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Fachwissenschaftliches Seminar unter der Leitung von Herrn Prof. Dr. W. Bley WS 2008/09

SummenformelTeil 1

Referentin: Pelin Özgün Kanat

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Summenformeln

Summenformel für n aufeinanderfolgende natürliche Zahlen (d=1)

Bsp.: a) 1,2,3,4 (n=4)b) 6,7,8,9 (n=4)c) 6,7,8,9,10 (n=5)

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n kann entweder gerade oder ungerade sein

Entwickeln einer Summenformel n-

gerade

ungerade

Ziel:

Durch reines umordnen

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Für n= gerade

Bsp.:

S4=(a1+ a4)*n/2

6 7 8 9 (6+ 9)*4/2=30

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6 7 8 109 8∙5=40

Diese Operation (Ausgleich um die Mittelzahl) kann auch durch Treppen veranschaulicht werden:

Für n = ungerade

S5=a3*n

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Allgemein

n= k n= k n= k

n= 2k, k ∈ N (a1+an)* (n/2)

Für n= gerade (n= 2k)

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ak+1

n= (2k+1)

(ak+1)* nn= (2k+1)

Für n= ungerade (n= 2k+1)

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Ohne „reines umordnen“

n= 4 n=3

(gerade) (ungerade)

Idee: Verdoppeln des Zahlenturms

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a1+ a4

n= 4 n= 3

Gleiches Prinzip keine Unterteilung in gerade/ ungerade n nötig

a1+ a3

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Allgemein

a1+ an

n

(a1+ an)* n/2

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Verallgemeinerung von “aufeinanderfolgend“ (d=1)zu „gleichen Abstand“ (d ∈ N)

Bsp.: a) 1,5,9,13 n=4; d=4 b) 5,8,11,14 n=4; d=3c) 11,13,14 n=3; d=2d) 2,4,6,8 n=4; d=2

d)

d= 2

d= 2

d=2

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1 4 7 10 13 16 19

19 16 13 10 7 4 1+2020 20 20 20 20 20 summiert

7 20=140∙

140:2=70Summe der Reihe: 70,

da

Bsp.: Startzahl 1 und Additionszahl 3

Wir addieren geschickt beide Reihen durch die zweifache Summierung

(Da wir vorher verdoppelt haben wird es wieder am Ende halbiert)

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Summe der ersten n-Folgeglieder

Allgemein:

a= Startzahl d= Abstand n= Glieder

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Summe der ersten n-FolgegliederAllgemein: a= Startzahl d= Abstand n= Glieder

Durch die zweifache Summierung erhalten wir:

2a+(n-1)*dmal n/2

(a+ (n-1)/2*d))*n

a a+ d a+2d … a+(n-3)d a+(n-2)d a+(n-1)d a+(n-1)d a+(n-2)d a+(n-3)d … a+2d a+ d a+

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Veranschaulicht

2a+(n-1)d

n

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Formeln:

1) Erste Glied (a) und das letzte Glied z=a+(n-1) sind bekannt:

Sn (a, z)= n * (a+ z)/2

2) Erste Glied (a) und der Abstand (d) mit n- Glieder sind bekannt:

Sn (a, d)= n* a + (n-1)*n/2*d

Dn-1

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(n-1)*n/2*d Dn-1 (Dreieckszahl)

Def.:

Dn:= ∑ k= (n+1)*n/2 (Für n-te Dreieckszahl)n

k=1

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1

3

6

10

15

21

28

36

45

Summe der ersten n natürlichen Zahlen

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1

4

9

16

25

36

49

64

81

Summe der ersten n ungeraden Zahlen

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Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist die n- te Quadratzahl.

Die Summe der ersten n geraden Zahlen ist das doppelte der n- ten Dreieckzahlen.

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Müller, Gerhard N.,Steinbring, Heinz,Wittmann Erich Ch. (Hg.):

Arithmetik als Prozess, Kallmeyersche Verlagsbuchhandlung GmbH, Seelze, 2004

Literaturangabe: