Μιχάλης Παπαδημητράκης

ΑνάλυσηΠραγματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής

Ανάλυση Πραγματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής

Συγγραφή

Μιχάλης Παπαδημητράκης

Κριτικός αναγνώστης

Ιωάννης Σαραντόπουλος

ISBN: 978-960-603-403-9

Copyright © ΣΕΑΒ, 2015

Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική

Χρήση - Όχι Παράγωγα Έργα 3.0. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής επισκεφτείτε τον ιστότοπο

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/

ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΩΝ

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 15780 Ζωγράφου

www.kallipos.gr

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/http://www.kallipos.gr/

Στη Μαρία

και

στα παιδιά μας, Μυρτώ-Ασπασία και Δημήτρη.

ii

iii

Προκαταρκτικά.

Το αντικείμενο αυτού του βιβλίου είναι οι πραγματικοί αριθμοί και οι πραγματικές συναρ-τήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής. Αφού εκτεθούν οι βασικές ιδιότητες των (πραγματικών)αριθμών, δηλαδή η Ιδιότητα Supremum και τα πορίσματά της, εισάγονται οι έννοιες του ορίουακολουθίας και του ορίου συνάρτησης, η έννοια της συνεχούς συνάρτησης και οι έννοιες της πα-ραγώγου και του ολοκληρώματος. Ακολουθεί η μελέτη των σειρών αριθμών, των ακολουθιώνσυναρτήσεων, των σειρών συναρτήσεων και των γενικευμένων ολοκληρωμάτων. Ανάμεσα στιςσειρές συναρτήσεων και στα γενικευμένα ολοκληρώματα περιλαμβάνεται μια σύντομη μελέτητων μετρικών χώρων. Το βιβλίο τελειώνει με το ζήτημα της αξιωματικής θεμελίωσης των πραγ-ματικών αριθμών.

Το επίπεδο του βιβλίου δεν είναι στοιχειώδες, διότι ασχολείται με τη βαθύτερη ιδιότητα τωνπραγματικών αριθμών, την Ιδιότητα Supremum, και αποδεικνύει όλα τα βασικά πορίσματα τηςιδιότητας αυτής. Για παράδειγμα, αποδεικνύονται η ύπαρξη ριζών των θετικών αριθμών, το θεώ-ρημα των Bolzano - Weierstrass για ακολουθίες, τα βασικά θεωρήματα για συνεχείς συναρτήσεις,θεμελιώνεται η έννοια του ολοκληρώματος και αποδεικνύεται η ολοκληρωσιμότητα των συνεχώνσυναρτήσεων.

Το επίπεδο του βιβλίου δεν είναι ούτε εύκολο: είναι αρκετά πυκνογραμμένο και απαιτεί συγκέ-ντρωση. Οι αναγνώστες (κυρίως φοιτητές) πρέπει να δώσουν μεγάλη έμφαση στην ακριβή διατύ-πωση των εννοιών, στην κατανόηση και, κυρίως, στην αναπαραγωγή των αποδείξεων των κυριότε-ρων αποτελεσμάτων και, οπωσδήποτε, στη μαθηματικά αυστηρή επίλυση θεωρητικών ασκήσεων.

Θα ήθελα να κάνω κάποια σχόλια για το περιεχόμενο.1. Τονίζεται η έννοια της περιοχής σε σχέση με την έννοια του ορίου ακολουθίας. Επίσης, δίνεταιιδιαίτερη έμφαση στις εκφράσεις “από κάποιον n και πέρα” και “για άπειρους n”. Αντιστοίχως,δίνεται έμφαση στις εκφράσεις “κοντά στο ξ” και “σε σημεία όσο θέλουμε κοντά στο ξ” σε σχέσημε την έννοια του ορίου συνάρτησης.2. Οι αναλυτικοί ορισμοί των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, μέσω δυναμοσειρών αλλά και μέσωολοκληρωμάτων, παρουσιάζονται στο κεφάλαιο 10 και αποδεικνύονται οι γνωστές ιδιότητες αυ-τών των συναρτήσεων. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις χρησιμοποιούνται, όμως, ελεύθερα σταπροηγούμενα κεφάλαια ως παραδείγματα.3. Το ολοκλήρωμα Riemann ορίζεται αρχικά μέσω των αθροισμάτων Darboux και βάσει αυτούτου ορισμού αποδεικνύονται οι διάφορες ιδιότητές του. Κατόπιν, παρουσιάζεται και ο ορισμόςμέσω των αθροισμάτων Riemann και αποδεικνύεται η ισοδυναμία των δύο ορισμών. Παρά το ότιτα αθροίσματα Riemann συνδέονται πιο άμεσα και φυσιολογικά με τις εφαρμογές των ολοκληρω-μάτων, προτάσσω τα αθροίσματα Darboux διότι μου φαίνεται ότι οι αποδείξεις των περισσότερωνιδιοτήτων του ολοκληρώματος είναι λίγο απλούστερες αν βασιστούν στα αθροίσματα Darbouxαπ’ ότι αν βασιστούν στα αθροίσματα Riemann.4. Η μελέτη των μετρικών χώρων είναι πολύ σύντομη. Θεωρήθηκε απαραίτητη για δύο λόγους.Πρώτον, για να παρουσιαστεί η κοινή γενίκευση των δύο εννοιών “απόστασης” που εμφανίζονταιστα προηγούμενα κεφάλαια: της Ευκλείδειας απόστασης ανάμεσα στα σημεία τουR και της ομοιό-μορφης απόστασης ανάμεσα σε συναρτήσεις (στα κεφάλαια για ακολουθίες και σειρές συναρτή-σεων). Η έμφαση δίνεται ακριβώς στους Ευκλείδειους χώρουςRd και στους χώρους συναρτήσεωνμε την ομοιόμορφη μετρική. Ο δεύτερος λόγος μελέτης των μετρικών χώρων και, ειδικώτερα, τωνΕυκλείδειων χώρων είναι ότι στα γενικευμένα ολοκληρώματα με παράμετρο εμφανίζεται η έννοιατης (ομοιόμορφης) συνέχειας συναρτήσεων δύο πραγματικών μεταβλητών. Τέλος, ανάμεσα σταθέματα μετρικών χώρων υπάρχει και μια μικρή ενότητα για την έννοια της συνεκτικότητας η οποίαχρειάζεται στα μαθήματα Μιγαδικής Ανάλυσης.5. Ο χρόνος δεν επαρκεί για να διδαχτούν όλα τα θέματα αυτού του βιβλίου και πρέπει να γίνειεπιλογή ποιων, από όσα διδαχτούν, θα γίνουν οι αποδείξεις στον πίνακα. Μάλιστα, μερικά τέτοιαθέματα (η διαδοχική άθροιση διπλών σειρών, το θεώρημα του Riemann για αναδιατάξεις σειρών,

iv

το μεγαλύτερο μέρος του κεφαλαίου για τα γενικευμένα ολοκληρώματα, η αξιωματική θεμελίωσηκ.τ.λ.) υπάρχουν μόνο για να τα διαβάσει όποιος αναγνώστης δείξει ιδιαίτερο ενδιαφέρον.6. Στο δέκατο τρίτο κεφάλαιο εκτίθεται η αξιωματική θεμελίωση των πραγματικών αριθμών θεω-ρώντας δεδομένους τους φυσικούς και τα Αξιώματα του Peano. Αυτή είναι, πιστεύω, η φυσιολογικήμέθοδος. Η παρουσίαση βασίζεται στο βιβλίο Foundations of Analysis του E. Landau με πολλές δι-κές μου παρεμβάσεις και προσαρμογές. Η μετάβαση από τους (θετικούς) ρητούς στους (θετικούς)πραγματικούς βασίζεται στη μέθοδο των τομών του Dedekind. Εκτίθενται, όμως, και οι μέθοδοιτων ακολουθιών Cauchy και των εγκιβωτισμένων διαστημάτων, συνοπτικά και χωρίς αποδείξεις.7. Για αρκετά θέματα παρουσιάζονται αρκετές αποδείξεις είτε στο κυρίως κείμενο της θεωρίαςείτε υπο μορφή ασκήσεων. Για παράδειγμα, για το κριτήριο του Cauchy για σύγκλιση ακολου-θιών υπάρχουν τέσσερις αποδείξεις.8. Υπάρχουν μερικά θέματα, τα οποία δύσκολα βρίσκει κανείς σε βιβλία και, μάλιστα, τέτοιου επι-πέδου. Για παράδειγμα: η ακριβής αιτιολόγηση του ότι δεν ορίζονται δυνάμεις αρνητικών αριθμώνμε μη-ακέραιους εκθέτες, η σύνδεση ανάμεσα στις έννοιες της μέσης τιμής συνάρτησης και τηςμέσης τιμής αριθμών και μια διεξοδική ανάπτυξη της ολοκλήρωσης ρητών παραστάσεων τριγω-νομετρικών συναρτήσεων. Υπάρχουν, επίσης, πολλά προχωρημένα θέματα στη μορφή ασκήσεων.Δύο τέτοια θέματα είναι: η κατασκευή συνάρτησης συνεχούς και πουθενά παραγωγίσιμης και τοότι μια συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη αν και μόνο αν το σύνολο των σημείων ασυνέχειάς τηςέχει μηδενικό μέτρο.9. Το βιβλίο περιέχει εύκολες, μέτριες και δύσκολες ασκήσεις. Όμως, δεν υπάρχουν “εξυπνακίστι-κες” ασκήσεις (τουλάχιστον, συνειδητά). Δηλαδή, δεν υπάρχουν ασκήσεις τις οποίες σκοτώνεταικανείς για να τις λύσει αλλά που η λύση τους δεν έχει κάτι να προσφέρει πέρα από την “επιβεβαί-ωση” ενός υψηλού IQ. Προσπάθησα να συμπεριλάβω ασκήσεις οι οποίες ελέγχουν την κατανόησητων εννοιών και διδάσκουν μεθόδους Ανάλυσης. Τουλάχιστον, όσες από τις ασκήσεις είναι δύσκο-λες υπάρχουν μόνο διότι πιστεύω ότι έχουν να προσφέρουν κάτι ουσιαστικό.10. Στο δέκατο τέταρτο κεφάλαιο υπάρχουν λύσεις (πολλές φορές παραπάνω από μία) ή υποδείξειςλύσης των περισσοτέρων ασκήσεων του βιβλίου. Για περισσότερα δείτε στην αρχή του δέκατουτέταρτου κεφαλαίου.11. Τα παρακάτω βιβλία διαμόρφωσαν, άλλο λιγότερο και άλλο περισσότερο, την άποψή μου γιατα θέματα αυτού του βιβλίου και κατ’ επέκταση τη μορφή που αυτά πήραν σ’ αυτό το βιβλίο:Mathematical Analysis, T. Apostol.Differential and Integral Calculus, R. Courant.The Theory of Functions of Real Variables, L. Graves.Foundations of Analysis, E. Landau.Principles of Mathematical Analysis, W. Rudin.The Theory of Functions, E. C. Titchmarsh.

Το χρέος μου προς αυτά είναι μεγάλο. Για παράδειγμα, το βιβλίο του Graves έχει παλιομοδίτικοκαι δύσκολο συμβολισμό και μπορεί να θεωρείται πια ξεπερασμένο, αλλά από αυτό έμαθα κάποιαλεπτά και διαφωτιστικά σημεία της ομοιόμορφης σύγκλισης ακολουθίας συναρτήσεων.Εκτός από αυτά τα έξι βιβλία, έχω συγκεντρώσει στο τέλος κάθε κεφαλαίου έναν κατάλογο βιβλίωντον οποίο χωρίζω σε βασική και σε συμπληρωματική βιβλιογραφία. Για κάθε βιβλίο αναφέρω τακεφάλαιά του τα οποία είναι (με μεγάλη προσέγγιση) σχετικά με το αντίστοιχο κεφάλαιο του ανάχείρας βιβλίου.Προσοχή: δεν υπάρχει βιβλίο το οποίο ταυτίζεται με το βιβλίο αυτό. Ο αναγνώστης θα συμβου-λευτεί την βιβλιογραφία για να δει τα ζητήματα από μία - λίγο ή πολύ - διαφορετική σκοπιά ή γιανα μάθει επεκτάσεις των διαφόρων μεθόδων και αποτελεσμάτων.

Για να πάρει την παρούσα μορφή του το βιβλίο αυτό έχει γραφτεί, με το χέρι και με τονυπολογιστή, διορθωθεί και ξαναδιορθωθεί άπειρες φορές και συμπυκνώνει εξαιρετικά πολύ κόπο.Επειδή, όμως, είναι σαφές ότι κι αυτή η μορφή απέχει αρκετά από το να είναι βέλτιστη, είναι απεί-

v

ρως ευπρόσδεκτες οποιεσδήποτε επισημάνσεις λαθών αλλά και παρατηρήσεις ως προς το στυλπαρουσίασης ή την επιλογή των θεμάτων.

Μιχάλης ΠαπαδημητράκηςΤμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστημίου ΚρήτηςΔεκέμβριος 2015.

vi

vii

Περιεχόμενα

1 Οι πραγματικοί αριθμοί. 11.1 Τα σύνολα R και R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Supremum και infimum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Άμεσα πορίσματα της Ιδιότητας Supremum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Ρίζες, δυνάμεις, λογάριθμοι. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1 Ρίζες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.2 Δυνάμεις με ρητούς μη-ακέραιους εκθέτες. . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.3 Δυνάμεις με άρρητους εκθέτες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.4 Λογάριθμοι. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Ακολουθίες και όρια ακολουθιών. 232.1 Ακολουθίες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Όρια ακολουθιών, περιοχές. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Ιδιότητες σχετικές με όρια ακολουθιών. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.1 Από ανισότητες ορίων σε ανισότητες όρων. . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.2 Από ανισότητες όρων σε ανισότητες ορίων. . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.3 Αλγεβρικοί κανόνες ορίων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Μονότονες ακολουθίες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.5 Υποακολουθίες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.6 Η Ιδιότητα Πληρότητας. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.7 Ανώτατο όριο και κατώτατο όριο ακολουθίας. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3 Όρια συναρτήσεων. 733.1 Συναρτήσεις, περιοχές και σημεία συσσώρευσης. . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1.1 Οι βασικές συναρτήσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.1.2 Σημεία συσσώρευσης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2 Όρια συναρτήσεων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.2.1 Ασύμπτωτες ευθείες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.3 Ιδιότητες σχετικές με όρια συναρτήσεων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.3.1 Από ανισότητες ορίων σε ανισότητες τιμών. . . . . . . . . . . . . . . . . 893.3.2 Από ανισότητες τιμών σε ανισότητες ορίων. . . . . . . . . . . . . . . . . 903.3.3 Αλγεβρικοί κανόνες ορίων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.3.4 Κανόνας σύνθεσης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.3.5 Τα βασικά όρια. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.4 Όρια συναρτήσεων και ακολουθίες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.5 Μονότονες συναρτήσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.6 Το κριτήριο του Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

viii

4 Συνεχείς συναρτήσεις. 1154.1 Συνεχείς συναρτήσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.1.1 Είδη ασυνεχειών. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.1.2 Ασυνέχειες μονότονων συναρτήσεων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.2 Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.3 Συνεχείς συναρτήσεις και ακολουθίες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.3.1 Δυνάμεις αρνητικών αριθμών με μη-ακέραιους εκθέτες. . . . . . . . . . 1324.4 Τα τρία βασικά θεωρήματα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.5 Σύνολο τιμών. Αντίστροφη συνάρτηση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.5.1 Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. . . . . . . . . . . . . . . 1484.5.2 Οι υπερβολικές και οι αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις. . . . . . . 149

4.6 Ομοιόμορφα συνεχείς συναρτήσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5 Παράγωγοι συναρτήσεων. 1595.1 Παράγωγοι συναρτήσεων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.1.1 Εφαπτόμενες ευθείες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.1.2 Απειροστά. Διαφορικά. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5.2 Ιδιότητες των παραγώγων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.2.1 Τα βασικά παραδείγματα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.3 Τα τέσσερα βασικά θεωρήματα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.4 Μονοτονία συνάρτησης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.5 Παράγωγοι ανώτερης τάξης και εφαρμογές. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

5.5.1 Κριτήριο τοπικού ακροτάτου. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1935.5.2 Κυρτές και κοίλες συναρτήσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.5.3 Σημεία καμπής. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.5.4 Ευθείες στήριξης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.5.5 Ανισότητες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5.6 Υπολογισμός απροσδιόριστων μορφών. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2075.7 Ο τύπος του Taylor, Ι. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2145.8 Τάξη μεγέθους, ασυμπτωτική ισότητα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

5.8.1 Τάξη μεγέθους. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2175.8.2 Ασυμπτωτική ισότητα. Κύριοι όροι. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

6 Ολοκληρώματα Riemann. 2256.1 Διαμερίσεις και αθροίσματα Darboux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2256.2 Ολοκλήρωμα. Ο ορισμός του Darboux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

6.2.1 Εμβαδό και ολοκλήρωμα Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2356.3 Τα βασικά παραδείγματα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2376.4 Ιδιότητες του ολοκληρώματος. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2386.5 Ολοκλήρωμα. Ο ορισμός του Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

7 Σχέση παραγώγου και ολοκληρώματος. 2637.1 Αντιπαράγωγοι, αόριστα ολοκληρώματα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

7.1.1 Αντιπαράγωγοι. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2637.1.2 Αόριστα ολοκληρώματα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

7.2 Το θεμελιώδες θεώρημα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2697.2.1 Τα βασικά παραδείγματα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

7.3 Τεχνικές υπολογισμού ολοκληρωμάτων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2777.3.1 Ολοκλήρωση με αλλαγή μεταβλητής. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2777.3.2 Ολοκλήρωση κατά μέρη ή κατά παράγοντες. . . . . . . . . . . . . . . . 2787.3.3 Ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2797.3.4 Ολοκληρώματα κάποιων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. . . . . . . . . 284

ix

7.3.5 Ολοκληρώματα κάποιων αλγεβρικών συναρτήσεων. . . . . . . . . . . . 2897.4 Ο τύπος του Taylor, ΙΙ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

8 Σειρές αριθμών. 3018.1 Ορισμοί και βασικές ιδιότητες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3018.2 Σειρές με μη-αρνητικούς όρους. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

8.2.1 Σειρές με φθίνοντες μη-αρνητικούς όρους. . . . . . . . . . . . . . . . . 3108.2.2 p-αδικά αναπτύγματα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

8.3 Κριτήρια σύγκλισης σειρών. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3208.3.1 Απόλυτη σύγκλιση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3218.3.2 Υπό συνθήκη σύγκλιση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

8.4 Διαδοχική άθροιση διπλών σειρών. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3308.5 Γινόμενο Cauchy σειρών. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3358.6 Αναδιατάξεις σειρών. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

9 Ακολουθίες συναρτήσεων. 3439.1 Κατά σημείο σύγκλιση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3439.2 Ομοιόμορφη σύγκλιση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3459.3 Το θεώρημα του Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

10 Σειρές συναρτήσεων. 36110.1 Σειρές συναρτήσεων. Ορισμοί και ιδιότητες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36110.2 Δυναμοσειρές. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

10.2.1 Τα βασικά παραδείγματα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37610.3 Σειρές Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

10.3.1 Τα βασικά παραδείγματα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38510.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

10.4.1 Ορισμός μέσω δυναμοσειρών. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39110.4.2 Ορισμός μέσω ολοκληρώματος. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

11 Μετρικοί χώροι. 39911.1 Μετρικοί χώροι. Παραδείγματα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39911.2 Περιοχές, ανοικτά σύνολα, κλειστά σύνολα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40411.3 Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41511.4 Ακολουθίες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42111.5 Πληρότητα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42511.6 Συμπάγεια. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42911.7 Συνεκτικότητα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

12 Γενικευμένα ολοκληρώματα. 45312.1 Ορισμοί και βασικές ιδιότητες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45312.2 Μη-αρνητικές συναρτήσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46012.3 Κριτήρια σύγκλισης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

12.3.1 Απόλυτη σύγκλιση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46412.3.2 Υπό συνθήκη σύγκλιση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

12.4 Ολοκληρώματα και γενικευμένα ολοκληρώματα με παράμετρο. . . . . . . . . . 47012.4.1 Ολοκληρώματα με παράμετρο. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47012.4.2 Γενικευμένα ολοκληρώματα με παράμετρο. . . . . . . . . . . . . . . . . 472

12.5 Η συνάρτηση Γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

x

13 Η αξιωματική θεμελίωση. 48713.1 Οι φυσικοί και τα αξιώματα του Peano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

13.1.1 Πρόσθεση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48713.1.2 Διάταξη. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48913.1.3 Πολλαπλασιασμός. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

13.2 Οι θετικοί ρητοί. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49313.2.1 Διάταξη. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49313.2.2 Πρόσθεση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49413.2.3 Πολλαπλασιασμός. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49613.2.4 Οι θετικοί ακέραιοι και οι φυσικοί. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

13.3 Οι θετικοί πραγματικοί. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49913.3.1 Διάταξη. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50013.3.2 Πρόσθεση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50113.3.3 Πολλαπλασιασμός. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50313.3.4 Η ιδιότητα supremum του R+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50513.3.5 Οι ρητοί θετικοί πραγματικοί. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

13.4 Οι πραγματικοί. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50713.4.1 Διάταξη. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50813.4.2 Πρόσθεση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50813.4.3 Πολλαπλασιασμός. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51013.4.4 Η ιδιότητα supremum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51013.4.5 Οι βασικές ιδιότητες του R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

13.5 Εναλλακτικές μέθοδοι. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51213.5.1 Η μέθοδος με τις ακολουθίες Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51213.5.2 Η μέθοδος με τα εγκιβωτισμένα διαστήματα. . . . . . . . . . . . . . . . 513

14 Υποδείξεις και λύσεις ασκήσεων. 51714.1 Κεφάλαιο 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51714.2 Κεφάλαιο 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52814.3 Κεφάλαιο 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57414.4 Κεφάλαιο 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59114.5 Κεφάλαιο 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62714.6 Κεφάλαιο 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68714.7 Κεφάλαιο 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71714.8 Κεφάλαιο 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75514.9 Κεφάλαιο 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78414.10Κεφάλαιο 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79814.11Κεφάλαιο 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83414.12Κεφάλαιο 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866

xi

Κεφάλαιο 1

Οι πραγματικοί αριθμοί.

1.1 Τα σύνολα R και R.

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών το συμβολίζουμε R. Τα σύνολα των φυσικών, των ακε-ραίων και των ρητών τα συμβολίζουμε, αντιστοίχως,N, Z καιQ. Προσέξτε: δεχόμαστε ως σύνολοτων φυσικών το N = {1, 2, 3, . . . }. Δηλαδή, δεν θεωρούμε φυσικό τον ακέραιο 0.

Στο βιβλίο αυτό όταν λέμε “αριθμός” ή “σύνολο” εννοούμε “πραγματικός αριθμός” ή “υπο-σύνολο του R” εκτός αν υπάρχει διευκρίνηση για κάτι διαφορετικό.1

Από τις αλγεβρικές ιδιότητες των αριθμών θα αναφέρουμε μόνο δύο βασικές ταυτότητες καιδύο ανισότητες.

ΠΡΟΤΑΣΗ 1.1. Έστω n ∈ N, n ≥ 2.[α] Για κάθε x, y ισχύει

yn − xn = (y − x)(yn−1 + yn−2x+ · · ·+ yxn−2 + xn−1). (1.1)

[β] Ισχύειnxn−1(y − x) ≤ yn − xn ≤ nyn−1(y − x) αν 0 ≤ x ≤ y. (1.2)

Απόδειξη. [α] Πολλαπλασιάζουμε τις δύο παρενθέσεις και διαγράφουμε όμοιους όρους.[β] Με την υπόθεση 0 ≤ x ≤ y παρατηρούμε ότι, αν στην δεύτερη παρένθεση στη δεξιά μεριάτης (1.1) αντικαταστήσουμε κάθε x με το y, τότε το άθροισμα στην παρένθεση αυξάνεται (με τηνευρεία έννοια) και καθένας από τους n όρους της γίνεται yn−1 ενώ, αν αντικαταστήσουμε κάθε yμε το x, τότε το άθροισμα στην παρένθεση φθίνει (με την ευρεία έννοια) και καθένας από τους nόρους της γίνεται xn−1.

ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΤΟΥ BERNOULLI. Έστω n ∈ N. Ισχύει

(a+ 1)n ≥ na+ 1 αν a ≥ −1.

Απόδειξη. 2 Αν a ≥ 0, θέτουμε y = a + 1 και x = 1 στην αριστερή ανισότητα (1.2) ενώ, αν−1 ≤ a ≤ 0, θέτουμε y = 1 και x = a+ 1 στην δεξιά ανισότητα (1.2).

ΔΙΩΝΥΜΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ NEWTON. Έστω n ∈ N. Για κάθε x, y ισχύει

(x+ y)n =∑n

k=0

(nk

)xkyn−k =

∑nk=0

n!k!(n−k)!x

kyn−k.

1Στο κεφάλαιο 11 θα γίνεται ευρύτερη χρήση του όρου “σύνολο”.2Άλλες δύο αποδείξεις της ανισότητας του Bernoulli είναι στην άσκηση 1.1.5 και στο παράδειγμα 5.4.6.

1

Απόδειξη. 3 Αν αναπτύξουμε το γινόμενο

(x+ y)n = (x+ y) · · · (x+ y) (n φορές)

χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα, θα βρούμε ένα άθροισμα όρων καθένας από τουςοποίους είναι ένα γινόμενο n όρων το οποίο προκύπτει παίρνοντας από κάθε παρένθεση είτε τονx είτε τον y και πολλαπλασιάζοντάς τους. Δηλαδή, για κάθε k ∈ Z με 0 ≤ k ≤ n σχηματίζουμετο γινόμενο xkyn−k παίρνοντας τον x από k από τις παρενθέσεις και τον y από τις υπόλοιπεςn − k παρενθέσεις. Τώρα, για κάθε συγκεκριμένο k ∈ Z με 0 ≤ k ≤ n, το πλήθος των όμοιωνόρων xkyn−k που θα προκύψουν στο συνολικό άθροισμα είναι ίσο με το πλήθος των τρόπωνεπιλογής από τις n συνολικές παρενθέσεις εκείνων των k παρενθέσεων που θα μας δώσουν τους kπαράγοντες x. Όμως, το πλήθος των τρόπων επιλογής k αντικειμένων από n αντικείμενα ισούταιμε τον λεγόμενο διωνυμικό συντελεστή(

nk

)= n!k!(n−k)! =

n(n−1)···(n−k+1)k! .

Άρα για κάθε k ∈ Z με 0 ≤ k ≤ n υπάρχουν(nk

)όμοιοι όροι xkyn−k.

Σημειώνουμε, επίσης, ότι η απόλυτη τιμή |x| εκφράζει το μέγεθος του x καθώς και την από-σταση του x από τον 0. Και, γενικότερα, η |x − y| εκφράζει την απόσταση4 ανάμεσα στους x καιy. Όσο μικρότερη είναι η |x− y| τόσο κοντύτερα είναι ο x στον y.

Τέλος, ας θυμηθούμε μερικές βασικές ανισοτικές σχέσεις για την απόλυτη τιμή.

ΠΡΟΤΑΣΗ 1.2. [α] Αν a > 0, τότε ισχύουν οι ισοδυναμίες:

|x| ≤ a αν και μόνο αν − a ≤ x ≤ a.

|x| < a αν και μόνο αν − a < x < a.

[β] Για κάθε x, y ισχύει η τριγωνική ανισότητα:

|x± y| ≤ |x|+ |y|.

Απόδειξη. Διακρίνουμε περιπτώσεις σχετικά με το αν οι x και y είναι ≥ 0 ή ≤ 0. Κατά τα άλλα,η απόδειξη είναι στοιχειώδης.

ΟΡΙΣΜΟΣ 1.1. Ορίζουμε το επεκτεταμένο R, δηλαδή το σύνολο

R = R ∪ {−∞,+∞}.

Δεχόμαστε ότι το +∞ είναι μεγαλύτερο από κάθε αριθμό, ότι το −∞ είναι μικρότερο από κάθεαριθμό και ότι το −∞ είναι μικρότερο από το +∞. Δηλαδή:

−∞ < x, x < +∞, −∞ < +∞.

Ορίζουμε τα αντίθετα−(+∞) = −∞ , −(−∞) = +∞ .

Ορίζουμε τα αθροίσματα

(+∞) + x = +∞, x+ (+∞) = +∞, (+∞) + (+∞) = +∞,3Άλλες δύο αποδείξεις του διωνυμικού τύπου του Newton είναι στην άσκηση 1.1.5 και στο παράδειγμα 5.4.8. Πά-

ντως, η πιο ουσιαστική απόδειξη είναι αυτή εδώ.4Αυτή είναι η λεγόμενη Ευκλείδεια απόσταση ανάμεσα στα σημεία της ευθείας. Η έννοια αυτή επεκτείνεται ως

Ευκλείδεια απόσταση ανάμεσα στα σημεία του επιπέδου και ανάμεσα στα σημεία του χώρου και, ακόμη περισσότερο,ανάμεσα στα σημεία του d-διάστατου Ευκλείδειου χώρου. Επίσης, υπάρχει και η έννοια της απόστασης ανάμεσα σεσυναρτήσεις την οποία θα δούμε στα κεφάλαια 9 και 10. Όλες αυτές οι έννοιες της απόστασης θα μελετηθούν με ενιαίοτρόπο στη γενικότητά τους στο κεφάλαιο 11 των μετρικών χώρων.

2

(−∞) + x = −∞, x+ (−∞) = −∞, (−∞) + (−∞) = −∞.

Όμως, δεν ορίζεται αποτέλεσμα για τις παραστάσεις

(+∞) + (−∞), (−∞) + (+∞)

και αυτές οι παραστάσεις χαρακτηρίζονται απροσδιόριστες μορφές αθροίσματος.Ορίζουμε τις διαφορές

(+∞)− x = +∞, x− (−∞) = +∞, (+∞)− (−∞) = +∞,

(−∞)− x = −∞, x− (+∞) = −∞, (−∞)− (+∞) = −∞.

Δεν ορίζεται αποτέλεσμα για τις παραστάσεις

(+∞)− (+∞), (−∞)− (−∞)

και χαρακτηρίζονται απροσδιόριστες μορφές διαφοράς.Ορίζουμε τα γινόμενα

(±∞)x = ±∞, x(±∞) = ±∞ αν x > 0,

(±∞)x = ∓∞, x(±∞) = ∓∞ αν x < 0,

(±∞)(±∞) = +∞, (±∞)(∓∞) = −∞.

Δεν ορίζεται αποτέλεσμα για τις παραστάσεις

(±∞)0, 0(±∞)

και χαρακτηρίζονται απροσδιόριστες μορφές γινομένου.Ορίζουμε τα αντίστροφα

1+∞ = 0,

1−∞ = 0.

Δεν ορίζεται αποτέλεσμα για την παράσταση

10

και χαρακτηρίζεται απροσδιόριστη μορφή αντιστρόφου.Ορίζουμε τους λόγους

±∞x = ±∞ αν x > 0,

±∞x = ∓∞ αν x < 0,

x±∞ = 0.

Δεν ορίζεται αποτέλεσμα για τις παραστάσεις

x0 ,

±∞0 ,

±∞±∞ ,

±∞∓∞

και χαρακτηρίζονται απροσδιόριστες μορφές λόγου.Τέλος,5 ορίζουμε τις απόλυτες τιμές

|+∞| = +∞, | −∞| = +∞.

Βάσει της επέκτασης της έννοιας της ανισότητας από το R στο R αιτιολογείται η χρήση τωνσυμβόλων (a,+∞), [a,+∞), (−∞, b), (−∞, b] και (−∞,+∞) για τα αντίστοιχα διαστήματα{x |x > a}, {x |x ≥ a}, {x |x < b}, {x |x ≤ b} και R, δηλαδή για τα λεγόμενα μη-φραγμέναδιαστήματα. Στο R έχουμε, επιπλέον, και τα διαστήματα (a,+∞], [a,+∞], [−∞, b), [−∞, b],[−∞,+∞), (−∞,+∞], [−∞,+∞].

5Κάποιοι επιπλέον ανάλογοι ορισμοί σε σχέση με την πράξη της δύναμης θα δούμε στους ορισμούς 1.10 και 2.13.

3

Οι επεκτάσεις των αλγεβρικών πράξεων από το R στο R δεν είναι αυθαίρετες. Όλοι οι πα-ραπάνω τύποι ανάγονται στην εμπειρική αντίληψή μας για τις έννοιες του “μεγάλου” (θετικού ήαρνητικού) και του “μικρού” (θετικού ή αρνητικού) και για τις μεταξύ τους σχέσεις. Για παρά-δειγμα, η εμπειρία υπαγορεύει ότι το άθροισμα δύο πολύ μεγάλων θετικών ποσοτήτων είναι πολύμεγάλη θετική ποσότητα και αυτό αιτιολογεί το να ορίσουμε ότι (+∞)+ (+∞) = +∞. Από τηνεμπειρία μας, και πάλι, γνωρίζουμε ότι η διαφορά δύο πολύ μεγάλων θετικών ποσοτήτων μπορείνα είναι είτε πολύ μεγάλη θετική ποσότητα είτε πολύ μεγάλη αρνητική ποσότητα είτε οποιαδή-ποτε ενδιάμεση ποσότητα. Αυτό δικαιολογεί το ότι δεν ορίζεται συγκεκριμένο αποτέλεσμα για το(+∞) − (+∞) και τον χαρακτηρισμό του ως απροσδιόριστη μορφή. Επίσης, το γινόμενο μιαςπολύ μεγάλης θετικής ποσότητας και μιας πολύ μικρής ποσότητας (θετικής ή αρνητικής) μπορείνα είναι είτε πολύ μεγάλη θετική ποσότητα είτε πολύ μεγάλη αρνητική ποσότητα είτε οποιαδήποτε,ακόμη και πολύ μικρή, ενδιάμεση ποσότητα. Αυτό δικαιολογεί το ότι δεν ορίζεται αποτέλεσμα γιατο (+∞)0 και τον χαρακτηρισμό του, επίσης, ως απροσδιόριστη μορφή.

Σύμβολα όπως το a ή το A δηλώνουν, συνήθως, αριθμούς ή σύνολα αριθμών. Αν, όμως, γρά-ψουμε, για παράδειγμα, a ∈ (−3,+∞] θα εννοούμε ότι το a μπορεί να πάρει και την τιμή +∞.Και αν γράψουμε A ⊆ [−∞, 2] θα εννοούμε ότι το σύνολο A μπορεί να περιέχει και το −∞.

Ασκήσεις.

1.1.1. 6 Αν a ≤ x ≤ b και a ≤ y ≤ b, αποδείξτε ότι |x−y| ≤ b−a και διατυπώστε το γεωμετρικόνόημα αυτής της ανισότητας.

1.1.2. Αν x ≤ y < 0 και z ≤ w < 0, αποδείξτε ότι 0 < yw ≤ xz. Βασίστε την απόδειξή σας στοότι: αν a, b ≥ 0, τότε ab ≥ 0.

1.1.3. [α] Έστω b1, . . . , bn > 0. Αν l ≤ a1b1 , . . . ,anbn

≤ u, αποδείξτε ότι l ≤ a1+···+anb1+···+bn ≤ u.[β]7 Έστω ν1, . . . , νn ∈ N. Αν l ≤ y1, . . . , yn ≤ u, αποδείξτε ότι l ≤ ν1y1+···+νnynν1+···+νn ≤ u.Γενικότερα, έστω w1, . . . , wn > 0 και w1 + · · · + wn = 1. Αν l ≤ y1, . . . , yn ≤ u, αποδείξτεότι l ≤ w1y1 + · · ·+ wnyn ≤ u.

1.1.4. Για καθεμιά από τις παρακάτω ανισότητες γράψτε στη μορφή ένωσης διαστημάτων το σύ-νολο των x για τους οποίους η ανισότητα είναι αληθής: |x+1| > 2, |x−1| < |x+1|, xx+2 >

x+33x+1 ,

(x− 2)2 ≥ 4, |x2 − 7x| > x2 − 7x, (x−1)(x+4)(x−7)(x+5) > 0,(x−1)(x−3)

(x−2)2 ≤ 0.Για καθένα από τα επόμενα σύνολα βρείτε μία ανισότητα με μεταβλητή x ώστε το σύνολο αυτόνα είναι το σύνολο των x για τους οποίους η ανισότητα είναι αληθής: (−∞, 3], (2,+∞), (3, 7),(−∞,−2) ∪ (1, 4) ∪ (7,+∞), [−2, 4] ∪ [6,+∞), [−1, 4) ∪ (4, 8], (−∞,−2] ∪ [1, 4) ∪ [7,+∞).

1.1.5. Αποδείξτε την ανισότητα του Bernoulli και τον διωνυμικό τύπο του Newton με επαγωγή.

1.2 Supremum και infimum.

ΟΡΙΣΜΟΣ 1.2. Έστω μη-κενό σύνολο A.Το A χαρακτηρίζεται άνω φραγμένο αν υπάρχει u με την ιδιότητα να ισχύει x ≤ u για κάθε x ∈ A.Κάθε u με την ιδιότητα αυτή χαρακτηρίζεται άνω φράγμα του A.

6Το περιεχόμενο αυτής της “ανώδυνης” άσκησης είναι πιο χρήσιμο απ’ ό,τι δείχνει.7Η μέση τιμή οποιωνδήποτε αριθμών y1, . . . , yn, όπου ο κάθε yk εμφανίζεται νk φορές, είναι ο λόγος του συνο-

λικού αθροίσματος των αριθμών προς το συνολικό πλήθος τους, δηλαδή ο αριθμός

ν1y1+···+νnynν1+···+νn

= ν1ν1+···+νn

y1 + · · ·+ νnν1+···+νn yn = w1y1 + · · ·+ wnyn,

όπου κάθε wk = νkν1+···+νn είναι η σχετική συχνότητα ή σχετικό βάρος του αντίστοιχου yk, δηλαδή η αναλογία τουαριθμού εμφανίσεων του yk προς τον συνολικό αριθμό εμφανίσεων των y1, . . . , yn. Γενικότερα, αν w1, . . . , wn > 0και w1 + · · ·+ wn = 1, οι αριθμοί w1, . . . , wn ονομάζονται βάρη και ο w1y1 + · · ·+ wnyn ονομάζεται μέση τιμήτων y1, . . . yn ως προς αυτά τα βάρη.

4

Το A χαρακτηρίζεται κάτω φραγμένο αν υπάρχει l με την ιδιότητα να ισχύει l ≤ x για κάθε x ∈ A.Κάθε l με την ιδιότητα αυτή χαρακτηρίζεται κάτω φράγμα του A.Τέλος, τοA χαρακτηρίζεται φραγμένο αν είναι άνω φραγμένο και κάτω φραγμένο, δηλαδή αν υπάρ-χουν l και u με την ιδιότητα να ισχύει l ≤ x ≤ u για κάθε x ∈ A.

Προσέξτε: αν ο u είναι άνω φράγμα του A, τότε κάθε u′ ≥ u είναι κι αυτός άνω φράγμα τουA. Επίσης, αν ο l είναι κάτω φράγμα του A, τότε κάθε l′ ≤ l είναι κι αυτός κάτω φράγμα του A.

ΠΡΟΤΑΣΗ 1.3. [α] Έστω ότι ισχύει l ≤ x για κάθε x > a. Τότε l ≤ a.[β] Έστω ότι ισχύει u ≥ x για κάθε x < b. Τότε u ≥ b.

Απόδειξη. [α] Υποθέτουμε (για να καταλήξουμε σε άτοπο) ότι a < l. Θεωρούμε τον αριθμό x =a+l2 για τον οποίο ισχύει a < x < l. Υπάρχει, επομένως, αριθμός x > a για τον οποίο δεν ισχύειl ≤ x. Αυτό είναι, σύμφωνα με την υπόθεσή μας, άτοπο.[β] Ομοίως, υποθέτουμε ότι u < b. Θεωρούμε τον αριθμό x = u+b2 για τον οποίο ισχύει u < x < b.Υπάρχει, επομένως, αριθμός x < b για τον οποίο δεν ισχύει u ≥ x. Αυτό είναι άτοπο.

Παράδειγμα 1.2.1. Είναι προφανές ότι κάθε l ≤ a είναι κάτω φράγμα καθενός από τα διαστήματα[a, b], (a, b], [a, b), (a, b), (a,+∞), [a,+∞). Αναρωτιόμαστε αν υπάρχουν και άλλοι l οι οποίοιείναι κάτω φράγματα αυτών των διαστημάτων.Ας δούμε την περίπτωση των διαστημάτων [a, b], [a, b), [a,+∞). Αν ο l είναι κάτω φράγμα ενόςαπό αυτά τα διαστήματα, τότε πρέπει να ισχύει l ≤ a, διότι ο a είναι στοιχείο αυτών των δια-στημάτων. Άρα τα κάτω φράγματα και των τριών αυτών διαστημάτων είναι οι αριθμοί l ≤ a καικανένας άλλος.Τώρα πάμε στην περίπτωση των διαστημάτων (a, b], (a, b), (a,+∞). Έστω ότι ο l είναι κάτωφράγμα ενός από αυτά τα διαστήματα. Τώρα ο a δεν είναι στοιχείο κανενός από αυτά τα διαστή-ματα, οπότε δεν μπορούμε να συμπεράνουμε αμέσως ότι l ≤ a. Και προχωράμε ως εξής. Αρχικάβλέπουμε ότι, όποιο κι αν είναι το διάστημα που έχουμε επιλέξει, ο l είναι αυτομάτως κάτω φράγματου (a,+∞). Αυτό, φυσικά, σημαίνει ότι ισχύει l ≤ x για κάθε x > a. Τώρα, όμως, η πρόταση1.3 λέει ότι l ≤ a. Άρα τα κάτω φράγματα και των διαστημάτων (a, b], (a, b), (a,+∞) είναι οιαριθμοί l ≤ a και κανένας άλλος.Βλέπουμε, λοιπόν, ότι καθένα από τα διαστήματα [a, b], (a, b], [a, b), (a, b), (a,+∞), [a,+∞)έχει ένα μέγιστο κάτω φράγμα, τον a, και οι αριθμοί l ≤ a είναι όλα τα κάτω φράγματά του. Τοσύνολο των κάτω φραγμάτων καθενός από αυτά τα διαστήματα είναι το διάστημα (−∞, a].

Παράδειγμα 1.2.2. Όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, είναι προφανές ότι κάθε u ≥ b είναι άνωφράγμα καθενός από τα διαστήματα [a, b], [a, b), (a, b], (a, b), (−∞, b), (−∞, b]. Μπορούμε νααποδείξουμε, με “συμμετρικό” τρόπο, ότι κανένας άλλος αριθμός δεν είναι άνω φράγμα οποιου-δήποτε από αυτά τα διαστήματα. Αυτό είναι άμεσο για τα [a, b], (a, b], (−∞, b] και είναι πόρισματης πρότασης 1.3 για τα [a, b), (a, b), (−∞, b). Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι καθένα από αυτά ταδιαστήματα έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα, τον b, και οι αριθμοί u ≥ b είναι όλα τα άνω φράγματάτου. Το σύνολο των άνω φραγμάτων καθενός από αυτά τα διαστήματα είναι το διάστημα [b,+∞).

Παράδειγμα 1.2.3. Τα διαστήματα (a,+∞), [a,+∞), (−∞,+∞) δεν είναι άνω φραγμένα καιτα διαστήματα (−∞, b), (−∞, b], (−∞,+∞) δεν είναι κάτω φραγμένα.

Παράδειγμα 1.2.4. Το σύνολο N είναι κάτω φραγμένο και, επειδή ο 1 είναι το ελάχιστο στοιχείοτου, τα κάτω φράγματα του N είναι όλοι οι l ≤ 1 και κανένας άλλος. Δηλαδή, ο 1 είναι το μέγιστοκάτω φράγμα του N και το σύνολο των κάτω φραγμάτων του N είναι το (−∞, 1].Στην επόμενη ενότητα θα αποδείξουμε ότι το N δεν είναι άνω φραγμένο.

Στα παραδείγματα 1.2.1, 1.2.2 και 1.2.3 όλα τα σύνολα είναι διαστήματα. Το σύνολο του παρα-δείγματος 1.2.4 δεν είναι διάστημα. Πρέπει να έχουμε συνεχώς κατά νου ότι υπάρχουν σύνολα ταοποία δεν είναι διαστήματα. Όταν διαβάζουμε κάτι (πρόταση, θεώρημα, άσκηση κ.τ.λ.) το οποίο

5

αναφέρεται σε κάποια σύνολα, δεν πρέπει να επιτρέπουμε στον εαυτό μας να υποθέτει ως δεδομένοότι τα σύνολα αυτά είναι διαστήματα. Το να σχηματίζουμε την συγκεκριμένη εικόνα διαστήματοςγια ένα αφηρημένο σύνολο πολλές φορές βοηθά την σκέψη μας, αλλά επίσης πολλές φορές είναιπαραπλανητικό και οδηγεί σε εσφαλμένες απλοϊκές “αποδείξεις”. Έχοντας αυτήν την παρατήρησηκατά νου, προχωράμε παρακάτω.

Η ΙΔΙΟΤΗΤΑ SUPREMUM. Κάθε μη-κενό, άνω φραγμένο σύνολο έχει ελάχιστο άνω φράγμα.

Η ιδιότητα supremum είναι η σημαντικότερη και βαθύτερη ιδιότητα του R. Η ιδιότητα αυτή,όπως θα βλέπουμε διαρκώς από εδώ και πέρα, είναι η βάση για να αποδειχτούν όλα τα σημαντικάαποτελέσματα της Ανάλυσης.

Δεν θα αποδείξουμε τώρα την ιδιότητα supremum. Η απόδειξή της εντάσσεται στο πλαίσιοτης αξιωματικής θεμελίωσης του R και προκύπτει από τον τρόπο με τον οποίο δημιουργείται τοσύνολο R από το υποσύνολό του N. Με όλα αυτά τα ζητήματα, δηλαδή την δημιουργία του R απότο N και την απόδειξη της ιδιότητας supremum, ασχολείται το κεφάλαιο 13.

Τώρα, με βάση την ιδιότητα supremum, θα αποδείξουμε τη “συμμετρική” ιδιότητα infimum.Θα δείτε ότι η απόδειξη βασίζεται σε μια απλή ιδέα: η “συμμετρία” ως προς τον 0 αντιστρέφει τιςανισοτικές σχέσεις ή, με άλλα λόγια, τα “πάνω” γίνονται “κάτω” και τα “κάτω” γίνονται “πάνω”.

Η ΙΔΙΟΤΗΤΑ INFIMUM. Κάθε μη-κενό, κάτω φραγμένο σύνολο έχει μέγιστο κάτω φράγμα.

Απόδειξη. Έστω μη-κενό, κάτω φραγμένο σύνολο A.Θεωρούμε το σύνολο

−A = {−x |x ∈ A}.Τα σύνολα A και −A είναι “συμμετρικά” ως προς τον 0. Δηλαδή, τα στοιχεία του ενός συνόλουείναι τα αντίθετα των στοιχείων του άλλου συνόλου.Το A είναι μη-κενό, οπότε και το −A είναι μη-κενό.Επίσης, αν l είναι ένα οποιοδήποτε κάτω φράγμα του A, τότε ο −l είναι άνω φράγμα του −A,οπότε το −A είναι άνω φραγμένο.Επειδή, λοιπόν, το−A είναι μη-κενό και άνω φραγμένο, από την ιδιότητα supremum συνεπάγεταιότι έχει ελάχιστο άνω φράγμα και έστω u0 το ελάχιστο άνω φράγμα του −A.Επειδή ο u0 είναι άνω φράγμα του −A, ο −u0 είναι κάτω φράγμα του A.Αν υπήρχε κάτω φράγμα l του A μεγαλύτερο του −u0, τότε το −l θα ήταν άνω φράγμα του −Aμικρότερο του u0. Αυτό είναι άτοπο διότι ο u0 είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του −A. Άρα δενυπάρχει κάτω φράγμα l του A μεγαλύτερο του −u0.Άρα ο −u0 είναι το μέγιστο κάτω φράγμα του A.

ΟΡΙΣΜΟΣ 1.3. Το μέγιστο κάτω φράγμα ενός μη-κενού και κάτω φραγμένου συνόλου A ονομά-ζεται και infimum του A.Το ελάχιστο άνωφράγμα ενός μη-κενού και άνω φραγμένου συνόλουA ονομάζεται και supremumτου A.Το infimum και το supremum του A συμβολίζονται, αντιστοίχως,

infA ή g.l.b.A supA ή l.u.b.A.

Παράδειγμα 1.2.5. Όπως είδαμε στα παραδείγματα 1.2.1 και 1.2.2, όλα τα διαστήματα [a, b],(a, b), (a, b], [a, b) (−∞, b], (−∞, b) έχουν το ίδιο supremum, τον b, και όλα τα διαστήματα [a, b],(a, b), (a, b], [a, b), (a,+∞), [a,+∞) έχουν το ίδιο infimum, τον a.

ΟΡΙΣΜΟΣ 1.4. Αν το σύνολο A έχει ελάχιστο ή μέγιστο στοιχείο, τότε αυτό ονομάζεται, αντιστοί-χως, και minimum ή maximum του A.Το minimum και το maximum του A συμβολίζονται, αντιστοίχως,

minA maxA.

6

Από τα διαστήματα [a, b] και [a, b) καταλαβαίνουμε ότι κάποια μη-κενά, άνω φραγμένα σύ-νολα έχουνmaximumκαι κάποια άλλα δεν έχουνmaximum.Πάντως, κάθε μη-κενό, άνωφραγμένοσύνολο έχει οπωσδήποτε supremum.

Παράδειγμα 1.2.6. Αν ένα σύνολο A έχει maximum, τότε supA = maxA, δηλαδή το supremumτου A ταυτίζεται με το maximum του A.Πράγματι, κάθε στοιχείο τουA είναι μικρότερο ή ίσο τουmaxA, οπότε τοmaxA είναι άνωφράγματου A. Επίσης, επειδή το maxA είναι στοιχείο του A δεν μπορεί να υπάρχει άνω φράγμα του Aμικρότερο του maxA. Άρα το maxA είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του A.Με τον ίδιο τρόπο βλέπουμε ότι, αν ένα σύνολο A έχει minimum, τότε infA = minA, δηλαδή τοinfimum του A ταυτίζεται με το minimum του A.Το A = {0} ∪ [2, 3] ∪ {4} έχει minA = 0 και maxA = 4. Άρα infA = 0 και supA = 4.

Παράδειγμα 1.2.7. minN = 1, οπότε infN = 1. Όμως, το N δεν έχει μέγιστο στοιχείο: κανέναςn ∈ N δεν μπορεί να είναι μέγιστο στοιχείο του N διότι ο n+ 1 ∈ N είναι μεγαλύτερος του n.Βέβαια, το ότι το N δεν έχει μέγιστο στοιχείο δεν σημαίνει ότι το N δεν έχει άνω φράγμα και κατ’επέκταση supremum. Το ότι το N δεν έχει μέγιστο στοιχείο σημαίνει ότι δεν έχει άνω φράγμα τοοποίο να είναι συγχρόνως και στοιχείο του. Θα μπορούσε, όμως, τοN να έχει άνω φράγμα κάποιονμη-φυσικό αριθμό. Αυτό θα το ξεκαθαρίσουμε στην επόμενη ενότητα.

Παράδειγμα 1.2.8. Το A = { 1n |n ∈ N} = {1,12 ,

13 ,

14 , . . . } έχει maxA = 1, οπότε supA = 1.

Τώρα, το A δεν έχει ελάχιστο στοιχείο: κανένας 1n ∈ A δεν είναι ελάχιστο στοιχείο του A διότι ο1

n+1 ∈ A είναι μικρότερος του1n . Όμως, επειδή το A είναι κάτω φραγμένο με κάτω φράγμα, για

παράδειγμα, τον 0, το A έχει infimum. Θα υπολογίσουμε το infA στην επόμενη ενότητα.

ΟΡΙΣΜΟΣ 1.5. Αν το μη-κενό σύνολο A δεν είναι κάτω φραγμένο, ορίζουμε infA = −∞.Αν το μη-κενό σύνολο A δεν είναι άνω φραγμένο, ορίζουμε supA = +∞.

Αιτιολογούμε (προσέξτε: δεν αποδεικνύουμε) τον ορισμό. Αν το A δεν είναι άνω φραγμένο,δεν έχει ως άνω φράγμα κανέναν αριθμό. Όμως, το +∞ συμβολίζει μια “ποσότητα” μεγαλύτερηαπό κάθε αριθμό, οπότε μπορεί να θεωρηθεί ως το μοναδικό, και, επομένως, το ελάχιστο, “άνωφράγμα” του A.

Παρατηρήστε ότι κάθε μη-κενό σύνολοA έχει supremum και infimum. Αν τοA είναι άνω φραγ-μένο, το supremum του είναι αριθμός και, αν δεν είναι άνω φραγμένο, το supremum του είναι+∞.Ομοίως, αν τοA είναι κάτω φραγμένο, το infimum του είναι αριθμός και, αν δεν είναι κάτω φραγ-μένο, το infimum του είναι −∞. Επίσης, για κάθε μη-κενό σύνολο A ισχύει

infA ≤ supA.

Πράγματι, για κάθε x ∈ A ισχύει infA ≤ x και x ≤ supA επειδή, ακριβώς, το infA είναι κάτωφράγμα του A και το supA είναι άνω φράγμα του A.

Γενικά, όταν γράφουμε supA, χωρίς άλλη ιδιαίτερη διευκρίνηση, θα εννοούμε ότι αυτό είναιαριθμός ή +∞. Επίσης, όταν γράφουμε infA θα εννοούμε ότι αυτό είναι αριθμός ή −∞.

Τα επόμενα θα μας βοηθήσουν να σχηματίσουμε καλύτερη “εικόνα” των ποσοτήτων supA καιinfA. Δείτε το σχήμα 1.

Το supA χαρακτηρίζεται από τις εξής δύο ιδιότητες (i) και (ii):(i) Δεν υπάρχει κανένα στοιχείο του A μεγαλύτερο του supA.Αυτό είναι προφανές στην περίπτωση που είναι supA = +∞ και, αν το supA είναι αριθμός, αυτόπροκύπτει από το ότι το supA είναι άνω φράγμα του A.Η ιδιότητα (i) διατυπώνεται, ισοδύναμα, ως εξής:

Για κάθε x ∈ A ισχύει x ≤ supA.

(ii) Όσο θέλουμε κοντά στο supA υπάρχει στοιχείο του A.

7

Πράγματι, στην περίπτωση supA = +∞ πάρτε οποιονδήποτε αριθμό u, όσο μεγάλο θέλετε. Τότεο u δεν είναι άνω φράγμα του A (διότι το A δεν είναι άνω φραγμένο), οπότε υπάρχει x ∈ A ώστεu < x. Άρα όσο θέλουμε κοντά στο +∞ υπάρχει στοιχείο του A.Στην περίπτωση που το supA είναι αριθμός πάρτε έναν οποιονδήποτε ϵ > 0, όσο μικρό θέλετε.Τότε ο supA− ϵ δεν είναι άνω φράγμα του A (διότι ο supA είναι το μικρότερο άνω φράγμα τουA), οπότε υπάρχει x ∈ A ώστε supA− ϵ < x και, επομένως (λόγω του (i)),

supA− ϵ < x ≤ supA.

Άρα υπάρχει x στο A, του οποίου η απόσταση από τον supA είναι μικρότερη από τον προεπιλεγ-μένο ϵ. Άρα όσο θέλουμε κοντά στον supA υπάρχει στοιχείο του A.Η ιδιότητα (ii) διατυπώνεται, ισοδύναμα, ως εξής:

Για κάθε u < supA υπάρχει x ∈ A ώστε να ισχύει u < x ≤ supA.

Γιατί λέμε ότι οι ιδιότητες (i) και (ii) χαρακτηρίζουν το supremum του συνόλου A; Το λέμεδιότι, όπως είδαμε, το supA έχει αυτές τις ιδιότητες, αλλά και, αντιστρόφως, αν έχουμε κάποιοστοιχείο του R με αυτές τις δύο ιδιότητες, τότε το στοιχείο αυτό είναι αναγκαστικά το supA.Πράγματι, έστω ότι ο αριθμός u έχει τις ιδιότητες (i) και (ii). Η ιδιότητα (i) του u (Δεν υπάρχεικανένα στοιχείο του A μεγαλύτερο του u.) λέει, προφανώς, ότι ο u είναι άνω φράγμα του A. Ηιδιότητα (ii) του u (Όσο θέλουμε κοντά στον u υπάρχει στοιχείο του A.) λέει ότι δεν υπάρχει άνωφράγμα του A μικρότερο από τον u. Διότι, αν υπήρχε u′ < u ο οποίος είναι άνω φράγμα του A,τότε στο διάστημα ανάμεσα στους u′ και u δεν θα υπήρχε κανένα στοιχείο του A και άρα ο u δενθα είχε την ιδιότητα (ii). Στην περίπτωση που το u = +∞ έχει τις ιδιότητες (i) και (ii), τότεπάλι η ιδιότητα (ii) του +∞ λέει ότι το A δεν έχει κανένα άνω φράγμα και άρα δεν είναι άνωφραγμένο, οπότε supA = +∞.

Ομοίως, το infA χαρακτηρίζεται από τις εξής δύο ιδιότητες (i) και (ii):(i) Δεν υπάρχει κανένα στοιχείο του A μικρότερο του infA.

Για κάθε x ∈ A ισχύει infA ≤ x.

(ii) Όσο θέλουμε κοντά στο infA υπάρχει στοιχείο του A.

Για κάθε l > infA υπάρχει x ∈ A ώστε να ισχύει infA ≤ x < l.

Τώρα θα δούμε μια λίγο απρόσμενη εφαρμογή της ύπαρξης των supremum και infimum ενόςσυνόλου.

Έστω ότι το σύνολο A είναι οποιοδήποτε διάστημα. Γνωρίζουμε ότι το A έχει την εξής ιδιό-τητα: για κάθε x1, x2 ∈ A με x1 < x2 και για κάθε x ώστε x1 < x < x2 ισχύει x ∈ A. Με άλλαλόγια: ένα διάστημα περιέχει κάθε στοιχείο που είναι ανάμεσα σε δύο στοιχεία του. Η πρόταση 1.4λέει ότι, από τα μη-κενά υποσύνολα του R, η ιδιότητα αυτή χαρακτηρίζει τα διαστήματα.

8

ΠΡΟΤΑΣΗ 1.4. Έστω μη-κενό σύνολο A με την εξής ιδιότητα: για κάθε x1, x2 ∈ A με x1 < x2και για κάθε x με x1 < x < x2 ισχύει x ∈ A. Τότε το A είναι διάστημα.

Απόδειξη. Έστωu = supA, l = infA,

οπότε −∞ ≤ l ≤ u ≤ +∞. Τότε, προφανώς, A ⊆ [l, u].Έστω x ∈ (l, u). Τότε ο x δεν είναι κάτω φράγμα ούτε άνω φράγμα του A, οπότε υπάρχουνx1, x2 ∈ A με x1 < x < x2. Βάσει της υπόθεσης, συνεπάγεται x ∈ A. Επομένως, (l, u) ⊆ A.Από τη διπλή σχέση (l, u) ⊆ A ⊆ [l, u] προκύπτουν ακριβώς τέσσερις περιπτώσεις:

A = (l, u) ή A = [l, u] ή A = (l, u] ή A = [l, u).

Σε κάθε περίπτωση το A είναι διάστημα και, μάλιστα, με άκρα τα infA και supA.

Ασκήσεις.

1.2.1. Αποδείξτε ότι max{x, y} = x+y+|x−y|2 και min{x, y} =x+y−|x−y|

2 .

1.2.2. Αποδείξτε ότι το διάστημα (a,+∞) δεν είναι άνω φραγμένο και ότι το [a, b) δεν έχει μέγιστοστοιχείο.

1.2.3. Αν ισχύει l ≤ a+ ϵ για κάθε ϵ > 0, αποδείξτε ότι l ≤ a.Αν ισχύει |a− b| ≤ ϵ για κάθε ϵ > 0, αποδείξτε ότι a = b.

1.2.4. Αν ισχύει a ≤ ϵ1−ϵ για κάθε ϵ με 0 < ϵ < 1, αποδείξτε ότι a ≤ 0.

1.2.5. Έστω infA = infB και supA = supB. Συνεπάγεται A = B;

1.2.6. Έστω μη-κενό σύνολοA. Αποδείξτε ότι το κλειστό διάστημα [infA, supA] είναι το ελάχιστοκλειστό διάστημα στο R το οποίο περιέχει το A.

1.2.7. Υπάρχει ελάχιστο ανοικτό διάστημα το οποίο να περιέχει ένα κλειστό διάστημα [a, b];

1.2.8. Έστω μη-κενό σύνολο A. Περιγράψτε (με τύπο) συναρτήσει του supA το σύνολο των άνωφραγμάτων του A, διακρίνοντας τις περιπτώσεις: supA = +∞ και supA < +∞. Κάντε το ίδιοσε σχέση με το σύνολο των κάτω φραγμάτων του A και με το infA.

1.2.9. Έστω μη-κενό σύνολο A. Αποδείξτε ότι supA ∈ A αν και μόνο αν το A έχει μέγιστοστοιχείο. Κάντε το ίδιο για το infA και για το ελάχιστο στοιχείο του A.

1.2.10. Έχοντας υπ’ όψη και τα παραδείγματαA = [0, 2],A = [0, 2),A = [0, 1]∪{2}, απαντήστε,γενικά, για ένα μη-κενό, άνω φραγμένο σύνολο A και για τον u = supA στα εξής ερωτήματα:Είναι σωστό ότι ισχύει A ∩ (u− ϵ, u] ̸= ∅ για κάθε ϵ > 0;Είναι σωστό ότι ισχύει A ∩ (u− ϵ, u) ̸= ∅ για κάθε ϵ > 0;Ποιά είναι η απάντηση στα προηγούμενα ερωτήματα αν υποθέσουμε, επιπλέον, ότι u /∈ A;Προσαρμόστε όλα τα προηγούμενα στην περίπτωση του l = infA.

1.2.11. Έστω μη-κενό σύνολο A και αριθμός u.Αποδείξτε ότι supA ≤ u αν και μόνο αν ισχύει x ≤ u για κάθε x ∈ A.Αποδείξτε ότι u ≤ supA αν και μόνο αν για κάθε γ < u υπάρχει x ∈ A ώστε γ < x.Προσαρμόστε όλα τα προηγούμενα για το infA και αριθμό l.

9

1.2.12. Έστω μη-κενά σύνολα A,B.[α] Αποδείξτε ότι supA ≤ infB αν και μόνο αν ισχύει x ≤ y για κάθε x ∈ A, y ∈ B.[β] Πρώτον, μερικά παραδείγματα.Δείτε ότι τα σύνολα A = (−∞, 0], B = [0,+∞) έχουν την ιδιότητα να ισχύει x ≤ y για κάθεx ∈ A, y ∈ B. Κατόπιν, βρείτε το σύνολο όλων των ξ με την ιδιότητα να ισχύει x ≤ ξ ≤ y γιακάθε x ∈ A, y ∈ B.Κάντε το ίδιο για τα A = (−∞, 0], B = (0,+∞), για τα A = (−4,−2), B = (−2,+∞) και γιατα A = (−∞, 0), B = [1, 13].Τώρα, γενικά, έστω ότι ισχύει x ≤ y για κάθε x ∈ A, y ∈ B. Περιγράψτε (με τύπο) συναρτήσειτων supA, infB το σύνολο όλων των ξ με την ιδιότητα να ισχύει x ≤ ξ ≤ y για κάθε x ∈ A,y ∈ B.[γ] Έστω ότι ισχύει x ≤ y για κάθε x ∈ A, y ∈ B και έστω ότι για κάθε ϵ > 0 υπάρχουν x ∈ A,y ∈ B ώστε y − x ≤ ϵ. Αποδείξτε ότι supA = infB και ότι υπάρχει μοναδικός ξ με την ιδιότητανα ισχύει x ≤ ξ ≤ y για κάθε x ∈ A, y ∈ B. Ποιός είναι αυτός ο ξ;[δ] Έστω ότι ισχύει 0 < x ≤ y για κάθε x ∈ A, y ∈ B και έστω ότι για κάθε ϵ > 0 υπάρχουνx ∈ A, y ∈ B ώστε yx ≤ 1 + ϵ. Αποδείξτε ότι supA = infB και ότι υπάρχει ακριβώς ένας ξ μετην ιδιότητα να ισχύει x ≤ ξ ≤ y για κάθε x ∈ A, y ∈ B.

1.2.13. Έστω μη-κενά σύνολα A,B ώστε A ∪ B = R και ώστε να ισχύει x < y για κάθε x ∈ A,y ∈ B. Παρατηρήστε ότι τα A,B είναι συμπληρωματικά και ότι το A είναι αριστερά του B.Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ ώστε είτεA = (−∞, ξ), B = [ξ,+∞) είτεA = (−∞, ξ], B = (ξ,+∞).

1.2.14. Έστω μη-κενά σύνολαA,B. Aποδείξτε ότι supA ≤ supB αν και μόνο αν για κάθε x ∈ Aκαι κάθε γ < x υπάρχει y ∈ B ώστε y > γ.

1.2.15. Έστω μη-κενά σύνολα A, B ώστε A ⊆ B. Αποδείξτε ότι infB ≤ infA ≤ supA ≤ supB.

1.2.16. [α] Έστω μη-κενά σύνολα A, B.Αποδείξτε ότι sup(A ∪B) = max{supA, supB} και inf(A ∪B) = min{infA, infB}.Αν, επιπλέον, το A ∩ B δεν είναι κενό, αποδείξτε ότι sup(A ∩ B) ≤ min{supA, supB} και ότιinf(A ∩B) ≥ max{infA, infB}.Ισχύει πάντοτε ότι sup(A ∩B) = min{supA, supB} ή ότι inf(A ∩B) = max{infA, infB};[β] Για το μη-κενό σύνολο A ορίζουμε −A = {−x |x ∈ A}.Αποδείξτε ότι sup(−A) = − infA και inf(−A) = − supA.[γ] Για μη-κενά σύνολα A,B ορίζουμε A+B = {x+ y |x ∈ A, y ∈ B}.Ποιό είναι το A+B αν A = [3, 5], B = [1, 7] καθώς και αν A = (3, 5), B = (1, 7) ;Αποδείξτε ότι inf(A+B) = infA+ infB και sup(A+B) = supA+ supB.[δ] Για μη-κενά σύνολα A,B ορίζουμε A ·B = {xy |x ∈ A, y ∈ B}.Ποιό είναι τοA ·B ανA = [3, 5],B = [1, 7], ανA = (3, 5),B = (1, 7) αλλά και ανA = (−1, 5),B = (−2, 7) ;Αν A,B ⊆ (0,+∞), αποδείξτε ότι inf(A ·B) = infA infB και sup(A ·B) = supA supB.

1.2.17. Ποιά πιστεύετε ότι είναι τα κάτω φράγματα και τα άνω φράγματα του ∅; Επομένως, πώςθα ορίζατε τα inf ∅, sup ∅; Θα ίσχυε τότε η ανισότητα inf ∅ ≤ sup ∅;

1.2.18. 8 [α] Έστω συνάρτηση f : [a, b] → R αύξουσα στο [a, b]. Αν f(a) > a και f(b) < b,αποδείξτε ότι υπάρχει ξ ∈ (a, b) ώστε f(ξ) = ξ.[β] Έστω διάστημα I και f : I → R και έστω ότι για κάθε x ∈ I υπάρχει δ > 0 ώστε να ισχύειf(x′) ≤ f(x) ≤ f(x′′) για κάθε x′, x′′ ∈ (x − δ, x + δ) ∩ I με x′ ≤ x ≤ x′′. Αποδείξτε ότι η fείναι αύξουσα στο I .

8Αυτήν την άσκηση θα τήν ξαναδούμε ως άσκηση 2.4.16.

10

1.3 Άμεσα πορίσματα της Ιδιότητας Supremum.

Ξαναδείτε τα παραδείγματα 1.2.4 και 1.2.7.

ΘΕΩΡΗΜΑ 1.1. Το N δεν είναι άνω φραγμένο και, επομένως, supN = +∞.

Απόδειξη. Ας υποθέσουμε (για να καταλήξουμε σε άτοπο) ότι το N είναι άνω φραγμένο, οπότε τοsupN είναι αριθμός.Ο αριθμός supN − 1 δεν είναι άνω φράγμα του N, οπότε υπάρχει n ∈ N ώστε supN − 1 < n.Συνεπάγεται supN < n+ 1 και καταλήγουμε σε άτοπο, διότι n+ 1 ∈ N.

Το θεώρημα 1.1 συνεπάγεται το εξής:

Η ΑΡΧΙΜΗΔΕΙΑ ΙΔΙΟΤΗΤΑ. Αν l > 0, τότε υπάρχει n ∈ N ώστε 0 < 1n < l.

Πράγματι, αν l > 0, θεωρούμε τον αριθμό 1l και, επειδή το N δεν είναι άνω φραγμένο, υπάρχειn ∈ N ώστε 1l < n ή, ισοδύναμα, 0 <

1n < l.

Παράδειγμα 1.3.1. Ξαναδείτε το παράδειγμα 1.2.8.Το σύνολο A = { 1n |n ∈ N} = {1,

12 ,

13 ,

14 , . . . } έχει infA = 0.

Πράγματι, αφ’ ενός ο 0 είναι κάτω φράγμα του A αφ’ ετέρου από την Αρχιμήδεια ιδιότητα προ-κύπτει ότι κανένας l > 0 δεν είναι κάτω φράγμα του A. Επομένως, το μέγιστο κάτω φράγμα τουA είναι ο 0.

Η πρόταση 1.5 λέει ότι κάθε αριθμός είναι ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς ακεραίους.

ΠΡΟΤΑΣΗ 1.5. Για κάθε x υπάρχει μοναδικός k ∈ Z ώστε k ≤ x < k + 1.

Απόδειξη. Έστω αριθμός x.Σύμφωνα με το θεώρημα 1.1 υπάρχει n ∈ N ώστε n > x και υπάρχει m ∈ N ώστε m > −x.Θέτουμε l = −m, οπότε οι l, n είναι ακέραιοι και

l < x < n.

Ας θεωρήσουμε ότι ισχύει η επαγωγική υπόθεση:

για κάθε k ∈ Z, αν ισχύει η ανισότητα k ≤ x, τότε ισχύει και η ανισότητα k + 1 ≤ x.

Τότε από την αρχή της επαγωγής και από το ότι η ανισότητα k ≤ x ισχύει για k = l, συμπεραίνουμεότι η ανισότητα k ≤ x ισχύει για κάθε k ∈ Z με k ≥ l. Αυτό, όμως, δεν είναι σωστό διότι ηανισότητα k ≤ x δεν ισχύει για τον k = n.Επομένως, η αρχική επαγωγική υπόθεση δεν είναι σωστή, οπότε υπάρχει k ∈ Z ώστε k ≤ x καιk + 1 > x, δηλαδή ώστε k ≤ x < k + 1.Τώρα θα δούμε ότι ο ακέραιος k με την ιδιότητα k ≤ x < k + 1 είναι μοναδικός.Έστω k ≤ x < k+1 και k′ ≤ x < k′+1 για κάποιους k, k′ ∈ Z. Τότε k < k′+1 και k′ < k+1,οπότε −1 < k′ − k < 1. Επειδή k′ − k ∈ Z, συνεπάγεται k′ − k = 0, οπότε k′ = k.

ΟΡΙΣΜΟΣ 1.6. Ο k ∈ Z για τον οποίο ισχύει k ≤ x < k + 1, η ύπαρξη και η μοναδικότητα τουοποίου εξασφαλίζεται από την πρόταση 1.5, ονομάζεται ακέραιο μέρος του x και συμβολίζεται [x].

Δηλαδή,[x] ∈ Z και [x] ≤ x < [x] + 1.

Παράδειγμα 1.3.2. [3] = 3, [−3] = −3, [3.5] = 3, [−3.5] = −4.

11

Το επόμενο αποτέλεσμα λέει ότι κάθε ανοικτό διάστημα, οσοδήποτε μικρό, περιέχει τουλάχι-στον έναν ρητό. Η ιδιότητα αυτή των ρητών, δηλαδή το να περιέχει οποιοδήποτε δοσμένο ανοικτόδιάστημα κάποιον από αυτούς, ονομάζεται πυκνότητα των ρητών (στο R) ή πυκνότητα του Q (στοR). Λίγο πιο μετά θα δούμε ότι την ίδια ιδιότητα έχουν και οι άρρητοι.

ΠYKNOTHTA ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ. Για κάθε a, b με a < b υπάρχει ρητός r ώστε a < r < b.

Απόδειξη. Επειδή b − a > 0, συνεπάγεται, σύμφωνα με την Αρχιμήδεια ιδιότητα, ότι υπάρχειn ∈ N ώστε 1n < b− a. Επομένως, na+ 1 < nb, οπότε

na < [na] + 1 ≤ na+ 1 < nb.

Τότε για τον ρητό r = [na]+1n ισχύει a < r < b.

Ασκήσεις.

1.3.1. Ξαναδείτε την άσκηση 1.2.3.Αν ισχύει l ≤ a+ 1n για κάθε n ∈ N, αποδείξτε ότι l ≤ a.Αν ισχύει |a− b| ≤ 1n για κάθε n ∈ N, αποδείξτε ότι a = b.

1.3.2. Βρείτε τα infimum και supremum των συνόλων {(−1)nn |n ∈ N}, N ∪ { 1n |n ∈ N},{(−1)n − 1n |n ∈ N}, {

12n |n ∈ N} ∪ {1−

12n |n ∈ N},

∪+∞n=1[2n− 1, 2n],

∪+∞n=1[

12n ,

12n−1 ].

1.3.3. Βρείτε το infimum και το supremum του (a, b) ∩Q = {r ∈ Q | a < r < b}.

1.3.4. Ξαναδείτε την άσκηση 1.2.12.Τα σύνολα A = {− 1n |n ∈ N}, B = {

1n |n ∈ N} ικανοποιούν την υπόθεση ότι ισχύει x ≤ y για

κάθε x ∈ A, y ∈ B. Βρείτε το σύνολο όλων των ξ με την ιδιότητα να ισχύει x ≤ ξ ≤ y για κάθεx ∈ A, y ∈ B. Κάντε το ίδιο για τα A = {r ∈ Q | r < 0}, B = {r ∈ Q | r > 0}.

1.3.5. Αν ισχύει r ≥ a για κάθε r ∈ Q με r > b, αποδείξτε ότι b ≥ a.Αν {r ∈ Q | r < a} = {r ∈ Q | r < b}, αποδείξτε ότι a = b.Αν {r ∈ Q | r < a} ∩ {r ∈ Q | r > b} = ∅, αποδείξτε ότι a ≤ b.Αν {r ∈ Q | r ≤ a} ∪ {r ∈ Q | r ≥ b} = Q, αποδείξτε ότι b ≤ a.

1.4 Ρίζες, δυνάμεις, λογάριθμοι.

Υπενθυμίζουμε τους ορισμούς των δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη.Αν n ∈ Z, n ≥ 1 (δηλαδή, αν n ∈ N), ορίζουμε τη δύναμη an με τον γνωστό τρόπο:

an = a · · · a (n φορές).

Αν n ∈ Z, n ≤ −1 και a ̸= 0, ορίζουμε:

an = 1a···a (−n φορές) .

Τέλος, αν n = 0 και a ̸= 0, ορίζουμε:a0 = 1.

Οι βασικές ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιους εκθέτες εκτίθενται στην άσκηση 1.4.3 καιόλες έχουν απλές αλγεβρικές αποδείξεις γνωστές από το λύκειο. Το μοναδικό ουσιαστικό στοιχείοαυτών των αποδείξεων είναι το σωστό μέτρημα των παραγόντων των διαφόρων γινομένων. Θατις θεωρήσουμε γνωστές.

12

1.4.1 Ρίζες.

Όμως, δεν θα θεωρήσουμε γνωστές τις δυνάμεις με μη-ακέραιους εκθέτες και, ειδικώτερα, τιςρίζες παρά το ότι στο λύκειο μαθαίνουμε να χειριζόμαστε αλγεβρικά όλες αυτές τις παραστάσεις.Ο λόγος είναι ότι στον ορισμό τους παίζει ουσιαστικό ρόλο η ιδιότητα supremum.

ΘΕΩΡΗΜΑ 1.2. Έστω n ∈ N, n ≥ 2. Για κάθε y ≥ 0 υπάρχει μοναδικός x ≥ 0 ώστε xn = y.

Απόδειξη. 9 Έστω n ∈ N, n ≥ 2 και y ≥ 0.Θεωρούμε το σύνολο

X = {x |x ≥ 0, xn ≤ y}.

Πρώτον, είναι προφανές ότι 0 ∈ X , οπότε το X είναι μη-κενό. Κατόπιν, από το y + 1 ≥ 1συνεπάγεται (y+1)n ≥ y+1 > y. Άρα για κάθε x ∈ X ισχύει xn ≤ y < (y+1)n και, επομένως,x < y + 1. Άρα το X είναι άνω φραγμένο με άνω φράγμα τον y + 1.Επειδή το X είναι μη-κενό και άνω φραγμένο, το supX είναι αριθμός. Θέτουμε

ξ = supX.

Προφανώς, ξ ≥ 0, διότι 0 ∈ X . Θα αποδείξουμε ότι ξn = y.Έστω ξn < y. Τότε y−ξ

n

n(ξ+1)n−1 > 0 και θεωρούμε έναν οποιονδήποτε ϵ > 0 αρκετά μικρό ώστεϵ ≤ 1 και ϵ ≤ y−ξ

n

n(ξ+1)n−1 . Από την ανισότητα (1.2) συνεπάγεται

(ξ + ϵ)n − ξn ≤ n(ξ + ϵ)n−1((ξ + ϵ)− ξ

)= n(ξ + ϵ)n−1ϵ ≤ n(ξ + 1)n−1ϵ ≤ y − ξn.

Άρα (ξ + ϵ)n ≤ y, οπότε ξ + ϵ ∈ X . Άτοπο, διότι ο ξ είναι άνω φράγμα του X . Άρα ξn ≥ y.Έστω ξn > y. Τότε ξ

n−ynξn−1 > 0 και θεωρούμε έναν οποιονδήποτε ϵ &