الباب الرابع

القطوع المخروطية

المخالقطع روطConic Section

نيدائرينيهوالشكلالناتجعنتقاعمستوىمامعخمرط:القطعاملخرطكليهماأطأحدمها،حبيثالميراملست .وىابلرأسقائمنيمتقابلنيابلرأس،

يةالقطعاملكافئطالقطعالزائدطالقطعالناقصطالدائرةأمثلةللق .طوعاملخرط

يا؟هلالشكلاملظللابلرسمميثلقطع اخمرط

ندسالالمحل Locus

اليتحتققهوالشكلالذيينتجعنجمموعةالنقاط:احمللالندس.خاصيةهندسيةمعينة

ااثبت االدائرةهاحمللالندسجملموعةنقاطاملستوىاليتت بعدبوعد .عننقطةمعلومةتسمىاملركز

:صحأمخطأعالنقاطاليتاملستقيماملوازيملستقيممعلومهواحمللالندسجلمي

ااثبت اعناملستقيميفاملستوىنفسه .تبعدبوعد

كافئالقطعالموParabola

نبوعدكلمنهاعنهواحمللالندسجملموعةنقاطاملستوىاليتيكو:القطعاملكافئدائم البعدهاعنمستقيممعلوميسمى(البؤرة)نقطةاثبتة .الدليلمساطي

.طعاملكافئاملسارالذيتتحركفيهاملقذطفاتمثالعلىالق

.مكافئ احتتالصورةاليتيظهرفيهاقطع ا()ضععالمة

ةالب وؤرFocus

𝒄نالرأسمسافةهنقطةاثبتةتقععلىحمورالتماثلللقطع،طتبعدع:البؤرة.طتكونمساطيةلبعدالرأسعنمستقيماثبتيسمىالدليل

𝑭طةبؤرةالقطعاملكافئاملمثلبيانياهالنق 𝟔,𝟏𝟒.

:أكملالفراغاجملاطرإحداثيابؤرةالقطعاملكافئيفالتمثيل البياين

.............مها

لي لالدDirectrix

هعنأينقطةهومستقيمعموديعلىحمورالتماثلحبيثيكونبوعد:الدليللبوعدهذهالنقطةعنالبؤرة .تقععلىالقطعمساطي

𝒙اهمعادلةالدليلللقطعاملكافئاملمثلبياني = 𝟓.

.اخت راإلجابةالصحيحةاجملاطرهيفالتمثيلالبيمعادلةالدليلللقطعاملكافئ :اين

ሻ𝟏 𝒙 = 𝟔 ሻ𝟐 𝒚 = 𝟏𝟔

ماثولالتحمورAxis of Symmetry

.املارابلبؤرةهواملستقيمالعموديعلىالدليلط:حمورالتماثل

𝐲:اهمعادلةحمورالتماثلللقطعاملكافئاملمثلبياني = −𝟓

:أكملالفراغمثيلالبياين معادلةحمورالتماثلللقطعاملكافئيفالت

..........اجملاطره

الرأسVertex

.لتماثلهونقطةتقاعالقطعاملكافئمعحمورا:الرأس

:أكملالفراغاجملاطرإحداثيارأسالقطعاملكافئيفالتمثيلا لبياين

...........مها

𝑽رأسالقطعاملكافئاملمثلبيانياهو 𝟐, − 𝟓.

ؤريالب والوترLatus Rectum

ورالتماثل،طيقعهوالقطعةاملستقيمةاملارةابلبؤرةطالعموديةعلىحم:الوترالبؤريولالوترالبؤرييساطي.رفاالوترالبؤريعلىالقطعاملكافئ 𝟒𝒄ط

.املسافةبنيالبؤرةطالرأسcحيث

:انيايساطيولالوترالبؤريللقطعاملكافئاملمثلبي𝟒𝒄 = 𝟒 × 𝟐 = 𝟖

:أكملالفراغتمثيلالبياين ولالوترالبؤريللقطعاملكافئيفال

.........يساطياجملاطر

صناقالالقطعEllipse

جمموعبعديهاهواحمللالندسجملموعةنقاطاملستوىاليتيكون:القطعالناقص.𝟐𝒂يساطيمقدار ااثبت اطهو(البؤرتني)عننقطتنياثبتتني

.هالبعدبنيالرأسطاملركز𝒂حبيث

.قصالنجومطالكواكبتتحركيفمداراتعلىشكلقطعان

.اانقص احتتالصورةاليتيظهرفيهاقطع ()ضععالمة

نالب وؤراتFoci

:أكملالفراغثيلالبياين لقطعالناقصيفالتمإحداثياتالبؤرتنيل

.............اجملاطره

𝑭𝟏ط𝑭𝟏:يفالقطعالناقصاجملاطرالبؤراتنمهاكان 𝑷𝑭𝟏:منالرسمإذا + 𝑷𝑭𝟐 = 𝟏𝟎

𝑴𝑭𝟏:فإن +𝑴𝑭𝟐 = 𝟏𝟎

طيكونجمموع𝟐𝒄مهانقطتانتقعانعلىاحملوراألكربطاملسافةبينهما:البؤراتن.ت ابوعديهماعنأينقطةعلىمنحىنالقطعالناقصيساطيمقدار ااثب

.هالبعدبنيإحدىالبؤرتنيطاملركز𝒄حبيث

كرباألالمحورMajor Axis

قيمةاليتحتويهوحمورمتاثلللقطعالناقصطهوالقطعةاملست:احملوراألكربوله .𝟐𝒂البؤرتنيطتقعهنايتاهاعلىمنحىنالقطعالناقص،ط

.البعدبنياملركزطأحدالرأسني𝒂حيث

:أكملالفراغمثيلالبياين معادلةاحملوراألكربللقطعالناقصيفالت

............اجملاطره

𝒚:معادلةاحملوراألكربللقطعالناقصاجملاطره = 𝟒.

رصالمحوراألMinor Axis

ةمعاحملوراألكرب،هوالقطعةاملستقيمةاليتمترابملركزطاملتعامد:احملوراألصروله .𝟐𝒃طتقعهنايتاهاعلىمنحىنالقطعالناقص،ط

.هالبعدبنياملركزطأحدالرأسنياملرافقني𝒃حبيث

𝒙معادلةاحملوراألصرللقطعالناقصاجملاطره = 𝟏.

:صحأمخطأمثيلالبياين معادلةاحملوراألصرللقطعالناقصيفالت

𝒚اجملاطره = 𝟑

زالمركCenter

.رهونقطةاملنتصفللمحوريناألكربطاألص:املركز

.𝟏,𝟒إحداثيامركزالقطعالناقصاجملاطرمها

:أكملالفراغالبياين إحداثيامركزالقطعالناقصيفالتمثيل

...............اجملاطرمها

انالرأسVertices

.كربمهانقطتاهناييتاحملوراأل:الرأسان

جملاطرإحداثياتالرأسنيللقطعالناقصا𝟒,𝟒−:ه , 𝟔,𝟒

:أكملالفراغتمثيلإحداثياتالرأسنيللقطعالناقصيفال

اجملاطره ...................البياين

انمورافقالرأسانالCo-Vertices

.وراألصرمهانقطتاهناييتاحمل:الرأساناملرافقان

صاجملاطرإحداثياتالرأسنياملرافقنيللقطعالناق𝟏,𝟖:ه , 𝟏,𝟎

:أكملالفراغالتمثيلإحداثياتالرأسنياملرافقنيللقطعالناقصيف

اجملاطر ......................هالبياين

ختالف ي المركزاالEccentricity

تقعهذه،طهومدىدائريةأطاتساعالقطعالناقص:االختالفاملركزي.1ط 0القيمةدائم ابني

:صحأمخطأكانتقيمة فإنالقطع1منتقرتباالختالفاملركزيللقطعالناقصإذا

.الناقصيقرتبمناخلطاملستقيم

زيإىلصفرصورخمتلفةلالختالفاملركزي،طعندماتصلقيمةاالختالفاملرك.يصبحالقطعالناقصدائرة

ائدالقطعالزHyperbola

وىطاليتيكونهواحمللالندسجلميعالنقاطالواقعةيفاملست:القطعالزائدتسميان)اثبتتنيبنيبوعديهاعننقطتني(القيمةاملطلقةللفرق)الفرقاملطلق

.𝟐𝒂يساطيمقدار ااثبت ا،هو(البؤرتني.البعدبنياملركزطأحدالرأسني𝒂حيث

.قطعزائدالظلعلىاجلدارالذييصنعهاملصباحميثل

.د احتتالصورةاليتيظهرفيهاقطع ازائ()ضععالمة

اتنالب وؤرFoci

بوعديهماعنأيمهانقطتانتقعانعلىاحملورالقاعطالفرقاملطلقبني:البؤراتن.نقطةمننقاطمنحىنالقطعالزائديساطيمقدار ااثبت ا

:اطرهإحداثياتالبؤرتنيللقطعالزائداجمل−𝟑, 𝟑 , −𝟑,−𝟕

:أكملالفراغتمثيلالبياين إحداثياتالبؤرتنيللقطعالزائديفال

....................اجملاطره

زالمركCenter

.لبؤرتنيهونقطةمنتصفاملسافةبنيا:املركز

,𝟑−إحداثيامركزالقطعالزائداجملاطرمها − 𝟐.

:أكملالفراغ𝟐−إحداثيامركزالقطعالزائدالذيبؤراته , − 𝟔 , −𝟐 ,𝟒

...................................مها

نالرأساVertices

نيالبؤرتنيمعمهانقطتاتقاعالقطعةاملستقيمةالواصلةب:الرأسان.كلمنفرعاملنحىن

:اطرهإحداثياتالرأسنيللقطعالزائداجمل−𝟑, 𝟐 , −𝟑,−𝟔

:أكملالفراغلالبياين إحداثياتالرأسنيللقطعالزائديفالتمثي

..........................اجملاطره

عالمحورال قاTransverse Axis

ةاملستقيمةهوأحدحموريمتاثلالقطعالزائدطهوالقطع:احملورالقاع.الواصلةبنيالرأسنيطميرابملركز

:معادلةاحملورالقاعللقطعالزائداجملاطره𝒙 = −𝟑.

:أكملالفراغيلالبياين معادلةاحملورالقاعللقطعالزائديفالتمث

...........اجملاطره

مورافقالمحورالConjugate Axis

عةاملستقيمةهوأحدحموريمتاثلالقطعالزائدطهوالقط:احملوراملرافق.العموديةعلىاحملورالقاعطميرابملركز

:معادلةاحملوراملرافقللقطعالزائده𝒚 = −𝟐.

:صحأمخطأتمثيلالبياين معادلةاحملوراملرافقللقطعالزائديفال

𝒙اجملاطره = −𝟐