· 5 Binomische Formeln ... z.B.: Prw,bo Prw Pbo Pro,gw,go Pro Pgw Pgo Wichtiger Hinweis: Die vorliegende Merkhilfe stellt wichtige Zusammenhänge dar, sie ist aber keine ausführliche

Merkhilfe Mathematik an bayerischen Realschulen (Stand: Feb. 2019)

Terme und Gleichungen

1 Potenzen

0a 1 für a 0 n mn ma a a n

n m

m

aa

a m n mna a

1a a nn na b a b nn

n

a a

b b

n

n

1a

a

2 Wurzeln

2a a 1

2a a 1

n na a

a b a b a a

b b

nna a

3 Logarithmen

xaa b log b x alog ba b c

a

c

log blog b

log a

a a alog b c log b log c

a a a

blog log b log c

c k

a alog b k log b

4 Quadratische Gleichungen

2a x b x c 0 2D b 4 a c Diskriminante 1/2

b Dx

2 a

D 0 keine Lösung; D 0 eine Lösung; D 0 zwei Lösungen

5 Binomische Formeln

2 2 2a b a 2 a b b 2 2 2a b a 2 a b b 2 2a b a b a b

Funktionen

6 Lineare Funktionen

y m x t

Q P

Q P

y ym

x x

m tan

Steigung

g hm m g h g hm m 1 g h

parallele Geraden orthogonale Geraden

αx

y

O

.α

( )P PP x y

( )Q QQ x y

}t


7 Quadratische Funktionen Parabel

2y a x b x c allgemeine Form

2

S Sy a x x y Scheitelpunktsform

2b bS c

2 a 4 a

Scheitelpunkt

8 Potenzfunktionen Hyperbel

ny x

n gerade, ganzzahlig n ungerade, ganzzahlig n rational, nicht ganzzahlig

9 Exponentialfunktionen 10 Logarithmusfunktionen

x cy k a d ay k log x c d

x

y

O

1

1

( )= ⋅ + −2

y 2 x 2 1

( )= − ⋅ − +2

y 0,5 x 1 2

x

y

O

1

1

n negativn positiv

= 2y x

−= 6y x

x

y

O

1

1

n positiv

n negativ

= 3y x

−= 1y x

x

y

O

1

1

n negativ

= 2,5y x

−= 0,5y x

n positiv

x

y

O

1

1

0 < a < 1

a >1

=0,5

y log x

=2

y log x

x

y

O

1

1

0 < a < 1 a >1

= xy 0,5 = x

y 2


Geometrie

11 Strahlensätze

ZA ZB

ZA' ZB'

AB A'B '

ZA AB

ZA' A'B'

12 Rechtwinkliges Dreieck

2 2 2a b c Satz des Pythagoras

A 0,5 a b

Sinus Kosinus Tangens Thaleskreis

asin

c b

cosc

atan

b

13 Gleichschenkliges Dreieck 14 Gleichseitiges Dreieck

Basis: AB Schenkel: AC , BC a b c

60

a b

a

h 32

2a

A 34

15 Allgemeines DreieckUmkreis Inkreis Schwerpunkt

180

c

1A c h

2 1

A b c sin2

a b c

sin sin sin

Sinussatz

2 2 2a b c 2 b c cos

2 2 2b c acos

2 b c

Kosinussatz

B'

B

A

Z

A'B'

B

A

Z

A'

αA B

C

b

c

a

Thaleskreis

αA

Symmetrie-

achse

B

C

b

c

a

β

Symmetrie-

achsen

C

b

c

a

BA

60°

60°60°

C

b

c

a

BAβα

γ

ch

Schnittpunkt der Mittelsenkrechten:

Umkreismittelpunkt

Schnittpunkt der Winkelhalbierenden:

Inkreismittelpunkt

Schnittpunkt der Seitenhalbierenden:

Schwerpunkt


16 Besondere Vierecke

Raute

a b c d ;

1A e f

2

Drachenviereck

a d ; b c

1

A e f2

Trapez

AB CD

1A a c h

2

Parallelogramm

a c ; b d

AB CD ; BC AD

;

A a h

17 Kreis

2A r u 2 r

Flächeninhalt Umfang

2A r360

b 2 r

360

Flächeninhalt Kreissektor Länge Kreisbogen Tangente

C

D

b

d

e

fc

a

B

A

β

α γ

δ

C

D

b

d

e

f c

a

B

A

β

α γ

δ

CD

bd h

c

a BA

CD

bd h

c

a BAβα

γδ

KreissegmentSehne

Tangente

M

r

r

b

Kreissektor

α

Kreisbogen


18 Besondere Körper

Prisma

V G h

GM u h

O 2 G M

Pyramide

1V G h

3

O G M

Gerader Kreiszylinder

2V r h

M 2 r h

O 2 r r h

Gerader Kreiskegel

21V r h

3

M r s

O r r s

r360

s

Mittelpunktswinkel der Mantelfläche

h

h

r

r

hh

s

h

r

ss

s

r

α

2ᐧrᐧπ

M: Inhalt der Mantelfläche O: Inhalt der Oberfläche V: Volumen G: Inhalt der Grundfläche


Kugel

34V r

3

2O 4 r

19 Einheitskreis 20 sin, cos, tan für besondere Winkelmaße

0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

sin 0 1

2

12

2

13

21 0 1 0

cos 1 1

32

12

2

1

2 0 1 0 1

tan 0 1

33

1 3 n. def. 0 n. def. 0

21 Auswahl trigonometrischer Formeln

Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens

2 2sin cos 1 sin

tancos

Negative Winkelmaße

sin sin cos cos tan tan

Supplementbeziehungen

sin 180 sin

cos 180 cos

tan 180 tan

sin 180 sin

cos 180 cos

tan 180 tan

sin 360 sin

cos 360 cos

tan 360 tan

Komplementbeziehungen für Sinus und Kosinus

sin 90 cos cos 90 sin

Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

sin sin cos cos sin

sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin

cos cos cos sin sin

r

x

y

Oα

1

1

1

cosα

sinα tanα


22 Geometrie im Koordinatensystem

A B A Bx x y yM

2 2

A B C A B Cx x x y y yS

3 3

Mittelpunkt einer Strecke Schwerpunkt eines Dreiecks

2 2

B A B Ax x y y LEAB 2 2u uu x y

Länge einer Strecke Betrag eines Vektors

u vu v u v

u v

x xx x y yu v

y y

u vcosu v

Skalarprodukt Winkel zwischen Vektoren Determinante

u v u v 0

u vu v v u

u v

x x1 1A FE x y x y FE

y y2 2

Senkrechte Vektoren Flächeninhalt eines Dreiecks

23 Abbildungen im Koordinatensystem

Parallelverschiebung Zentrische Streckung mit dem Zentrum Z 0 0

v

v

x ' x x

y ' y y

x ' xk

y ' y

Verschiebungsvektor v

Streckungsfaktor k

Achsenspiegelung an einer Ursprungsgeraden Drehung um den Ursprung

x' xcos 2 sin 2

y ' ysin 2 cos 2

x' cos sin x

y ' sin cos y

: Winkel, den die Spiegelachse mit der x-Achse einschließt : Drehwinkel

a c x a x c y

b d y b x d y

Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

y

xO

( )C C

C x y

( )B B

B x y

( )A A

A x y

BA

uBA

u

xx

x

u

yy

y

→

−⎛⎞ ⎛ ⎞

=

=⎜

⎟ ⎜ ⎟−⎝

⎠ ⎝ ⎠

ϕ

C

A

v

C

A

v

x

x

x

v

y

y

y

→

−⎛

⎞⎛⎞

=

=

⎜

⎟⎜⎟

−⎝

⎠⎝⎠


24 Dreidimensionales Koordinatensystem

Wahrscheinlichkeiten

25 Laplace-Wahrscheinlichkeit

Anzahl der günstigen FälleLaplace-Wahrscheinlichkeit

Anzahl der möglichen Fälle

26 Mehrstufige Zufallsexperimente

Baumdiagramm

1. Pfadregel (Produktregel)

z. B. : P r o P r P o

2. Pfadregel (Summenregel)

z.B. : P r w,b o P r w P b o

P r o,g w,g o P r o P g w P g o

Wichtiger Hinweis:

Die vorliegende Merkhilfe stellt wichtige Zusammenhänge dar, sie ist aber keine ausführliche Formelsammlung. In der Regel werden Bezeichnungen nicht erklärt, Variablen nicht näher definiert und die Voraussetzungen für die Gültigkeit der Formeln nicht dargestellt.

y

x

z

1

1

1O

( )P −13 4

−1

3

4

r g

o oo w w w

b

( )P r ( )P g ( )P b

( )P o ( )P o ( )P o

( )P w( )P w( )P w

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