matheplanet.com, StefanK Ringe - Algebra I Materialienalgebra1.de/karten/Algebra1.pdf · , Stefan K 3 Ringe 11 Homomorphiesatz f¨ur Ringe Algebra Ringe 12 Isomorphiesatz fur Ringe¨

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Ringe1

Definition:Ring

Algebra

Ringe2

Definition:kommutativer Ring

Algebra

Ringe3

Definition:Unterring

Algebra

Ringe4

Unterringkriterium

Algebra

Ringe5

Definition:Ringhomomorphismus

Algebra

Ringe6

Kern/Bild einesRinghomomorphismus

Algebra

Ringe7

Charakterisierunginjektiver Ringhomomorphismus

Algebra

Ringe8

Definition:Ropp

Algebra

Ringe9

Faktorring

Algebra

Ringe10

kanonischer Epimorphismus

Algebra

2 http://algebra1.de

Ein Ring (R,+, ·) heißt kommutativ, wenn seinemultiplikative Halbgruppe kommutativ ist, d.h.wenn gilt:

x · y = y · x ∀x, y ∈ R

Ein Tripel (R,+, ·) mit R 6= ∅ und inneren Verknupfungen+, · heißt (assoziativer) Ring, wenn gilt:

• (R,+) ist eine abelsche Gruppe

• (R, ·) ist eine Halbgruppe

• fur +, · und x, y, z ∈ R gelten die Distributivgesetze

x · (y + z) = x · y + x · z

(x+ y) · z = x · z + y · z

Eine nichtleere Teilmenge U eines Ringes(R,+, ·) ist Unterring von R

⇔

∀x, y ∈ U gilt: x− y ∈ U und xy ∈ U .

Eine nichtleere Teilmenge U eines Ringes(R,+, ·) heißt Unterring von R, wenn sich dieOperationen +, · auf U einschranken lassen,so daß (U,+, ·) zu einem Ring mit deneingeschrankten Operationen wird.

Sei ϕ : R→ S ein Ringhomomorphismus.

• ker(ϕ) = {r ∈ R | ϕ(r) = 0} ist ein Unterringvon R,

• ϕ(R) ist ein Untermodul von S.

Seien (R,+, ·), (S,+, ·) Ringe.

Eine Abbildung ϕ : R→ S heißt ein

Ringhomomorphismus

wenn fur alle x, y ∈ R gilt:

• ϕ(x+ y) = ϕ(x) + ϕ(y)

• ϕ(x · y) = ϕ(x) · ϕ(y)

Ropp ist ein Ring uber der gleichen Menge wie

R, mit der Verknupfung

a ◦ b := ba

Sei ϕ ein Ringhomomorphismus.

ϕ ist injektiv ⇔ ker(ϕ) = {0}

Der kanonischer Epimorphismus ist die Abb.

π : R → R/Ix 7→ x+ I

Sei I ein Ideal in (R,+, ·). (R,+) ist kommutativ,I ist Normalteiler in (R,+), es existiertFaktorgruppe R/I.

Definieren Produkt: (x+ I)(y + I) := xy + I

Wohldefiniertheit folgt aus Idealeigenschaft.

(R/I,+, ·) ist ein Ring, der Faktorring.


Ringe11

Homomorphiesatz fur Ringe

Algebra

Ringe12

Isomorphiesatz fur Ringe

Algebra

Ringe13

Isomorphiesatz fur Ringe, Kurzen

Algebra

Ringe14

Einheitengruppe

Algebra

Ringe15

Definition:Schiefkorper

Algebra

Ringe16

Definition:einfacher Ring

Algebra

Ringe17

Definition:lokaler Ring

Algebra

Ringe18

Definition:Integritatsring

Algebra

Ringe19

Z(p)

Algebra

Ringe20

CharakterisierungRing ist lokal . . .

Algebra


Isomorphiesatz:

Fur Unterring U und Ideal I eines Ringes R gilt

U ∩ I ist Ideal von U ,

(U + I)/I ∼= U/(U ∩ I)

Sei ϕ : R→ S ein Ringhomomorphismus. Dann gilt:

R/ker(ϕ) ∼= ϕ(R)

Haben Gruppenisomorphismus

Φ�x+ ker(ϕ)

�:= ϕ(x),

Φ ist sogar Ringhomomorphismus.

a ∈ R heißt Einheit in R, wenn es x, y ∈ R gibt mitxa = 1 und ay = 1, also wenn es invertierbar ist.

R∗ = {a ∈ R | ∃x, y ∈ R : xa = 1 ∧ ay = 1}

ist die Einheitengruppe von R.

Isomorphiesatz/Kurzen:

Fur Ideale I ⊂ J eines Ringes R gilt

(R/I)/(J/I) ∼= R/J

R heißt einfach, wenn R 6= {0} und die einzigenzweiseitigen Ideale nur {0} und R sind.

R heißt Schiefkorper, wenn

R∗ = R \ {0}

R heißt Integritatsring, wenn R

– kommutativ ist

– ein Einselement besitzt

– nullteilerfrei ist:

ab = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0

R sei kommutativ mit Eins. R heißt lokal, wenn

es genau ein einziges maximales Ideal in R gibt.

Sei R ein Ring kommutativ mit Eins.

Dann ist R lokal

⇔R \R∗ ist ein Ideal

Lokalisierung am Primideal (p):

Z(p) =

�a

b| a, b ∈ Z, p - b

�

Z(p) ist lokaler Ring, Z(p) ist Hauptidealring.

(kommutativ mit 1)

Einziges maximales Ideal: (p)


Ringe21

Beispiel fur einen faktoriellen Ring,der kein Hauptidealring ist

Algebra

Ringe22

Beispiel fur einen Integritatsring,der nicht faktoriell ist

Algebra

Ringe23

Kurzungsregel

Algebra

Ringe24

Definition: Hauptidealring

Algebra

Ringe25

Definition:faktorieller Ring

Algebra

Ringe26

Charakterisierungfaktorieller Ring

Algebra

Ringe27

Definitioneuklidischer Ring

Algebra

Ringe28

Implikationskette Ringe

Algebra

Ideale1

Definition:Linksideal

Algebra

Ideale2

Ideale unterHomomorphismen

Algebra


Z[√−5] ⊂ C

Einheiten: ±1 = N(z) = a2 + 5b2 ⇒ z = ±1

a2 + 5b2 6= 3 ⇒ z mit N(z) = 9 ist unzerlegbar

N(3) = N(2 ±√−5) = 3, 3 und 2 ±

√−5 sind

unzerlegbar,

9 = 3·3 = (2+√−5)(2−

√−5) sind zwei verschiedene

Zerlegungen als Produkt unzerlegbarer Elemente

Z ist faktoriell ⇒ Z[X] ist faktoriell

aber:

Z ist kein Korper ⇒ Z[X] ist kein Hauptidealring

R heißt Hauptidealring, wenn

• R ist Integritatsring

• jedes Ideal in R ist Hauptideal

In Integritatsringen R gibt es keine Nullteiler,daher ist dort fur Nichtnullteiler x:

ax = bx ⇒ ax− bx = 0 ⇒ (a− b)x = 0

⇒ a− b = 0 ⇒ a = b,

denn x ist kein Nullteiler.

Sei R ein Integritatsring.

R ist faktoriell

⇔Jedes unzerlegbare Element ist prim und jedesa 6∈ R∗ ∪ {0} ist Produkt von unzerlegbarenElementen

⇔Jedes a 6∈ R∗ ∪ {0} ist endliches Produkt vonPrimelementen

Ein Ring R heißt faktorieller Ring, wenn gilt:

• R ist Integritatsring

• jedes a 6∈ R∗ ∪ {0} laßt sich eindeutig alsendliches Produkt von unzerlegbarenElementen darstellen.

R euklidisch ⇒ R ist Hauptidealring ⇒R ist faktoriell ⇒ R ist Integritatsbereich

Die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht!

Ein Integritatsring R heißt euklidisch, wenn eseine Abbildung

δ : R \ {0} → N ∪ {0}

gibt mit der Eigenschaft:

zu a, b ∈ R existieren q, r ∈ R mit

a = qb+ r und r = 0 oder δ(r) < δ(b)

Seien ϕ : R → S ein Ringhomomorphismus, I einIdeal in R, J ein Ideal in S. Dann gilt:

• ϕ−1(J) ist ein Ideal in R

• ist ϕ surjektiv, so ist ϕ(I) ein Ideal in S

Eine Teilmenge I eines Ringes R heißtLinksideal, wenn

• 0 ∈ I (aq. I 6= ∅)• a− b ∈ I fur alle a, b ∈ I• ra ∈ I fur alle r ∈ R, a ∈ I

erstere beide bedeuten: Untergruppe von (R,+)


Ideale3

Durchschnitt von Idealen

Algebra

Ideale4

erzeugtes Ideal (A)

Algebra

Ideale5

(A) =?

Algebra

Ideale6

Definition:Hauptideal

Algebra

Ideale7

Produkt von Idealen

Algebra

Ideale8

Summe von Idealen

Algebra

Ideale9

Definition:Maximales Ideal

Algebra

Ideale10

Definition:Primideal

Algebra

Ideale11

Existenzmaximaler Ideale

Algebra

Ideale12

R/I Korper ⇔ . . .

Algebra


Sei A ⊂ R Teilmenge des Ringes R. Dann heißt

\{I | I ist Ideal von R mit A ⊂ I} =: (A)

das von A erzeugte Ideal in R.

Sei (Iµ)µ∈M eine Familie von Idealen in R. Dann ist

\µ∈M

Iµ

wieder ein Ideal in R.

Ein Hauptideal wird von einem Element erzeugt:

(a) =

�Xendl.

xiayi +Xendl.

ax′i +Xendl.

x′ia+ na

�

wenn R kommutativ:

(a) = {ra+ na} = Ra+ Za

wenn R kommutativ mit Eins:

(a) = Ra

A ⊂ R dann

(A) =

�Xendl.

xiaiyi+Xendl.

a′ix′i+Xendl.

x′ia′′i +Xendl.

n′ia′′′i

�

das von A erzeugte Ideal in R.

Summe von Idealen:

Xµ∈M

Iµ =

�Xendl.

aµ | µ ∈M,aµ ∈ Iµ�

Ist wieder ein Ideal von R.

Produkt von Idealen:

IJ =�{ab | a ∈ I, b ∈ J}

�ist das von allen Produkten ab erzeugte Ideal.

IJ =

�Xendl.

aibi | ai ∈ I, bi ∈ J�

R sei kommutativ mit Eins.

Ein Ideal I heißt Primideal, wenn gilt:

ab ∈ I ⇒ a ∈ I oder b ∈ I

Ein Ideal I 6= R heißt maximal, wenn es

kein großeres echtes Ideal gibt:

J �R ∧ I ⊂ J ⇒ I = J ∨ J = R


Ideal I ist maximal

⇔R/I ist ein Korper

Sei R ein Ring mit Eins. Dann besitzt R

maximale Ideale.

X := {I �R, I 6= R} ist induktiv geordet

Folgerung: Jedes Ideal 6= R liegt in einem

maximalen Ideal.


Ideale13

R/I Integritatsring ⇔ . . .

Algebra

Ideale14

Wann sind maximale Idealeprim?

Algebra

Ideale15

Ideale in Z

Algebra

Ideale16

prime/maximale Ideale imHauptidealring

Algebra

Ideale17

Satz: Ideale imPolynomring uber Korper

Algebra

Ideale18

Lemma:Primideale in R[X]

Algebra

Teilbarkeit in IR1

DefinitionTeilbarkeit

Algebra

Teilbarkeit in IR2

EigenschaftenTeilbarkeit

Algebra

Teilbarkeit in IR3

Definition: assoziiert

Algebra

Teilbarkeit in IR4

Definition: prim

Algebra



Dann sind maximale Ideale prim in R.

Sei R ein Ring kommutativ mit Eins, I ein Ideal.

Ideal I ist Primideal

⇔R \ I ist multiplikativ abgeschlossen

⇔R/I ist ein Integritatsring

Im Hauptidealring, sind Primelemente genau dieunzerlegbaren Eemente, d.h.

• p prim ⇔ p unzerlegbar

• Ist a 6= 0, dann ist (a) Primideal ⇔ (a) istmaximales Ideal

• Ideale in Z sind genau die mZ

• maximale Ideale in Z sind genau die pZ, p Primzahl

• Primideale in Z sind genau die pZ, p Primzahl oderp = 0 (0) ist Primideal

R sei kommutativer Ring mit Eins.

Ist P Primideal von R

⇒

P [X] = {PaiX

i | ai ∈ P} ist Primideal in R[X]

Beweis: uber universelle Eigenschaft.

Der Polynomring uber einem Korper ist ein

Hauptidealring.

Folgt, weil er euklidischer Ring ist.

• 1 | a, a | a• a | 1 ⇔ a ∈ R∗

• a | b ⇒ ar | br ∀r ∈ R• a | bi, i = 1, . . . , n ⇒ a |

Pni=1 ribi ∀r1, . . . rm ∈ R

• a | b ∧ b | c ⇒ a | c• a | b ⇔ (a) ⊃ (b)

• (a) = (b) ⇔ ∃u ∈ R∗ : a = bu

a | b in R, wenn es ein c ∈ R gibt mit b = ac

Sei p 6∈ R∗ ∪ {0}. p heißt prim, wenn

p | ab ⇒ p | a oder p | b

a, b ∈ R heißen assoziiert, wenn es eine Einheit

u ∈ R∗ gibt mit a = bu.

Schreibweise: a ∼ b

ist Aquivalenzrelation


Teilbarkeit in IR5

Definition: unzerlegbar

Algebra

Teilbarkeit in IR6

Charakterisierungprim, unzerlegbar

Algebra

Teilbarkeit in IR7

gemeinsamer Teiler,ggT

Algebra

Teilbarkeit in IR8

ggT im Hauptidealring

Algebra

Teilbarkeit in IR9

Darstellung ggT imHauptidealring

Algebra

Teilbarkeit in IR10

Korollar im HIR,wenn ggT(a, b) = 1

Algebra

Teilbarkeit in IR11

Primfaktorzerlegung inHauptidealringen

Algebra

Mengen1

Definition:Halbordnung

Algebra

Mengen2

Definition:vollstandig geordnet

Algebra

Mengen3

Definition:obere Schranke

Algebra


Sei p 6∈ R∗ ∪ {0}.

• p prim ⇔ (p) Primideal

• p unzerlegbar ⇔ (p) maximal unter allenHauptidealen

• p prim ⇒ p unzerlegbar

Maximalideale sind prim.

Sei p 6∈ R∗ ∪ {0}. p heißt unzerlegbar, wenn

p = ab ⇒ a ∈ R∗ oder b ∈ R∗

Sei R ein Hauptidealring.

d ist ggT von a1, . . . , an

⇔(d) = (a1, . . . , an)


d ∈ R heißt gemeinsamer Teiler von r1, . . . , rn ∈R, wenn d | r1, . . . , d | rn

d ∈ R heißt großter gemeinsamer Teilervon r1, . . . , rn ∈ R, wenn d ein gemeinsamerTeiler ist und jeder gemeinsame Teiler d′ d teilt.

ggT existieren nicht immer, d′ ∼ d

Sei R ein Hauptidealring, ggT(a, b) = 1.

• a | bc ⇒ a | c• a | c ∧ b | c ⇒ ab | c

Sei R ein Hauptidealring.

Satz von Bezout:

Zu a1, . . . , an ∈ R existiert ein ggT und er laßtsich darstellen als

d = r1a1 + . . .+ rnan

mit r1, . . . , rn ∈ R.

Eine Relation”≤“ auf X 6= ∅ heißt Halbordnung,

wenn gilt

• x ≤ x ∀x ∈ X• x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y ∀x, y ∈ X• x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z ∀x, y, z ∈ X

(ohne daß je zwei Elemente x, y vergleichbar seinmussen)

Sei R ein Hauptidealring, a 6∈ R∗ ∪ {0}.

Dann gibt es Primelemente p1, . . . , pr mit

a = p1 · · · pr.

Wenn a = q1 · · · qt eine weitere Darstellung alsProdukt von Primelementen ist, dann gilt r = tund es gibt eine Permutation σ der Indizes,so daß qi ∼ pσ(i) ∀ i.

Sei B eine nichtleere Teilmenge einer halbgeordnetenMenge X. q ∈ X heißt obere Schranke fur B,wenn

b ≤ q ∀ b ∈ B

(q muß mit allen Elementen aus B vergleichbar sein.)

Eine nichtleere Teilmenge A einer halbgeordnetenMenge heißt vollstandig geordnet, wenn je

zwei Elemente aus A vergleichbar sind.


Mengen4

Definition:maximales Element

Algebra

Mengen5

Definition:induktiv geordnet

Algebra

Mengen6

Beispiele induktiver Ordnung

Algebra

Mengen7

Lemma von Zorn,starke Version

Algebra

Mengen8

Lemma von Zorn,schwache Version

Algebra

Mengen9

Auswahlaxiom

Algebra

Quadratische Zahlkorper1

Definition:Quadratischer Zahlkorper

Algebra


Definition:Norm-Abbildung

Algebra


Eigenschaftender Norm-Abbildung N

Algebra


Definition: Z[√

n]

Algebra


Eine Menge X mit Halbordnung”≤“ heißt

induktiv geordnet, wenn jede vollstandig

geordnete Teilmenge eine

obere Schranke in X besitzt.

Sei B eine nichtleere Teilmenge einer halbgeordnetenMenge X. m ∈ B heißt maximales Element vonB, wenn es keine großeren Elemente in B gibt:

b ∈ B ∧ m ≤ q ⇒ m = b

(m braucht nicht mit allen Elementen aus B

vergleichbar sein.)

Sei X eine nichtleere induktiv geordnete Menge.

Dann gibt es zu jedem Element a ∈ X ein maximalesElement m ∈ X mit a ≤ m.

Folgt aus schwacher Version mit

Xa := {x ∈ X | a ≤ x}

• R mit ≤ oder ≥• Potenzmenge P(M) einer Menge M mit Inklusion⊂ oder ⊃Bei M vollstandig geordnet sind

Sbzw.

Tobere Schranken

• C mit lexikographischer Ordnung

a+ bi ≤ c+ di ⇔ a < c oder a = c, b ≤ d

• C mit Ordnung auf Geraden durch Nullpunkt

Auswahlaxiom:

Ist A eine Menge von nichtleeren Mengen, dann

gibt es eine Funktion F mit Definitionsbereich A,genannt Auswahlfunktion, so daß gilt:

∀X ∈ A : F (X) ∈ X

F wahlt also aus jeder Menge X in A genau einElement aus.

Jede nichtleere induktiv geordnete Menge besitzt

ein maximales Element.

Definition Normabbildung

N : Q(√n) → Q

x+ y√n 7→ x2 − ny2

Sei n ∈ Z, n quadratfrei, n 6= 0, 1. Betrachte

Q(√n) := {x+ y

√n | x, y ∈ Q}

Q(√n) ist ein Korper.

(Inverses: Nenner rational machen)

Z[√n] = {a+ b

√n | a, b ∈ Z}

ist Integritatsring mit Eins

• N(x+ y√n) = 0 ⇔ x = y = 0

• N(z1z2) = N(z1)N(z2) ∀ z1, z2 ∈ Q[√n]

⇒ N ist injektiver Hom., da ker(N) = {0}Q[√n] ↪→ EndQQ[

√n]

• N(z) = zz

• z−1 = zN(z)



Einheiten in Z[√

n]

Algebra


Wann ist Z[√

n] euklidisch?

Algebra


Ist Z[i] euklidisch?

Algebra


Primelemente in Z[i]

Algebra


Satz von Fermat

Algebra

Lokalisierung1

Voraussetzungen

Algebra

Lokalisierung2

Relation

Algebra

Lokalisierung3

Addition

Algebra

Lokalisierung4

Multiplikation

Algebra

Lokalisierung5

α : R→ RH−1

(I)

Algebra


Z[√n] ist euklidisch fur

n = −2,−1, 2, 3

Setze dafur δ(z) := |N(z)| = |zz|

Einheiten in Z[√n]:

z ∈ Z[√n]∗ ⇔ N(z) = ±1

Es gibt 2 Arten von Primelementen in Z[i]:

• ±p,±ip p ∈ Z Primzahl, nicht Summe

zweier Quadrate

• a+ bi, a, b 6= 0, a2 + b2 ist prim in Z

Der Ring der ganzen Gaußschen Zahlen Z[i] isteuklidisch.

Voraussetzungen fur Lokalisierung:

• R ein kommutativer Ring

• H ⊂ R multiplikativ abgeschlossene Teilmenge,

• H enthalt keine Nullteiler von R

Betrachte R×H =�(r, h) | r ∈ R, h ∈ H

Satz von Fermat:

Sei p ∈ Z Primzahl, p ≡ 1(4). Dann gibt esa, b ∈ Z mit p2 = a2 + b2.

Definition der Addition:

r1//h1 + r2//h2 = (r1h2 + r2h1)//(h1h2)

ist wohldefiniert, d.h. reprasentantenunabhangig

(R × H/ ∼,+) ist abelsche Gruppe, neutrales Ele-ment 0//h

inverses Element zu r//h ist (−r)//h

Definition der Relation:

(r1, h1) ∼ (r2, h2) ⇔ r1h2 = r2h1

ist Aquivalenzrelation (benutze Nullteilerfreiheit)

Schreibweise: r//h fur die Aquivalenzklasse, die (r, h)enthalt

Sei R kommutativ, H ⊂ R multiplikativabgeschlossen ohne Nullteiler

Die Abbildung

α : R → RH−1

x 7→ xu//u

ist von u unabhangig und ist ein injektiverRinghomomorphismus.

(Kern ist {0} wegen Nullteilerfreiheit)

Definition der Multiplikation:

r1//h1 · r2//h2 = (r1r2)//(h1h2)

ist wohldefiniert, d.h. reprasentantenunabhangig

(R×H/ ∼,+, ·) ist abelsche Gruppe, neutralesElement h//h

Distributiv, also ist R×H/ ∼ ein kommutativerRing mit Eins,

Schreibweise: RH−1


Lokalisierung6

α : R→ RH−1

(II)

Algebra

Lokalisierung7

α : R→ RH−1

(III)universelle Eigenschaft

Algebra

Lokalisierung8

Sinn der Lokalisierung

Algebra

Lokalisierung9

Nullteiler zugelassen

Algebra

Polynomringe1

Definition:Ring der formalen Potenzreihen

Algebra

Polynomringe2

Definition:Ring der Polynome

Algebra

Polynomringe3

Definition:Grad eines Polynoms

Algebra

Polynomringe4

Definition:Leitkoeffizient

Algebra

Polynomringe5

Definition:normiertes Polynom

Algebra

Polynomringe6

Definition:irreduzibles Polynom

Algebra


Sei S kommutativer Ring, ϕ : R→ S ein Homomor-phismus und ϕ(h) fur h ∈ H invertierbar in S.

Dann existiert genau ein Homomorphismus ψ :RH−1 → S mit ψ ◦ α = ϕ.

Rα //

ϕ��?

????

??? RH−1

∃!ψ||yy

yyyy

yyy

S

Jedes α(h) mit h ∈ H ist invertierbar in RH−1,das Inverse ist h//h2.

Ausrechnen, Kurzen

Bei Nichtnullteilern: Definition der Relation:

(r1, h1) ∼ (r2, h2) ⇔ ∃h ∈ H : (r1h2 − r2h1)h = 0

Kommutativitat ist wesentlich

h ist fur Wohldefiniertheit notig, und erlaubt, Bruchezu kurzen

Lokalisierung:

Einem Ring R werden neue multiplikative Inversehinzugefugt.

Elemente einer Teilmenge H werden invertierbargemacht.

Man konstruiert einen Ring RH−1 und einen Ring-homomorphismus α : R→ RH−1, der H aufEinheiten in RH−1 abbildet.

Die Lokalisierung ist die”beste Wahl“ nach der

universellen Eigenschaft.

R[X] := {f ∈ R[[X]] | f ist fast uberall 0}

R ↪→ R[X] ↪→ R[[X]]

R[[X]] ist kommutativer Ring mit Eins, derRing der Polynome uber R.


R[[X]] := {f : N ⊂ {0} → R}(f + g)(m) := f(m) + g(m)

(fg)(m) :=Pmk=0 f(k)g(m− k)

R[[X]] ist kommutativer Ring mit Eins, derRing der formalen Potenzreihen

Der Leitkoeffizient ist der hochste nicht

verschwindende Koeffizient des Polynoms.

Die Funktion

deg : R[X] \ {0} → N ∪ {0}f 7→ max{i : ai 6= 0}

heißt der Grad des Polynoms f .

Ein Polynom heißt irreduzibel, wenn es

unzerlegbar ist.

Ein Polynom heißt normiert, wenn der

Leitkoeffizient 1 ist.


Polynomringe7

Gradsatz

Algebra

Polynomringe8

SatzPolynomring, Integritatsring

Algebra

Polynomringe9

Satz:Polynomring uber Korper

Algebra

Polynomringe10

Satz: Ideale imPolynomring uber Korper

Algebra

Polynomringe11

Wenn R Korper ist, was ist R[X]?

Algebra

Polynomringe12

Satz:Faktorzerlegung in K[X]

Algebra

Polynomringe13

Satz:Faktorring eines Polynomrings

Algebra

Polynomringe14

Definition:Einsetzhomomorphismus

Algebra

Polynomringe15

Anzahl der Nullstelleneines Polynoms

Algebra

Polynomringe16

Definition:Inhalt eines Polynoms

Algebra


• R ist Integritatsring ⇔ R[X] ist Integritatsring

Beweis: Leitkoeffizienten multiplizieren sich.

• Wenn R Integritatsring ist, dann ist R[X]∗ = R∗

Beweis: Gradsatz, Gradvergleich mit 1

Seien f, g ∈ R[X] \ {0}.

• fg = 0 oder deg(fg) ≤ deg(f) + deg(g)

• Wenn R ein Integritatsring ist, dann ist

deg(fg) = deg(f) + deg(g).

Beweis: Leitkoeffizienten ansehen.


Hauptidealring.

Folgt, weil er euklidischer Ring ist.


euklidischer Ring.

Im kommutativen Ring mit Eins funktioniert

Division mit Rest, mittels Gradfunktion.

Ist K ein Korper, dann ist K[X] faktoriell.

Jedes f 6= 0 laßt sich bis auf Reihenfolgeeindeutig als

f = cp1p2 · · · pkschreiben, pi normiert, pi irreduzibel, c ∈ K.

R ist Korper

⇔R[X] ist euklidischer Ring

⇔R[X] ist Hauptidealring

Sei R ⊂ S kommutativer Unterring von S mit Eins,

1R = 1S .

Φα : R[X] → S

f 7→ f(α)PaiX

i 7→Paiα

i

ist der Einsetzhomomorphismus.

Ist K ein Korper, und f ∈ K[X] irreduzibel,dann ist

K[X]/(f)

ein Korper.

Beweis: unzerlegbar ⇒ (f) ist maximal ⇒K[X]/(f) ist Korper.

Sei R ein faktorieller Ring, und f =Pni=0 aiX

i 6= 0.

I(f) = ggT(a0, . . . , an) heißt der Inhalt von f .

I(f) ist formal eine Menge, die man haufig mit einemReprasentanten identifiziert.

Sei R ein Integritatsring, und f ∈ R[X] einPolynom vom Grad n.

Dann hat f hochstens n verschiedene Nullstellen.Fur jede Nullstelle α ∈ R ist X − α ein Teiler vonf in R[X].


Polynomringe17

Definition:primitives Polynom

Algebra

Polynomringe18

Satz von Gauß(Inhalte)

Algebra

Polynomringe19

Satz:Produkt primitiver Polynome

Algebra

Polynomringe20

Universelle Eigenschaftdes Polynomrings

Algebra

Polynomringe21

Lemma:Primideale in R[X]

Algebra

Polynomringe22

Satz von Gauß(R faktoriell)

Algebra

Polynomringe23

Satz von Gauß:Zerlegung eines Polynoms

Algebra

Polynomringe24

Wenn f in R[X] irreduzibel, . . .

Algebra

Polynomringe25

Wenn f in K[X] irreduzibel, . . .

Algebra

Polynomringe26

Satz von Gauß(R faktoriell, n Unbestimmte)

Algebra


Sei R ein faktorieller Ring, und f, g ∈ R[X] \ {0}.

Dann istI(fg) ∼ I(f)I(g)

Sei R ein faktorieller Ring, und f =Pni=0 aiX

i 6= 0.

f heißt primitiv, wenn der Inhalt I(f) eine Einheitin R ist, also

I(f) ∈ R∗

Seien R,S kommutative Ringe mit Eins. Seiϕ : R→ S ein Homomorphismus mit ϕ(1R) = 1S .

Dann existiert genau ein Ringhomomorphismus

Φ : R[X] → S[X] mit

Φ�X

aiXi�

=X

ϕ(ai)Xi

Sei R ein faktorieller Ring.

Das Produkt primitiver Polynome ist wiederprimitiv.

(folgt aus dem Produkt der Inhalte)

Ist R ein faktorieller Ring

⇒

R[X] ist ein faktorieller Ring


Ist P Primideal von R

⇒

P [X] = {PaiX

i | ai ∈ P} ist Primideal in R[X]

Beweis: uber universelle Eigenschaft.

wenn f ∈ R[X] irreduzibel ⇒ f in K[X] irreduzibel

Sei R faktoriell, K der Quotientenkorper von R,f ∈ R[X] \ {0}.

Sei f = gh eine Zerlegung mit g, h ∈ K[X]. Dannexistieren α, β ∈ K, c ∈ R mit

(i) αg =: g1, βh =: h1, g1, h1 ∈ R[X],

(ii) f = cg1h1, g1, h1 primitiv

Ist R ein faktorieller Ring

⇒

R[X1, . . . , Xn] ist ein faktorieller Ring

Wenn f ∈ R[X], f 6∈ R∗ ∪ {0} primitiv,

in K[X] irreduzibel

⇒

f in R[X] prim, insbesondere irreduzibel


Polynomringe27

Irreduzibilitatskriteriumvon Eisenstein

Algebra

Polynomringe28

Wann ist derEinsetzhomomorphismus

ein Isomorphismus?

Algebra

Moduln1

Definition:Modul

Algebra

Moduln2

Definition:unitarer Modul

Algebra

Moduln3

Definition:Untermodul

Algebra

Moduln4

Definition:zyklischer Untermodul

Algebra

Moduln5

Definition:Faktormodul

Algebra

Moduln6

Definition:Modulhomomorphismus

Algebra

Moduln7

Kern/Bild einesModulhomomorphismus

Algebra

Moduln8

Charakterisierunginjektiver Modulhomomorphismus

Algebra



Der Einsetzhomomorphismus

Φg : R[X] → R[X]

f 7→ f(g)

ist ein Isomorphismus ⇔ g = aX+bmit a ∈ R∗, b ∈R.

Sei R faktoriell und f =Pni=0 ∈ R[X] ein

nicht konstantes primitives Polynom.

Wenn es ein Primelement p ∈ R gibt mit

p - an, p | ai(i < n), p2 - a0,

dann ist f irreduzibel in R[X] und Q(R)[X].

Ein R-Modul M heißt unitar, wenn R ein Einselementbesitzt und

1Rm = m ∀m ∈M.

R sei Ring, M sei abelsche Gruppe. M heißt R-Modul,wenn es eine Abbildung

R×M →M

gibt mit:r(m1 +m2) = rm1 + rm2

(r1 + r2)m = r1m+ r2m(r1r2)m = r1(r2m)

∀ r, r1, r2 ∈ R,m,m1,m2 ∈M .

Ein R-Untermodul U von RM heißt zyklisch, wenn es einElement a ∈M gibt mit

U = Ra

U ist R-Untermodul von RM , wenn

• U eine Untergruppe von M ist

• ru ∈ U ∀ r ∈ R, u ∈ U .

Seien M,N R-Moduln.

Eine Abbildung ϕ : M → N heißt ein

Modulhomomorphismus

wenn:

• ϕ ist Gruppenhomomorphismus,

• ϕ(rm) = rϕ(m) ∀ r ∈ R,m ∈M

Sei U R-Untermodul von M . Dann ist M/U ein R-Modulmittels

r(m+ U) := rm+ U

M/U heißt Faktormodul.

Sei ϕ ein Modulhomomorphismus.

ϕ ist injektiv ⇔ ker(ϕ) = {0}

Sei ϕ ein Modulhomomorphismus.

• ker(ϕ) = {m ∈ M | ϕ(m) = 0} ist ein Untermodulvon M ,

• ϕ(M) ist ein Untermodul von N .


Moduln9

Homomorphiesatz fur Moduln

Algebra

Moduln10

Isomorphiesatz fur Moduln

Algebra

Moduln11

Isomorphiesatz fur Moduln(Kurzen)

Algebra

Moduln12

Definition:Annulator

Algebra

Moduln13

Definition:Torsionselement

Algebra

Moduln14

Definition:torsionsfrei

Algebra

Moduln15

Satz: Torsionsuntermodul

Algebra

Moduln16

Definition:Darstellung

Algebra

Moduln17

Definition:unitare Darstellung

Algebra

Moduln18

Modul definiert Darstellung

Algebra


Isomorphiesatz:

Fur Untermoduln U, V eines R-Moduls M gilt

(U + V )/V ∼= U/(U ∩ V )

Beweis: u+ v 7→ u

Homorphiesatz:

Sei ϕ : M → N ein Modulhomomorphismus. Es gilt

ϕ(M) ∼= M/ker(ϕ)

m ∈ RM

Ann(m) = {r ∈ R | rm = 0}Der Annulator ist Kern des Homomorphismus

ϕ : RR → RMr 7→ rm

und damit ein Untermodul von RR (also Linksideal).

Isomorphiesatz/Kurzen:

Fur Untermoduln U, V eines Moduls M mit U ⊂ V ⊂Mgilt

(M/U)/(V/U) ∼= M/V

Beweis: m+ U 7→ m+ V

M heißt torsionsfrei, wenn es keineTorsionselemente gibt.

m ∈M heißt Torsionselement, wenn

AnnR(m) 6= {0},

d.h. wenn es ein r 6= 0 gibt mit rm = 0.

Sei M abelsche Gruppe. Jeder Homomorphismus

ϕ : R→ End(M)

heißt Darstellung von R.

Sei R ein Integritatsring, M ein R-Modul.

Dann ist Tor(M), die Menge aller Torsionselemente,ein R-Untermodul von M .

Tor(M) = {m ∈M | ∃ r 6= 0 : rm = 0}

M sei (unitarer) R-Modul. Dann definiert die Abbildung

ϕ : R → End(M)ϕ(r)(m) := rm ∀ r ∈ R,m ∈M

eine (unitare) Darstellung.

Ein Homomorphismus

ϕ : R→ End(M)

heißt unitare Darstellung von R, wenn

• R ein Einselement besitzt

• ϕ(1R) = IdM


Moduln19

Darstellung definiert Modul

Algebra

Moduln20

Direktes Produkt von Moduln

Algebra

Moduln21

Direkte Summe von Moduln

Algebra

Moduln22

Wann Ubereinstimmung direkteSumme und direktes Produkt

Algebra

Moduln23

Direktes Produkt als Modul

Algebra

Moduln24

Direkte Summe als Untermodul

Algebra

Moduln25

Universelle Eigenschaftdes direkten Produkts

Algebra

Moduln26

Universelle Eigenschaftdes Coprodukts

Algebra

Moduln27

Definition:freie Familie (mi)

Algebra

Moduln28

Definition:R-Basis

Algebra


(Mi)i∈I sei Familie von R-Moduln.

Das direkte Produkt ist definiert als

Yi∈I

Mi = {f : I →[i∈I

Mi | f(i) ∈Mi ∀ i ∈ I}

alternativ: Menge der I-Tupel f = (fi)i∈I bzw. imendlichen/abz. Fall f = (f0, f1, f2, . . .)

M sei abelsche Gruppe, ϕ : R → End(M) eine (unitare)Darstellung. Dann definiert

R×M →M(r,m) 7→ ϕ(r)(m) ∀ r ∈ R,m ∈M

eine (unitare) Modulstruktur.


Ist die Indexmenge I endlich, dann gilt

ai∈I

Mi =Mi∈I

Mi =Yi∈I

Mi


Die direkte Summe (Coprodukt) ist definiert als

ai∈I

Mi =Mi∈I

Mi = {f ∈Yi∈I

Mi| f(i) = 0 fur fast alle i}


Die direkte Summe (Coprodukt)ai∈I

Mi =Mi∈I

Mi

ist R-Untermodul des direkten ProduktsQi∈IMi.

(Mi)i∈I sei Familie von R-Moduln.Das direkte ProduktY

i∈I

Mi

ist ein R-Modul durch (punktweise)

(f1 + f2)(i) = f1(i) + f2(i)

(rf)(i) = rf(i) ∀ r ∈ R

A oo∃!ϕ

``

ϕj @@@@

@@@@

`Mi<<

νjyy

yyyy

yy

Mj

νj(m) =

(i 7→ 0 i 6= j

j 7→ m

Zu jedem R-Modul A und R-Modulhomomorphismen ϕjexistiert genau ein R-Modulhomomorphismus ϕ mit

ϕ ◦ νj = ϕj

A∃!ϕ //

ϕj @@@

@@@@

@QMi

πj||yyyy

yyyy

Mj

πj(f) = f(j)

Zu jedem R-Modul A und R-Modulhomomorphismen ϕjexistiert genau ein R-Modulhomomorphismus ϕ mit

πj ◦ ϕ = ϕj

M sei ein unitarer R-Modul.

Eine Familie (mi) heißt R-Basis, wenn sie frei istund jedes m ∈ M sich darstellen laßt als endlicheR-Linearkombination aus (mi) :

m =Xendl.

rimi ri ∈ R


Eine endliche Familie (mi) heißt frei, wenn giltXrimi = 0 ⇒ ri = 0 ∀ i

(auch R-linear unabhangig)

Eine beliebige Familie heißt frei, wenn jede endlicheTeilmenge von ihr frei ist.


Moduln29

Definition:freier R-Modul

Algebra

Moduln30

freier Modul uber Integritatsring...

Algebra

Moduln31

torsionsfreie Moduln ...

Algebra

Moduln32

M ist frei mit Basis S ⇔ . . .

Algebra

Moduln33

Wenn M eine endlicheBasis hat. . . ...

Algebra

Moduln34

Beispiel fur Basenverschiedener Machtigkeit

Algebra

Moduln35

wann sind Basen gleichmachtig

Algebra

Moduln36

Definition:Rang eines Moduls

Algebra

Moduln37

Zerlegung in direkte Summe

Algebra

Moduln38

jeder unitare Modul ist Bild

Algebra


Ein freier Modul uber einem Integritatsring ist

torsionsfrei.


Wenn M eine R-Basis besitzt, dann heißt M einfreier R-Modul.

(1) M ist frei mit Basis S

⇔(2) jedes m ∈M hat eindeutige Darstellung

m =Xendl.

risi ri ∈ R, si ∈ S

⇔(3)

M ∼=as∈S

RsX

rss 7→ (rs)s∈S

Rs ∼= R s 7→ 1 (Rs ∼= R/Ann(s))

Torsionsfreie Moduln sind nicht notwendig frei:

Beispiel: Q ist torsionsfreier Z-Modul, doch je zweiElemente aus Q sind Z-abhangig

cba

b− ad

c

d= 0

K Korper, V∞-dimensionaler Vektorraum

es existiert K-Isomorphismus f : V → V ⊕ V

R := EndK(V ):

R⊕R ∼= R

Basen: idV bzw. idV × {0}, {0} × idV

Hat M eine endliche Basis S, dann gibt es

einen Isomorphismus

M ∼=as∈S

Rs ∼= R⊕R⊕ . . .⊕R = R]S

R sei kommutativ mit Eins, M ein freier unitarer

R-Modul.

Die Machtigkeit einer beliebigen R-Basis von

M heißt Rang von M .

R sei kommutativ mit Eins, M ein freier unitarer

R-Modul.

Dann haben alle Basen gleiche Lange.

Jeder unitare R-Modul ist homomorphes Bild einesfreien R-Moduls.

F =am∈M

Rm

ist R-Modul mit Basis der Machtigkeit ]M .

f : F →M(αm)m∈M 7→

Pαmm ∈M

N sei Untermodul des R-Moduls M , R beliebigmit Eins, und M/N sei ein freier R-Modul.

Dann existiert ein R-Untermodul N ′ von M mitM = N ⊕N ′.

D.h. N +N ′ = M, N ∩N ′ = {0}.


Moduln39

Definition:Rechtsmodul

Algebra

Moduln40

Definition:Bimodul

Algebra

Tensorprodukt1

Definitionbalancierte Abbildung

Algebra

Tensorprodukt2

Definition Tensorprodukt

Algebra

Tensorprodukt3

Idee des Tensorprodukts

Algebra

Tensorprodukt4

Universelle Eigenschaftdes Tensorprodukts

Algebra

Tensorprodukt5

Rechenregeln Tensorprodukt

Algebra

Tensorprodukt6

Tensorprodukt mit 0

Algebra

Tensorprodukt7

Tensorprodukt mitnegativem Vorzeichen

Algebra

Tensorprodukt8

Ganzzahlige Vielfacheeines Tensorprodukts

Algebra


R,S seien Ringe, M sei abelsche Gruppe. M heißt

R-S-Bimodul, wenn

• M linker R-Modul

• M rechter S-Modul

• Vertraglichkeit:

(rm)s = r(ms)

∀ r ∈ R, s ∈ S,m ∈M .

R sei Ring, M sei abelsche Gruppe. M heißt

R-Rechtsmodul, wenn es eine Abbildung

M ×R→M

gibt mit:

(m1 +m2)r = m1r +m2rm(r1 + r2) = mr1 +mr2m(r1r2) = (mr1)r2

∀ r, r1, r2 ∈ R,m,m1,m2 ∈M .

Es sei R ein Ring, M ein R-Rechtsmodul und N einR-Linksmodul. Dann ist die abelsche Gruppe M ⊗R Ndefiniert als der Quotient der freien abelschen GruppeF = {

Pzm,n(m,n) | zm,n ∈ Z} in den Erzeugern m ⊗ n

(als Symbole) fur alle m ∈M,n ∈ N nach der UntergruppeH, die von

• (m1 +m2)⊗ n−m1 ⊗ n−m2 ⊗ n

• m⊗ (n1 + n2)−m⊗ n1 −m⊗ n2

• mr ⊗ n−m⊗ rn

erzeugt wird. T = F/H, t(m,n) = (m,n) +H.

Sei M ∈ ModR, N ∈ RMod, eine Abbildung

f : M ×N → P

heißt balanciert, wenn

• f(m1 +m2, n) = f(m1, n) + f(m2, n)

• f(m,n1 + n2) = f(m,n1) + f(m,n2)

• f(mr, n) = f(m, rn)

∀ r ∈ R,m,m1,m2 ∈M,n, n1, n2 ∈ N .

M ×Nt //

f##G

GGGG

GGGG

M ⊗R N

∃!f∗zzvvvvvvvvv

P

Fur beliebige abelsche Gruppe P und beliebigeR-balancierte Abbildung f existiert genau einHomomorphismus f∗ mit f∗ ◦ t = f .

D.h. jede R-balancierte Abbildung auf M ×Nfaktorisiert durch M ⊗R N .

• Das Tensorprodukt M ⊗N ist universell furalle bilinearen Abbildungen auf M ×N

• Die Homomorphismen auf M ⊗N klassifizierendie bilinearen Abbildungen auf M ×N

• bilineare Abbildungen auf M ×N werden alsHomomorphismen aufgefaßt

m⊗ 0 = 0⊗ 0 = 0⊗ n

∀m ∈M,n ∈ N

(m1 +m2)⊗ n = m1 ⊗ n+m2 ⊗ nm⊗ (n1 + n2) = m⊗ n1 +m⊗ n2

mr ⊗ n = m⊗ rn ∀ r ∈ R

z(m⊗ n) =

(m⊗ n+ . . .+m⊗ n (z ≥ 0)

−(m⊗ n+ . . .+m⊗ n) (z < 0)

z(m⊗ n) = (zm)⊗ n = m⊗ (zn)

∀m ∈M,n ∈ N, z ∈ Z

(−m)⊗ n = −(m⊗ n)

∀m ∈M,n ∈ N


Tensorprodukt9

Satz: Eindeutige Bestimmtheitdes Tensorprodukts

Algebra

Tensorprodukt10

Wann ist M ⊗R N ein linker Modul?

Algebra

Tensorprodukt11

Satz: Ropp-Modul

Algebra

Tensorprodukt12

”Kommutativitat“

des Tensorprodukts

Algebra

Tensorprodukt13

”Assoziativitat“

des Tensorprodukts

Algebra

Tensorprodukt14

”neutrales Element“des Tensorprodukts

Algebra

Tensorprodukt15

”Distributivitat“

des Tensorprodukts

Algebra

Tensorprodukt16

Tensorprodukts mitfreiem Modul

Algebra

Tensorprodukt17

Tensorprodukt mitUntermodul

Algebra

Tensorprodukt18

Beispiel:Z/2Z ⊗Z Z/3Z

Algebra


M ∈ SModR, N ∈ RMod

⇒M ⊗R N ∈ SMod mit s(m⊗ n) = (sm)⊗ n

Steht links ein Bimodul, dann ist das TensorproduktLinksmodul.

Steht rechts ein Bimodul, dann ist das Tensorpro-dukt Rechtsmodul.

Sind (M ⊗R N, t) und (M ⊗′R N, t′) zweiTensorprodukte, welche die universelle Eigenschafterfullen, dann existiert ein Gruppenisomorphismus

Λ : M ⊗R N → (M ⊗′R N, t)Λ ◦ t = t′

Beweis: beide universelle Eigenschaften,Ubereinstimmung auf Erzeugendensystem {t(m,n)}

Seien M ∈ ModR, N ∈ RMod, dann sind

M ∈ RoppMod, N ∈ ModRopp

und es gibt einen Gruppenisomorphismus

M ⊗R N → N ⊗Ropp MPmi ⊗ ni 7→

Pni ⊗mi

Das Tensorprodukt ist bis auf Isomorphie kommutativ.

Sei M ∈ RMod. Dann ist M ∈ ModRopp .

Speziell: ist R kommutativ, dann ist

R = Ropp,RMod = ModR

und es ist M ⊗R N ein R-Modul.

Seien R ein Ring mit Eins und M ein unitarerR-Linksmodul. Dann ist

R⊗RM ∼= M

mittelsr ⊗ n 7→ rm

AnalogM ⊗R R ∼= M

Beim R-Tensorprodukt verhalt sich R neutral.

Seien L ∈ ModR,M ∈ RModS , N ∈ SMod. Dann ist

L⊗RM ∈ ModS ,M ⊗S N ∈ RMod

und es gibt einen Gruppenisomorphismus

(L⊗RM)⊗S N∼−→ L⊗R (M ⊗S N)

Das Tensorprodukt ist bis auf Isomorphie assoziativ.

Sei N ∈ ModR, frei mit Basis (ui)i∈I . Dann gilt

M ⊗R N ∼=Li∈IM ⊗R Rui

∼=Li∈IM

Seien M ∈ ModR, Ni ∈ RMod, i ∈ I. Dann gilt

M ⊗R�Mi∈I

Ni�∼=Mi∈I

M ⊗R Ni

Das R-Tensorprodukt ⊗ ist bezuglich derdirekten Summe ⊕ distributiv.

Analog die symmetrische Aussage.

R = Z,M = Z/2Z, N = Z/3Z unitare Z-Moduln.

x ∈M : 2x = 0y ∈ N : 3y = 0

x⊗ y = 3(x⊗ y)− 2(x⊗ y)= x⊗ (3y)− (2x)⊗ y= 0

⇒M ⊗R N = {0}

Sei M ∈ ModR, M ′ ein R-Untermodul von M ,N ∈ RMod und N sei frei. Dann ist dieAbbildung

M ′ ⊗R N ↪→M ⊗R Nm⊗ n 7→ m⊗ n

injektiv.


Tensorprodukt19

Charakterisierung f ⊗ g

Algebra

Tensorprodukt20

(f ⊗ g)−1

Algebra

Tensorprodukt21

Tensorprodukt mitisomorphem Modul

Algebra

Tensorprodukt22

Tensorprodukt aufexakte Sequenz

Algebra


Sind f, g R-Modulisomorphismen, dann ist f ⊗ gein Gruppenisomorphismus mit Inversem

f−1 ⊗ g−1

Seien M,M ′ ∈ ModR, N,N′ ∈ RMod, und f : M →

M ′, g : N → N ′ seien R-Modulhomomorphismen.

Dann gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus

f ⊗ g : M ⊗R N →M ′ ⊗R N ′

mit

f ⊗ g�X

mi ⊗ ni�

=X

f(mi)⊗ g(ni).

IstA

f−−→ Bg−−→ C −→ 0

eine exakte Sequenz von R-Linksmoduln und istD ein R-Rechtsmodul, dann ist

D ⊗R AidD⊗f−−−−→ D ⊗R B

idD⊗g−−−−→ D ⊗R C −→ 0

eine exakte Sequenz von abelschen Gruppen.

Analog die symmetrische Aussage.

Ist f : M →M ′ ein R-Modulisomorphismus mitInversem f−1 : M ′ →M , dann ist

M ⊗N ∼= M ′ ⊗N.

Documents

matheplanet.com, StefanK Ringe - Algebra I Materialienalgebra1.de/karten/Algebra1.pdf · , Stefan K 3 Ringe 11 Homomorphiesatz f¨ur Ringe Algebra Ringe 12 Isomorphiesatz fur Ringe¨