f( )x

x

f( x

x

z

y

(ΚΕΦ 32)

ΣΥΝΟΨΗ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ• J. C. Maxwell (~1860) συνόψισε τη δουλειά ως τότε

για το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο σε 4 εξισώσεις.

• Όμως, κατανόησε ότι οι εξισώσεις αυτές (όπως μέχρι τώρα τις έχουμε συζητήσει) έχουν μια ασυνέπεια σχετιζόμενη με την διατήρηση του φορτίου!

Δεν είναι εύκολο να δούμε αυτή την ασυνέπεια, όμως διακρίνουμε έλλειψη συμμετρίας εδώ:

Νόμος Gauss

Νόμος GaussΓια μαγνητισμό

Νόμος Faraday

Νόμος Ampere

Νόμος του Ampere προβληματικός!• Νόμος του Gauss:

• Συμμετρία: Αμφότερα E και B υπακούουν την ίδια μορφή εξίσωσης (διαφορά μαγνητικό φορτίο δεν υπάρχει!)

• Νόμοι Ampere και Faraday:

• Εάν ο νόμος του Ampere ήταν σωστός, το δεξιό μέλος του νόμου του Faraday θα έπρεπε να είναι 0 – αφού δεν υπάρχει μαγνητικό ρεύμα.

• Συνεπώς ίσως έχει πρόβλημα ο νόμος του Ampere.• Πράγματι, Ο Maxwell πρότεινε μια τροποποίηση του νόμου

του Ampere προσθέτοντας άλλο έναν όρο (το ρεύμα “μετατόπισης”) στο δεξί μέλος της εξίσωσης! Δηλ.

!

Ρεύμα ΜετατόπισηςΘεωρείστε φορτιζόμενο πυκνωτή:

Χρησιμοποιούμε το νόμο του Ampere για να υπολογίσουμε το μαγνητικό πεδίο ακριβώς πάνω από το πάνω πλακίδιο

Νόμος του Ampere: 0 encBdl Iµ=∫

1) Κόκκινος βρόχος Ampere, Ienc= I2) Πράσινος βρόχος Ampere, I = 0

Ρεύμα ΜετατόπισηςΔρόμος P

Στο δρόμο P τερματίζονται δύο επιφάνειες ο κύκλος S1 και η εξογκωμένη επιφάνεια S2 που περνά από το διάκενο των οπλισμών. Από τον S1 περνά I και από τον S2 0.

Δεν έχουμε ρεύμα μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή, όμως έχουμε ένα μεταβαλλόμενο E πεδίο. Μπορεί αυτό να ισοδυναμεί με ρεύμα;

0 00

EQE Q EA

Aε ε

ε= ⇒ = = Φ

0E

ddQ d Idt dt

ε Φ= ≡

Αυτό ονομάζεται ρεύμα μετατόπισης

Εξισώσεις Maxwell

• Αυτές περιγράφουν όλα τα Η-Μ φαινόμενα και είναι συμβατοί με όλες τις άλλες θεωρίες π.χ. σχετικότητα.

• Περιγράφουν και το φως.

0 0 0EdBdl I

dtµ ε µ Φ

= +∫

BdEdldtΦ

= −∫

0

qEdAε

=∫∫

0BdA =∫∫

Νόμος GaussΝόμος Gauss για το μαγνητικό πεδίο

Νόμος Faraday

Νόμος Ampere Maxwell

( )F q E v B= + ×

Νόμος Lorentz

Εξισώσεις Maxwell(Διαφορική μορφή)

0 0 0EB Jt

µ ε µ ∂∇× = +

∂

BEt

∂∇× = −

∂

0E ρ

ε∇ =

0B∇ =

Νόμος Gauss

Νόμος Gauss για το μαγνητικό πεδίο

Νόμος Faraday

Νόμος Ampere Maxwell

• Στον ελεύθερο χώρο οι εξισώσεις του Maxwell ανάγονται στις εξής:

• Μπορούν να λυθούν δίνοντας τις ακόλουθες διαφορικές εξισώσεις για το E και B για την 1-D διάδοση στον άξονα x.

2

2

2

2

tE

xE y

ooy

∂∂

µε∂∂

= 2

2

2

2

tB

xB z

ooz

∂∂µε

∂∂

=

• Αυτές είναι κυματικές εξισώσεις. Εδώ μεταβλητά είναι τα πεδία στο χώρο και το χρόνο.

Εξισώσεις Maxwell

0EdA =∫∫

0BdA =∫∫

BdEdldtΦ

= −∫

0 0EdBdl

dtε µ Φ

=∫

0E∇ =

0B∇ =

BEt

∂∇× = −

∂

0 0EBt

ε µ ∂∇× =

∂

3-D Κυματική εξίσωση για το Ε(στον κενό χώρο)

22

0 0 2EE

tε µ ∂

∇ =∂

0 0

2

0 0 2

( )( )( ) ( )

( ) ( )

EB B tEt t t

EE Et

ε µ

ε µ

∂∂∂ ∂ ∇× ∂∇× ∇× = ∇× − = − = − ⇒

∂ ∂ ∂∂

∇ ∇ − ∇⋅∇ = − ⇒∂

0E∇ = 0B∇ =

0 0EBt

ε µ ∂∇× =

∂

BEt

∂∇× = −

∂

0

22

0 0 2BB

tε µ ∂

∇ =∂

και ομοίως:

Σύνοψη κυμάτων

k = 2πλ

v fk

= =λ ω

ω π π= =2 2fT

( ) ( )h x t A kx t, cos= −ωh

x

λA

A = πλάτοςλ = μήκος κύματοςf = συχνότηταv = ταχύτηταk = κυματαριθμός

∂∂

∂∂

2

2 2

2

21h

x vh

t=• Κυματική εξίσωση σε μια διάσταση:

h x t h x vt h x vt( , ) ( ) ( )= − + +1 2

έχει γενική λύση της μορφής*:

όπου h1 παριστά κύμα που οδεύει στην +x διεύθυνση& και h2στην -x διεύθυνση&.

• Μια ειδική λύση για αρμονικά κύματα που οδεύουν στην +xδιεύθυνση είναι:

*Απόδειξη

∂∂

∂∂

2

2 2

2

21h

x vh

t=

1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

h x t h x vt x vt h x vt x vt h x vt h x vtx x vt x x vt x x vt x vt

∂ ∂ − ∂ − ∂ + ∂ + ∂ − ∂ += + = +

∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ +

2 2 21 2

2 2 2( , ) ( ) ( )

( ) ( )h x t h x vt h x vt

x x vt x vt∂ ∂ − ∂ +

= +∂ ∂ − ∂ +

1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

h x t h x vt x vt h x vt x vt h x vt h x vtv vt x vt t x vt t x vt x vt

∂ ∂ − ∂ − ∂ + ∂ + ∂ − ∂ += + = − +

∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ +

2 2 22 21 2

2 2 2( , ) ( ) ( )

( ) ( )h x t h x vt h x vtv v

t x vt x vt∂ ∂ − ∂ +

= +∂ ∂ − ∂ +

&Απόδειξη

Θεωρούμε το f(x) =

Τι κάνει το f(x-vt);

Το f(x-vt) είναι ένα οδεύον κύμα κινούμενο προς τα δεξιά (+x)

Πως οι εξισώσεις του Maxwell οδηγούν σε EM κύματα;

Εύρεση της κυματικής εξίσωσηςθεωρώντας ένα 1-D επίπεδο κύμα

διαδιδόμενο στον x

Κυματική εξίσωσηΑρχή από εξ. Ampere-Maxwell 0 0 0 0

Ed dBdl EdAdt dt

ε µ ε µΦ= =∫ ∫∫

Κυματική εξίσωσηΕφαρμογή στο κόκκινο παρ/μο:

( , ) ( , )z zBdl B x t l B x dx t l= − +∫

0 0 0 0yEd EdA ldx

dt tε µ ε µ

∂ = ∂

∫∫

0 0( , ) ( , ) yz z EB x dx t l B x t l l

dx tε µ

∂+ −− =

∂

Στο όριο που το dx είναι πολύ μικρό: 0 0

yz EBx t

ε µ∂∂

− =∂ ∂

Κυματική εξίσωσηΤώρα πάμε στο νόμο του Faraday Bd dEdl BdA

dt dtΦ

= − = −∫ ∫∫

Κυματική εξίσωσηΤώρα πάμε στο νόμο του Faraday

dEdl BdAdt

= −∫ ∫∫

Εφαρμογή στο κόκκινο παρ/μο:

( , ) ( , )y y

z

Edl E x dx t l E x t ld BBdA ldxdt t

= + −∂

− = −∂

∫∫∫

( , ) ( , )y y zE x dx t l E x t l Bdx t

+ − ∂= −

∂

Στο όριο που το dx είναι πολύ μικρό:

y zE Bx t

∂ ∂= −

∂ ∂

1-D Κυματική εξίσωση για το Ε

0 0yz EB

x tε µ

∂∂− =∂ ∂

y zE Bx t

∂ ∂= −

∂ ∂

Παίρνουμε την παράγωγο ως προς x της 1ης και αντικαθιστούμε στην 2η εξίσωση

2 2

0 02 2y y yz zE E EB B

x x x t t xx tε µ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = − = − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

2 2

0 02 2y yE E

x tε µ

∂ ∂=

∂ ∂

1-D Κυματική εξίσωση για το Ε2 2

0 02 2y yE E

x tε µ

∂ ∂=

∂ ∂Αυτή είναι εξίσωση κύματος. Έστω: ( )yE f x vt= −

2

2 22

0 022

''( ) 1

''( )

y

y

Ef x vt

x vE

v f x vtt

µ ε

∂= − ∂ =

∂ = − ∂

1-D Κυματική εξίσωση για το Β

0 0yz EB

x tε µ

∂∂= −

∂ ∂yz EB

t x∂∂

= −∂ ∂

Παίρνουμε την παράγωγο ως προς x της 1ης και αντικαθιστούμε στην 2η εξίσωση

2 2

2 20 0

1y yz z zE EB B Bt t t x x tt xε µ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = − = − − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

2 2

0 02 2z zB B

x tε µ∂ ∂

=∂ ∂

Ηλεκτρομαγνητική ΑκτινοβολίαΑμφότερα τα E & B οδεύουν ως κύματα:

2 2

0 02 2y yE E

x tε µ

∂ ∂=

∂ ∂

2 2

0 02 2z zB B

x tε µ∂ ∂

=∂ ∂

Όμως υπάρχουν αυστηρές σχέσεις μεταξύ τους:

0 0yz EB

x tε µ

∂∂= −

∂ ∂yz EB

t x∂∂

= −∂ ∂

Εδώ, το Ey και το Bz είναι “όμοια” και οδεύουν κατά μήκος του x άξονα

Πλάτη των E & BΈστω: 0 0( ); ( ) y zE E f x vt B B f x vt= − = −

0 0

0 0

'( ) '( )yz EB vB f x vt E f x vtt xvB E

∂∂= − ⇒ − − = − −

∂ ∂⇒ =

Ey και Bz είναι τα «ίδια» όμως έχουν διαφορετικά πλάτη

Ηλεκτρομαγνητικά κύματα

Υπενθύμιση: λf =c

Μήκος κύματος(m)

Συχνότητα (Hz)

Ορατό φως

Ιδιότητες ΗΜ κυμάτωνΤαξιδεύουν (στο κενό) με την ταχύτητα του φωτός

8

0 0

1 3 10 mc vsµ ε

= = = ×

Σε κάθε σημείο και κάθε χρονική στιγμή τα E και B είναι σε φάση μεταξύ τους, με

0

0

E E cB B= =

Τα E και B είναι κάθετα μεταξύ τους και προς την διεύθυνση διάδοσης (είναι εγκάρσια):

Διεύθυνση διάδοσης = Διεύθυνση του ×E B

Ενέργεια και διάνυσμα Poynting

Πυκνότητες ενέργειας: 2 20

0

1,2 2

e mu E u Bεµ

= =Θεωρούμε κύλινδρο:

2 20

0

1 1( )2e mdU u u Adz E B Acdtε

µ

= + = +

Ενέργεια στον κύλινδρο:

Ροή ενέργειας (ενέργεια ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου)

( )

2 20 0

0 0

20 0

0 0

1 1 12 2

12

dU c cS E B cEB EBA dt c

EB EBc

ε εµ µ

ε µµ µ

= = + = +

+ =

Διάνυσμα Poynting και έντασηΔιεύθυνση ροής ενέργειας = διεύθυνση διάδοσης κύματος

0µ=

E×BS

Ένταση I:2 2

0 0 0 0

0 0 02 2 2E B E cBI S

cµ µ µ=< >= = =

Μονάδες: J ανά m2 και s

Διάνυσμα Poynting