ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSSGAUSS

ΚΕΦ. 2ΚΕΦ. 222ΚΕΦ. 2ΚΕΦ. 222

Ηλεκτρική ΡοήΗλεκτρική Ροή• Ροή (γενικά):• Ροή (γενικά):

Η ποσότητα ενός μεγέθους που διέρχεται από μία επιφάνεια.επιφάνεια.

Ε Ε dΑΕ

dΑ

dΑ

θ

Ε θΕ

• Ηλεκτρική ροή dΦΕ μέσω στοιχειώδους επιφάνειας dA(αφού dA στοιχειώδης επιφάνεια τότε μπορώ να θεωρήσω στο σημείο αυτό Ε=σταθερό):Όταν Ε//dA τότε dΦ =Ε dA αλλιώς dΦ =Ε (dA cosθ) =(Ε cosθ) dAΌταν Ε//dA τότε dΦΕ=Ε·dA αλλιώς dΦΕ=Ε·(dA·cosθ) =(Ε·cosθ)·dA

ΓΕΝΙΚΑ: dΦΕ=E ·dA

Περιγραφή του ηλεκτρικού πεδίου με δ έ έδυναμικές γραμμές

• διεύθυνση του πεδίου στο σημείο P = διεύθυνση της διεύθυνση του πεδίου στο σημείο P διεύθυνση της(εφαπτόμενης της) δυναμικής γραμμής στο P.

• Ένταση ηλεκτρικού πεδίου δίνεται από την πυκνότητα δυναμικών γραμμών («πυκνότητα της ροής»)

Ε ΕΦ Φcosκάθετη

d dEdA dA θ

Ηλεκτρική ΡοήΗλεκτρική ΡοήΚ έ ή ά• Και μέσω μακροσκοπικής επιφάνειας;

Τη χωρίζω σε στοιχειώδη dΑ και αθροίζω τις στοιχειώδεις ροές

ΕΦ Ε dA

ΕιdAι

i: το κομμάτι i

Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται πάνω σεΤο ολοκλήρωμα υπολογίζεται πάνω σε ΟΛΗ ΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΟΛΗ ΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ

ΕΦ Ε dA i: το κομμάτι i

Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται πάνω σε Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται πάνω σε ΟΛΗ ΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΟΛΗ ΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Το αποτέλεσμαΤο αποτέλεσμα ((ολική ηλεκτρική Ροή)ολική ηλεκτρική Ροή) είναιείναι ΒΑΘΜΩΤΗΒΑΘΜΩΤΗ ποσότηταποσότητα Είναι κάθετο προς την επιφάνεια και κατευθύνεται προς τα Είναι κάθετο προς την επιφάνεια και κατευθύνεται προς τα ΕΞΩΕΞΩdA

Χρησιμοποιεί την Χρησιμοποιεί την ΚΑΘΕΤΗΚΑΘΕΤΗ συνιστώσα τουσυνιστώσα του E E στην στην ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΕΠΙΦΑΝΕΙΑ

– Η ηλεκτρική ροή μέσω της επιφάνειας είναι το άθροισμα τωνάθ ώ λ ύ δί ά όλ

E dA

κάθετων συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου πάνω σε όλη την επιφάνεια.

– Προσέχουμε την κατεύθυνση της κάθετης συνιστώσας καθώς τέμνει την επιφάνεια, είναι “προς τα έξω” ή “προς τα μέσα”;τέμνει την επιφάνεια, είναι προς τα έξω ή προς τα μέσα ;

– “προς τα έξω” είναι “+” “προς τα μέσα” είναι “-”

Ηλεκτρική ΡοήΗλεκτρική ΡοήΚ έ λ ή ή ά• Και μέσω κλειστής μακροσκοπικής επιφάνειας;

Τη χωρίζω και πάλι σε στοιχειώδη dΑ και αθροίζω τις στοιχειώδεις ροές

ΕΦ Ε dA

ΕιdAι

Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται πάνω στηνΤο ολοκλήρωμα υπολογίζεται πάνω στην ΚΛΕΙΣΤΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΛΕΙΣΤΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ

i: το κομμάτι i

Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται πάνω στην Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται πάνω στην ΚΛΕΙΣΤΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΛΕΙΣΤΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Το αποτέλεσμαΤο αποτέλεσμα ((ολική ηλεκτρική Ροή)ολική ηλεκτρική Ροή) είναιείναι ΒΑΘΜΩΤΗΒΑΘΜΩΤΗ ποσότηταποσότητα Είναι κάθετο προς την επιφάνεια και κατευθύνεται προς τα Είναι κάθετο προς την επιφάνεια και κατευθύνεται προς τα ΕΞΩΕΞΩdA

Χρησιμοποιεί την Χρησιμοποιεί την ΚΑΘΕΤΗΚΑΘΕΤΗ συνιστώσα τουσυνιστώσα του E E στην στην ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΕΠΙΦΑΝΕΙΑ

– Η ηλεκτρική ροή μέσω της κλειστής επιφάνειας είναι το άθροισμα άθ ώ λ ύ δί ά όλ

E dA

των κάθετων συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου πάνω σε όλη την επιφάνεια.

– Προσέχουμε την κατεύθυνση της κάθετης συνιστώσας καθώς τέμνει την επιφάνεια, είναι “προς τα έξω” ή “προς τα μέσα”;τέμνει την επιφάνεια, είναι προς τα έξω ή προς τα μέσα ;

– “προς τα έξω” είναι “+” “προς τα μέσα” είναι “-”

Ηλεκτρική ΡοήΗλεκτρική ΡοήΠυκνότητα ροής στην επιφάνεια σφαίρας, ακτίνας r, που περιέχει σημειακό φορτίο Q στο κέντρο της:

20

( )4QE rπε r

E0

R1Σφαιρική συμμετρία: Ε κάθετο σε κάθε σημείο της σφαίρας

R2=2R1 |Ε| σταθερό σε κάθε σημείο της σφαίρας

ΕΦ Ε Ε Ε Ε σφαίραςdA dA dA S

2Φ 4Q QπR 2Φ 4 (4 )Q Qπ R

Σφαίρα R1 Σφαίρα R2

1200 1

Φ 44E

πRεπε R

1200 1

Φ 4 (4 )4 (4 )E

π Rεπε R

Q1 2

0Φ ΦE E

Qτης R της Rε

Ηλεκτρική ΡοήΗλεκτρική ΡοήΚαι εάν η δεύτερη επιφάνεια έχει τυχαία μορφή;

Κάθετή στην επιφάνειαΚάθετή στην επιφάνειαΠρος τα έξω και πάλι η στοιχειώδης

ροή από μία στοιχειώδη επιφάνεια dΑ σεεπιφάνεια dΑ σε απόσταση r θα είναι η ίδια με αυτή από τη στοιχειώδη επιφάνειαστοιχειώδη επιφάνεια μίας σφαίρας με ακτίνα r

τυχαία επιφάνεια

dΦ1=ΕdA=E·cosφ·dA

σφαίρα

dΦ2=ΕdA΄=E·cosφ·dA

dΦ1=dΦ2

Το κάνω για όλη την επιφάνεια και προφανώς Φ1=Φ2

Νόμος του Νόμος του GaussGauss ((ΒΑΣΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣΒΑΣΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ):):Η συνολική ηλεκτρική ροή μέσω κάθε κλειστής επιφάνειας Η συνολική ηλεκτρική ροή μέσω κάθε κλειστής επιφάνειας είναι ανάλογη προς το φορτίο που περικλείεται εντός αυτήςείναι ανάλογη προς το φορτίο που περικλείεται εντός αυτής..

ΕΦ Ε enclQdAε

Πως εφαρμόζεταιΠως εφαρμόζεται;;;;Η παραπάνω είναι αληθής δεν φαίνεται όμως εύκολη στην εφαρμογήΗ παραπάνω είναι αληθής δεν φαίνεται όμως εύκολη στην εφαρμογή

0ε

Η παραπάνω είναι αληθής, δεν φαίνεται όμως εύκολη στην εφαρμογήΗ παραπάνω είναι αληθής, δεν φαίνεται όμως εύκολη στην εφαρμογήΕίναι πολύ χρήσιμη στην εύρεση τουΕίναι πολύ χρήσιμη στην εύρεση του EE ότανόταν το πρόβλημα παρουσιάζει το πρόβλημα παρουσιάζει μεγάλο βαθμό μεγάλο βαθμό ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣΓια να λύσουμε ως προς Για να λύσουμε ως προς EE, , πρέπει να μπορούμε να πρέπει να μπορούμε να ΕΠΙΛΕΞΟΥΜΕΕΠΙΛΕΞΟΥΜΕ μια μια κλειστή επιφάνεια ώστε το ολοκλήρωμα να υπολογίζεται κλειστή επιφάνεια ώστε το ολοκλήρωμα να υπολογίζεται ΕΥΚΟΛΑΕΥΚΟΛΑ

ΚατεύθυνσηΚατεύθυνση:: η επιφάνεια επιλέγεται έτσι ώστε τοη επιφάνεια επιλέγεται έτσι ώστε το EE να είναι είτενα είναι είτεΚατεύθυνσηΚατεύθυνση:: η επιφάνεια επιλέγεται έτσι ώστε το η επιφάνεια επιλέγεται έτσι ώστε το EE να είναι είτε να είναι είτε παράλληλο είτε κάθετο σε κάθε τμήμα της επιφάνειαςπαράλληλο είτε κάθετο σε κάθε τμήμα της επιφάνειας

ΜέτροΜέτρο:: η επιφάνεια επιλέγεται έτσι ώστε τοη επιφάνεια επιλέγεται έτσι ώστε το EE να έχει την ίδια τιμή σε να έχει την ίδια τιμή σε θθόλα τα σημεία στα οποία το όλα τα σημεία στα οποία το EE είναι κάθετο στην επιφάνειαείναι κάθετο στην επιφάνεια

ΣυνεπώςΣυνεπώς:: αυτό επιτρέπει να βγάλουμε το αυτό επιτρέπει να βγάλουμε το EE έξω από το ολοκλήρωμαέξω από το ολοκλήρωμα

ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ E, ΜΕ ΤΟ ΝΟΜΟ ΤΟΥ GAUSSΤΟΥ GAUSS

Στρατηγική

1. Μελέτησε τη συμμετρία της κατανομής φορτίου2. Επέλεξε την κατάλληλη γκαουσσιανή επιφάνεια (GS)3 Υ λό λ ό ό λ λή3. Υπολόγισε το κλειστό επιφανειακό ολοκλήρωμα

Φ Ε Αd

Όπου το dA κατευθύνεται προς τα έξω.

ΕΦ Ε Αd

4. Εξίσωσε το και λύσε ως προς E. Ε0

Φ enclQε

Σημείωση: Η συμμετρία επιβάλλει το αναλλοίωτο ως ορισμένους μετασχηματισμούς (‘συμμετρίας’) όπως: περιστροφή και μετάθεση στο χώρο, κατοπτρισμός ή ( μμ ρ ς ) ς ρ ρ φή μ η χ ρ , ρ μ ς ήαλλαγή πρόσημου (+ ↔ -). Qenc μπορεί να είναι: Q, ΣQ, ρV, λL, σA ή ένα ολοκλήρωμα πυκνότητας φορτίου.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ και ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑΓΕΩΜΕΤΡΙΑ και ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑΕάν το E είναι σταθερό πάνω σε μια επιφάνεια, και κάθετο σε αυτή παντού, μπορούμε να πάρουμε το E έξω από το ολοκλήρωμα, αφήνοντας μόνο το εμβαδόν της επιφάνειαςαφήνοντας μόνο το εμβαδόν της επιφάνειας

Ε dA E dA

z

abbcacdS 222 a b

cy

x z

R

24 RdS R RLRdS 222L

Εφαρμογές (του νόμου του Gauss) φ ρμ γ ς ( μ )(a) Ομοιόμορφα φορτισμένη κοίλη σφαίρα

(π.χ. Μεταλλική σφαίρα, ακτίνας R, με φορτίο Q, ομοιόμορφα κατανεμημένο στην επιφάνεια της με πυκνότητα σ = Q/4πR2)στην επιφάνεια της με πυκνότητα σ Q/4πR ) 1. Η κατανομή φορτίου είναι σφαιρικά συμμετρική (δηλ. συμμετρική ως προς περιστροφές γύρω από κάθε άξονα που περνά από το κέντρο). Έχει επίσης κατοπτρική συμμετρία. Αναμένουμε το πεδίο να κατευθύνεται ακτινικά προς τακατοπτρική συμμετρία. Αναμένουμε το πεδίο να κατευθύνεται ακτινικά προς τα έξω για r > R και (πιθανόν) ακτινικά προς τα μέσα για r < R. 2. Επιλέγουμε ομόκεντρες σφαίρες ακτίνας r ως GS, επειδή το E είναι κάθετο και έχει σταθερό μέτρο πάνω στην GS, δηλ. cosθ = 1 and E(r) = σταθ. για r = χ ρ μ ρ η η ( ) γσταθ.. 3. Είτε κατευθυνόμενο προς τα μέσα είτε προς τα έξω, εάν βέβαια μη μηδενικό, το E θα είναι κάθετο στην GS και θα έχει σταθερό μήκος. Συνεπώς το ολοκλήρωμα δίνει ΦE = 4π r2 E. 4. Για r < R, η GS δεν περιέχει φορτία, άρα Qenc /ε0 = 0, συνεπώς E = 0 παντού μέσα στην κοίλη σφαίρα. Για r > R, Qenc = Q. Οπότε, λύνοντας την ΦEμ η η φ ρ , enc , ς η E= Qenc /ε0 ως προς E βρίσκουμε E = Q/4πε0r2, και το E να κατευθύνεται προς τα έξω.

Το ηλεκτρικό πεδίο πουΤο ηλεκτρικό πεδίο που παράγεται από ομοιόμορφα φορτισμένη κοίλη σφαίρα μηδενίζεται στο εσωτερικό και είναιεσωτερικό και είναι ισοδύναμο προς πεδίο σημειακού φορτίου Qσημειακού φορτίου Q ευρισκόμενου στο κέντρο της σφαίρας, για r > R. Στο σχήμα φαίνεται το E(r) vs. r και για r < R και για r >και για r < R και για r > R.

(b) Ομογενώς φορτισμένη στερεά σφαίρα

(π.χ. Πλαστική σφαίρα, ακτίνας R, με φορτίο Q, ομογενώς κατανεμημένο

Τ ί (1) (3) ί ό έ Τ ί (4) ίΤα σημεία (1) – (3) είναι όπως προηγουμένως. Το σημείο (4) είναι διαφορετικό για r < R. Για r > R, Qenc = Q, οπότε πάλι το πεδίο είναι αυτό σημειακού φορτίου στο κέντροαυτό σημειακού φορτίου στο κέντρο.

ομογενώς κατανεμημένο

r πυκνότητα φορτίου

ρ = Q/[(4/3)πR3]R

παντού σταθερή

Για r

(c) Λεπτό φορτισμένο σύρμα απείρου μήκους(π.χ. λεπτό σύρμα, γραμμική πυκνότητα φορτίου λ =dQ/dl = σταθ). 1. Υπάρχει κυλινδρική συμμετρία (περιστροφές γύρω από τον άξονα (σύρμα)) και κατοπτρική συμμετρία. 2. Συνεπώς το E είναι κάθετο και έχει σταθερό μέτρο πάνω σε κάθε ομοαξονική κυλινδρική GS ακτίνας r και πεπερασμένου μήκους l. 3. Το ολοκλήρωμα ανάγεται στο ΦE = 2π r l E. 4. Εξισώνοντας αυτό με Qenc/ε0 = λ l/ε0 και λύνοντας ως προς E δίνει

y ErEr

2 encrQ lrl

E =0

GS0 0

+ + + + ++ + + +x

+ + + + + + + + + + +++++++++++ + +E 0

r( ) 2r

r

l02 r

(d) Ομογενώς φορτισμένο επίπεδο απείρου εκτάσεως,επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σφ ή η φ ρ

Η κατανομή έχει περιστροφική συμμετρία γύρω από άξονασυμμετρία γύρω από άξονα κάθετο στο επίπεδο και συμμετρία μετάθεσης σε οποιαδήποτε διεύθυνσηοποιαδήποτε διεύθυνση.

Συνεπώς το πεδίο πρέπει να είναι ομογενές και κάθετο στο επίπεδο Επιλέγουμε ως GSεπίπεδο. Επιλέγουμε ως GS ένα κυλινδρικό κουτί οποιουδήποτε μήκους και βάσεως εμβαδού A, που τέμνειβάσεως εμβαδού A, που τέμνει φορτίο Qenc = σA.

Η ολική προς τα έξω ροή από τις ή ρ ς ξ ρ ή ςδυο βάσεις του κουτιού είναι ΦE=2A E = σA/ε0, το οποίο δίνει το μέτρο του E σμ ρ

02σEε

(e) ∆υο άπειρα φύλλα (σ=σταθερό0 στις έσω πλευρές)

E=0 E=0+

-• Το πεδίο εκτός των φύλλων πρέπει να είναι μηδέν. ∆υο τρόποι να το δούμε: 0

σEε

+

-E=0 E=0

E

++

+--

• Επαλληλία

++

+--

A A

+

++

--• Η GS περικλείει μηδενικό φορτίο

+

++

--

+++ -

--• Πεδίο μεταξύ των φύλλων ∆ΕΝ είναι μηδέν:

μη φ ρ

+++ -

--

+ --+

• Επαλληλία

• Η GS περικλείει μη A+ -

-+

A++

---

• Η GS περικλείει μη μηδενικό φορτίο σΑ

A++

---

Μονωτές vs. Αγωγούςς γ γ ς• Μονωτές – ξύλο, λάστιχο, styrofoam, κεραμικά,

etcetc. • Αγωγοί – χαλκός, χρυσός, ειδικά κεραμικά, etc.

• Μερικές φορές ταυτίζονται με τα μέταλλα

• Μονωτές – φορτία δεν μπορούν να κινηθούν.Σ ήθ έ όλ άζ– Συνήθως κατανέμονται σε όλη τη μάζα του σώματος

• Αγωγοί – φορτία κινούνται ελεύθερα.– Σε μονωμένους αγωγούς όλα τα μ μ ς γ γ ςφορτία κινούνται στην επιφάνεια του.

Φορτία σε Αγωγούς• Γιατί τα φορτία στους αγωγούς πάντοτε κινούνται στην επιφάνεια τους;

– Το λέει ο νόμος του Gauss!!– E = 0 εντός αγωγού που βρίσκεται σε ισορροπία

(ηλεκτροστατική) !(ηλεκτροστατική) ! » Γιατί;

Εάν E 0, τότε τα φορτία θα δέχονταν δυνάμεις και θα έπρεπε να κινούνται !θα έπρεπε να κινούνται !

• Συνεπώς από τον νόμο του Gauss, το φορτίο σε αγωγό πρέπει να διαμένει στις επιφάνειες!

+++++++++++++

+

++

++++++++++++

++++++++++++++

++

+Αγώγιμο επίπεδο Αγώγιμη σφαίρα

+

Αγωγοί vs. Μονωτέςγ γ ς

- - ++-

++-

-+

++- +

- -++++++ ++++++- +

+- +

++-

- - - +- +

-

-- -++++++ ++++++

- +

- +- +- +

- - +

-

- -

Gauss Coulomb• Απόδειξη για την περίπτωση δυο σημειακών

φορτίων Q και q σε απόσταση R. Ο νόμος του Gauss εμπεριέχει τον νόμο του Coulomb Eqεμπεριέχει τον νόμο του Coulomb.

•Συμμετρία To E σημειακού φορτίου είναι ακτινικό και σφαιρικά συμμετρικό

E

+QR

•q

ακτινικό και σφαιρικά συμμετρικό•Γράφουμε σφαίρα ακτίνας R με κέντρο το Q.

+Q

1 Q

• Νόμος του Gauss μας δίνει την ένταση του πεδίου•Που δημιουργεί το Q σε απόσταση R

1Q Q2

0

14

QE rπε R

2

20 0

144

Q QπR E Eε πε R

• Οπότε η ∆ύναμη μεταξύ των Q και q είναι

1 1Q qQF qE q r r Αυτή είναι ακριβώς η

δύναμη coulomb2 20 04 4

F qE q r rπε πεR R

δύναμη coulomb μεταξύ των Q και q.