber K , dimV = n ∈ N unddimW = m ∈ N. Wir geben feste Basen A von V und B von W vor.

(a) Die Vektorraume Hom(V ,W ) und MatK (m, n) sind isomorph. DerIsomorphismus ist erklart durch die Abbildung

Θ : Hom(V ,W ) → MatK (m, n), F 7→ A,

wobei A die darstellende Matrix von F bzgl. der gegebenen Basen ist.

(b) Im Spezialfall V = W und A = B gilt sogar:Θ : Hom(V ) → MatK (n, n) ist ein Ring-Isomorphismus: zur Abbildung idV

gehort die Einheitsmatrix, zur Verkettung G ◦ F gehort das Matrixprodukt,etc.

Weiterhin bildet Θ die Automorphismengruppe Aut(V ) bijektiv auf GL(n,K )ab; diese Abbildung ist ein Gruppen-Isomorphismus.


Isomorphie von Vektorraumen Satz

15 Isomorphie von Vektorraumen

Dieser kurze Abschnitt dient nur als Zusammenfassung von Aussagen uberIsomorphismen. Wir verwenden die Sprechweise aus Bemerkung 13.15:

Zwei Vektorraume V ,W heißen isomorph, wenn es einen IsomorphismusF : V → W gibt.

Satz 13.13 hat dann die folgende Formulierung.

15.1 Satz

Zwei endlich-dimensionale Vektorraume V ,W uber dem Korper K sind genaudann isomorph, wenn dimV = dimW gilt.



Was kann uber unendlich-dimensionale Vektorraume (oder in voller Allgemeinheit)gesagt werden? Eigentlich brauchen wir nur die Aussage in 13.11(c) zusammenmit dem Basis-Begriff anzuschauen.

15.2 Satz

Zwei Vektorraume V und W (egal, ob endlich- oder unendlich-dimensional) sindgenau dann isomorph, wenn es Basen A von V und B von W gibt, die die gleicheMachtigkeit haben.

Einen Isomorphismus F : V → W erhalt man dann wie folgt: jede bijektiveAbbildung f : A → B zwischen den Basen definiert nach Satz 13.4 genau einelineare Abbildung von V nach W .



Als Notation fur Isomorphie von Vektorraumen verwendet man haufig

V ≃ W (V und W sind isomorph).

Als strukturelle Aussage halten wir fest:

15.3 Satz

Die Isomorphie ‘≃’ ist eine Aquivalenzrelation auf der Menge aller K -Vektorraume.

Beweis:

Reflexivitat: V ≃ V mittels des Isomorphismus idV : V → V .

Symmetrie: Aus V ≃ W mittels des Isomorphismus F : V → W folgt auch W ≃ V mittelsdes Isomorphismus F−1.

Transitivitat: Aus U ≃ V und V ≃ W mittels der Isomorphismen F : U → V bzw.G : V → W folgt auch U ≃ W mittels des Isomorphismus G ◦ F . �


Isomorphie von Vektorraumen Beispiele

15.4 Beispiele:

(a) Jeder endlich-dimensionale K -Vektorraum V mit dimV = n ist isomorph zu Kn: einpassender Isomorphismus ist die Koordinatenabbildung ΦA : V → Kn zu einer Basis A vonV .

(b) Der Polynomraum R[t] ist isomorph zum Vektorraum der reellen Zahlenfolgen mithochstens endlich vielen von Null verschiedenen Gliedern

V = {(an)n∈N0| an ∈ R fur n ∈ N0, an 6= 0 fur hochstens endlich viele n}.

Die Basis der Monome A = (1, t, t2, t3, . . .) ist abzahlbar, also gleichmachtig zu N0. AlsBasis B = (~ej )j∈N0

von V betrachten wir die Folgen

~e0 = (1, 0, 0, 0, . . .), ~e1 = (0, 1, 0, 0, . . .),

allgemein ~ej = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, 0, . . .) mit genau einer 1 an der Stelle n = j . Auch dieseBasis ist abzahlbar, also sind K [t] und V isomorph.

Als Isomorphismus bietet sich an

f =n∑

k=0

aj tj 7→ (a0, a1, . . . , an, 0, 0, 0, . . .).


Isomorphie von Vektorraumen Beispiele

(c) Der Polynomraum R[t] ist NICHT isomorph zum Vektorraum aller reellen Zahlenfolgen

W = {(an)n∈N0| an ∈ R fur n ∈ N0}.

Dafur genugt es zu zeigen, dass in W eine uberabzahlbare Familie linear unabhangigerElemente existiert. Denn dann ist auch jede Basis von W uberabzahlbar, hat also einegroßere Machtigkeit als N0. (Vgl. hierzu Definition 2.27 im Grundlagenkapitel.)

Als uberabzahlbare Indexmenge verwenden wir die Menge R. (Dass R nicht abzahlbar ist,findet man z.B. in G. Fischer, Lineare Algebra (17. Aufl.), Seite 42.) Wir definieren furjedes x ∈ R die Folge

~ex = (1, x , x2, x3, . . .) ∈ W .

Behauptung:

Die Familie (~ex )x∈R ist linear unabhangig.

Beweis: Es sei C = {x1, x2, . . . , xm} ⊂ R eine endliche Menge paarweise verschiedenerZahlen xi . Wir mussen zeigen, dass die Familie (~ex1 ,~ex2 , . . . ,~exm ) linear unabhangig ist.Dafur genugt es, dass die “Anfangsstucke” dieser Folgen linear unabhangig sind, z.B.

(1, x1, x21 , . . . , xm−11 )

(1, x2, x22 , . . . , xm−12 )

.

..

(1, xm, x2m, . . . , xm−1m )

Diese Vektoren sind die Zeilen einer Vandermonde-Matrix. Weil die betreffende Matrixinvertierbar ist (siehe Beispiel 14.5), sind die Zeilenvektoren linear unabhangig.


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Kapitel IV. Lineare Abbildungen · Lineare Abbildungen Einführung: Linearit ät der Matrix-Vektor-Multiplikation 13 Lineare Abbildungen 13.1 Einführung: Linearit ät der Matrix-Vektor-Multiplikation