1 (C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz bgFEM04 Federn –Einführung –Aufgabe FEM: exakte Lösung - Näherungslösung Scheibe –Modell

1(C) 2007, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz

bgFEM04

• Federn– Einführung– Aufgabe

• FEM: exakte Lösung - Näherungslösung• Scheibe

– Modell mit bilinearer Ansatzfunktion– Dehnungen und Scherwinkel, Spannungen– Virtuelle Arbeit und Steifigkeitsmatrix– Elementlasten


Federn

In Finite Elemente Methoden werden Federn zur Abbildung von punktförmigen elastischen Lagerungen sowie von elastischen Einspannungen verwendet.

Fx(e) = kx•ui

Fy(e) = ky•vi

Mz(e) = kzz•zi

kx, ky, kzz sind die Federkonstanten


Elastische Lagerung eines Punktes

• mittels dreier Einzelfedern, eine für die x-, eine für die y-Richtung und eine für die Drehung um die z-Achse.

• Grundgleichung

€

kx 0 0

0 ky 0

0 0 kzz

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥⋅

uiv iϕ zi

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥=

Fx(e )

Fy(e )

Mz(e )

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥


Bemerkungen

• In der Steifigkeitsmatrix ist nur die Diagonale besetzt, weil die Federelemente nicht gekoppelt sind.

• Die Elementsteifigkeitsmatrix wird gleichartig transformiert wie beim Fachwerkstab.


Aufgabe

Ermitteln Sie die Systemsteifigkeits-matrix von folgendem System:


Forderung an exakte Lösung

• An der Grenzlinie benachbarter Elemente müssen die Verschiebungsgrössen beider Elemente übereinstimmen.

• An der Grenzlinie müssen die Kraftgrössen beider Elemente die Gleichgewichtsbedingungen erfüllen.

• An gelagerten Rändern sind die Auflagerbedingungen zu erfüllen.

• An freien Rändern ist das Gleichgewicht zwischen Randlasten und Schnittgrössen zu erfüllen.


Eigenschaften der FEM mit Verschiebungsansätzen

• Verschiebungsgrössen stimmen an den Grenzen benachbarter Elemente überein.

• Die Gleichgewichtsbedingungen für Kraftgrössen werden an den Grenzlinien nicht erfüllt.

• Die Auflagerbedingungen werden an gelagerten Rändern erfüllt.

• An freien Rändern wird das Gleichgewicht zwischen Randlasten und Schnittgrössen nicht erfüllt.


FEM-Näherungslösungen

• Die FEM-Lösung nähert die exakte Lösung an. Ihre Genauigkeit wird durch eine Vergrösserung der Elementzahl bzw. eine Verringerung der Elementgrösse erhöht.

• Elemente mit höheren Ansatzfunktionen sind genauer als Elemente mit niedrigeren.

• Bei Finiten Elementen, die ausschlieslich auf Verschiebungsansätzen beruhen, sind die angenäherten Knotenverschiebungen im Mittel zu klein, d.h. das System verhält sich aufgrund des Näherungsansatzes zu "steif".


FEM-Näherungslösungen

• Die FEM-Näherung ist bei gleichmässiger Elementgrösse im Bereich geringerer Spannungsgradienten besser als im Bereich höherer Spannungsgradienten.

• Die Elementspannungen sind in Elementmitte deutlich genauer als am Elementrand.

• Der Spannungssprung zwischen zwei Elementen ist ein Mass für die Genauigkeit an der betreffenden Stelle.


Scheiben

Ziel ist es, die Verschiebungen in jedem Punkt des Elements darzustellen.


Scheiben

• Die Verschiebungen u(x,y) und v(x,y) werden zwischen den Knotenpunkten linear interpoliert.

Bilineare Ansatzfunktionder Verschiebungen:

u = N•ue

N ist die Matrix der Formfunktionen


Scheiben

Die Formfunktionen werden wie folgt angesetzt:

€

N1 =1

ab

a

2- x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟b

2- y

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

N2 =1

ab

a

2+ x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟b

2- y

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

N3 =1

ab

a

2+ x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟b

2+ y

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

N4 =1

ab

a

2- x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟b

2+ y

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟


Scheibe

Für die Verschiebungsfunktionen u(x,y) und v(x,y) der Rechteckscheibe erhält man dann:

€

u

v

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥=N1 0 N2 0 N3 0 N4 0

0 N1 0 N2 0 N3 0 N4

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥⋅

u1

v1

u2

v2

u3

v3

u4

v4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥


Scheibe: Dehnungen und Scherwinkel

€

εxεyγ xy

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥=

∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y+∂v

∂x

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

=

∂N1

∂x0

∂N2

∂x0

∂N3

∂x0

∂N4

∂x0

0∂N1

∂y0

∂N2

∂y0

∂N3

∂y0

∂N4

∂y∂N1

∂y

∂N1

∂x

∂N2

∂y

∂N2

∂x

∂N3

∂y

∂N3

∂x

∂N4

∂y

∂N4

∂x

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⋅

u1

v1

u2

v2

u3

v3

u4

v4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥


Scheibe: Dehnungen und Scherwinkel

Konkret erhält man:

ε = B • ue€

εxεyγ xy

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥=

∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y+∂v

∂x

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

=1

2ab

2y −b 0 −2y + b 0 2y + b 0 −2y −b 0

0 2x − a 0 −2x − a 0 2x + a 0 −2x + a

2x − a 2y −b −2x − a −2y + b 2x + a 2y + b −2x + a −2y −b

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥⋅

u1

v1

u2

v2

u3

v3

u4

v4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥


Scheibe: Spannungen

= D•ε = D•B•ue

€

x

σ yτ xy

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥=

E

1−μ 2

1 μ 0

μ 1 0

0 01−μ

2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

•

εxεyγ xy

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥


Scheibe: virtuelle Arbeit

Ansatz:

€

u = N ⋅ue

€

W i = t ⋅ ε∫T⋅σ dxdy = ue

T⋅ t ⋅∫ BT ⋅D ⋅B dxdy ⋅ue

€

W a = ueT⋅F e + ue

T⋅FL

€

W i =W a


Scheibe: Steifigkeitsmatrix

K(e)•ue = Fe

mit: K(e) = t•BT•D•B•dxdy

Herleitung durch Gleichsetzen der inneren und äusseren virtuellen Arbeiten


Scheibe: Elementlasten

Annahmen: konstante Flächenlast, Linienlasten an den Rändern

Aufgabe: Elementlasten in äquivalente Knotenkräfte umrechnen.

Die zu einer Elementlast äquivalenten Knotenkräfte sind diejenigen Kräfte, die mit den virtuellen Knotenverschiebungen dieselbe Arbeit leisten wie die Elementlasten mit den ihnen entsprechenden Verschiebungen.


Scheibe: Flächenlasten und äquivalente Knotenkräfte

€

F L = NT ⋅ p dydx∫∫ =

14 ab ⋅ px14 ab ⋅ py14 ab ⋅ px14 ab ⋅ py14 ab ⋅ px14 ab ⋅ py14 ab ⋅ px14 ab ⋅ py

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥


Scheibe: Linienlasten und äquivalente Knotenkräfte

Der Verlauf der Verschiebung wurde als linear angenommen.

Es wird hier auch eine linear veränderliche Randlast vorausgesetzt.

Für andere Belastungen muss die Berechnung neu gemacht werden.



Beispiel: Belastung des oberen Elementrandes durch linear veränderliche Lasten in x- und y-Richtung.

Die virtuellen Verschiebungen zwischen den Knotenpunkten 3 und 4 können beim ersten Ansatz abgelesen werden.



Virtuelle Verschiebung am oberen Rand:

Linear veränderliche Randlast py,3-4:

€

v 3−4 = v 3 v 4[ ] ⋅

1

a

a

2+ x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1

a

a

2− x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

€

py,3−4 =1

a

a

2+ x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1

a

a

2− x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥⋅py3

py4

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥



• Die Randlast py,3-4 bewirkt am infinitesimalen Abschnitt der Länge dx die Kraft py,3-4•dx.

• Mit der virtuellen Verschiebung v3-4 erhält man für die virtuelle äussere Arbeit:

€

WaL = v 3 v 4[ ] ⋅

1

a

a

2+ x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1

a

a

2− x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥−

a

2

a

2

∫ ⋅1

a

a

2+ x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1

a

a

2− x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥dx ⋅

py3

py4

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥



Äussere virtuelle Arbeit der äquivalenten Knotenkräfte:

Nun werden beide Arbeiten gleich gesetzt. Es ergibt sich schliesslich:€

W aK = v 3 v 4[ ] ⋅FL ,y3

FL ,y4

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

FL ,y3

FL ,y4

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥= a

1

3py3 +

1

6py4

1

6py3 +

1

3py4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥



Die äquivalenten Knotenkräfte für px,3-4 erfolgt analog. Es resultiert:

€

FL ,x3

FL ,x4

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥= a

1

3px3 +

1

6px4

1

6px3 +

1

3px4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥


Scheibe: Beispiel 4.5

Arbeiten Sie das Beispiel 4.5 auf Seite 200 durch.

Fragen?


Scheibe: Eigenschaften von FE

• Immer zu erfüllen:– Starrkörperverschiebungen dürfen keine Knotenkräfte

hervorrufen.

– Konstante Verzerrungen (und damit auch konstante Spannungen) müssen exakt darstellbar sein.

• Bedingt zu erfüllen:– Stetigkeit des Verschiebungsansatzes

– geometrische Isotropie

– Drehungsinvarianz


Scheibe: Ablaufplan

1. Wahl der Ansatzfunktion für die Verschiebungen

2. Ermittlung der Verzerrungen: ε = B•ue

3. Stoffgesetz: = D•ε4. Knotenkräfte und Verschiebungen: Ke•ue = Fe

mit Ke = t•BT•D•B dydx

5. Ermittlung der den Elementlasten äquivalenten Knotenlasten FL

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